Equicontinuity of mappings quasiconformal in the mean
V. Ryazanov, E. Sevost'yanov
给出了一类具有积分限制的空间映射类的等度连续性和正规性的一系列判别准则。结果表明，所找到的条件不仅是充分的，而且是必要的。它是应用程序索博列夫的类。
It is stated a series of criteria of equicontinuity and normality for classes of space mappings with integral restrictions. It is shown that the found conditions are not only sufficient but also necessary. It is given applications to Sobolev's classes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On equicontinuity of some class of mappings, which are quasiconformal in the mean
研究了平均拟共形开离散映射的一个性质。证明了上述映射类是等度连续的（正规的）。
On equicontinuity of generalized quasiisometries on Riemannian manifolds
本文研究了黎曼流形上的有限偏差映射。得到了具有拟共形无界特征的广义拟等距的局部性定理。
Equicontinuity of the family of the open discrete Orlicz--Sobolev mappings
本文主要研究具有拟共形无界特征的映射。本文研究了所谓的环$Q$ -映射类与下环$Q$ -映射类之间的相互关系。证明了开离散下环$Q$ -映射在不动点是环$Q^{n-1}$ -映射.作为推论，我们得到了在$n\ge 3.$上具有有限偏差的开离散Orlicz-Sobolev映射类的等度连续性
On equicontinuity of families of mappings with a fixed point of a domain
研究了欧几里得空间中定义域上的一类映射的性态。证明了当所含映射满足一般正规化条件时，所示映射类在域内和边界点上都是等度连续的，并且相应的拟共形特征具有弱增长性.
On equicontinuity of mappings with branching in the closure of a domain
本文研究了映射$f:D\rightarrow \overline{{\Bbb R}^n},$ $n\ge 2,$在$\overline{D}$中的局部性态问题.在可测函数$Q(x),$ $Q:D\rightarrow [0, \infty],$及$D$和$D^{\,\prime}=f(D),$的边界条件下，证明了一类具有拟共形特征的开离散映射$f:D\rightarrow \overline{{\Bbb R}^n},$ $n\ge 2,$在$\overline{D}.$中是等度连续的
On equicontinuity of mappings in a case of variable domains
本文研究了定义在$n$ -测度欧几里得空间中的一类映射的局部性态，当这个区域的相应象是可变的时。在定义上述映射行为的函数的某些条件下，以及对映射域的某些限制条件下，证明了相应的映射族在初始域的闭包中的等度连续性。
An Aronsson type approach to extremal quasiconformal mappings
我们研究了空间中的$C^2$极值拟共形映射，并在G.关于绝对极小化Lipschitz扩张的Aronsson。我们还证明了与极值问题相关联的QC同态梯度流的光滑解的短时存在性。
On equicontinuity of mappings with inverse moduli inequalities by prime ends of variable domains
本文研究了满足Poletskii型逆模不等式的映射的边界行为，证明了在模不等式中的主量可积时，某些类别的此类映射相对于某些域的素端是等度连续的。
Equicontinuity by the prime ends of mappings with the normalization condition
本文研究了满足路族模畸变条件的分支映射。在映射的定义域在其边界上局部连通，映射域是正则的，且导致路族模的畸变的强积是可积的情况下，证明了具有一个正规化条件的所有指定映射的族在给定域的闭包中是等度连续的.
Manifolds of quasiconformal mappings and the nonlinear Beltrami equation
本文证明了每个非线性Beltrami方程$\partial_{\bar{z}} f = \mathcal{H}(z, \partial_{z} f)$的同胚解生成一个二维拟共形映射流形$\mathcal{F}_{\mathcal{H}} \subset W^{1,2}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{C})$。此外，我们证明了在正则性假设下$\mathcal{H}$，流形$\mathcal{F}_{\mathcal{H}}$定义的结构函数$\mathcal{H}$唯一。
Variation of quasiconformal mappings on lines
与标准Beltrami方程相比，我们得到了约化Beltrami方程同胚解的正则性的改进。这样的改进是不可能的持有人或Sobolev正则性，相反，我们的结果关注的广义变化的限制行。具体地说，我们证明了任何线段的限制有有限的p-变化的所有p>1，但不一定为p=1。
Equicontinuity and normality of mappings with integrally bounded $p$-moduli
本文考虑${\mathbb R}^n$中的一般离散开映射，在这种开映射下，曲线集的极值长度的扰动是通过$\int Q(x)η^p(|x-x_0|) dm(x)$与$n-1<p<n$积分控制的，其中$Q$是${\mathbb R}^n$和$\int\limits_{r_1}^{r_2} η(r) dr \ge 1$上的可测函数，对于给定区间$Q.$上的任何$η$，我们证明了在适当的约束下，上述类型的所有开离散映射族是正规的。
On quasiconformal harmonic maps between surfaces
证明了如下定理：如果$w$是两个具有光滑边界和近似解析度量的Riemann曲面之间的拟共形调和映射，则$w$是关于欧氏度量的拟等距.
H$\mathbf{ö}$lder continuity of QCH mappings from the unit ball to a domain with $C^1$ boundary
证明了从调和$β$-Bloch空间到单位球和具有$C^1$边界的空间域的每一个拟共形映射对于$α<1-β$是全局$α$连续的，其Hölder系数既不依赖于该映射也不依赖于$β$ .对于$α<1$的Lipschitz连续拟共形调和映射，一个类似的结果也成立.这推广了Warschawski在\cite{Warschawski}中关于共形映射和Kalaj在\cite{Kalaj6}中关于拟共形调和映射的复平面的一些结果.
A priori estimate of gradient of a solution to certain differential inequality and quasiconformal mappings
我们将证明{ \it Poisson微分不等式} $|Δu(x)|\le a|\nabla u(x)|^2+b$，$x\in B^{n}$，其中$a,b<\infty$和$u|_{S^{n-1}}\in C^{1,α}(S^{n-1}, \Bbb R^m)$解的梯度的一个全局估计。如果$m=1$和$a\le (n+1)/(|u|_\infty4n\sqrt n)$，则$|\nabla u| $是先验有界的。这推广了E.海因茨（\cite{EH}）和伯恩斯坦（\cite{BS}）的飞机。这些结果的应用产生的定理，这是本文的主要结果：一个拟共形映射的单位球到一个域的$C^2$光滑边界，满足泊松微分不等式，是Lipschitz连续的。这将作者Mateljević和Pavlović的一些结果从复平面推广到空间。
Weighted Hardy Spaces of Quasiconformal Mappings
我们建立了拟共形映射的$H^p$ -理论的一个加权形式。
On asymptotically sharp bi-Lipschitz inequalities of quasiconformal mappings satisfying inhomogeneous polyharmonic equations
设$f$是$K$ -拟共形的（$(K,K')$ -quasiconformalresp.）单位盘$\mathbb{D}$的自映射，它满足下列条件：$(1)$，非齐次多调和方程$Δ^{n}f=Δ(Δ^{n-1} f)=φ_{n}$ $(φ_{n}\in \mathcal{C}(\overline{\mathbb{D}}))$，（2）边界条件$Δ^{n-1}f|_{\mathbb{T}}=φ_{n-1},~\ldots,~Δ^{1}f|_{\mathbb{T}}=φ_{1}$（$φ_{j}\in\mathcal{C}(\mathbb{T})$表示$j\in\{1,\ldots,n-1\}$和$\mathbb{T}$的单位圆），和$(3)$ $f(0)=0$，其中$n\geq2$是整数，$K\geq1$（分别为$K'\geq0$）。本文的主要目的是证明$f$是Lipschitz连续的，并进一步证明当$\|φ_{j}\|_{\infty}$对于$j\in\{1,\ldots,n\}$来说足够小时，它是双Lipschitz连续的.此外，估计是渐近尖锐的$K\to 1$（$K'\to0$ resp.）以及对于$j\in\{1,\ldots,n\}$的$\|φ_{j}\|_{\infty}\to 0$，并且因此，这样的映射$f$表现得几乎像对于足够小的$K$（$K'$ resp.）和用于$j\i…
A Koebe distortion theorem for quasiconformal mappings in the Heisenberg group
证明了次黎曼Heisenberg群$\mathbb{H}_1$中域间拟共形映射的平均导数的Koebe偏差定理.证明了$\mathbb{H}_1$子域间拟共形映射的若干辅助性质，包括拟共形映射的Jacobian对数的球偏差估计和局部BMO估计. Koebe定理的应用包括曲线图像的直径界，平均导数和水平微分算子范数的积分的比较，以及$\mathbb{H}_1$中区域中的拟共形密度和度量的研究。讨论了次黎曼距离和Korányi距离的定理。这扩展了由于Astala-Gehring、Astala-Kobala、Kobala和Bonk-Kobala-Rohde的结果。
Quasiconformal Extensions of Harmonic Univalent Mappings of the Unit Disk
本文研究单位圆盘内调和单叶映射的拟共形延拓条件，证明调和强星形映射可延拓至全平面并给出显式延拓函数，同时探讨圆盘外调和映射的可延拓性。
On quasiconformal extensions of harmonic mappings associated with pre-Schwarzian derivative
本文将Ahlfors关于解析函数的单叶判别准则和拟共形扩张推广到单位圆盘上的调和映射。此外，我们给出了调和Teichmüller映射的一个一般拟共形扩张，其最大伸缩估计是渐近尖锐的.
Quasiconformal distortion of Riesz capacities and Hausdorff measures in the plane
本文利用非线性位势论的Riesz容度和Hausdorff测度，证明了平面上拟共形映射的锐偏差估计.
John disk and $K$-quasiconformal harmonic mappings
本文的主要目的是建立$K$ -拟共形调和映射与John圆之间的某些关系。本文的结果是Ch.~ Pommerenke \cite{Po}。
Quasiconformal extension for harmonic mappings on finitely connected domains
本文证明了定义在平面上的一个非连通区域上的调和拟共形映射，如果其Schwarzian导数很小，且其边界分量都是点或拟圆，则它允许拟共形扩张到整个平面.我们还观察到调和映射的一个单叶准则在一致区域上成立。
Linear measure and $K$-quasiconformal harmonic mappings
本文研究了线性测度与调和映射之间的关系。
The boundary behaviour of $K$-quasiconformal harmonic mappings
本文首先讨论了$K$ -拟共形调和映射的Lipschitz特征和线性测度偏差。然后利用调和映射的Pre-Schwarzian给出了径向John圆的一些特征。
Invertible harmonic mappings beyond Kneser theorem and quasiconformal harmonic mappings
本文将Rado-Choquet-Kneser定理推广到具有Lipschitz边界数据且在边界上Jacobi为本质正的映射，而不限制象域的凸性。它是Alessandrini和Nesi \cite{ale}最近结果的推广.给出了Jordan域间拟共形调和映射族的一些应用。
Criteria for univalence and quasiconformal extension of harmonic mappings in terms of the Schwarzian DERIVATIVE
证明了：如果单位圆盘上的复值局部单叶调和映射$f$的Schwarz范数足够小，则$f$确实是全局单叶的，并且可以推广到扩充复平面上的拟共形映射.
On global behavior of mappings with integral constraints
本文主要研究具有分支点且特征满足积分型约束的映射。我们已经证明了定理，关于他们的局部和整体的行为。特别地，我们建立了这类映射族在其定义域内的等度连续性，以及在附加条件下，这类映射族在其闭包中的等度连续性。
Radial length, radial John disks and $K$-quasiconformal harmonic mappings
本文继续研究调和映射的边界表现。首先讨论了径向长度增长的经典问题，得到了$K$ -拟共形调和映射径向长度的一个锐增长定理。然后，我们提出了径向约翰磁盘的另一种表征。此外，我们还研究了单位圆盘到径向John圆盘上的$K$ -拟共形调和映射的线性测度偏差和Lipschitz连续性。最后，利用Pommerenke内域刻画了$K$ -拟共形调和映射的某些微分性质.
Sharp Pointwise Contraction of Mappings with Integrable Distortion Which Are Quasiconformal in a Disk
考虑单位圆盘上具有平面扩张且具有$p$ -可积畸变的拟共形映射。本文建立了逆映射连续模的界，并证明了该界的清晰度。此外，我们还得到了这类映射的压缩多重分形谱的界。
On the theory of generalized quasiconformal mappings
本文在逆 Poletsky 不等式框架下研究广义拟共形映射，分析其局部与边界行为，并证明该映射类具有对数 Hölder 连续性。
Sharp bounds for the growth and distortion of the analytic part of convex K-quasiconformal harmonic mappings
本文给出了保向凸K-拟共形调和映射解析部分增长与畸变的精确上下界。
Sharpness of uniform continuity of quasiconformal mappings onto s-John domains
本文通过构造具体反例，证明了拟共形映射到s-John域时一致连续性估计的精确性，并对相关文献中的预测给出了否定回答。
Global smoothness of quasiconformal mappings in the Triebel-Lizorkin scale
本文研究平面区域上拟共形映射在Sobolev、Bessel位势和Triebel-Lizorkin尺度下的全局正则性，利用边界几何和Beltrami系数光滑性建立最优条件，并证明在光滑性低于1的Triebel-Lizorkin类中该条件同样保证主解的全局正则性。
A note on Väisälä's problem concerning free quasiconformal mappings
本文给出了Väisälä关于自由拟共形映射局部性质的一个问题的部分解。特别地，我们证明了在局部相对拟对称条件下，局部自由拟共形映射是全局自由拟共形映射。
Harmonic K-quasiconformal Koebe functions: construction and application to Pavlovic's problem
本文构造了调和K-准共形柯西函数，填补了几何函数论中的基础空白，提出了统一的极值函数框架，并探讨了调和K-准共形映射的极值理论。
Quasiconformal mappings and Hölder continuity
我们证明了单位球$\IB$到$C^2$ -Jordan整环$Ω$上的每个$K$ -拟共形映射$w$都是具有常数$α= 2-\frac{n}{p}$的Hölder连续的，只要它的弱Laplacean $Δw$对某些$n/2<p<n$在$ L^p(\IB)$中.特别地，它对每个$0<α<1$都是Hölder连续的，只要$Δw\in L^n(\IB)$。
On mappings of finite distortion that are quasiconformal in the unit disk
研究了单位圆盘上具有可控畸变的平面扩张的拟共形映射。对于这些映射，我们证明了逆映射的连续模的一个界，这有点令人惊讶的是几乎是一样好的全球拟共形映射。此外，我们给出了改进广义拟圆盘三点性质已知界的例子。最后，当单位圆盘的象具有尖点型奇点时，我们建立了这类映射的最优正则性。
On equicontinuity of homeomorphisms with finite distortion in the plane
本文在定义域$D\subset{\C}.$中的有限平均振动、对数型奇异性或$\intΦ\left(K_{f}(z)\right)dx\,dy<\infty$型积分约束条件下，证明了有限偏差同胚族$\frak{F}^Φ$的等度连续性和正规性。本文证明了在函数$Φ$上所找到的条件是这类映射族等度连续性和正规性的充分必要条件。
Lipschitz continuity of quasiconformal mappings and of the solutions to second order elliptic PDE with respect to the distance ratio metric
本文主要研究一类$(K, K')$ -拟共形映射关于距离比度量的Lipschitz连续性，以及一类拟线性微分方程解关于距离比度量的Lipschitz连续性.
Conformality of quasiconformal mappings at a point, revisited
给出了Teichmüller-Wittich-Belinskii和Gutlyanskiii-Martio关于拟共形映射在给定点的共形性定理的一个新的简单证明.已知的证明给出了径向和角度变化的单独估计，但我们的证明使用黎曼球面上四个点的交比变化的Grötzsch型不等式将它们统一起来。我们还给出了$C^{1+α}$ -共形的一个充分条件
Quasiconformal and HQC mappings between Lyapunov Jordan domains
设$h$是单位圆盘$\mathbb{U}$到一个李雅普诺夫域的拟共形（qc）映射.我们发现，$h$映射子域的李雅普诺夫类型的$\mathbb{U}$，接触的边界$\mathbb{U}$，到域的相似类型。特别地，如果$h$是$\mathbb{U}$到一个李雅普诺夫域上的调和qc（hqc）映射，利用它，我们证明了$h$是$\mathbb{U}$上的co-Lipschitz（co-Lip）.这解决了一个悬而未决的问题。
On boundary behavior of mappings on Riemannian manifolds in terms of prime ends
研究了黎曼流形上的环映射的一个边界表现，它是Gehring推广的拟共形映射。利用素端，得到了上述类边界的连续扩张定理。在上述条件下，得到了这些类在整环的闭包中等度连续的结果。
On the inverse absolute continuity of quasiconformal mappings on hypersurfaces
构造了拟共形映射$f\colon \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$，使得存在正Lebesgue $2$ -测度的博雷尔集$E \subset \mathbb{R}^2 \times \{0\}$，其像$f(E)$的Hausdorff $2$ -测度为零.这给出了一个解决的公开问题的逆绝对连续的拟共形映射的超曲面，归因于Gehring。通过暗示，我们的结果也回答了Väisälä和Astala-Bonk-Heinonen的问题。
On a Hölder constant in the theory of quasiconformal mappings
单位圆盘上具有单位边界值的K-拟共形自映射满足Hölder估计$|f(z)-f(w)| \leq 4^{1-1/K} |z-w|^{1/K}$ .常数$4^{1-\frac{1}{K}}$是尖锐的。
On quasiconformal close-to-convex harmonic mappings involving starlike functions
本文讨论了一类具有星形解析部分的拟共形近凸调和映射的几个基本性质，得到了这类拟共形近凸调和映射的系数不等式、整表示、增长定理、面积定理以及部分和的近凸半径等结果.
dbar-equations, integrable deformations of quasiconformal mappings and Whitham hierarchy
证明了无色散标量可积族和泛Whitham族都是平面上拟共形映射的可积变形类。给出了与无色散KP族的显式解有关的拟共形映射的变形的例子。
On equicontinuous families of mappings in metric spaces
本文主要研究度量空间中具有有限偏差的映射。得到了拟正则映射族的等度连续性和正规性的类似结果。证明了如果映射的特征在每个内点有一个有限平均振动，且映射缺少某个固定连续统，则所示映射族是等度连续的。还得到了黎曼流形上广义拟等距的等度连续性。
On behavior of one class of mappings acting onto domains with a locally quasiconformal boundary
本文研究满足逆 Poletsky 不等式的映射，在多类具有局部拟共形或正则边界的域之间建立了边界点邻域内的 Hölder 对数连续性。
Quasiconformal harmonic mappings between Dini's smooth Jordan domains
设$D$和$Ω$是具有Dini光滑边界的Jordan域，$f:D\mapsto Ω$是调和同胚.本文的目的是证明如下结果：如果$f$是拟共形的，则$f$是Lipschitz的.这推广了最近的一些结果，其中对边界施加了更强的假设，并且在某种程度上是最优的，因为它与平面上共形映射的Lipschitz行为和极小曲面的共形参数化的最佳条件相一致。
Holomorphic motions, Assouad dimension and quasiconformal mappings
本文研究全纯运动下集合的拟Assouad维数变化，证明其倒数在Fuhrer--Ransford--Younsi意义下下调和，由此得到拟共形失真界并改进Smirnov定理，方法无需最优Sobolev正则性。
Bounds for Jacobian of harmonic injective mappings in n-dimensional space
利用正规族论证，证明了$n$维调和$K$-拟共形映射在内点的展开式中第一个非零齐次多项式的次数是奇的，并且证明了从单位球到有界凸区域上的具有$K< 3^{n-1}$的映射是co-Lipschitz的.给出了这个结果的一些推广，以及调和拟共形映射Heinz引理在$\mathbb R^n$中的推广和相关结果.
On quasisymmetry of quasiconformal mappings and its applications
设$f: D\to D'$是一个拟共形映射，其中$D$和$D'$是${\mathbb R}^n$中的域，而$D$是一个广义域.则对于$D$中的每个弧连通子集$A$，约束$f|_A: A\to f(A)$的弱拟对称性蕴涵了它的拟对称性，由此，我们看到Heinonen从1989年提出的一个公开问题的答案在$A$是弧连通的附加条件下是肯定的.作为应用，我们建立了一个有界单连通一致域与有界单连通一致域拟共形等价的有界域为John的九个等价条件。这个结果是Heinonen在[Quasiconformal mappings onto John domains，\textit{Rev. Math. Iber.,} { \bf 5}（1989），97- 123]中的主要结果的推广.
Bohr Phenomenon for $K$-Quasiconformal harmonic mappings and Logarithmic Power Series
本文建立了单位圆盘$\mathbb{D}$中的保义$K$ -拟共形调和映射的Bohr不等式，其中$K$ -拟共形调和映射涉及Ma-Minda星形单叶函数类，通常分别记为$\mathcal{S}^*(ψ)$和$\mathcal{C}(ψ)$，以及$f$属于Ma-Minda类或满足一定的微分从属关系的$\log (f(z)/z)$.当$ψ(\mathbb{D})$为凸函数时，我们估计了$\mathcal{C}(ψ)$中函数的对数系数的界.
Bohr inequality and Bohr-Rogosinski inequality for $K$-Quasiconformal harmonic mappings
本文研究单位圆盘上解析部分从属于凹单叶函数类、Ma-Minda凸与星形函数类的$K$-拟共形保向调和映射，证明了若干精确的Bohr型及Bohr-Rogosinski型不等式，推广了已有结果。
Hölder Continuity of Harmonic Quasiconformal Mappings
证明了对调和拟共形映射，边界上的$α$ -Hölder连续蕴涵映射本身的$α$ -Hölder连续.我们的结果适用于一致完美有界域类，事实上我们可以允许边界的一部分在容量意义下是薄的。一般有界域的问题仍然是开放的。
Stretching and Rotation of Planar Quasiconformal Mappings on a Line
本文研究了直线上平面拟共形映射的拉伸和旋转。我们发现，几乎每一个点上的线，一组复杂的拉伸指数（描述拉伸和旋转联合）包含在磁盘$ \overline{B}(1/(1-k^4),k^2/(1-k^4))$。这产生了一个二次的改进，在已知的最佳估计一般套豪斯多夫维数$1$。我们的证明是基于全纯运动和准圆的尺寸估计。我们还给出了拟共形映射下直线的$1$维子集的像的维数的下界。
A commentary on Teichmüller's paper "Verschiebungssatz der quasikonformen Abbildung" (A displacement theorem of quasiconformal mapping)
这是一个评论Teichm{ü}ller的文件Ein Verebungswords之quasikonformen Abbildung（位移定理quasiconformal映射），发表于1944年。我们详细解释了如何Teichm{ü}ller解决的问题，找到准共形映射从单位光盘本身，发送0到一个严格的负点上的真正的线，举行边界的光盘逐点固定和最小的准共形膨胀。我们也提到这个极值问题的一些后果，我们问一个问题。
The boundary correspondence under quasiconformal mappings and VMO-Teichmuller space
本文通过引入具有共形不变性的消失Carleson测度与强消失对称同胚，证明其在拟共形映射下可相互生成，从而在实直线上构造出具有共形不变性的VMO-Teichmüller空间，解决了以往该空间缺乏共形不变性的问题。
On certain quasiconformal and elliptic mappings
设$\overline{\mathbb{D}}$是单位圆盘$\mathbb{D}$在复平面$\mathbb{C}$中的闭包，$g$是$\overline{\mathbb{D}}$中的连续函数.本文讨论了满足$\mathbb{D}$中Poisson方程$Δf=g$的椭圆映射$f$的一些特征，并分别建立了有限周长和有限径长椭圆映射的几个尖锐偏差定理.所得结果是相应经典结果的推广。
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