Some new inequalities for the gamma function
Xiaodong Cao
本文给出了关于Γ函数的几个新的不等式.主要工具是在我们以前的作品中开发的多重校正方法，和一个广义的Morphine引理。
In this paper, we present some new inequalities for the gamma function. The main tools are the multiple-correction method developed in our previous works, and a generalized Mortici's lemma.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Generalizations of Some Inequalities for the $p$-Gamma, $q$-Gamma and $k$-Gamma Functions
本文给出并证明了$p$ -Gamma，$q$ -Gamma和$k$ -Γ函数的几个不等式的推广.我们的方法利用了psi、$p$ -psi、$q$ -psi和$k$ -psi函数的级数表示。
Asymptotic formulas and inequalities for gamma function in terms of tri-gamma function
本文利用三Γ函数$ψ'$建立了阶乘$n!$和Γ函数$Γ$的一些渐近公式和二重不等式。
Inequalities for the Psi and $k$-Gamma Functions
建立了Psi与$k$ -Γ函数的不等式.该过程利用与Psi和$k$ -Γ函数相关联的一些函数的某些单调性性质。
Some inequalities for the $q$-Extension of the Gamma Function
本文建立了经典Γ函数的$q$ -扩张的几个不等式.这些不等式提供了$q$ -扩展的Γ函数的某些比率的界限。该过程利用了与$q$ -扩展的Γ函数相关的某些函数的几何凸性和单调性。
Further Inequalities Associated with the Classical Gamma Function
本文给出了关于Γ函数的某些比值的二重不等式.这些结果进一步推广了以前的几个结果。该方法是基于一些函数的单调性涉及广义Γ函数。最后，我们提出了一些开放的问题。
Bounds for the ratio of two gamma functions--From Gautschi's and Kershaw's inequalities to completely monotonic functions
本文以界定两个Γ函数之比为主线，回顾和分析了几个不等式，几个涉及两个伽玛函数之比或$q$ -Γ函数的函数的完全单调性，一个涉及两个Γ函数之比的函数的数学完全单调性，给出了两个Γ函数之比和多Γ函数均差的新的界，以及相关的单调性结果.
Monotonicity, convexity, and inequalities for functions involving gamma function
本文研究了Γ函数与幂函数组合的单调性、数学完全单调性、对数凸性和几何凸性等性质。所得结果推广了某些已知的有关结果。
A two-parameter deformation of the gamma function, associated functions, and some related inequalities
本文提出一种新的双参数Gamma函数变形，推广了现有Gamma型函数，并研究了其参数相关性质及相应的beta和polygamma函数的不等式。
Bounds for the ratio of two gamma functions--From Wendel's and related inequalities to logarithmically completely monotonic functions
本文以界定两个Γ函数之比为主线，回顾和分析了几个不等式，几个涉及两个伽玛函数或$q$ -Γ函数之比的函数的完全单调性，以及涉及两个伽玛函数或$q$ -Γ函数之比的函数在数学上完全单调的充要条件。
Inequalities and monotonicity properties for gamma and q-gamma functions
我们证明了一些新的结果，并统一了旧的证明，涉及完全单调的表达式涉及伽玛和$q$ -Γ函数，$0 < q < 1$。这些结果中的每一个都暗示了相关概率测度的无限可分性。在少数情况下，我们能够得到简单单调性而不具有完全单调性。所有的结果导致这些功能的不平等。其中许多是由沃尔特·高茨基在1959年的一篇论文中提出的。我们表明，一些界限可以扩展到复杂的参数。
Inequalities involving the gamma and digamma functions
本文改进了[H. Alzer和N. Batir，Monotonicity properties of the Γ函数数，Appl. Math. Letters，20（2007），778-781]。\begin{equation*} exp\left(-\frac{1}{2}ψ\left(x+\frac{1}{3}\right)\right)<\frac{Γ(x)}{\sqrt{2π}x^xe^{-x}}<exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x)\right), \end{equation*}和$$ \frac{1}{2}ψ'(x+1/3))<\log x-ψ(x)<\frac{1}{2}ψ'(x).$$这里$Γ$是经典伽马函数，$ψ$是双Γ函数。
Double Inequalities for Complete Monotonicity Degrees of Remainders of Asymptotic Expansions of the Gamma and Digamma Functions
受“对数函数与psi函数之差的完全单调度”一文中几个定理的启发，本文证明了伽玛函数与双Γ函数的对数的渐近展开的逼近器的完全单调度的几个定理，并给出了这类逼近器的两个有界性.
From inequalities involving exponential functions and sums to logarithmically complete monotonicity of ratios of gamma functions
In the paper, the authors review origins, motivations, and generalizations of a series of inequalities involving several exponential functions and sums, establish three new inequalities involving finite exponential functions and sums by finding convexity of a function related to the generating function of the Bernoulli numbers, survey the history, backgrounds, generalizations, logarithmically complete monotonicity, and applications of a series of ratios of finite gamma functions , present complete monotonicity of a linear combination of finite trigamma functions , construct a new ratio of fini…
Complete Monotonicity and Inequalities of Functions Involving $Γ$-function
本文研究了某些涉及Γ函数的函数的完全单调性。利用这些函数的单调性，我们得到了一些涉及Gamma函数和β函数的不等式.这种不等式出现在概率论中。
Certain Inequalities Involving the $q$-Deformed Gamma Function
本文的灵感来自J. Sándor在2006年的工作。本文建立了几个涉及比率$ \frac{Γ_{q}(x+1)}{ Γ_{q} \left( x+\frac{1}{2}\right)}$的二重不等式，其中$Γ_{q}(x)$是经典Γ函数的$q$ -变形，记作$Γ(x)$ .所采用的方法在提出的结果利用杰克逊的$q$ -变形Γ函数的$q$ -整表示。此外，Hölder不等式的$q$ -积分，以及一些基本的分析技术，涉及$q$ -类似的psi功能。作为结果，$q$ -类似的经典文德尔的渐近关系。最后，对本文所建立的不等式的尖锐性进行了研究。
Inequalities for series in q-shifted factorials and q-gamma functions
研究了系数为q-Γ函数或q-移位函数的幂级数关于其自变量中含有参数的对数凸性和对数凸性。这种级数的主要例子是基本的超几何函数。我们考虑四种类型的系列。对于每一种类型，我们建立了由这些级数构成的广义Turánian的幂级数系数具有常数符号的充分条件。最后，我们提供了七个基本超几何函数的例子，满足我们的一般定理。本文推广了我们以前关于系数为普通Γ函数和移位函数的幂级数的结果。
Some inequalities for Gurland's ratio of the gamma functions
本文通过引入修正的Gurland比值形式，推导了其对数的有限展开式，并建立了余项的上界，从而获得新的双侧不等式及关于参数$t(x,y)$的开放问题。
Complete monotonicity of a ratio of gamma functions and some combinatorial inequalities for multinomial coefficients
对于$m,n\in \mathbb{N}$，令$0 < α_i,β_j,λ_{ij} \leq 1$满足$\sum_{j=1}^n λ_{ij} = α_i$、$\sum_{i=1}^m λ_{ij} = β_j$和$\sum_{i=1}^m α_i = \sum_{j=1}^n β_j \leq 1$。证明了$(0,\infty)$上的Γ函数之比\begin{equation*} \hspace{-15mm}t \mapsto \frac{\prod_{i=1}^m Γ(α_i t + 1) \prod_{j=1}^n Γ(β_j t + 1)}{\prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n Γ(λ_{ij} t + 1)} \end{equation*}在数学上是完全单调的.这一结果补充了Ouimet（2018），Qi et al（2018）以及Qi & Argawal（2019）最近关于与Γ函数的比率相关的函数的完全单调性的调查中所示的多项式概率的数学完全单调性。作为对数凸性的结果，我们得到了多项式系数的新的组合不等式。
On Gautschi & Stirling Identities, Asymptotics and Inequalities for the Pi (or Gamma) Function
本文推导了π函数及伽马函数的Stirling型渐近公式的双侧界，并通过渐近最优的界改进了相关结果。
Complete monotonicity of a function involving a ratio of gamma functions and applications
本文给出了一个包含Γ函数之比的函数在代数上完全单调的充要条件。这推广和推广了[ \emph{Inequalities and monotonicity for the ratio of gamma functions}，Taiwan J. Math. \textbf{7}（2003），no.~ 2，239 \nobreakdash --247。]等人作为应用，导出了几个涉及$\mathbb{R}^n$中单位球体积的不等式，改进、推广和推广了一些已知的不等式.
Functional inequalities for modified Bessel functions
本文的目的是证明第一类和第二类修正Bessel函数的一些中值不等式。我们的证明是基于这些函数的对数导数的某些界，这些界实际上等价于这些函数的相应的Turán型不等式.作为第二类修正Bessel函数结果的应用，我们证明了伽玛-Γ分布的累积分布函数是对数凹的。在本文的最后，提出了几个开放的问题，这可能是感兴趣的进一步研究。
On functional inequalities for the psi function
本文研究了函数$x\mapsto ψ(1 +bx)^a/ψ(1 + ax)^b$的单调性。给出了关于Γ函数的对数导数的psi函数的几个不等式.
An algorithm for evaluating the Gamma function and ramifications
本文给出了一种计算任意（有理）点上的Γ函数的新算法，以及一种新的不含Euler常数和Mascheroni常数的无穷乘积表示，并由此得到了一些新的公式和不等式.
Inequalities for the modified Bessel function of the second kind and the kernel of the Krätzel integral transformation
得到了第二类修正Bessel函数$K_ν$关于Γ函数的新的不等式.这些界限遵循的特殊情况下，我们得出的核心Krätzel积分变换的不等式。
On some Analytic Inequalities for Gauss Hypergeometric Functions via Gruss Discrete Inequality
本文利用Grüss离散不等式研究一类高斯超几何函数的近似，为伽马和贝塔函数的扩展提供了新的解析不等式。
Monotonicity properties related to the ratio of two gamma functions
本文研究了与Γ函数的比有关的单调性，并由此建立了一些相关的渐近性和不等式。一些特例也证实了C. P. Chen [Monotonicity properties，inequalities，and渐近展开associated with the Γ函数.应用数学计算283（2016），385- 396.]。
Inequalities for modified Bessel functions and their integrals
建立了涉及修正Bessel函数$I_ν(x)$和$K_ν(x)$的一些积分的简单不等式.我们还得到了一个单调性结果为$K_ν(x)$和一个新的下界，其中涉及Γ函数，为$K_0(x)$。
A Class of logarithmically completely monotonic functions relating the $q$-gamma function and applications
本文研究了$q$ -Γ函数的数学完全单调性，并应用这些结果建立了$q$-Γ函数的一些新的不等式.进一步，设序列$r_n$由$$n!=\sqrt{2πn}(n/e)^n e^{r_n}.$$定义，我们建立了Stirling公式余项$r_n.$的新估计
Bounds for the gamma function
本文改进了由H.阿尔泽和作者。\begin{equation*} \exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x+1/3)\right)<\frac{Γ(x)}{x^xe^{-x}\sqrt{2π}}<\exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x)\right). \end{equation*}我们还证明了以下新的不等式：对于$x\geq1$ \[ \sqrt{2π}x^xe^{-x}\left(x^2+\frac{x}{3}+a_*\right)^{\frac{1}{4}}<Γ(x+1)<\sqrt{2π}x^xe^{-x}\left(x^2+\frac{x}{3}+a^*\right)^{\frac{1}{4}} \]与最好的可能常数$a_*=\frac{e^4}{4π^2}-\frac{4}{3}=0.049653963176...$，和$a^*=1/18=0.055555...$，和$x\geq0$ \begin{equation*} \exp\left[xψ\left(\frac{x}{\log (x+1)}\right)\right]\leqΓ(x+1)\leq\exp\left[xψ\left(\frac{x}{2}+1\right)\right], \end{equation*}其中$ψ$是digamma函数。
A completely monotonic function involving the gamma and tri-gamma functions
本文给出了$a$上的函数$\frac{1}{2}\ln(2π)-x+\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)\ln x-\lnΓ(x)+\frac1{12}{ψ'(x+a)}$及其负数在$(0,\infty)$上完全单调的充要条件，其中$a\ge0$是实数，$Γ(x)$是经典Gamma函数，$ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$是二Γ函数.作为应用，得到了一些已知的结果和新的不等式.
On some generalized number theoretic functions and Ighachanea-Akkouchia Holder's inequalities
最近，Ighachanea和Akkouchia \cite{0.1}证明了利用二项式系数，可以得到Holder不等式的一些新的改进。这些不等式可以应用于广泛的一类特殊函数，如Nielsen的β函数和一些推广的Γ函数.在本文中，我们已经推出了一些以前已知的数论函数的推广。进一步，基于Ighachanea和Akkouchia的结果，建立了导出的广义函数的Holder不等式.
Order-Moment Transport and Hankel Determinants in Special-Function Inequalities
本文提出矩表示准则，将序参数转化为矩指数，通过完全非负Hankel核统一证明特殊函数不等式，并应用于Yang的连续半Gamma Mills比对数凸性问题和Tricomi射线与一维Coulomb正则化的全子式Hankel行列式层次。
Logarithmically completely monotontic functions related the $q-$gamma and the $q-$digamma functions with applications
本文提出了几类新的代数完全单调函数。我们的函数有一个共同点，即它们都是根据$q-$ gamma和$q-$双Γ函数定义的。作为这些结果的应用，建立了$q-$伽玛函数和$q-$双Γ函数的不等式.所得结果推广了Alzer和Berg及C. P. Chen和F.气
Some properties of extended remainder of Binet's first formula for logarithm of gamma function
本文推广了Binet关于Γ函数对数的第一公式，并研究了Binet关于Γ函数对数的第一公式的推广余项的一些性质，包括不等式、星形性、次可加性和完全单调性.
Necessary and sufficient conditions for a function involving divided differences of the di- and tri-gamma functions to be completely monotonic
本文给出了包含双伽玛函数和三Γ函数的均差的函数完全单调的充要条件。在此基础上，给出了包含两个Gamma函数之比的函数是代数完全单调的充要条件，并给出了多Γ函数的均差界的一些二重不等式.
Inequalities for integrals of modified Bessel functions and expressions involving them
对涉及第一类和第二类修正Bessel函数的积分建立了简单的不等式。在大多数情况下，我们表明，我们获得了最好的可能常数或我们的边界是紧在某些限制。我们应用这些不等式，以获得统一的界限，几个表达式涉及修改贝塞尔函数的积分。这样的表达式发生在Stein的方差-伽马近似的方法，本文中得到的结果允许该方法的技术进步。我们还提出了一些开放的问题，从这项研究中出现的。
More supplements to a class of logarithmically completely monotonic functions associated with the gamma function
本文给出了Γ函数在$(0,\infty)$上单调的充要条件和必要条件.作为该充要条件的应用，导出了psi和多Γ函数的界以及两个Γ函数之比的不等式.
Sharp inequalities for polygamma functions
证明了二重不等式\frac{(k-1)!}{\Bigl\{x+\Bigl[\frac{(k-1)!}{|ψ^{(k)}(1)|}\Bigr]^{1/k}\Bigr\}^k} + \frac{k!}{x^{k+1}} < \bigl| n ^{（k）}（x）\bigr| < \frac{(k-1)!}{\bigl(x+\frac12\bigr)^k} + \frac{k!}{x^{k+1}}适用于$x>0$和$k\in\mathbb{N}$，并且常数$\Bigl[\frac{(k-1)!}{|ψ^{(k)}(1)|}\Bigr]^{1/k}$和$\frac12$是最佳可能。同时，还讨论了关于Gamma函数、psi函数和多Γ函数的一些相关不等式和（数学上）完全单调性结果.
Mathematical inequalities on some weighted means
研究了各种加权平均之间的一些数学不等式。给出了加权对数平均的不等式。此外，利用凸函数方法研究了Jensen不等式的缺口.从而给出了一些关于平均的非平凡不等式。还证明了一些算子不等式。
On Some Double-Series Inequalities
研究了由加权Hardy不等式所激发的某些二重级数不等式.
Some New Integral Inequalities for Several Kinds of Convex Functions
利用一些初等不等式和经典不等式如一般的柯西不等式和Minkowski不等式，得到了关于不同凸函数类的一些新的积分不等式.
A unified proof of inequalities and some new inequalities involving Neuman-Sándor mean
本文通过寻找平均值之间的差的线性关系，给出了用算术平均值、调和平均值和反调和平均来界定Neuman-Sándor平均值的一些双重不等式的统一证明，并发现了涉及两个正实数的Neuman-Sándor平均值、反调和平均值、均方根平均值和其它平均值的一些新的尖锐不等式.
About some exponential inequalities related to the sinc function
本文证明了一些涉及sinc函数的指数不等式。分析并证明了常指数不等式和多项式指数不等式。此外，我们建立这些不等式的区间。
On Some Gronwall Type Inequalities Involving Iterated Integrals
本文给出了几个新的涉及迭代积分的Gronwall型不等式。
Complete monotonicity of a family of functions involving the tri- and tetra-gamma functions
psi函数$ψ(x)$由$ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$定义，并且用于$i\in\mathbb{N}$的$ψ^{(i)}(x)$表示多伽马函数，其中$Γ(x)$是伽马函数。本文证明了函数$$ [ψ'(x)]^2+ψ"(x)-\frac{x^2+λx+12}{12x^4(x+1)^2} $$在$(0,\infty)$上是完全单调的当且仅当$λ\le0$，且其负的当且仅当$λ\ge4$ .由此，一些不等式被细化和尖锐化。
Some Qi-type integral inequalities involving several weight functions
证明了与冯琦不等式（2000）有关的几个积分不等式，得到了几个推论。
On some inequalities for m- and (alpha,m)-logarithmically convex functions
本文对m-和（alpha，m）-代数凸函数建立了几个新的积分不等式.
Some inequalities for complete elliptic integrals
本文利用Lupa积分不等式，得到了第一、第二类完全椭圆积分的几个新的不等式.这些结果改进了一些已知的不等式。
Some improvements of Jordan-Steckin and Becker-Stark inequalities
本文的目的是对文献[1]中讨论的Jordan-Steckin不等式和Becker-Stark不等式作一些改进。
Norms inequalities in some subspaces of Morrey space
本文给出了汞齐空间和Morrey空间的某些子空间中的一些经典算子的范数不等式。
A new method for proving some inequalities related to several special functions
本文提出了一种新的方法来证明一些涉及sinc函数的指数不等式。利用幂级数展开式生成新的多项式不等式，这些不等式足以证明所给的指数不等式。
Some Ostrowski type inequalities for double integrals On Time Scales
研究了时间尺度上二重积分的Ostrowski型和梯形型不等式。还给出了一些有趣的不等式。
Some new inequalities for trigonometric functions and corresponding ones for means
本文证明了某些已知双曲型不等式的三角函数形式，并给出了相应的均值不等式。
Some Steffensen's type inequalities
本文证明了与著名的Steffensen积分不等式有关的新的不等式。
Some inequalities for differentiable convex functions with applications
本文建立了可微函数的一个新恒等式。利用著名的Hölder不等式和幂平均不等式，得到了一些与凸函数有关的积分不等式，并将这些不等式应用于特殊的平均.
Extensions of the natural approach to refinements and generalizations of some trigonometric inequalities
本文提出了一种新的三角不等式的锐化和加细方法。我们应用这些想法的Wilker-Cusa-Huygens型的一些不等式。
On Some Properties and Inequalities for the Nielsen's $β$-Function
本文研究了1906年引入的Nielsen $β$ -函数的凸性、单调性、可加性以及一些不等式。
On some Hadamard-Type Inequalities for Co-ordinated Convex Functions
本文证明了坐标系上凸函数的Hadamard型不等式。
Some maximal inequalities on Triebel-Lizorkin spaces for $p=\infty$
本文给出了Triebel-Lizorkin空间中的几个极大不等式，它们是Festhiman-Stein向量值极大不等式和Peetre的极大不等式的“$\dot{F}_{\infty}^{s,q}$ -变体”.给出了新的极大不等式的一些应用，并讨论了某些结果的尖锐性。
Some generalizations of Feng Qi type integral inequalities on time scales
本文利用初等分析的方法给出了时间尺度上冯琦型积分不等式的几个新的推广。
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