A note on perfect quantum state transfers on trees
Bahman Ahmadi, Ahmad Mokhtar
有人问是否有树以外的$P_2$和$P_3$，可以承认完美的状态转移。在本说明中，我们证明答案是否定的。
It has been asked whether there are trees other than $P_2$ and $P_3$ which can admit perfect state transfers. In this note we show that the answer is negative.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Transmission of perfect trees and rooted powers of graphs
我们给出了（连通有限）图的完美树和根幂的传递（即顶点间所有距离之和）的精确公式。
A Note on Subgroup Perfect Codes in Cayley Graphs
本文给出有限群子群为完美码的充要条件，并据此确定超特殊2-群及西罗2-子群为超特殊的有限群的所有子群完美码。
Construction and characterization of graphs whose each spanning tree has a perfect matching
连通图$G$的边子集$S$称为反Kekulé集，如果$G-S$是连通的且没有完美匹配.我们可以看到，一个连通图$G$没有反凯库莱集当且仅当$G$的每个生成树都有完美匹配。本文利用Tutte的1-因子定理和极小2-连通图的结构，刻画了所有生成树有完美匹配的图.另外，证明了如果$G$是一个阶为$2n$的连通图，对于正整数$n\geq 4$和大小为$m$，且每个生成树有完美匹配，那么$m\leq \frac{(n+1)n} 2$，等式当且仅当$G\cong K_n\circ K_1$ .
A note on perfect matchings in uniform hypergraphs
当完美分数匹配的阈值显著小于$\frac{1}{2} \binom{n}{k- \ell}$时，我们确定了$k$ -一致超图中完美匹配的\emph{exact}最小$\ell$ -度阈值.这扩展了我们以前的结果，确定最小$\ell$度阈值完美匹配的$k$ -均匀超图的所有$\ell\ge k/2$，并提供了两个新的（确切的）阈值：$(k,\ell)=(5,2)$和$(7,3)$。
Trees maximizing the number of almost-perfect matchings
本文刻画了最大化近乎完美匹配与强近乎完美匹配数量、并最小化极大匹配数量的极值树，并将结果用于加权 Hosoya 指数的极值问题。
A note on colour-bias perfect matchings in hypergraphs
该研究将2着色图中保证显著色偏完美匹配存在的最小度阈值结果推广至k一致超图，确定了r着色k一致超图中对应最小ℓ度阈值。
The characterization of perfect Roman domination stable trees
图$G = (V, E)$上的\emph{perfect Roman dominating function}（PRDF）是满足以下条件的函数$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$：每个顶点$u$（其$f(u) = 0$）恰好与一个顶点$v$（其$f(v) = 2$）相邻。PRDF的权重是值$w(f) = \sum_{u \in V}f(u)$。图$G$上的PRDF的最小权称为$G$的\emph{perfect Roman domination number $γ_R^p(G)$}。一个图$G$是完美罗马控制控制稳定的，如果在任意顶点的移除下，图$G$的完美罗马控制数保持不变.在本文中，我们刻画了所有的树是完美罗马控制稳定的。
The spanning $k$-trees, perfect matchings and spectral radius of graphs
本文利用邻接谱半径与无符号拉普拉斯谱半径，分别建立固定阶连通图存在生成 $k$-树的充分条件，并给出平衡二部图存在完美匹配的类似条件。
A note on hook length formulas for trees
在这个简短的说明中，我们讨论最近的结果挂钩长度公式的树木统一一些早期的结果，并解释挂钩长度公式自然与家庭越来越多的标签树。
Klazar trees and perfect matchings
Martin Klazar在12种不同的权重概念下计算了有序树的总权重。最后，也许是最有趣的这些权重，w_{12}，导致一个递归关系和身份，他要求组合的解释。我们在这里提供这样的解释。为此，我们在递增有序树中引入了“Klazar violator”顶点的概念，并观察到w_{12}计算了我们所说的Klazar树--没有Klazar violator的递增有序树。本文的一个亮点是从n边增序树到[2n]={1，2，.，2n}，将Klazar违规者发送到与更大的奇数匹配的偶数。我们发现后者匹配的分布，特别是，建立一个求和显式公式sum_{k=1} ^{lfloor n/2 rfloor}（2k-1）！！^ 2 Stirling Partition {n+1}{2k+1}，表示[2n]的完美匹配的数量，没有偶数到大奇数的匹配。证明大多是双射的。
Random Walk Labelings of Perfect Trees and Other Graphs
本文延续近期研究，计算了完美树、梳图、双梳图、环面$C_2\ imes C_n$及由三条路图连接形成两个环的图的随机游走标号数量。
Perfect and quasiperfect domination in trees
一个图$G$的$k-$拟完美控制集（$k\ge 1$）是一个顶点子集$S$，使得不在$S$中的每个顶点都与$S$中的至少一个且至多k个顶点相邻.用$γ_{\stackrel{}{1k}}(G)$表示$G$中最小k-拟完全控制集的基数.这些集合最早由Chellali et al.（2013）作为完美支配概念的推广而引入。准完美支配链$γ_{\stackrel{}{11}}(G)\geγ_{\stackrel{}{12}}(G)\ge\dots\geγ_{\stackrel{}{1Δ}}(G)=γ(G)$表示当你向更完美的支配移动时，它在大小上损失了什么。我们提供了一个上界的$γ_{\stackrel{}{1k}}(T)$在任何树$T$和树实现这个界限的特点。证明了存在满足该链中所有可能的等式和不等式的树，并给出了在任意树上计算$γ_{\stackrel{}{1k}}(T)$的线性算法。
Counting paths in perfect trees
给出了理想$m$叉树中给定长度的路数的精确表达式。我们首先计算完全有根$m$ -叉树中的路径数，然后利用所得结果来确定完全无根$m$ -叉树中的路径数，推广了二叉树的一个已知结果.
A note on kernel-perfect orientations and DP-colorings from derangement assignments
该研究将Bondy-Bopanna-Siegel引理推广至错位排列指派下的DP-着色，并借此推导出无零符号列表着色的定向定理，拓展了相关图论着色结论的适用范围。
Trees and Matchings
在这篇文章中，Temperley的双射之间的生成树的正方形网格的一方面，和完美匹配（也称为二聚体覆盖）的正方形网格的另一方面，被扩展到设置一般平面有向（和无向）图，其中的边缘进行非负的权重，诱导一组的生成树的权重。我们证明了任何可平面图G的加权有向生成树（通常称为树状图）可以与相关可平面图H的完美匹配一一保持权对应.这个结果的一个特例是六边形蜂窝格的完美匹配和三角格的有向生成树之间的双射。另一种特殊情况给出了“正方形-八边形”格的完美匹配和有向加权生成树在有向加权版本的Carnival格上的对应关系。结合Kenyon的结果，我们的主要定理允许我们计算任意（有向，加权）可平面图上随机生成树的所有圆柱事件的测度。相反，在完美匹配模型来自树模型的情况下，Wilson算法允许我们快速生成完美匹配的随机样本。
A note on spanning trees with a specified degree sequence
本文给出了图G具有给定度序列的生成树的一个Ore型充分条件。
Phylogenetic trees, augmented perfect matchings, and a Thron-type continued fraction (T-fraction) for the Ward polynomials
我们发现一个王座型连分数（T-分数）的普通生成函数的沃德多项式，以及一些推广采用一个大的（实际上是无限的）家庭的独立不定。我们的证明是基于超增广完美匹配和标记Schröder路径之间的双射，它推广了Flajolet的完美匹配和标记Dyck路径之间的双射。
A note on independence number, connectivity and $k$-ended tree
一棵以$k$结尾的树是一棵最多有$k$叶子的树。本文给出了下列定理的一个简单证明。设$G$是一个连通图，$k$是一个整数（$k\geq 2$）.设$S$是$G$的一个顶点子集，使得$α_{G}(S) \leq k + κ_{G}(S)- 1.$则$G$有一棵覆盖$S.$的$k$ -终止树.
A note about online nonrepetitive coloring $k$-trees
我们证明，它总是可以在线着色nonrepetitively任何（部分）$k$树（即树宽度最多$k$的图）与$4^k$颜色。这意味着它总是可以在线着色nonrepeatively循环，树和串并行图与$16$颜色。我们的结果推广了各自的（离线）非重复着色结果。
A note on total and list edge-colouring of graphs of tree-width 3
证明了Halin图是$Δ$ -边可选图，树宽为3的图是$(Δ+1)$ -边可选图和$(Δ+2)$ -全列可选图.
Distribution of independent sets in perfect $r$-ary trees
本文证明了完美r叉树中独立集的星形家族最大值由叶顶点取得，并扩展到由完美树组成的森林。
A note on extremal Sombor indices of trees with a given degree sequence
该研究将给定度序列的树的Sombor指数极值问题纳入已有成果框架，证明贪心树的Sombor指数最小，交替贪心树的该指数最大。
A note on Puder's generalised co-growth formula for trees
本文证明了Puder关于将共增长公式推广到双正则树上任意非负函数的猜想，通过建立预解恒等式作为算子版本，并简化了正则树情形的证明。
Note for Nikiforov's two conjectures on the energy of trees
图的能量$E$定义为图的特征值的绝对值之和。Nikiforov在{ \it ``V. Nikiforov，有界度的$C_4$ -free图的能量，Lin. Algebra Appl.428（2008），2569- 2573”}提出了关于最大度树能量的两个定理$Δ\leq 3$ .在这个简短的说明中，我们证明这两个假设都是正确的。
A note on closed-form representation of Fibonacci numbers using Fibonacci trees
本文给出了斐波那契数的一种新表示。这是使用Fibonacci树实现的。在这种表示的帮助下，可以计算第n个斐波那契数，而不需要对以前的斐波那契数有任何了解。
A note on the distance and distance signless Laplacian spectral radius of complements of trees
该研究通过分析广义树移位操作对树补图三类谱半径的增大作用，修正了既有相关定理证明中的歧义。
Pseudodeterminants and perfect square spanning tree counts
方阵的伪行列式$\textrm{pdet}(M)$是其特征多项式中的最后一个非零系数;对于非奇异矩阵，这只是行列式。如果$\partial$是对称或反对称矩阵，则$\textrm{pdet}(\partial\partial^t)=\textrm{pdet}(\partial)^2$。当$\partial$是自对偶CW复$X$的$k^{th}$边界映射时，这个线性代数的恒等式意味着$X$中细胞$k$树的扭加权生成函数是完满平方。在$X$是奇数维\emph{antipodally}自对偶CW-球的情况下，其$k$ -树和$(k-1)$ -树的$k$-th胞腔边界映射的伪行列式可直接解释为挠权母函数，补充了第二作者给出的偶数维球的类似结果.该论点依赖于拓扑事实，任何自对偶偶数维CW-球可以定向，使其中间边界映射是斜对称的。
Note on islands in path-length sequences of binary trees
拓扑有序（字典）路径长度序列的二叉树的早期表征重新制定在一个完整性条件的缩放卡夫和某些连续性（全段，或岛屿）。缩放的Kraft和被看作是计算一组拓扑连续的叶子在一定水平上的祖先集合是一棵二叉树。
A note on plane trees with decreasing labels
本文研究了带有递减标签的平面树的渐近上界和下界，并展示了其在计算树邻接矩阵最大特征值中的应用。
A note on universal graphs for spanning trees
本文针对含所有n顶点树为子图的n顶点通用图的最小边数问题，改进了Chung和Graham给出的1/2 n log n边数下界，将其提升至n log n。
A note on spanning trees of connected $K_{1,t}$-free graphs whose stems have a few leaves
设$T$是一棵树，度为1的顶点称为叶。$T$的叶的集合由$Leaf(T)$表示。$T$的子树$T-Leaf(T)$称为$T$的主干，记为$Stem(T).$。本文给出了一个简洁的充分条件，证明了一个无$K_{1,t}-$图有一棵主干少叶的生成树。应用主要结果，改进了以往的相关结果.
A note on heterogeneous decompositions into spanning trees
在回答Eggleton的一个问题，我们证明了5顶点的完全多重图，边重数为6，即$K_{5}^{(6)}$，有分解成5个副本的家庭的树的顺序5和$K_{7}^{(22)}$有分解成7个副本的家庭的树的顺序7。我们证明了类似的$K_{2n+1}$为$n \le 13$。
A note on exact minimum degree threshold for fractional perfect matchings
Rödl、Rucienski和Szemerédi确定了$k$ -一致超图中存在分数完美匹配的最小$(k-1)$ -度阈值，Kühn、Osthus和Townsend通过渐近确定范围$k-1>d\ge k/2$的$d$ -度阈值扩展了这一结果。本文证明了如下精确度阈值：设$k,d$是正整数，且$k\ge 4$和$k-1>d\geq k/2$都成立，$n$是任意整数，且$n\ge k^2$都成立.则任何具有最小$d$ -度$δ_d(H)>{n-d\choose k-d} -{n-d-(\lceil n/k\rceil-1)\choose k-d}$的$n$ -顶点$k$ -一致超图都包含分数完美匹配.这个最小$d$度的下限是最好的。我们还确定最佳的最小$d$度条件，保证存在的分数匹配的大小$s$，其中$0<s\le n/k$（当$k/2\le d\le k-1$），或与$s$足够大，$s\le n/k$（当$2k/5<d<k/2$）。
A Note on Distinguishing Trees with the Chromatic Symmetric Function
对于树$T$，考虑它的最小子树$T^{\circ}$包含度至少为$3$的所有顶点。然后，$T$的剩余边位于不相交的路径上，每个路径的一个端点在$T^{\circ}$上。我们证明了$T$的色对称函数决定了$T^{\circ}$的大小，以及这些入射路径的长度的多集。特别是，这概括了马丁，莫林和瓦格纳的证明，色对称功能区分蜘蛛。
A note on counting labeled and unlabeled trees
我们提供了一个简短的组合证明凯莱公式的双射映射到一个结局空间的一个画瓮问题。此外，我们引入了一个代数结构的集合上的标记树，这提供了一个更标准的方法凯莱公式。此外，这种代数结构揭示了计数的问题，未标记的树。特别地，它指示了如何计数$n$顶点上的未标记树的数量与找到$n-2$的分区的数量相关联
The performance guarantee of randomized perfect voting trees
在本说明中，我们研究随机投票树，以前介绍了费舍尔，Procaccia和Samorodnitsky。他们推测，一个非平凡的性能保证可能是使用随机的，平衡的树，其高度是精心选择的。我们探讨了一些连接到所谓的Volterra二次随机算子，并表明，均匀随机投票树不能提供一个性能保证，是线性的个人数量。
Perfect Reconstruction of Oncogenetic Trees
本文给出了唯一地重建一个癌基因树的充要条件。
A note on packing spanning trees in graphs and bases in matroids
我们考虑一类图的边连通度等于边不相交的生成树的最大数目，并自然推广到拟阵，其中cogirth等于不相交的基的数目。我们提供这样的图和拟阵的描述，表明这样的图（或拟阵）有一个独特的分解。在图的情况下，我们的结果是相关的某些通信协议。
Perfect matchings and spanning trees: squarishness, bijections and independence
本文提出一类仅含一条对称轴、完美匹配数为类平方数的平面图，通过图族完美匹配间的滑动双射推广Temperley经典双射，解决公开问题，并推导均匀生成树独立性相关新结果。
Symmetry classes of spanning trees of Aztec diamonds and perfect matchings of odd squares with a unit hole
如果两个图的邻接矩阵是相似矩阵，我们称这两个图相似。我们发现，正方形网格$n$的顺序$n$是类似的不相交的工会的两个副本的四分之一阿兹特克钻石$QAD_{n-1}$的顺序$n-1$与路径$P_n^{(2)}$上的$n$顶点的边权重等于~2。我们的证明是基于一个明确的变化的基础上的向量空间的邻接矩阵的行为。证明这种基变换有效的论据是组合的。特别是，这允许计算四分之一阿兹特克钻石的生成树的数量。我们提出并分析了三个家庭的图形，共享上述“线性平方”属性的正方形网格：奇阿兹特克钻石，混合阿兹特克钻石，和阿兹特克枕套-图形从两个副本的阿兹特克钻石通过确定相应的顶点上的凸包。我们应用上面的结果来枚举所有的对称类的生成树的偶阿兹特克钻石，和所有的对称类不涉及旋转的生成树的奇和混合阿兹特克钻石。我们还列举了所有的，但基本情况下的对称类的完美匹配的奇方形网格与中心顶点删除。此外，我们得到了一个产品的阿兹特克枕套的生成树的数量公式。
Packing $(2^{k+1}-1)$-order perfect binary trees into (\emph{k}+1)-connected graph
设$G=(V,E)$和$H$是两个图。Packing问题是在$G$中找出与$H$同构的最大数目的独立子图。令$U\subset{V}$。如果图$G-U$没有与$H$同构的子图，则$U$是$G$的覆盖。复盖问题是寻找最小集合$U$。在文献中没有充分讨论的顶点不相交树包装，但它在数据加密和通信网络中的应用，如多播路由协议的设计。本文给出了一种$(k+1)$ -连通图$G'$，它能独立地把与$(2^{k+1}-1)$ -阶完美二叉树$T_k$同构的子图装入其中.证明了在$G'$中，与$T_k$同构的顶点不交子图的最大数目等于覆盖与$T_k$同构的所有子图的顶点的最小数目.然后，我们提出$T_k$不具有\emph{Erdős-Pósa}性质。证明了任意图上的$T_k$装箱问题是NP难的，并给出了分布近似算法。
A note on some embedding problems for oriented graphs
我们猜想，每个定向图$G$在$n$的顶点上都含有$δ^+ (G) , δ^- (G) \geq 5n/12$，它包含一个Hamilton圈的平方。我们还给出了在定向图中传递三角形的最小半度的一个几何界。拉姆齐数和传递竞赛图的完美包装之间的联系也被认为是。
No perfect state transfer in trees with more than 3 vertices
本文证明了在邻接矩阵模型下，仅有 $P_2$ 和 $P_3$ 这两种树允许完美状态转移，从而解决了 Godsil 于2012年提出的问题并证明了 Coutinho 和 Liu 于2015年提出的猜想。
A note on randomly colored matchings in random bipartite graphs
本文给出了一个二部图，它至少包含一个完美匹配，其中每个边都是从一个集合$Q=\{c_1,c_2,\ldots,c_q}\$. Let $ Q_i= \set{e\in E(G):c(e)=c_i} $, where $ c（e）$ denotes the color of $ e $. The perfect matching color profile $ mcp（G）$ is defined to be the set of vectors $（m_1，m_2，\ldots，m_q）\in [n]^q $ such that there exists a perfect matching $ M $ such that $着色的|M \cap Q_i| =m_i$。本文给出了随机着色随机二部图的匹配颜色轮廓的界。
A Note on Weak Saturation Number of Trees
本文研究树的弱饱和数，以毛毛虫为例，给出了若干紧致估计，并证明对于任意α∈[1,2]，存在k个顶点的毛毛虫其弱饱和数为k^α量级。还提出好树的定义并给出充分条件。
Note on packing of edge-disjoint spanning trees in sparse random graphs
图$G$的\emph{spanning tree packing number}是包含在$G$中的边不相交生成树的最大数目。令$k\geq 1$为固定整数。Palmer和Spencer证明了在几乎每一个随机图过程中，具有$k$边不交生成树的命中时间等于具有最小度$k$的命中时间.本文证明了对任意$p$，使得$(\log n+ω(1))/n\leq p\leq (1.1\log n)/n$，几乎必然随机图$G(n,p)$满足生成树的堆积数等于最小度.注意，$p$的这个界将允许最小度是$n$的函数，在这个意义上，我们改进了Palmer和Spencer的结果。此外，我们还得到了对任意$p$，使得$p\geq (51\log n)/n$，几乎必然随机图$G(n,p)$满足生成树堆积数小于最小度.
A short note on spanning even trees
本文证明每个奇数度 r-正则非二分连通图都存在生成偶树，补上 Jackson–Yoshimoto 猜想在无 2-因子保证下的最后未决情形。
A Note on One-Hole Domino Tilings of Squares and Rectangles
本文研究奇数乘奇数矩形网格中单孔多米诺铺砖（即近完美匹配）的计数问题，证明了正方形网格任意特定空缺位置的近完美匹配数均为$2^k$的倍数，从而证实Kong猜想，并给出矩形情形的奇偶性判定。
A note on naturally embedded ternary trees
在本说明中，我们考虑以确定性方式自然嵌入平面中的三元树，使得根具有位置零，或者换句话说标签零，并且具有位置$j$的节点的子节点具有位置$j-1$，$j$和$j+1$，对于所有$j\in\Z$。我们得出的生成函数的三叉树，其中所有节点的标签都小于或等于$j$，与$j\in\N$，和生成函数的三叉树计数相对于节点的标签$j$，与$j\in\Z$。此外，我们讨论了推广的计数问题的几个标签在同一时间。此外，我们使用生成函数来研究外部节点$s$的深度，或者换句话说，叶$s$与$0\le s\le 2n$，其中$2n+1$外部节点的三元树是从左到右编号根据一个inorderial。三种不同类型的深度-左，右和中心-是由于在平面中嵌入了三叉树。最后，我们讨论了所考虑的计数问题，嵌入$d$ -ary树的推广。
A note on maximal plane subgraphs of the complete twisted graph containing perfect matchings
本文研究了完全扭图中包含完美匹配的最大平面子图的性质，证明了任意两个此类子图可通过单边交换逐步转换。
The Chromatic Symmetric Functions of Trivially Perfect Graphs and Cographs
RichardP. Stanley定义了单图的色对称函数，并证明了每棵树都是由它的色对称函数决定的.最近，Takahiro Hasebe和作者证明了阶拟对称函数，它是色对称函数的类似物，可以区分有根树。本文用类似的方法证明了色对称函数可区分平凡完美图。此外，我们还证明了无爪余图，即无$ \{K_{1,3},P_{4}\} $图属于一类已知的$ e $ -正图.
A Note on Matchings Constructed during Edmonds' Weighted Perfect Matching Algorithm
我们重新证明了在Edmonds的加权完美匹配算法中构造的所有匹配都是相同基数的匹配中的最优匹配（只要算法对所做的选择有一定的限制）。我们的结论是，为了解决一个加权匹配问题，它是不需要解决一个加权完美匹配问题的辅助图的两倍大小。这个结果以前是已知的，例如，在Lawler 1976年的书中作为练习提出，但在几本关于组合优化的现代书籍中没有。
A note on bounds for the cop number using tree decompositions
在这篇短文中，我们提供了一个新的上界的警察数的树分解。在某些情况下，我们的结果扩展了以前导出的约束上的警察数使用树宽。
No Laplacian Perfect State Transfer in Trees
我们考虑一个由海森堡哈密顿量控制的最近邻相互作用耦合的量子比特系统。我们进一步假设所有的耦合常数都等于$1$。我们感兴趣的是确定哪些图允许量子态的传输与保真度等于$1$。要回答这个问题，考虑图的拉普拉斯矩阵在适当维数的向量空间中的作用就足够了。我们的主要结果是，如果底层图是一棵树，有两个以上的顶点，那么完美的状态转移不会发生。我们还探讨了相关的问题，如发生在二部图和图与一个奇数的生成树。最后，我们考虑了基于$XY$ -Hamilton算子的模型，它的作用等价于图的邻接矩阵的作用。在这种情况下，我们推测，完美的状态转移不会发生在树与三个以上的顶点。
Paint cost spectrum of perfect $k$-ary trees
本文研究完美k叉树的对称性破缺问题，通过定义涂色代价谱和涂色代价比，完整确定了完美k叉树的这两个参数，并证明了一个关于行置换矩阵列和的有序阿贝尔群引理。
A Short Note on the Exact Counting of Tree-Child Networks
树子网络是遗传学中用来模拟网状进化的一类重要网络。在最近的一篇论文中，Pons和Batle（2021）阐述了树子网络和某些单词之间的关系。在这个简短的说明中，我们证明了他们的猜想（重要）类的单成分树的孩子网络。
Enumeration of rooted binary perfect phylogenies
本文研究了有根二叉完美系统发育树的计数问题，通过将大小为s的谱系样本分布到n个叶子的无标签树上，推广了有根二叉无标签树并刻画了其组合结构。
Quorum colorings of maximum cardinality in linear time for a subclass of perfect trees
本文针对一类完美树（同一深度顶点度数相同），设计了线性时间算法，同时求出其最大基数的法定着色（$\psi_q$-着色）及法定着色数，解决了Sahbi提出的开放问题。
A Note on Weighted Rooted Trees
假设$T$是一棵以$r$为根的树。如果$T$的两个顶点之一是另一个的后代，则它们相关;否则，它们不相关。如果对于任何$a\in A$和$b\in B$，$a$和$b$不相关，则$V(T)$的两个子集$A$和$B$不相关。令$ω$是定义在$V(T)$上的非负权函数，其中$\sum_{v\in V(T)}ω(v)=1$。本文证明了对于某些$u\in V(T)$，存在一个具有$\sum_{v\in V(P)}ω(v)\ge \frac13$的$(r, u)$ -路$P$，或者存在不相关的集合$A, B\subseteq V(T)$，使得$\sum_{a\in A }ω(a)\ge \frac13$和$\sum_{b\in B }ω(b)\ge \frac13$ .结合的$\frac13$很紧密。这回答了一个问题提出的一个非常最近的文件Bonamy，Bousquet和Chalassé。
On the Maximum Number of Edges in a Hypergraph with a Unique Perfect Matching
本文给出了$k$ -一致超图$k\ge 3$在唯一完美匹配下的最大边数.这解决了Snevily提出的一个猜想。
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