Bounds for the ratio of two gamma functions--From Gautschi's and Kershaw's inequalities to completely monotonic functions
本文以界定两个Γ函数之比为主线，回顾和分析了几个不等式，几个涉及两个伽玛函数之比或$q$ -Γ函数的函数的完全单调性，一个涉及两个Γ函数之比的函数的数学完全单调性，给出了两个Γ函数之比和多Γ函数均差的新的界，以及相关的单调性结果.
2009-04-07 math.CA
Monotonicity, convexity, and inequalities for functions involving gamma function
本文研究了Γ函数与幂函数组合的单调性、数学完全单调性、对数凸性和几何凸性等性质。所得结果推广了某些已知的有关结果。
2022-05-25 math.CA
A two-parameter deformation of the gamma function, associated functions, and some related inequalities
University of Ghana（加纳大学）
本文提出一种新的双参数Gamma函数变形，推广了现有Gamma型函数，并研究了其参数相关性质及相应的beta和polygamma函数的不等式。
2025-10-09 math.CA
Bounds for the ratio of two gamma functions--From Wendel's and related inequalities to logarithmically completely monotonic functions
本文以界定两个Γ函数之比为主线，回顾和分析了几个不等式，几个涉及两个伽玛函数或$q$ -Γ函数之比的函数的完全单调性，以及涉及两个伽玛函数或$q$ -Γ函数之比的函数在数学上完全单调的充要条件。
2009-04-07 math.CA
Inequalities and monotonicity properties for gamma and q-gamma functions
我们证明了一些新的结果，并统一了旧的证明，涉及完全单调的表达式涉及伽玛和$q$ -Γ函数，$0 < q < 1$。这些结果中的每一个都暗示了相关概率测度的无限可分性。在少数情况下，我们能够得到简单单调性而不具有完全单调性。所有的结果导致这些功能的不平等。其中许多是由沃尔特·高茨基在1959年的一篇论文中提出的。我们表明，一些界限可以扩展到复杂的参数。
2013-01-09 math.CA
Inequalities involving the gamma and digamma functions
本文改进了[H. Alzer和N. Batir，Monotonicity properties of the Γ函数数，Appl. Math. Letters，20（2007），778-781]。\begin{equation*} exp\left(-\frac{1}{2}ψ\left(x+\frac{1}{3}\right)\right)<\frac{Γ(x)}{\sqrt{2π}x^xe^{-x}}<exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x)\right), \end{equation*}和$$ \frac{1}{2}ψ'(x+1/3))<\log x-ψ(x)<\frac{1}{2}ψ'(x).$$这里$Γ$是经典伽马函数，$ψ$是双Γ函数。
2018-12-13 math.CA
Double Inequalities for Complete Monotonicity Degrees of Remainders of Asymptotic Expansions of the Gamma and Digamma Functions
受“对数函数与psi函数之差的完全单调度”一文中几个定理的启发，本文证明了伽玛函数与双Γ函数的对数的渐近展开的逼近器的完全单调度的几个定理，并给出了这类逼近器的两个有界性.
2022-01-08 math.CA
From inequalities involving exponential functions and sums to logarithmically complete monotonicity of ratios of gamma functions
In the paper, the authors review origins, motivations, and generalizations of a series of inequalities involving several exponential functions and sums, establish three new inequalities involving finite exponential functions and sums by finding convexity of a function related to the generating function of the Bernoulli numbers, survey the history, backgrounds, generalizations, logarithmically complete monotonicity, and applications of a series of ratios of finite gamma functions , present complete monotonicity of a linear combination of finite trigamma functions , construct a new ratio of fini…
2020-01-02 math.CA
Pitt's inequalities and uncertainty principle for generalized Fourier transform
本文研究了由$a$变形的Dunkl谐振子$Δ_{k,a}=|x|^{2-a}Δ_{k}-|x|^{a}$，$a>0$定义的双参数酉算子族\[ \mathcal{F}_{k,a}=\exp\Bigl(\frac{iπ}{2a}\,(2\langle k\rangle+{d}+a-2 )\Bigr) \exp\Bigl(\frac{iπ}{2a}\,Δ_{k,a}\Bigr), \]，称为$(k,a)$ -广义傅里叶变换，其中$Δ_{k}$是Dunkl Laplacian.这种算子的特殊情况是傅立叶变换和Dunkl变换。$\mathcal{F}_{k,a}$对径向函数的限制由$a$变形的Hankel变换$H_{λ,a}$给出.我们得到了加权$(L^{p},L^{q})$ Pitt不等式对$a$变形的Hankel变换成立的充要条件.此外，我们还证明了一般单调函数的双边Boas-Sagher型估计。我们还证明了在$L^{2}(\mathbb{R}^{d})$中$\mathcal{F}_{k,a}$变换的尖锐的Pitt不等式与相应的权重。最后，建立了$\mathcal{F}_{k,a}$的对数不确定度原理。
2015-07-23 math.CA
Complete Monotonicity and Inequalities of Functions Involving $Γ$-function
本文研究了某些涉及Γ函数的函数的完全单调性。利用这些函数的单调性，我们得到了一些涉及Gamma函数和β函数的不等式.这种不等式出现在概率论中。
2017-05-28 math.CA
Inequalities for series in q-shifted factorials and q-gamma functions
研究了系数为q-Γ函数或q-移位函数的幂级数关于其自变量中含有参数的对数凸性和对数凸性。这种级数的主要例子是基本的超几何函数。我们考虑四种类型的系列。对于每一种类型，我们建立了由这些级数构成的广义Turánian的幂级数系数具有常数符号的充分条件。最后，我们提供了七个基本超几何函数的例子，满足我们的一般定理。本文推广了我们以前关于系数为普通Γ函数和移位函数的幂级数的结果。
2017-02-13 math.CA
Some inequalities for Gurland's ratio of the gamma functions
Institute of Mathematics, Kazimierz Wielki University（卡齐米日·维埃尔斯基大学数学研究所）
本文通过引入修正的Gurland比值形式，推导了其对数的有限展开式，并建立了余项的上界，从而获得新的双侧不等式及关于参数$t(x,y)$的开放问题。
2025-12-07 math.CA
Complete monotonicity of a ratio of gamma functions and some combinatorial inequalities for multinomial coefficients
对于$m,n\in \mathbb{N}$，令$0 < α_i,β_j,λ_{ij} \leq 1$满足$\sum_{j=1}^n λ_{ij} = α_i$、$\sum_{i=1}^m λ_{ij} = β_j$和$\sum_{i=1}^m α_i = \sum_{j=1}^n β_j \leq 1$。证明了$(0,\infty)$上的Γ函数之比\begin{equation*} \hspace{-15mm}t \mapsto \frac{\prod_{i=1}^m Γ(α_i t + 1) \prod_{j=1}^n Γ(β_j t + 1)}{\prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n Γ(λ_{ij} t + 1)} \end{equation*}在数学上是完全单调的.这一结果补充了Ouimet（2018），Qi et al（2018）以及Qi & Argawal（2019）最近关于与Γ函数的比率相关的函数的完全单调性的调查中所示的多项式概率的数学完全单调性。作为对数凸性的结果，我们得到了多项式系数的新的组合不等式。
2019-11-06 math.CA
On Gautschi & Stirling Identities, Asymptotics and Inequalities for the Pi (or Gamma) Function
Universität Basel（巴塞尔大学）
本文推导了π函数及伽马函数的Stirling型渐近公式的双侧界，并通过渐近最优的界改进了相关结果。
2026-01-29 math.CA
Complete monotonicity of a function involving a ratio of gamma functions and applications
本文给出了一个包含Γ函数之比的函数在代数上完全单调的充要条件。这推广和推广了[ \emph{Inequalities and monotonicity for the ratio of gamma functions}，Taiwan J. Math. \textbf{7}（2003），no.~ 2，239 \nobreakdash --247。]等人作为应用，导出了几个涉及$\mathbb{R}^n$中单位球体积的不等式，改进、推广和推广了一些已知的不等式.
2011-01-25 math.CA
Functional inequalities for modified Bessel functions
本文的目的是证明第一类和第二类修正Bessel函数的一些中值不等式。我们的证明是基于这些函数的对数导数的某些界，这些界实际上等价于这些函数的相应的Turán型不等式.作为第二类修正Bessel函数结果的应用，我们证明了伽玛-Γ分布的累积分布函数是对数凹的。在本文的最后，提出了几个开放的问题，这可能是感兴趣的进一步研究。
2011-03-02 math.CA
On functional inequalities for the psi function
本文研究了函数$x\mapsto ψ(1 +bx)^a/ψ(1 + ax)^b$的单调性。给出了关于Γ函数的对数导数的psi函数的几个不等式.
2015-09-07 math.CA
An algorithm for evaluating the Gamma function and ramifications
本文给出了一种计算任意（有理）点上的Γ函数的新算法，以及一种新的不含Euler常数和Mascheroni常数的无穷乘积表示，并由此得到了一些新的公式和不等式.
2007-12-03 math.CA
Hardy inequalities for fractional $(k,a)$-generalized harmonic oscillator
本文定义了$L^2\left(\left(0,\infty\right),dμ_{a,α}\right)$上的$a$ -变形Laguerre算子$L_{a,α}$和$a$ -变形Laguerre全纯半群.然后给出了S. Ben Saïd，T. Kobayashi和B.我是阿斯泰德然后利用这个展开式证明了$a$变形Dunkl谐振子$\triangle_{k,a}:=\left|x\right|^{2-a}\triangle_k-\left|x\right|^a$分数幂的Hardy不等式。当$a=2$时，分数阶Hardy不等式退化为Dunkl-Hermite算子的Hardy不等式.西奥里湖Roncal和S. Thangavelu。算子$L_{a,α}$也给出了通过酉表示分解定义的$λ_{k,a,m}:=\frac{2m+2\left\langle k\right\rangle+N-2}a\geq -1/2$的每个$k$ -球面分支$\mathcal H_k^m\left(\mathbb{R}^N\right)$上的$(k,a)$ -广义Laguerre半群的径向部分的有形特征。
2022-10-27 math.CA math.RT
Inequalities for the modified Bessel function of the second kind and the kernel of the Krätzel integral transformation
得到了第二类修正Bessel函数$K_ν$关于Γ函数的新的不等式.这些界限遵循的特殊情况下，我们得出的核心Krätzel积分变换的不等式。
2017-01-11 math.CA
On some Analytic Inequalities for Gauss Hypergeometric Functions via Gruss Discrete Inequality
本文利用Grüss离散不等式研究一类高斯超几何函数的近似，为伽马和贝塔函数的扩展提供了新的解析不等式。
2024-05-22 math.CA
Monotonicity properties related to the ratio of two gamma functions
本文研究了与Γ函数的比有关的单调性，并由此建立了一些相关的渐近性和不等式。一些特例也证实了C. P. Chen [Monotonicity properties，inequalities，and渐近展开associated with the Γ函数.应用数学计算283（2016），385- 396.]。
2021-04-05 math.CA math.NT
Inequalities for modified Bessel functions and their integrals
建立了涉及修正Bessel函数$I_ν(x)$和$K_ν(x)$的一些积分的简单不等式.我们还得到了一个单调性结果为$K_ν(x)$和一个新的下界，其中涉及Γ函数，为$K_0(x)$。
2014-06-24 math.CA
A Class of logarithmically completely monotonic functions relating the $q$-gamma function and applications
本文研究了$q$ -Γ函数的数学完全单调性，并应用这些结果建立了$q$-Γ函数的一些新的不等式.进一步，设序列$r_n$由$$n!=\sqrt{2πn}(n/e)^n e^{r_n}.$$定义，我们建立了Stirling公式余项$r_n.$的新估计
2015-12-28 math.CA
Bounds for the gamma function
本文改进了由H.阿尔泽和作者。\begin{equation*} \exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x+1/3)\right)<\frac{Γ(x)}{x^xe^{-x}\sqrt{2π}}<\exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x)\right). \end{equation*}我们还证明了以下新的不等式：对于$x\geq1$ \[ \sqrt{2π}x^xe^{-x}\left(x^2+\frac{x}{3}+a_*\right)^{\frac{1}{4}}<Γ(x+1)<\sqrt{2π}x^xe^{-x}\left(x^2+\frac{x}{3}+a^*\right)^{\frac{1}{4}} \]与最好的可能常数$a_*=\frac{e^4}{4π^2}-\frac{4}{3}=0.049653963176...$，和$a^*=1/18=0.055555...$，和$x\geq0$ \begin{equation*} \exp\left[xψ\left(\frac{x}{\log (x+1)}\right)\right]\leqΓ(x+1)\leq\exp\left[xψ\left(\frac{x}{2}+1\right)\right], \end{equation*}其中$ψ$是digamma函数。
2017-05-17 math.CA
A completely monotonic function involving the gamma and tri-gamma functions
本文给出了$a$上的函数$\frac{1}{2}\ln(2π)-x+\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)\ln x-\lnΓ(x)+\frac1{12}{ψ'(x+a)}$及其负数在$(0,\infty)$上完全单调的充要条件，其中$a\ge0$是实数，$Γ(x)$是经典Gamma函数，$ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$是二Γ函数.作为应用，得到了一些已知的结果和新的不等式.
2013-07-20 math.CA
On some generalized number theoretic functions and Ighachanea-Akkouchia Holder's inequalities
最近，Ighachanea和Akkouchia \cite{0.1}证明了利用二项式系数，可以得到Holder不等式的一些新的改进。这些不等式可以应用于广泛的一类特殊函数，如Nielsen的β函数和一些推广的Γ函数.在本文中，我们已经推出了一些以前已知的数论函数的推广。进一步，基于Ighachanea和Akkouchia的结果，建立了导出的广义函数的Holder不等式.
2022-08-05 math.CA
Order-Moment Transport and Hankel Determinants in Special-Function Inequalities
Universidade Federal Rural de Pernambuco（巴西联邦农村伯南布哥大学）
本文提出矩表示准则，将序参数转化为矩指数，通过完全非负Hankel核统一证明特殊函数不等式，并应用于Yang的连续半Gamma Mills比对数凸性问题和Tricomi射线与一维Coulomb正则化的全子式Hankel行列式层次。
2026-07-03 math.CA
Logarithmically completely monotontic functions related the $q-$gamma and the $q-$digamma functions with applications
本文提出了几类新的代数完全单调函数。我们的函数有一个共同点，即它们都是根据$q-$ gamma和$q-$双Γ函数定义的。作为这些结果的应用，建立了$q-$伽玛函数和$q-$双Γ函数的不等式.所得结果推广了Alzer和Berg及C. P. Chen和F.气
2015-12-17 math.CA
Some properties of extended remainder of Binet's first formula for logarithm of gamma function
本文推广了Binet关于Γ函数对数的第一公式，并研究了Binet关于Γ函数对数的第一公式的推广余项的一些性质，包括不等式、星形性、次可加性和完全单调性.
2010-07-10 math.CA
Necessary and sufficient conditions for a function involving divided differences of the di- and tri-gamma functions to be completely monotonic
本文给出了包含双伽玛函数和三Γ函数的均差的函数完全单调的充要条件。在此基础上，给出了包含两个Gamma函数之比的函数是代数完全单调的充要条件，并给出了多Γ函数的均差界的一些二重不等式.
2009-03-18 math.CA
Inequalities for integrals of modified Bessel functions and expressions involving them
对涉及第一类和第二类修正Bessel函数的积分建立了简单的不等式。在大多数情况下，我们表明，我们获得了最好的可能常数或我们的边界是紧在某些限制。我们应用这些不等式，以获得统一的界限，几个表达式涉及修改贝塞尔函数的积分。这样的表达式发生在Stein的方差-伽马近似的方法，本文中得到的结果允许该方法的技术进步。我们还提出了一些开放的问题，从这项研究中出现的。
2018-02-01 math.CA
More supplements to a class of logarithmically completely monotonic functions associated with the gamma function
本文给出了Γ函数在$(0,\infty)$上单调的充要条件和必要条件.作为该充要条件的应用，导出了psi和多Γ函数的界以及两个Γ函数之比的不等式.
2009-04-26 math.CA
Sharp inequalities for polygamma functions
证明了二重不等式\frac{(k-1)!}{\Bigl\{x+\Bigl[\frac{(k-1)!}{|ψ^{(k)}(1)|}\Bigr]^{1/k}\Bigr\}^k} + \frac{k!}{x^{k+1}} < \bigl| n ^{（k）}（x）\bigr| < \frac{(k-1)!}{\bigl(x+\frac12\bigr)^k} + \frac{k!}{x^{k+1}}适用于$x>0$和$k\in\mathbb{N}$，并且常数$\Bigl[\frac{(k-1)!}{|ψ^{(k)}(1)|}\Bigr]^{1/k}$和$\frac12$是最佳可能。同时，还讨论了关于Gamma函数、psi函数和多Γ函数的一些相关不等式和（数学上）完全单调性结果.
2009-03-11 math.CA
Complete monotonicity of a family of functions involving the tri- and tetra-gamma functions
psi函数$ψ(x)$由$ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$定义，并且用于$i\in\mathbb{N}$的$ψ^{(i)}(x)$表示多伽马函数，其中$Γ(x)$是伽马函数。本文证明了函数$$ [ψ'(x)]^2+ψ"(x)-\frac{x^2+λx+12}{12x^4(x+1)^2} $$在$(0,\infty)$上是完全单调的当且仅当$λ\le0$，且其负的当且仅当$λ\ge4$ .由此，一些不等式被细化和尖锐化。
2013-01-02 math.CA
Bounds for the ratio of two gamma functions--From Wendel's limit to Elezović-Giordano-Pečarić's theorem
本文以界定两个Γ函数之比为主线，回顾和分析了Wendel，Gurland，Kazarinoff，Gautschi，Watson，Chu，Lazarević-Lupać，Kershaw和Elezović-Giordano-Pečarić不等式，断言，单调性和凸性等已有的结果.另一方面，介绍了近年来关于两个Γ函数之比的界的一些相关进展。
2009-02-15 math.CA
A harmonic mean inequality for the $q-$gamma and $q-$digamma functions
我们证明了对于任意的$x > 0$和$q\in J$，$Γ_q(x)$和$Γ_q(1/x)$的调和平均大于或等于$1$，其中$J$是$[0,+\infty)$的子集.此外，我们证明了，对于有$p_0\in(1,9/2)$，使得对于$q\in(0,p_0)$，$ψ_q(1)$是$ψ_q(x)$和$ψ_q(1/x)$的调和平均的最小值，对于$x > 0$和$q\in(p_0,+\infty)$，$ψ_q(1)$是最大值。我们的结果推广了Alzer和Gautschi的一些已知不等式。
2020-05-16 math.CA
Approximations of generalized Bernstein functions
本文研究广义 Bernstein 函数的高阶 Thorin-Bernstein 逼近，建立涉及不完全 Beta 与 Gamma 函数的尖锐不等式，并给出相关函数的新性质。
2024-09-04 math.CA
Log-concavity for series in reciprocal gamma functions and applications
欧拉Γ函数在正半轴上是几何凸的。对数凸性的可加性意味着非负系数伽玛的函数和也是对数凸的。在本文中，我们研究了倒数Γ函数中的级数，其中每一项都是明显的对数凹的。对数-对数不被加法保持，因此系数的非负性现在不足以得出关于和的任何结论。我们证明了如果系数乘阶乘的序列是对数凹的，则和是对数凹的;如果系数是对数凹的，则和是离散的Wright对数凹的。我们猜想，后者的条件实际上是充分的对数的总和。通过对修正的Bessel、Kummer和广义超几何函数及其参数导数的已知不等式和新不等式的推导，证明了我们的一般定理。
2012-06-21 math.CA
An extension of an inequality for ratios of gamma functions
本文证明了对于$x+y>0$和$y+1>0$，不等式{equation*} \frac{[Γ(x+y+1)/Γ(y+1)]^{1/x}}{[Γ(x+y+2)/Γ(y+1)]^{1/(x+1)}} < \biggl（\frac{x+y}{x+y+1} \biggr）^{1/2} {equation*}在$x>1$成立，在$x<1$成立，并且证明了幂$\frac12$是最佳可能的，其中$Γ(x)$是Euler伽玛函数.这推广了[Y]中的结果。Yu，\textit{An inequality for ratios of gamma functions}，J. Math. Anal.申请\textbf{352}（2009），编号~ 2，967 \nobreakdash --970。]并解决了[B]中提出的一个开放问题。N. Guo和F.齐，\emph{Inequalities and monotonicity for the ratio of gamma functions}，台湾数学杂志，\textbf{7}（2003），第~号。2，239 \nobreakdash --247.]。
2011-01-25 math.CA
On some properties of special functions involving $k$-gamma and $k$-digamma functions
本研究基于$k$-伽马与$k$-双伽马函数，推导Furdui型积分的级数展开及两类特殊函数的新恒等式、展开式与不等式，并提出一个开放问题。
2025-02-21 math.CA math.NT
A ratio of many gamma functions and its properties with applications
建立了一个涉及指数函数与和的不等式，引入了多个Γ函数的比，讨论了新引入的比的单调性、对数凸性、（数学上）完全单调性和Bernstein函数性质，构造了两个多项式系数和多元β函数的不等式.
2019-11-14 math.CA math.CO
Logarithmic complete monotonicity of a matrix-parametrized analogue of the multinomial distribution
在本文中，作者介绍了矩阵参数化推广的多项式概率质量函数，涉及到几个多元Γ函数的比例。证明了这种推广的对数完全单调性，并导出了涉及多元Γ函数的比率的新的不等式。
2022-01-08 math.CA math.FA math.PR
Log-convexity and log-concavity for series in gamma ratios and applications
多项式序列${P_m}_{m\geq0}$是$q$ -代数凹的，如果$P_{m}^2-P_{m+1}P_{m-1}$是对任何$m\geq{1}$具有非负系数的多项式.我们引入一个类似的概念，正式的幂级数的系数是非负的连续函数的参数。四种类型的幂级数被认为是参数依赖表示的比率的Γ函数。我们证明了六个定理陈述各种形式的$q$ -对数级数和凸性这些系列。这些调查的主要动机的例子是超几何函数。在本文的最后一节中，作为一般定理的直接应用，我们给出了Kummer函数、Gauss函数之比和广义超几何函数的新的不等式。
2012-11-14 math.CA math.CO
Monotonicity properties and bounds for the chi-square and gamma distributions
广义Marcum函数$Q_μ(x,y)$和$P_μ(x,y)$具有非中心$χ^2$和伽马累积分布作为特殊情况，当非中心性参数$x$被设置为零时，它们变成中心分布（不完全Γ函数比）。我们分析的单调性和凸性的广义Marcum函数和连续参数的Marcum函数的比率（不同的一个单位），我们得到的Marcum函数的上界和下界。这些界限被证明是尖锐的比以前的估计范围广泛的参数。此外，我们展示了如何建立上界和下界的收敛序列。对不完全Γ函数的特殊化，以及针对这种特殊情况得到的一些额外的界，导致改进先前存在的不等式的组合界。
2014-06-23 math.CA math.PR math.ST
