On H-closed paratopological groups
Alex Ravsky
一个Hausdorff仿拓扑群G是H-闭的，如果G在每个包含G的Hausdorff仿拓扑群中是闭的。给出了几类交换仿拓扑群的H-闭性的判别准则。特别是对于拓扑群。
A Hausdorff paratopological group G is H-closed if G is closed in each Hausdorff paratopological group containing G. We obtain criteria of H-closedness for some classes of abelian paratopological groups. In particular, for topological groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Pseudocompact paratopological groups that are topological
得到了伪紧仿拓扑群是拓扑群的充要条件。构造了非拓扑的（2-）伪紧和可数紧仿拓扑群.证明了每个2-伪紧仿拓扑群是伪紧的，每个Hausdorff σ-紧伪紧仿拓扑群是紧拓扑群.我们特别关注的是周期和拓扑周期的伪紧仿拓扑群。
The regularity of quotient paratopological groups
设$H$是正则阿贝尔仿拓扑群$G$的闭子群. $G$的群反射$G^\flat$是被赋予最强群拓扑的群$G$，比$G$的原始拓扑弱。我们证明了商$G/H$是Hausdorff（和正则），如果$H$是封闭的（和局部紧）在$G^\flat$。另一方面，我们构造了一个正则交换仿拓扑群$G$的例子，它包含一个闭离散子群$H$，使得商$G/H$是Hausdorff但不是正则的。
On subgroups of saturated or totally bounded paratopological groups
若每个非空集$U\subset G$的逆$U^{-1}$具有非空内部，则称一个仿拓扑群$G$是饱和的.证明了一个[第一可数]仿拓扑群$H$是一个饱和（完全有界）[阿贝尔]仿拓扑群的闭子群当且仅当$H$容许一个连续双射同态到一个（完全有界）[阿贝尔]拓扑群$G$上[使得对于单位$e$的每个邻域$U\subset H$，存在一个闭子集$F\subset G$，其中有$e\in h^{-1}(F)\subset U$ ].作为应用，我们构造了一个特征标超过其$π$ -权及其群自反特征标的仿拓扑群。给出了几个例子，证明了（对位）拓扑群是完全有界的对位拓扑群的子群，但不是正则的完全有界的对位拓扑群的子群。
On feebly compact paratopological groups
我们得到了许多结果，解决了弱紧仿拓扑群的一些问题。我们得到了这样的群是拓扑群的充要条件。其中之一是拟正则性。证明了每个$2$ -伪紧仿拓扑群是弱紧的，每个Hausdorff $σ$ -紧弱紧仿拓扑群是紧拓扑群.我们特别关注周期性和拓扑周期性的群体。我们构造了各种非拓扑群的类紧仿拓扑群的例子，其中有$T_0$序列紧群，$T_1$ $2$ -伪紧群，函数Hausdorff可数紧群（在公理化假设下，存在无限无挠阿贝尔可数紧拓扑群，不存在非平凡收敛序列），和一个函数Hausdorff第二可数群依次为紧群。我们研究的锥拓扑的paratopological群，提供了一个通用的工具来构造病态的例子，特别是例子的紧类paratopological群的不连续反演。我们发现一个简单的相互作用的代数性质之间的基本锥子半群$S$的$G$和$G$上的$S$生成的两个基本半群拓扑的紧的性质。证明了弱紧仿拓扑群族的乘积是弱紧的，若仿拓扑群$G$有弱紧正规子群$H$使得商群$G/H$是弱紧的，则它是弱紧的.
Cone topologies of paratopological groups
我们介绍了所谓的锥拓扑的paratopological群，这是一个广泛的方式来构建反例，特别是紧的例子，如paratopological群的不连续反演。我们发现了群G的基本锥子半群S的代数性质与S在群G上生成的两个基本半群拓扑的类紧性质之间的一个简单的相互作用。
Transversal, $T_{1}$-independent, and $T_{1}$-complementary paratopological group topologies
本文讨论了一类含有一个横截的、$T_{1}$ -独立的、$T_{1}$ -补的仿拓扑群拓扑的仿拓扑群.我们证明了Sorgenfrey线不允许$T_{1}$ -互补Hausdorff拓扑群，从而给出了\cite [问题10]{AT 2017}的否定答案.利用次极大仿拓扑群拓扑给出了一个非常有用的横截性判据，证明了如果非离散仿拓扑群$G$包含一个容许横截仿拓扑群的中心子群，则$G$也容许横截仿拓扑群.引入了$PT$ -序列的概念，并给出了由$PT$ -序列确定的阿贝尔仿拓扑群的一个刻划.作为应用，我们证明了具有由$T$ -序列确定的最强仿拓扑群的Abel仿拓扑群在$G$上不存在$T_{1}$ -补Hausdorff仿拓扑群.最后，我们研究了由$PT$ -滤子确定的可数仿拓扑群类，得到了可数仿拓扑群$G$由$PT$ -序列确定的一个充分条件，该条件允许$G$上的横截仿拓扑群由$PT$ -序列确定.
On paratopological groups
本文首先构造了一个Hausdorff不可次度量化的仿拓扑群$G$，其中每个点都是一个$G_δ$ -集，从而否定了Arhangel'ski \v和Tkachenko的问题[拓扑群及相关结构，Atlantis Press and World Sci.，2008年]。我们证明了每个第一可数阿贝尔仿拓扑群都是次度量化的。此外，我们还讨论了可发展的仿拓扑群，并构造了一个不可度量化的Moore仿拓扑群。进一步证明了正则可数局部$k_ω$ -仿拓扑群是离散拓扑群或包含$S_ω$的闭拷贝.最后，我们讨论了非H-闭的仿拓扑群的一些性质，证明了Sorgenfrey线不是H-闭的，从而否定了Arhangel'ski \v和Tkachenko的问题[拓扑群和相关结构，Atlantis Press and World Sci.，2008年]。提出了一些问题。
Oscillator topologies on a paratopological group and related number invariants
我们引入并研究了仿拓扑群上的振子拓扑，并定义了一些相关的数不变量。作为应用，我们证明了Hausdorff仿拓扑群$G$在$G$是3-振荡群的条件下存在一个弱Hausdorff群拓扑.一个拓扑群$G$是3-振荡群（分别是2-振荡），对于$G$的单位$e$的任何邻域$U$，存在$e$的邻域$V\subset G$，使得$V^{-1}VV^{-1}\subset UU^{-1}U$（分别$V^{-1}V\subset UU^{-1}$）。2-振荡仿拓扑群类包括所有坍缩仿拓扑群、所有幂零仿拓扑群、所有满足正律的仿拓扑群、所有仿拓扑SIN-群和所有饱和仿拓扑群（后者意味着对任何非空开集$U\subset G$，集合$U^{-1}$具有非空内部）。证明了每个完全有界的仿拓扑群$G$都是可数胞腔的，并且每个不可数共尾基数都是$G$的预胞腔.给出了一个饱和的仿拓扑群与它的镜像仿拓扑群不同构的例子，以及一个2-振荡的仿拓扑群的镜像仿拓扑群不是2-振荡的例子。
A note on free paratopological groups
本文主要讨论了自由仿拓扑群的一些广义度量性质和特征，并将自由拓扑群的几个结果推广到自由仿拓扑群.
About remainders in compactifications of paratopological groups
本文证明了仿拓扑群的紧化中的余项的一个二分法：仿拓扑群$G$的每一个余项要么是Lindelöf和Meager，要么是Baire.此外，我们还对D. Basile和A. Bella在\cite{B1}中的作用，并对副拓扑群的生成提出了一些问题.
Each regular paratopological group is completely regular
证明了半正则拓扑空间$X$是完全正则的当且仅当它的拓扑是由正规拟一致生成的。这一刻画意味着每个正则仿拓扑群都是完全正则的。这解决了一个老问题的理论paratopological集团，站在开放约60年。此外，我们定义了一个自然的一致性对每个paratopological组和使用这种一致性证明，每个（第一可数）豪斯多夫paratopological组功能豪斯多夫（和submetrizable）。这解决了另外两个已知的开放问题的理论paratopological群。
On paratopological gyrogroups
回转群的概念是没有明确结合性的群的推广。最近，Atiponrat将拓扑（paratopological）群的概念扩展到拓扑（paratopological）回转群。本文证明了正则（Hausdorff）局部陀螺不变的仿拓扑陀螺群$G$是完全正则（函数Hausdorff）的.这些结果改进了Banakh和Ravsky关于仿拓扑群的定理。同时，我们将（仿）拓扑群的Pontrjagin条件推广到（仿）拓扑回转群.
Characterizing meager paratopological groups
证明了Hausdorff仿拓扑群G是稀疏群当且仅当存在G的无处稠密子集A和G的可数子集C使得CA=G=AC.
On rectifiable spaces and paratopological groups
主要讨论了仿拓扑群或可求长空间上的基数不变量和广义度量性质，证明了：（1）若$A$和$B$是仿拓扑群$G$的$ω$ -窄子集，则$AB$是$G$中的$ω$ -窄子集，从而肯定地回答了\cite [Open problem 5.1.9]{A2008};（3）Fr $\acute{e}$ chet-Urysohn和强Fr $\acute{e}$ chet-Urysohn的性质在可求长空间中是一致的;（4）每个可求长空间$G$包含$S_ω$的（闭）拷贝当且仅当$G$有$S_{2}$的（闭）拷贝;（5）若可求长空间$G$有$σ$ -点离散闭$k$ -网，则$G$不含$S_{ω_{1}}$的闭副本;（6）若可求长空间$G$是点态规范弱伪紧的，则$G$是Moscow空间.此外，我们还考虑了仿拓扑群或可求长空间的赋形子，并对C. Liu in \cite{Liu2009}和C. Liu，S. Lin在\cite{Liu20091}中的表达。
Weak completions of paratopological groups
给定一个$T_0$仿拓扑群$G$和一个仿拓扑群的连续同态类$\mathcal C$，定义了包含$G$作为稠密子群的群$G$的$\mathcal C$ - $semicompletion$ $\mathcal C[G)$和$\mathcal C$ - $completion$ $\mathcal C[G]$，满足$T_0$ -分离公理并具有一定的普适性.对于特殊类$\mathcal C$，我们给出了$G$的一些充要条件，使得（半）完备化$\mathcal C[G)$和$\mathcal C[G]$是Hausdorff的.同时，我们给出了Hausdorff仿拓扑阿贝尔群$G$的$\mathcal C$ -半完备$\mathcal C[G)$不成为$T_1$ -空间的例子，其中$\mathcal C$是序列紧拓扑群到仿拓扑群的连续同态类.特别地，群$G$包含一个$ω$有界的顺序紧子群$H$，使得$H$是一个拓扑群，但它在$G$中的闭包不是一个子群.
On the existence and properties of Alexandroff paratopological groups
本文研究了带有Alexandroff拓扑的群，证明非离散的Alexandroff拓扑无法使群成为拓扑群，提出Alexandroffpara拓扑群的概念，并给出了非紧致$T_0$的例子，解决了两个关于para拓扑群弱有界子集的经典问题。
The countable type properties in free paratopological groups
一个空间$X$是可数类型的（分别是：次可数类型），如果$X$的每个紧致子空间$F$包含在具有可数特征的紧致子空间$K$中（分别为可数伪字符）。本文主要证明了：（1）对于泛函T2空间$X$，自由仿拓扑群$FP(X)$和自由阿贝尔仿拓扑群$AP(X)$是可数型的当且仅当$X$是离散的;（2）对于泛函T2空间$X$，如果自由阿贝尔仿拓扑群$AP(X)$是次可数型的，则$X$有可数伪特征标.此外，我们还证明了对任意Hausdorff $μ$ -空间$X$，如果$AP_{2}(X)$或$FP_{2}(X)$是局部紧的，则$X$同胚于一个紧空间与一个离散空间的拓扑和.
On pseudobounded and premeager paratopological groups
设$G$是一个仿拓扑群。继F. Lin和S. Lin，我们称群$G$是伪有界的，如果对$G$的恒等式的任何邻域$U$，存在一个自然数$n$使得$U^n=G$ .群$G$是$ω$ -伪有界的，如果对于$G$的恒等式的任何邻域$U$，群$G$是集合$U^n$的并集，其中$n$是自然数。如果对$G$的任意无处稠密子集$N$和任意正整数$n$有$G\ne N^n$，则群$G$是premeager群.本文研究了上述几类群之间的关系，并回答了F。Lin，S.林和桑切斯
The mapping $i_{2}$ on the free paratopological groups
设$FP(X)$是拓扑空间$X$上的自由仿拓扑群.对于每个非负整数$n\in\mathbb{N}$，用$FP_{n}(X)$表示$FP(X)$的子集，该子集由长度最多为$n$的所有字组成，并用从$(X\bigoplus X^{-1}\bigoplus\{e\})^{n}$到$FP_{n}(X)$的自然映射表示$i_{n}$。本文主要改进了A.S. Elfard和P. Nickolas的《论自由仿拓扑群的拓扑》。拓扑学应用，160（2013），220- 229.]。主要结果是：自然映射$i_{2}: (X\bigoplus X_{d}^{-1}\bigoplus\{e\})^{2}\longrightarrow FP_{2}(X)$是闭映射当且仅当$X_{d}\times X$中对角$Δ_{1}$的每个邻域$U$是$X$上最精细拟一致的成员，其中$X$是一个$T_{1}$ -空间，$X_{d}$表示$X$，当用离散拓扑代替给定拓扑时.
Strongly verbally closed groups
最近证明了所有自由和许多虚拟自由的口头闭子群在任何群中都是代数闭的。我们建立了一个群的充分条件，它是一个自由的非阿贝尔群的一个组满足一个非平凡的法律代数封闭在任何组，它是口头封闭的。我们应用这些条件证明了所有闭曲面（除了克莱因瓶）的基本群和满足非平凡律的群的几乎所有自由积积在它们是口头闭的任何群中都是代数闭的。
Free products of groups are strongly verbally closed
在最近的一些著作中，已经确定了许多虚拟自由群，几乎所有曲面的基本群和所有满足非平凡律的群的非平凡自由积群在它们是口头封闭的任何群中都是代数封闭的。在这项工作中，我们建立了任何一个群，这是一个非平凡的自由积是代数封闭的任何一组，它是口头封闭的。
When is the Sum of Two Closed Subgroups Closed in a Locally Compact Abelian Group
对局部紧阿贝尔群进行了分类，其中任意两个闭子群之和自身是闭的。这等于是对Yu的结果的改进和推广。N.~ 1970年的穆欣也就是说，我们贡献了一个完整的分类，所有全不连通的的\lca \群与$X+Y$封闭的任何闭子群$X$和$Y$。
On Closed Subsets of Free Groups
本文给出了自由群的一个生成子群和一个在自由群的profinite拓扑中闭的子集的两个例子，使得它们的乘积在自由群的profinite拓扑中不闭。
On verbally closed subgroups of free solvable groups
研究自由可解群的口头闭子群。证明了若干结果，给出了一个充分条件，在此条件下，一个口头闭子群成为完全群的收缩群，从而代数闭.
Nielsen equivalence in closed surface groups
闭曲面的基本群的任何两个生成系都是Nielsen等价的。
On Products of Closed Subsets in Free Groups
我们提出的例子，闭子集的自由群，使他们的产品是不封闭的profinite拓扑。讨论了如何刻画一个自由群的子集在profinite拓扑中是闭的，并且它与一个自由群的任意非生成子群的乘积在profinite拓扑中也是闭的.
On residual properties of pure braid groups of closed surfaces
证明了闭曲面的纯辫群是剩余无挠幂零群群的几乎直积，从而是剩余无挠无挠的幂零群。作为推论，我们还证明了闭曲面的2股上的辫群是剩余幂零的。
On finite totally 2-closed groups
一个抽象群$G$称为全$2$ -闭群，如果对于任何具有$G\cong H\leq{\rm Sym}(Ω)$的集合$Ω$，$H=H^{(2),Ω}$，其中$H^{(2),Ω}$是${\rm Sym}(Ω)$的最大子群，其在$Ω\timesΩ$上的轨道与$H$的轨道相同。本文对有限可解全$2$ -闭群进行了分类.证明了全$2$ -闭群的Fitting子群是全$2$ -闭群.最后，证明了具有非平凡Fitting子群的最小阶的有限不可解全$2$ -闭群$G$具有$Z\cdot X$的形状，且具有$Z=Z(G)$循环的，并且$X$是具有唯一极小正规子群的有限群，该极小正规子群是非交换的.
Verbally closed subgroups of free groups
本文证明了有限秩自由群$F$的每个言闭子群是$F.$的收缩核
Generators and closed classes of groups
我们证明了在群范畴中，每个在同构、直接极限和扩张下闭的单生成类在同构和直接极限下也是单生成类，特别是它是共反射的。我们还建立了几个新的单生成封闭类之间的关系。
Two-generated verbally closed subgroups of a free solvable group G are retracts of G
本文证明了有限秩自由可解群G的每一个口头闭的二元生成子群都是G的收缩核。
Weakly Closed Unipotent Subgroups in Chevalley Groups
本文的目的是对可裂Chevalley群中的弱闭幂幺子群进行分类。在一个应用中，我们证明了在一些适当的假设下，连通单代数群的李代数不可能是所谓的2F-模。
Rigidity of the group topology for closed Weyl transitive groups of automorphisms of a regular locally finite building
证明了：如果$G$是正则局部有限建筑物的一个自同构群，该建筑物在紧开拓扑中是闭的，并且作用于该建筑物上是Weyl传递的，则$G$只允许一个Hausdorff局部紧$σ$ -紧拓扑与群运算相容.
On free decompositions of verbally closed subgroups of free products of finite groups
对于有限群的自由积的子群，我们得到了它的Kurosh分解是语言闭的必要条件。
Nullstellensatz for relative existentially closed groups
证明了在$G$ -群的每一簇中，每一个$G$ -存在闭元对有限相容方程组都满足零元数.这将推广\cite{BMR1}的{ \bf定理G}。结果我们看到，任意$G$ -群簇中的每对$G$ -存在闭元生成相同的拟簇，如果它们都是$q_ω$ -紧的，则它们是几何等价的.
Absolutely closed nil-2 groups
利用类至多为2的幂零群群簇中的域的刻画，给出了在该簇中哪些群是绝对闭群的一个刻划。我们使用的一般结果，以获得一个更容易的特征，为某些子类，例如，阿贝尔群$G$是绝对封闭的${\cal N}_2$当且仅当$G/pG$是循环的每个素数$p$。
On the lattice of closed subgroups of a profinite group
本文研究有限群的闭子群格与开子群格，证明前循环群是唯一具有分配子群格的有限群，并刻画了满足戴德金模律的有限群，还讨论了子群格同构下的结构信息传递及相关可分解性与数量问题。
Automorphisms of $κ$-existentially closed groups
研究了一类$κ$ -存在闭群的自同构.特别地，当$κ$不可达且$G$是唯一的$κ$ -基数为$κ$的存在闭群时，我们证明了$Aut(G)$是保水平自同构子群和$|Aut(G)|=2^κ$的并集.事实上，后一个结果是一个论点的副产品，表明对于任何不可数的$κ$和任何群$G$，这是长度$κ$的正则表示的极限，具有可数的基础，我们有$|Aut(G)|=\beth_{κ+1}$，其中$\beth$是beth函数。如果$κ$是正则的，则这样的群也是$κ$ -存在闭的。这两个结果都是通过对这类群的保水平自同构的分析和分类得到的。
Hausdorff dimension of closed subsets in profinite groups
一个可数基的投射有限群可以很自然地看作是一个关于给定滤子的度量空间，因此，它有一个定义良好的豪斯多夫维数函数。Barnea和Shalev发现了一个群理论表达式的豪斯多夫维数的闭子群的投射有限群$G$，开放，以这种方式，一堆的可能性探索。本文将Barnea和Shalev的结果推广到$G$的任意闭子集上.
Being Cayley automatic is closed under taking wreath product with virtually cyclic groups
我们延长工作的第一作者和Khoussainov表明，凯莱自动机是封闭的下采取限制圈积与一个几乎无限的循环群。这增加了已知的凯莱自动群的例子。
Virtually free finite-normal-subgroup-free groups are strongly verbally closed
任何不包含非平凡有限正规子群的虚自由群$H$（例如，无限二面体群）是包含$H$作为口头闭子群的任何有限生成群的收缩。
Closed subgroups of free profinite monoids are projective profinite groups
证明了自由凸有限幺半群的闭子群类恰是投射投射有限群类。特别是，阿尔梅达提出的与最小符号动力系统相关的投射有限群是投射的。我们的结果回答了Lubotzky在阿尔梅达的演讲中提出的一个问题，在投射有限群和应用领域研讨会，卡尔顿大学，2005年8月。我们还证明了自由profinite幺半群的任何有限子半群由幂等元组成。
The Scale of ($P$)-closed Groups Acting On Trees
本文通过局部作用图描述($P$)-闭群的平移和轴，确定其尺度函数，并刻画幺模和单尺度($P$)-闭群。
Influence of strongly closed 2-subgroups on the structure of finite groups
设$H\leq K$是群G的子群。我们说H在K中关于G是强闭的，如果只要$a^g \in K$，其中$a \in H, g \in G,$，则$a^g \in H.$本文在G的2- Sylow子群S的每个$2^m$阶子群（如果m = 1，则为4阶）在S中关于G是强闭的假设下，研究了群G的结构.得到了与群G的2-幂零性和超可解性有关的一些结果。这是对Guo和Wei（J.群论13（2010），no. 2，267-276）的补充。
The Klein bottle group is not strongly verbally closed, though awfully close to being so
根据Mazuga定理，任何连通曲面的基本群$H$，可能除了克莱因瓶之外，都是包含$H$作为口头闭子群的每个有限生成群的收缩群。我们证明了克莱因瓶群确实是一个例外，但有一个非常接近的性质。
Finite normal subgroups of strongly verbally closed groups
本文将有限强 verbally closed 群的中心为其直因子的结论推广至任意强 verbally closed 群的有限正规子群，并由此证明具有非阿贝尔挠子群的有限生成幂零群不是强 verbally closed 的。
Finite symmetric groups are strongly verbally closed
回答了A. V. Vasil'ev的问题，证明了每个有限对称群或交错群作为语言闭子群时，都是包含它的任意群的收缩。
The centre of a finitely generated strongly verbally closed group is almost always pure
本文证明了有限生成强 verbally closed 群的中心几乎总是纯的，并据此得出非交换辫群和 ${\bf SL}_{100}(\mathbb Z)$ 等群不是强 verbally closed 的结论。
Non-closed subgroups of weakly branch groups
针对作用于足够正则根树的弱分支群G，构造两类非闭子群连续族：一类含非ERF子群，另一类在额外假设下含ERF子群，均在G的完备或同余拓扑中不闭。
Closed subsets in Bishop topological groups
我们引入Bishop拓扑群的概念，即，一个群X，它具有函数F的Bishop拓扑，使得X的群运算是关于F的Bishop态射。X的Bishop拓扑F所诱导的邻域结构中的闭子集以正的方式定义，即，而不是X中开子集的补集。相应的闭包算子，虽然它不是拓扑的，但在经典意义上，不涉及序列。由于避免了可数选择（CC），并且与Richman对CC在构造性数学中的使用的批评一致，这里所示的Bishop拓扑群中闭子集的基本事实具有明确的算法内容。我们的工作主教的非正式系统的建设性数学BISH，没有可数的选择，配备了归纳的定义与规则的可数许多前提。
On closed subgroups of the R. Thompson group $F$
证明了Thompson群$F$有一个子群$H$，使得$H$中的共轭问题不可判定，而$H$中的成员问题易判定. $F$的子群$H$是$F$的闭子群。也就是说，$F$中的每一个函数都是分段$H$函数，属于$H$。$F$的闭子群的其他有趣的例子包括Jones子群$\overrightarrow{F}_n$和Jones的$3$ -可着色子群$\mathcal F$ .利用第一作者最近的一个结果，证明了无穷指数的$F$的极大子群是闭的.本文证明了：如果$K\leq F$是随机生成的，则$K$的闭包，即，生成包含$K$的$F$的最小闭子群。我们还证明了$F$的所有非正则生成的闭子群在$F$中是不失真的。特别地，$F$的所有非线性生成的极大子群在$F$中是不失真的。
Finite and nilpotent strongly verbally closed groups
本文研究强字闭的有限群与幂零群，证明若有限群 H 在任一含其为字闭子群的有限群中均为收缩核，则 H 的中心必为其直因子。
$H$-closed quasitopological groups
一个$H$ -闭拟拓扑群是一个包含在每个Hausdorff拟拓扑群中作为闭子空间的Hausdorff拟拓扑群。我们得到了拟拓扑群是$H$ -闭的一个充分条件，这使我们能够解决Arhangel'skii和Choban的一个问题，并证明了拓扑群$G$在拟拓扑群类中是$H$ -闭的当且仅当$G$是\v <$kov-完备的.此外，我们提出的非紧拟拓扑群的拓扑空间是$H$ -封闭的例子。
Ordering pure braid groups on closed surfaces
证明了闭可定向曲面上的纯辫群是双序的，而闭非可定向曲面上的纯辫群具有广义挠，因而它们不是双序的.
A gap property for the growth of closed 3-manifold groups
本文给出了闭非平坦非正曲3-流形群的一致指数增长性的一个下界。对闭3-流形群的一致指数增长性也作了详细的研究。
Strongly closed subgroups of finite groups
本文给出了含有强闭p-子群的有限群的一个完全分类，其中p是任意素数。
On $2$-closed abelian permutation groups
一个置换群$G\le\operatorname{Sym}(Ω)$称为$2$ -闭的，如果没有群$H$使得$G<H\le\operatorname{Sym}(Ω)$在$Ω\timesΩ$上具有与$G$相同的轨道.对具有循环传递成分的交换置换群建立了一个简单而有效的$2$ -闭性的归纳准则。
Counting the Closed Subgroups of Profinite Groups
投射有限群的闭和闭正规子群的集合带有自然投射有限拓扑.通过结合代数和拓扑方法的大小，这些子群空间的计算，和空间部分分类同胚。
The group Aut and Out of the fundamental group of a closed Sol 3-manifold
设$E$是闭Sol 3-流形的基本群.我们描述了基团$Aut(E)$和$Out(E)$。首先考虑$E$是环面丛的基本群的情形，然后考虑$E$是不是环面丛的闭Sol 3-流形的基本群的情形.这些群是用一些已知群的迭代半直积来描述的，其中一个例外是对于某些$E$的$Out(E)$，在这种情况下，将$Out(E)$描述为一个推广，并给出了一个表示.
On primitive $2$-closed permutation groups of rank at most four
我们证明了秩至多为4的本原2-闭群$G$不是图或有向图的自同构群，并且证明了如果度至少为2402，则只有两个无限族或$G\leqslant \mathrm{A}Γ\mathrm{L}_1(p^d)$，即1维仿射半线性群.这是第一个已知的非正则2-闭群的例子，它们不是图或有向图的自同构群。
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