An inequality involving the gamma and digamma functions
Feng Qi, Bai-Ni Guo
本文建立了一个涉及Gamma函数和双Γ函数的不等式，并利用它证明了一个涉及Gamma函数和双Γ函数的函数的负性和单调性.
In the paper, we establish an inequality involving the gamma and digamma functions and use it to prove the negativity and monotonicity of a function involving the gamma and digamma functions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Some trigonometric integrals involving the log gamma and the digamma function
本文考虑各种积分，其中被积函数包括对数伽玛函数（或其导数，双Γ函数）乘以三角函数或双曲函数。一些显然是新的积分和级数的评价。
Limit formulas for ratios of derivatives of the gamma and digamma functions at their singularities
本文给出了Gamma函数和双Γ函数在奇点处导数比的极限公式。
Logarithmically completely monotontic functions related the $q-$gamma and the $q-$digamma functions with applications
本文提出了几类新的代数完全单调函数。我们的函数有一个共同点，即它们都是根据$q-$ gamma和$q-$双Γ函数定义的。作为这些结果的应用，建立了$q-$伽玛函数和$q-$双Γ函数的不等式.所得结果推广了Alzer和Berg及C. P. Chen和F.气
Double Inequalities for Complete Monotonicity Degrees of Remainders of Asymptotic Expansions of the Gamma and Digamma Functions
受“对数函数与psi函数之差的完全单调度”一文中几个定理的启发，本文证明了伽玛函数与双Γ函数的对数的渐近展开的逼近器的完全单调度的几个定理，并给出了这类逼近器的两个有界性.
Inequalities involving the gamma and digamma functions
本文改进了[H. Alzer和N. Batir，Monotonicity properties of the Γ函数数，Appl. Math. Letters，20（2007），778-781]。\begin{equation*} exp\left(-\frac{1}{2}ψ\left(x+\frac{1}{3}\right)\right)<\frac{Γ(x)}{\sqrt{2π}x^xe^{-x}}<exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x)\right), \end{equation*}和$$ \frac{1}{2}ψ'(x+1/3))<\log x-ψ(x)<\frac{1}{2}ψ'(x).$$这里$Γ$是经典伽马函数，$ψ$是双Γ函数。
A harmonic mean inequality for the $q-$gamma and $q-$digamma functions
我们证明了对于任意的$x > 0$和$q\in J$，$Γ_q(x)$和$Γ_q(1/x)$的调和平均大于或等于$1$，其中$J$是$[0,+\infty)$的子集.此外，我们证明了，对于有$p_0\in(1,9/2)$，使得对于$q\in(0,p_0)$，$ψ_q(1)$是$ψ_q(x)$和$ψ_q(1/x)$的调和平均的最小值，对于$x > 0$和$q\in(p_0,+\infty)$，$ψ_q(1)$是最大值。我们的结果推广了Alzer和Gautschi的一些已知不等式。
The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 10: the digamma function
在Gradshteyn和Ryzhik的经典积分表中的许多积分可以用双Γ函数（= Γ函数的对数导数）来计算。其中一些在这里介绍。
On some properties of special functions involving $k$-gamma and $k$-digamma functions
本研究基于$k$-伽马与$k$-双伽马函数，推导Furdui型积分的级数展开及两类特殊函数的新恒等式、展开式与不等式，并提出一个开放问题。
Partial solutions to several conjectures on completely monotonic degrees for remainders in asymptotic expansions of the digamma function
受“F. Qi和A.- Q. Liu，Completely monotonic degrees for a difference between the logarithmic and psi functions，J. Comput.应用数学，第361卷，第361页。366- 371（2019）;可在https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.05.001在线获得“，作者在伽马函数的对数的渐近展开和双Γ函数的对数的渐近展开中计算了多个完全单调度。
Some exponential and trigonometric integrals involving the log gamma function
本文研究了被积函数为对数Γ函数或双Γ函数乘以指数函数或三角函数的积分。
Asymptotic expansions of integral means and applications to the ratio of gamma functions
积分平均是一类重要的二元平均。本文证明了积分平均值渐近展开中系数的一种非常一般的计算方法。它基于显式求解形式为$B(A(x))=C(x)$的方程，其中$B$和$C$具有已知的渐近展开。通过计算与伽玛函数和双Γ函数有关的几个重要积分平均值，说明了所得结果。
The monotonicity and convexity of a function involving digamma one and their applications
设$\mathcal{L}(x,a)$由公式% \begin{equation*} \mathcal{L}(x,a)=\tfrac{1}{90a^{2}+2}\ln \left( x^{2}+x+\tfrac{3a+1}{3}% \right) +\tfrac{45a^{2}}{90a^{2}+2}\ln \left( x^{2}+x+\allowbreak \tfrac{% 15a-1}{45a}\right) . \end{equation*}定义在$\left( -1,\infty \right) \times \left( 4/15,\infty \right) $或$\left( 0,\infty \right) \times \left( 1/15,\infty \right) $上，我们研究了函数$x\rightarrow F_{a}\left( x\right) =ψ\left( x+1\right) -\mathcal{L}(x,a)$的单调性和凸性，其中$ψ$表示Psi函数。确定了最佳参数$a$，使得不等式$ψ\left( x+1\right) <\left( >\right) \mathcal{L}% (x,a) $对$x\in \left( -1,\infty \right) $或$\left( 0,\infty \right) $成立，从而给出了函数和调和…
Necessary and sufficient conditions for a function involving divided differences of the di- and tri-gamma functions to be completely monotonic
本文给出了包含双伽玛函数和三Γ函数的均差的函数完全单调的充要条件。在此基础上，给出了包含两个Gamma函数之比的函数是代数完全单调的充要条件，并给出了多Γ函数的均差界的一些二重不等式.
Turán type inequalities for generalized inverse trigonometric functions
本文研究了一维$p$ -Laplace算子的本征函数$\sin_p$的逆及其对参数$p$的依赖性，给出了该函数的一个Turán型不等式.对其它广义逆三角函数和双曲函数也给出了类似的不等式。特别地，我们推导了Ramanujan所考虑的一个级数的Turán型不等式，其中涉及到双Γ函数.
Arbitrary-precision computation of the gamma function
我们讨论的最佳方法可用于计算的伽玛函数$Γ(z)$在任意精度算术严格的误差界。我们处理不同的情况：有理、代数、实或复变元;大或小变元;低或高精度;有或没有预计算。这些方法还包括对数伽马函数$\log Γ(z)$、双伽马函数$ψ(z)$以及导数$Γ^{(n)}(z)$和$ψ^{(n)}(z)$。除了试图总结现有的最先进的，我们提出了一些新的公式，估计，界限和算法的改进，并讨论实施结果。
Bounds for the gamma function
本文改进了由H.阿尔泽和作者。\begin{equation*} \exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x+1/3)\right)<\frac{Γ(x)}{x^xe^{-x}\sqrt{2π}}<\exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x)\right). \end{equation*}我们还证明了以下新的不等式：对于$x\geq1$ \[ \sqrt{2π}x^xe^{-x}\left(x^2+\frac{x}{3}+a_*\right)^{\frac{1}{4}}<Γ(x+1)<\sqrt{2π}x^xe^{-x}\left(x^2+\frac{x}{3}+a^*\right)^{\frac{1}{4}} \]与最好的可能常数$a_*=\frac{e^4}{4π^2}-\frac{4}{3}=0.049653963176...$，和$a^*=1/18=0.055555...$，和$x\geq0$ \begin{equation*} \exp\left[xψ\left(\frac{x}{\log (x+1)}\right)\right]\leqΓ(x+1)\leq\exp\left[xψ\left(\frac{x}{2}+1\right)\right], \end{equation*}其中$ψ$是digamma函数。
Inequalities for the inverses of the polygamma functions
给出了\bigg [ \frac{n!}{x-(x^{-1/n}+α)^{-n}} \bigg ]^{ \frac{1}{n+1} }&<（（-1）^{n-1}^{（n）}）^{-1}（x）&< \bigg [ \frac{n!}{x-(x^{-1/n}+β)^{-n}} \bigg ]^{ \frac{1}{n+1} }中左侧不等式的初等证明，并改进了在\cite{6}中证明的右侧不等式，其中$α=[(n-1)!]^{-1/n}$和$β=[n!ζ(n+1)]^{-1/n}$，并证明了双伽玛函数PDMATHAMT的逆的下列不等式。\frac{1}{\log(1+e^{-x})} <e ^{-1}（x）< e^{x}+ \frac{1}{2}，\quad × \in \mathbb{R}。证明是基于微分中值定理的良好应用和多Γ函数的基本性质。
An Inequality for Ratios of Gamma Functions
证明了一个关于Γ函数比的不等式.这回答了郭和齐（2003）的一个问题。
A refinement of a double inequality for the gamma function
给出了一个包含Γ函数和对数函数的函数的单调性结果，改进了Γ函数的一个二重不等式，改进了关于Γ函数有界的一些已知结果.
On the Stieltjes constants and gamma functions with respect to alternating Hurwitz zeta functions
Dating back to Euler, in classical analysis and number theory , the Hurwitz zeta function $$ ζ(z,q)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+q)^{z}}, $$ the Riemann zeta function $ζ(z)$ , the generalized Stieltjes constants $γ_k(q)$ , the Euler constant $γ$ , Euler's gamma function $Γ(q)$ and the digamma function $ψ(q)$ have many close connections on their definitions and properties. There are also many integrals, series or infinite product representations of them along the history. In this note, we try to provide a parallel story for the alternating Hurwitz zeta function (also known as the Hurwitz-type…
An extension of an inequality for ratios of gamma functions
本文证明了对于$x+y>0$和$y+1>0$，不等式{equation*} \frac{[Γ(x+y+1)/Γ(y+1)]^{1/x}}{[Γ(x+y+2)/Γ(y+1)]^{1/(x+1)}} < \biggl（\frac{x+y}{x+y+1} \biggr）^{1/2} {equation*}在$x>1$成立，在$x<1$成立，并且证明了幂$\frac12$是最佳可能的，其中$Γ(x)$是Euler伽玛函数.这推广了[Y]中的结果。Yu，\textit{An inequality for ratios of gamma functions}，J. Math. Anal.申请\textbf{352}（2009），编号~ 2，967 \nobreakdash --970。]并解决了[B]中提出的一个开放问题。N. Guo和F.齐，\emph{Inequalities and monotonicity for the ratio of gamma functions}，台湾数学杂志，\textbf{7}（2003），第~号。2，239 \nobreakdash --247.]。
On some Analytic Inequalities for Gauss Hypergeometric Functions via Gruss Discrete Inequality
本文利用Grüss离散不等式研究一类高斯超几何函数的近似，为伽马和贝塔函数的扩展提供了新的解析不等式。
On Almost Orthogonal Series
本文证明了贝塞尔不等式和Riesz-Fisher定理在希尔伯特空间中关于序列的类似结果。本文将推广的贝塞尔不等式应用于与正态分布、Beta分布、Gamma分布以及某些离散概率分布相关的希尔伯特空间，系统地给出了如何生成某些类型的特殊函数不等式的方法.
Weierstrass functions and a generalization of the additive-multiplicative Weierstrass inequality
本文通过定义Weierstrass函数，推广了经典的Weierstrass不等式到三角函数、伽马函数和对数函数，并提出了一个新的乘法不等式。
A class of completely monotonic functions involving divided differences of the psi and polygamma functions and some applications
证明了一类由Kershaw二重不等式导出的包含psi函数和多Γ函数的均差的函数是完全单调的.作为这些结果的应用，推导出了源于Kershaw二重不等式最佳上、下界建立的涉及两个Γ函数之比的函数的单调性和凸性，恢复了两个涉及双阶乘之比的尖锐二重不等式，估计了概率积分或误差函数，推导了$\mathbb{R}^{n-1}$和$\mathbb{R}^n$中单位球体积比的双重不等式，推广了Γ函数关于psi函数的对称上、下界.
On Gautschi & Stirling Identities, Asymptotics and Inequalities for the Pi (or Gamma) Function
本文推导了π函数及伽马函数的Stirling型渐近公式的双侧界，并通过渐近最优的界改进了相关结果。
Certain Inequalities Involving the $q$-Deformed Gamma Function
本文的灵感来自J. Sándor在2006年的工作。本文建立了几个涉及比率$ \frac{Γ_{q}(x+1)}{ Γ_{q} \left( x+\frac{1}{2}\right)}$的二重不等式，其中$Γ_{q}(x)$是经典Γ函数的$q$ -变形，记作$Γ(x)$ .所采用的方法在提出的结果利用杰克逊的$q$ -变形Γ函数的$q$ -整表示。此外，Hölder不等式的$q$ -积分，以及一些基本的分析技术，涉及$q$ -类似的psi功能。作为结果，$q$ -类似的经典文德尔的渐近关系。最后，对本文所建立的不等式的尖锐性进行了研究。
A ratio of many gamma functions and its properties with applications
建立了一个涉及指数函数与和的不等式，引入了多个Γ函数的比，讨论了新引入的比的单调性、对数凸性、（数学上）完全单调性和Bernstein函数性质，构造了两个多项式系数和多元β函数的不等式.
On a conjectured inequality in convex analysis in the case of the unit ball of lp^n, 1<= p<= infinity
对于R^n中的单位p球，我们重新证明了G.Kuperberg关于中心对称凸体的一个最近的猜想，这个猜想最近由D.A.Gutierrez利用多Γ函数和凸性理论在这个特殊情况下得到了证实.我们仅利用Γ函数的基本性质和稍微先进的经典分析工具给出了另一个证明.
Sharp inequalities for polygamma functions
证明了二重不等式\frac{(k-1)!}{\Bigl\{x+\Bigl[\frac{(k-1)!}{|ψ^{(k)}(1)|}\Bigr]^{1/k}\Bigr\}^k} + \frac{k!}{x^{k+1}} < \bigl| n ^{（k）}（x）\bigr| < \frac{(k-1)!}{\bigl(x+\frac12\bigr)^k} + \frac{k!}{x^{k+1}}适用于$x>0$和$k\in\mathbb{N}$，并且常数$\Bigl[\frac{(k-1)!}{|ψ^{(k)}(1)|}\Bigr]^{1/k}$和$\frac12$是最佳可能。同时，还讨论了关于Gamma函数、psi函数和多Γ函数的一些相关不等式和（数学上）完全单调性结果.
A generalization of Bohr-Mollerup's theorem for higher order convex functions: a tutorial
本文以导引形式系统回顾了Bohr-Mollerup定理向高阶凸函数情形的推广理论，展示其解如何继承对数伽马函数的众多经典性质，并给出一个说明性应用。
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