A note on hook length formulas for trees
Markus Kuba
在这个简短的说明中，我们讨论最近的结果挂钩长度公式的树木统一一些早期的结果，并解释挂钩长度公式自然与家庭越来越多的标签树。
In this short note we discuss recent results on hook length formulas of trees unifying some earlier results, and explain hook length formulas naturally associated to families of increasingly labelled trees.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
New hook length formulas for binary trees
我们发现了两个新的二叉树的钩长公式。我们的公式的特殊性在于钩长$h_v$以指数形式出现。
On the Hook Length Formula for Binary Trees
我们提出了一个简单的组合证明Postnikov的钩长公式的二叉树。
Yet another generalization of Postnikov's hook length formula for binary trees
我们发现另一个单参数推广Postnikov的钩长公式的二叉树。我们的公式的特殊性在于钩长$h_v$以指数形式出现。作为一个应用，我们得到了另一个简单的二叉树的钩长公式时，底层参数的值为1/2。
Two kinds of hook length formulas for complete $m$-ary trees
本文定义了完备$m$ -元树的内顶点的两种钩长，并推导了它们相应的钩长公式，推广了杜和刘的主要结果。
Hook Weighted Increasing Trees, Cayley Trees and Abel-Hurwitz Identities
最近Féray，Goulden和Lascoux通过推广标号树的Prüfer码给出了无序增树的一个新的Hook求和公式的证明，并提出了寻找加权增树和Cayley树之间的双射的问题。我们给这样一个双射，提供了一个答案所提出的问题Féray，Goulden和Lascoux以及显示组合连接到理论的树量定义的凯尔曼斯。此外，还给出了钩求和公式的两个简单证明.作为一个应用程序，我们描述了如何钩求和公式给出了一个组合证明的推广阿贝尔和赫维茨定理，最初证明了斯特列尔。
Hook Length Formulas for Trees by Han's Expansion
最近，Han得到了生成函数按二叉树的钩长展开式所对应的权函数的一般公式。本文给出了k元树、平面树、平面森林、标号树和森林的公式。我们还发现适当的生成函数，导致统一的钩长公式，由于杜和刘，韩，Gessel和徐，和Postnikov。
(k,m)-Catalan Numbers and Hook Length Polynomials for Plane Trees
由A.在Postnikov有关二叉树的基础上，我们定义了m元树和平面森林的钩长多项式，并证明了这些多项式有一个简单的二项式表达式。这个表达式的整数值是C_{k,m}（n）= \frac{1}{mn+1}{(mn+1)k \choose n}，我们称之为（k，m）-Catalan数。为了证明钩长公式，我们还引入了一个组合族，（k，m）-ary树，这是计数的（k，m）-Catalan数。
On Han's Hook Length Formulas for Trees
最近，Han得到了二叉树的两个钩长公式，并要求进行组合证明。其中一个公式已推广到k元树杨。萨根找到了杨延拓的概率证明。给出了杨的k元树公式和韩的二叉树公式的组合证明。我们的双射是基于k元树的结构与楼梯标号。
A note on hook length equidistribution on arithmetic progressions
本注记针对分拆中t-钩在同余类上的分布问题，补充证明了t=1即所有钩长的情形满足渐近等分布，完善了相关研究结论。
Probabilistic proofs of hook length formulas involving trees
最近，韩发现了两个公式，涉及二叉树，有有趣的性质，钩长出现指数。本文的目的是给出一个Han公式的概率证明。杨把韩的结果推广到有序树上。我们展示了如何概率的方法也可以用于杨的设置，以及推广韩的公式在某些无限树。
Generalizations of Han's Hook Length Identities
韩最近发现了二叉树的新的钩长恒等式。本文将韩氏恒等式推广到二项式树族。此外，我们提出了一个双射证明的家庭的有序树的身份。
Combinatorial families of multilabelled increasing trees and hook-length formulas
在这项工作中，我们介绍和研究的概念越来越多的标签树，其中的子节点的标签总是大于其父节点的标签，多标签树的家庭，在树中的节点可以得到多个标签的各种概括。对于所有的树类，我们通过微分方程的树枚举序列显示合适的生成函数的特征。此外，对于多标号增树族的几个组合类，我们提出了明确的枚举结果。我们还提出了多标记的增加树家族的椭圆性质，其中的指数母函数可以表示在Weierstrass-p函数或双纽线正弦函数。此外，我们将展示如何翻译枚举公式的multilabelled增加树到钩长公式的树，并提出了一个通用的“逆向工程”方法来发现钩长公式与这样的树家庭。
Discovering hook length formulas by expansion technique
我们介绍了钩子长度扩展技术，并解释了如何发现划分和平面树的新旧钩子长度公式。用我们的方法得到的树的新钩长公式证明起来相当容易，而划分的钩长公式则困难得多，其中有些公式至今仍是公开的。我们还开发了一个Maple软件包HookExp用于计算钩长展开。本文可以看作是一个收集的钩长公式的partitons和平面树。所有的例子都说明了HookExp和，对于许多简单的情况下，expained由著名的组合参数。
An edge-weighted hook formula for labelled trees
许多钩公式和钩求和公式以前已经出现，涉及各种类型的树。其中一类树是带有标号顶点的有根树，其中标号沿着从根顶点到叶子的每条链增加。在本文中，我们给出了一个新的钩和公式，这些（无序增加）树，通过引入一个新的一组的不确定性的顶点对，我们称之为边权重。这个新的结果推广了以前的结果由费雷和古尔登，这产生的背景下表示的对称群通过研究Kerov的特征多项式。我们的证明是通过一个组合双射，这是一个推广的Prüfer码标记树。
A multivariate hook formula for labelled trees
最近文献中出现了几个二叉树的钩和公式。本文给出了一个类似的公式，无序增加树的大小为r，其中涉及r参数。右边可以很好地写为线性因子的乘积。我们研究了这个新公式的两个特殊化，包括Cayley关于顶点度的树的枚举。给出了Hook公式的三个证明。这些证据之一产生有点间接，从表示论的对称群，特别是使用Kerov的字符多项式。其他的证据是更直接的，和独立的利益。
Hook lengths and shifted parts of partitions
最近作者提出的一些关于划分钩长的公式已经被Stanley证明和推广，他还需要Andrews，Goulden和Jackson关于对称函数的公式来完成他的推导。可以使用对称函数的另一个恒等式。这张纸条的目的就是为了证明这一点。
Hook length polynomials for plane forests of a certain type
研究钩长多项式的最初动机是为了找到Postnikov给出的二叉树钩长公式的组合证明，以及Lascoux给出的钩长多项式公式的证明。在本文中，我们定义了一个给定的度序列类型的平面森林的钩长多项式，并表明它可以分解成一个产品的线性型。文中还给出了森林的其它一些计数结果。
Tree hook length formulae, Feynman rules and B-series
我们考虑树的加权生成函数，其中权重是子树的大小的函数的乘积。这项工作首先观察到，三个不同的社区，在很大程度上独立，发现基本上相同的结果，关于这些系列。我们统一这些结果与一个共同的推广。接下来，我们以两种不同的方式，将一个社区的见解用于另一个社区的问题。也就是说，我们使用的微分方程的角度来看，找到一些新的有趣的钩长公式的树木，我们使用的组合社区开发的例子的身体给量子场论玩具的例子与良好的性能。
Naruse hook formula for linear extensions of mobile posets
偏序集的线性扩张是计数组合学和代数组合学中的重要对象，但一般情况下很难计数。偏序集的族如直线形的杨氏图和$d$ -完备偏序集有钩长积公式来计算线性扩张，而倾斜形的杨氏图族则有行列式或正和公式，如2014年的成濑钩长公式。2020年，Garver et.等人给出了行列式公式来计算称为移动偏序集的偏序集族的线性扩展，该移动偏序集细化$d$ -完全偏序集和边界带偏斜形状。通过证明一个主指标$q$ -analogy，给出了计算这类偏序集线性扩张的Naruse型钩长公式.我们还反演指数$q$ -类似的Naruse公式的移动树偏序集。
Counting linear extensions of posets with determinants of hook lengths
我们引入了一类偏序集，它包括带状偏序集（斜形状）和$d$ -完全偏序集，使得它们的线性扩张数由一个矩阵的行列式给出，该矩阵的元素是钩长的乘积。我们还给出了这个行列式公式的主指数和反演统计量的$q$ -类似物。作为应用，我们给家庭的树偏序集的线性扩展的数量是由广义欧拉数，我们提请关系到Naruse-Okada的正公式的数量的线性扩展的斜$d$ -完全偏序集，我们给多项式的结果类似于下降多项式的迪亚兹-洛佩斯，哈里斯，Insko，奥马尔，和萨根。
A generalization of RSK to $d$-complete posets
本文通过定义 Robinson-Schensted-Knuth 双射在 d-完全偏序集上的推广，给出了 d-完全偏序集钩长公式的一个初等纯组合新证明。
A refinement of Cayley's formula for trees
一棵顶点全序的有根树的真顶点是比它所有的真后代少小于的顶点。我们用真顶点的个数对几种有标号的有根树和森林进行了计数。我们的结果都表示为多项式P_n（a，b，c）= c（a+（n-1）b+c）（2a+（n-2）b+c）.（（n-1）a+b+c），其对于a=b=c=1简化为（n+1）^{n-1}。我们对真顶点的研究是由A. Postnikov提出的二叉树的钩长公式（arXiv：math.CO/0507163）也被W. Y. C. Chen和L. L. M. Yang（arXiv：math.CO/0507163）和R. R. X. Du和F. Liu（arXiv：math.CO/0501147）。我们的方法给出了一个新的证明杜和刘的结果，并给出了新的钩长公式。我们还找到了多项式P_n（a，b，c）在停车函数方面的解释：我们根据停放在其首选停车位的汽车数量来计算停车函数。
An Elementary Proof of the Hook Content Formula
本文用归纳法证明了Hook含量公式（HCF）和Hook长度公式（HLF）。而不是直接与杨tableaux工作，我们引入了一个矢量符号（这些矢量的序列表示（“单票”）投票序列的情况下，SYT和“多票”投票序列-其中选民可以选择任何数量的候选人-在SSYT的情况下），以帮助归纳论证。接下来，我们建立一个身份，使我们能够证明一个公式，计算多票投票序列。我们证明，在非简并的情况下（当这个公式计数SSYT），它与HCF一致。为了做到后者，我们借用了威尔逊和范林特在他们的HLF证明中概述的技术的一部分。然后，我们建立一个恒等式，它实际上是上述方程的一个特例，并证明HLF可以从它推导出来（威尔逊和范林特直接证明了这个恒等式，并用它以类似的方式证明了HLF）。然后，我们注意到外观的一个表达式类似的Weyl尺寸公式，并得出结论与组合的结果。
Hook-Length Biases in $t$-regular partitions
本文通过生成函数方法证明了t-正则划分中钩长度相关结果，并揭示了钩长度与不同部分划分之间的新联系。
Superization and (q,t)-specialization in combinatorial Hopf algebras
我们扩展了一个经典的对称函数，超化过程，到几个组合霍普夫代数，并获得类似的钩内容公式的（q，t）-专业化的各种基地。利用树状结构产生特别是（q，t）-类似物的Bjorner-Wachs q-钩长度公式的二叉树，和类似的公式的平面树。
A note on perfect quantum state transfers on trees
有人问是否有树以外的$P_2$和$P_3$，可以承认完美的状态转移。在本说明中，我们证明答案是否定的。
A note on spanning trees with a specified degree sequence
本文给出了图G具有给定度序列的生成树的一个Ore型充分条件。
A note on independence number, connectivity and $k$-ended tree
一棵以$k$结尾的树是一棵最多有$k$叶子的树。本文给出了下列定理的一个简单证明。设$G$是一个连通图，$k$是一个整数（$k\geq 2$）.设$S$是$G$的一个顶点子集，使得$α_{G}(S) \leq k + κ_{G}(S)- 1.$则$G$有一棵覆盖$S.$的$k$ -终止树.
A note about online nonrepetitive coloring $k$-trees
我们证明，它总是可以在线着色nonrepetitively任何（部分）$k$树（即树宽度最多$k$的图）与$4^k$颜色。这意味着它总是可以在线着色nonrepeatively循环，树和串并行图与$16$颜色。我们的结果推广了各自的（离线）非重复着色结果。
A note on total and list edge-colouring of graphs of tree-width 3
证明了Halin图是$Δ$ -边可选图，树宽为3的图是$(Δ+1)$ -边可选图和$(Δ+2)$ -全列可选图.
A note on extremal Sombor indices of trees with a given degree sequence
该研究将给定度序列的树的Sombor指数极值问题纳入已有成果框架，证明贪心树的Sombor指数最小，交替贪心树的该指数最大。
A note on Puder's generalised co-growth formula for trees
本文证明了Puder关于将共增长公式推广到双正则树上任意非负函数的猜想，通过建立预解恒等式作为算子版本，并简化了正则树情形的证明。
Note for Nikiforov's two conjectures on the energy of trees
图的能量$E$定义为图的特征值的绝对值之和。Nikiforov在{ \it ``V. Nikiforov，有界度的$C_4$ -free图的能量，Lin. Algebra Appl.428（2008），2569- 2573”}提出了关于最大度树能量的两个定理$Δ\leq 3$ .在这个简短的说明中，我们证明这两个假设都是正确的。
A note on closed-form representation of Fibonacci numbers using Fibonacci trees
本文给出了斐波那契数的一种新表示。这是使用Fibonacci树实现的。在这种表示的帮助下，可以计算第n个斐波那契数，而不需要对以前的斐波那契数有任何了解。
A note on the distance and distance signless Laplacian spectral radius of complements of trees
该研究通过分析广义树移位操作对树补图三类谱半径的增大作用，修正了既有相关定理证明中的歧义。
Note on islands in path-length sequences of binary trees
拓扑有序（字典）路径长度序列的二叉树的早期表征重新制定在一个完整性条件的缩放卡夫和某些连续性（全段，或岛屿）。缩放的Kraft和被看作是计算一组拓扑连续的叶子在一定水平上的祖先集合是一棵二叉树。
A note on plane trees with decreasing labels
本文研究了带有递减标签的平面树的渐近上界和下界，并展示了其在计算树邻接矩阵最大特征值中的应用。
A note on universal graphs for spanning trees
本文针对含所有n顶点树为子图的n顶点通用图的最小边数问题，改进了Chung和Graham给出的1/2 n log n边数下界，将其提升至n log n。
A note on spanning trees of connected $K_{1,t}$-free graphs whose stems have a few leaves
设$T$是一棵树，度为1的顶点称为叶。$T$的叶的集合由$Leaf(T)$表示。$T$的子树$T-Leaf(T)$称为$T$的主干，记为$Stem(T).$。本文给出了一个简洁的充分条件，证明了一个无$K_{1,t}-$图有一棵主干少叶的生成树。应用主要结果，改进了以往的相关结果.
A note on heterogeneous decompositions into spanning trees
在回答Eggleton的一个问题，我们证明了5顶点的完全多重图，边重数为6，即$K_{5}^{(6)}$，有分解成5个副本的家庭的树的顺序5和$K_{7}^{(22)}$有分解成7个副本的家庭的树的顺序7。我们证明了类似的$K_{2n+1}$为$n \le 13$。
A Note on Distinguishing Trees with the Chromatic Symmetric Function
对于树$T$，考虑它的最小子树$T^{\circ}$包含度至少为$3$的所有顶点。然后，$T$的剩余边位于不相交的路径上，每个路径的一个端点在$T^{\circ}$上。我们证明了$T$的色对称函数决定了$T^{\circ}$的大小，以及这些入射路径的长度的多集。特别是，这概括了马丁，莫林和瓦格纳的证明，色对称功能区分蜘蛛。
A note on counting labeled and unlabeled trees
我们提供了一个简短的组合证明凯莱公式的双射映射到一个结局空间的一个画瓮问题。此外，我们引入了一个代数结构的集合上的标记树，这提供了一个更标准的方法凯莱公式。此外，这种代数结构揭示了计数的问题，未标记的树。特别地，它指示了如何计数$n$顶点上的未标记树的数量与找到$n-2$的分区的数量相关联
A note on packing spanning trees in graphs and bases in matroids
我们考虑一类图的边连通度等于边不相交的生成树的最大数目，并自然推广到拟阵，其中cogirth等于不相交的基的数目。我们提供这样的图和拟阵的描述，表明这样的图（或拟阵）有一个独特的分解。在图的情况下，我们的结果是相关的某些通信协议。
Sequences of labeled trees related to Gelfand-Tsetlin patterns
通过重写著名的钩含量公式，很容易得出这样的结论：存在形状为$(k_n,k_{n-1},...,k_1)$的$\prod\limits_{1 \le i < j \le n} \frac{k_j - k_i + j -i}{j-i}$半标准表格，其条目在$\{1,2,...,n\}$中，或者等价地，存在底行为$(k_1,...,k_n)$的Gelfand-Tsetlin模式。在这篇文章中，我们引入了某些序列的标记树，其中的符号枚举也给出了这个公式。在这些树中，顶点以及边被标记，关键条件是每个边标签位于边的两个端点的顶点标签之间。这个概念使我们能够给出组合解释的移动反对称的公式和它的多项式。此外，我们建议开发一个模拟的单调三角形的组合推理方法，并解释这可能会导致交替符号矩阵定理的组合理解。
A Note on Weak Saturation Number of Trees
本文研究树的弱饱和数，以毛毛虫为例，给出了若干紧致估计，并证明对于任意α∈[1,2]，存在k个顶点的毛毛虫其弱饱和数为k^α量级。还提出好树的定义并给出充分条件。
Note on packing of edge-disjoint spanning trees in sparse random graphs
图$G$的\emph{spanning tree packing number}是包含在$G$中的边不相交生成树的最大数目。令$k\geq 1$为固定整数。Palmer和Spencer证明了在几乎每一个随机图过程中，具有$k$边不交生成树的命中时间等于具有最小度$k$的命中时间.本文证明了对任意$p$，使得$(\log n+ω(1))/n\leq p\leq (1.1\log n)/n$，几乎必然随机图$G(n,p)$满足生成树的堆积数等于最小度.注意，$p$的这个界将允许最小度是$n$的函数，在这个意义上，我们改进了Palmer和Spencer的结果。此外，我们还得到了对任意$p$，使得$p\geq (51\log n)/n$，几乎必然随机图$G(n,p)$满足生成树堆积数小于最小度.
A short note on spanning even trees
本文证明每个奇数度 r-正则非二分连通图都存在生成偶树，补上 Jackson–Yoshimoto 猜想在无 2-因子保证下的最后未决情形。
A note on naturally embedded ternary trees
在本说明中，我们考虑以确定性方式自然嵌入平面中的三元树，使得根具有位置零，或者换句话说标签零，并且具有位置$j$的节点的子节点具有位置$j-1$，$j$和$j+1$，对于所有$j\in\Z$。我们得出的生成函数的三叉树，其中所有节点的标签都小于或等于$j$，与$j\in\N$，和生成函数的三叉树计数相对于节点的标签$j$，与$j\in\Z$。此外，我们讨论了推广的计数问题的几个标签在同一时间。此外，我们使用生成函数来研究外部节点$s$的深度，或者换句话说，叶$s$与$0\le s\le 2n$，其中$2n+1$外部节点的三元树是从左到右编号根据一个inorderial。三种不同类型的深度-左，右和中心-是由于在平面中嵌入了三叉树。最后，我们讨论了所考虑的计数问题，嵌入$d$ -ary树的推广。
A note on irreducible representations of symmetric groups and Sergeev superalgebras
本文通过钩长公式明确构造对称群和塞格里夫超代数的不可约表示，并给出特征p>0下的维数公式。
A Note on Weighted Rooted Trees
假设$T$是一棵以$r$为根的树。如果$T$的两个顶点之一是另一个的后代，则它们相关;否则，它们不相关。如果对于任何$a\in A$和$b\in B$，$a$和$b$不相关，则$V(T)$的两个子集$A$和$B$不相关。令$ω$是定义在$V(T)$上的非负权函数，其中$\sum_{v\in V(T)}ω(v)=1$。本文证明了对于某些$u\in V(T)$，存在一个具有$\sum_{v\in V(P)}ω(v)\ge \frac13$的$(r, u)$ -路$P$，或者存在不相关的集合$A, B\subseteq V(T)$，使得$\sum_{a\in A }ω(a)\ge \frac13$和$\sum_{b\in B }ω(b)\ge \frac13$ .结合的$\frac13$很紧密。这回答了一个问题提出的一个非常最近的文件Bonamy，Bousquet和Chalassé。
A note on the 3-rainbow index of $K_{2,t}$
边着色图$G$中的树$T$称为{ \em a rainbow tree}，如果没有给$T$的两条边指定相同的颜色.对于顶点子集$S\in V(G)$，连接$G$中的$S$的树称为$S$ -树。$G$的{ \em $k$ -彩虹着色}是$G$的边着色，具有这样的性质：对于$G$的$k$顶点的每个集合$S$，在$G$中存在彩虹$S$ -树$T$. $k$-$G$的彩虹着色中所需的最小颜色数是{ \em $k$ -$G$的彩虹指数}，用$rx_k(G)$表示。本文给出了任意$t\geq 1$的$rx_3(K_{2,t})$的精确值.
A note on the scaling limits of random Pólya trees
Panagiotou和Stufler（arXiv：1502.07180v2）最近证明了一个重要的事实，他们的方式来建立随机波利亚树的缩放限制：大小为$n$的均匀随机波利亚树由条件临界高尔顿-沃森树$C_n$和许多小森林组成，其中概率趋于1，因为$n$趋于无穷大，任何森林$F_n(v)$，连接到$C_n$中的节点$v$，最大大小为$\vert F_n(v)\vert=O(\log n)$。他们的证明使用了玻尔兹曼采样器和偏差不等式的框架。在本文中，首先，我们采用了一个统一的框架，在分析组合证明这一事实与额外的改进$\vert F_n(v)\vert$的界，即$\vert F_n(v)\vert=Θ(\log n)$。其次，我们给出了一个组合的解释，这些森林的合理权重和定义的替代过程中的自同构相关的一个给定的波利亚树。最后，我们推导出的极限概率，对于一个随机节点$v$的附加森林$F_n(v)$是一个给定的大小。
A note on bounds for the cop number using tree decompositions
在这篇短文中，我们提供了一个新的上界的警察数的树分解。在某些情况下，我们的结果扩展了以前导出的约束上的警察数使用树宽。
A note on degree conditions for Ramsey goodness of trees
本文改进了树的Ramsey优良度条件，将路径推广为任意树并优化了度数下界。
A Short Note on the Exact Counting of Tree-Child Networks
树子网络是遗传学中用来模拟网状进化的一类重要网络。在最近的一篇论文中，Pons和Batle（2021）阐述了树子网络和某些单词之间的关系。在这个简短的说明中，我们证明了他们的猜想（重要）类的单成分树的孩子网络。
A simple bijection between binary trees and colored ternary trees
在这篇短文中，我们首先给出了二叉树和有色三元树之间的一个简单的双射，然后导出了一个与广义Catalan数有关的新恒等式。
A note on embedding hypertrees
图论中的一个经典结果是：每一个色数χ> t的图都包含一个度至少为t的子图，因此包含每一个t-边树的拷贝。Bohman、Frieze和Mubayi最近提出了r-一致超图的这个问题。一个r-树是一个r-一致超图，它没有一对边相交于一个以上的顶点，也没有不同的顶点和边的序列（v_1，e_1，.，v_k，e_k），其中所有e_i \ni {v_i，v_{i+1} }，其中我们将v_{k+1}取为v_1。Bohman、Frieze和Mubayi证明了χ> 2 rt足以嵌入每一个有t条边的r-树，并询问了对r的依赖是否是必要的。本文完全解决了他们的问题，证明了紧结果χ> t足以嵌入任意t边的r-树。
A note on the connected game coloring number
我们考虑图的\emph{connected game coloring number}，引入Charpentier等人。作为一个博弈论的图参数，测量退化的图相对于一定的两个玩家的游戏玩一个不合作的对手。本文研究了树深有界图和$k$ -树的连通对策色数。特别地，我们证明了存在连通对策色数为$5$的外平面$2$ -树，从而回答了[C. Charpentier，H. Hocquard，E. Sopena和X.竹图着色游戏的一个连接版本。\textit{Discrete Appl. Math.}，2020]。
A note on the independence number, domination number and related parameters of random binary search trees and random recursive trees
我们确定了随机二叉搜索树和随机递归树的独立数的平均增长，并显示其平均值周围的正常波动。同样，我们也给出了这两种随机树模型的控制数及其变化的正规极限律。我们的结果是应用最近的一般定理Holmgren和詹森边缘树在这两个随机树模型。
A note on total co-independent domination in trees
一个图$G$的顶点集$D$是一个全控制集，如果$G$的每个顶点都至少与$D$的一个顶点相邻. $G$的全控制数是$G$的任何全控制集的最小基数，记为$γ_t(G)$。如果$V(G)\setminus D$是一个独立集且至少有一个顶点，则称全控制集$D$为全余独立控制集.任何完全余独立控制集的最小基数记为$γ_{t,coi}(G)$。本文证明了对任意阶为$n$且直径至少为3的树$T$，有$n-β(T)\leq γ_{t,coi}(T)\leq n-|L(T)|$，其中$β(T)$是任意独立集的最大基数，$L(T)$是$T$的叶集.我们还描述了家庭的树木达到上述极值界限，并表明，$γ_{t,coi}(T)$和这些界限的值之间的差异可以是任意大的某些类别的树木。
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