Derived Categories of Toric Fano 3-Folds via the Frobenius Morphism
Alessandro Bernardi, Sofia Tirabassi
在一项工作的科斯塔和米罗-罗伊格国家以下猜想：每一个顺利完成环面法诺品种有充分的强烈例外收集的线丛。本文的目的是证明它的复曲面Fano 3倍。
In a work of Costa and Miró-Roig state the following conjecture: Every smooth complete toric Fano variety has a full strongly exceptional collection of line bundles. The goal of this article is to prove it for toric Fano 3-folds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on the Frobenius morphism on toric varieties
给出了复曲面簇上线丛的Frobenius推进的一个新的、较短的计算。
Fano mirror periods from the Frobenius structure conjecture
Coates-Corti-Galkin-Golyshev-Kasprzyk提出的Fano分类方案是基于镜像对称预言，即Fano的正则化量子周期应该等价于镜像Landau-Ginzburg势的经典周期。我们证明，这种镜像等价如下的版本的Frobenius结构猜想的Gross-Hacking-龙骨。我们还发现，正则化量子周期，这是定义在后代Gromov-Witten数，实际上是由某些天真的曲线计数。
Frobenius splitting for Fano threefolds
本文证明特征 p>5 的光滑 Fano 三维簇为拟 F-分裂，且 p>11 时为 F-分裂。
Global Frobenius Liftability II: Surfaces and Fano Threefolds
在这篇文章中，续集“全球弗罗贝纽斯提升我”（数学：1708：03777 v2），我们继续发展一个全面的理论弗罗贝纽斯提升模$p^2$。我们研究了因子和闭子概形与Frobenius提升的相容性，Frobenius提升的爆破，某些群作用下的下降，基变化下的稳定性，以及相关的F-分裂的性质.因此，我们证明了Frobenius可提升曲面和Fano三重，证实了我们在以前的论文中提出的猜想。
Heuristic formula for logarithm of the Frobenius morphism
我们证明了弗罗贝尼乌斯态射$x\to x^q$的对数$\log_q$由公式$x\to x\log x$（自然对数）给出。特别是，它不依赖于$q$。这是希尔伯特提出的算子的显式（尽管是显式的）公式，其特征值与zeta函数的零点重合。
On actions of Frobenius morphisms for moduli stacks of principal bundles over algebraic curves
本文研究代数曲线上主丛模栈的算术与几何 Frobenius 态射，并利用 Chern 类明确其在 ℓ-adic 上同调上的作用。
Decomposition of the diagonal and eigenvalues of Frobenius for Fano hypersurfaces
设$X\subset ¶^n$是有限域$k$上的可能奇异的$d\le n$次超曲面.我们表明，对角线，适当的解释，是可分解的。证明了Frobenius作用在其$\ell$ -adic上同调$H^i(\bar{X}, \Q_\ell)$上的特征值，对于$\ell \neq {\rm char}(k)$，可被$q$整除，而不需要使用Ax和Katz关于有理点存在性的结果.
Toric Fano varieties and birational morphisms
本文利用本原关系和复曲面Mori理论研究了光滑复曲面Fano簇。本文证明了对复曲面Fano簇X中的任一不可约不变因子D，X和D的Picard数之差有$0\leqρ_X-ρ_D\leq 3$.此外，如果$ρ_X-ρ_D>0$（如果是$ρ_X-ρ_D=1$，则有一些附加的假设），我们给出了X的一个显式双有理描述。利用这个结果，我们证明了当dim X=5时，我们有$ρ_X\leq 9$。第二部分研究了以Fano为源的等变双有理态射f。我们给出了一些一般性的结果，并在4维，我们表明，f总是一个复合材料的光滑等变爆破。最后，我们研究了在哪些假设下，一个非投射复曲面簇可以成为Fano后，一个光滑的等变爆破。
Some remarks on morphisms between Fano threefolds
设$X$，$Y$是Picard数1的三倍Fano，且使得Picard群的充分生成元非常充分.设$X$为索引1，而$Y$为索引2。证明了从$X$到$Y$的唯一态射是双覆盖.事实上，几乎整个文件是分析的情况下，$Y$是线性部分的格拉斯曼G（1，4），因为其他情况下或多或少解决了在另一篇文章。这个剩余的情况下，治疗的帮助下，Debarre的连通性定理的逆像的舒伯特周期。
Stability of direct images under Frobenius morphism
设$X$是代数域$k$上的光滑投射簇，其中${\rm char}(k)=p>0$和$F:X\to X_1$是相对弗罗贝尼乌斯态射.当${\rm dim}(X)=1$时，我们证明了对于任何稳定丛$W$，$F_*W$都是稳定丛（定理\ref{thm1.3}）.作为研究高维$X$问题的一步，我们将Joshi-Ramanan-Xia-Yu定义的曲线的正则滤子推广到高维$X$（定理\ref{thm2.6}）.
Stable bundles as Frobenius morphism direct image
设X是定义在特征$p>0$的代数闭域k上的亏格$g\geq 2$的光滑射影曲线，$F:X\rightarrow X_{1}$是相对k-线性Frobenius映射.我们证明了（定理1.1）E是具有$I(E)= (p-1)(2g-2)$的$X_{1}$上的稳定丛当且仅当E是$X$上某个稳定丛W的直像。
Liftability of singularities and their Frobenius morphism modulo $p^2$
研究了奇异格式的$W_2(k)$ -提升性。证明了$W_2(k)$ -可提升格式在平坦族$X \to S$中的轨迹的可构造性.此外，我们构造了完满域$k$上Frobenius分裂格式$X$的一个显式$W_2(k)$ -提升，从而改进了Bhatt的存在性结果.进一步研究了弗罗贝尼乌斯态射的提升的存在性。特别是，我们证明了在尺寸$n \geq 4$普通的双重点不承认$W_2(k)$ -提升兼容Frobenius，和规范的表面奇点是Frobenius提升。结合Bhatt的结果，后一个结果意味着正则奇点曲面的$k$上的结晶上同调群不是有限维的.作为我们的结果的推论，我们提供了一个彻底的比较之间的概念$W_2(k)$ -liftability，Frobenius liftability和经典的$F$ -奇异类型。
Direct images of bundles under Frobenius morphisms
设$X$是代数闭域$k$上维数为$n$的光滑射影簇，其中${\rm char}(k)=p>0$和$F:X\to X_1$是相对Frobenius态射.对$X$上的任意向量丛$W$，证明了$F_*W$的不稳定性被$W\otimes{\rm T}^{\ell}(Ω^1_X)$（$0\le \ell\le n(p-1)$）的不稳定性所限制（推论\ref{cor3.8}）.当$X$是亏格为$g\ge 2$的光滑投影曲线时，它意味着只要$W$稳定，则$F_*W$稳定。
Hitchin-Mochizuki morphism, Opers and Frobenius-destabilized vector bundles over curves
设X是定义在特征为p \textgreater{} 0的代数闭域k上亏格为g \textgreater{} 1的光滑射影曲线.对于足够大的p（明确地以r，g的形式给出），我们构造了所有Frobenius不稳定丛的轨迹的图谱（即我们构造了所有0度的Frobenius不稳定丛直到同构）。这是通过展示一个满射态射从一定的报价计划的轨迹稳定Frobenius不稳定的丛。进一步证明了X上的稳定向量丛E与p曲率为零的pers集之间存在双射对应，使得在X的弗罗贝尼乌斯态射下的拉回F^*（E）具有极大Harder-Narasimhan多边形.我们还证明了，在固定行列式后，这些集合是有限的，这使得我们能够导出某些Quot-方案的维数和X上稳定的Frobenius-不稳定的向量丛的某些轨迹。有限性是通过研究Hitchin-Mochizuki态射的性质来证明的;在最近的预印本中，Chen和Zhu实现了有限性的另一种方法。特别是，我们证明了一个概括的结果Mochizuki更高的排名。
Frobenius morphisms of noncommutative blowups
本文在正特征情形下定义了一类非交换爆破的Frobenius态射，证明其平坦性并引入Kunz正则性概念，进而利用de Jong定理证明任意正特征代数闭域上的簇都存在Kunz正则非交换爆破。
Frobenius morphisms and derived categories on two dimensional toric Deligne-Mumford stacks
对于复曲面Deligne-Mumford（DM）堆栈，我们可以考虑Frobenius自同态的某种推广。对于这样一个二维复曲面DM栈上的自同态，我们表明，推进的结构层产生的有界导出范畴的相干层复曲面DM栈。我们还选择了一个完整的强大的例外收集从一组直接和的前推在几个例子的二维复曲面DM orbifolds。
On the birational geometry of toric Fano 4-folds
我们宣布一个因式分解结果的等变双有理态射之间的环面4倍，其源是法诺：这样的态射总是一个复合材料的爆破沿光滑不变中心。此外，我们用一个反例表明，与三维情况不同，即使源和目标都是Fano，中间品种也不能选择Fano。
Frobenius induced morphisms on moduli of sheaves on curves
本文通过变形技巧证明在曲线sheaves模空间中，一般半稳定向量包的弗罗贝尼乌斯拉回仍保持半稳定，并展示了其应用。
Unobstructedness of deformations of holomorphic maps onto Fano manifolds of Picard number 1
我们表明，满射态射到一个Fano流形皮卡德数1的变形是通畅的和刚性模的自同构的目标，如果各种最小有理切线的Fano流形是非线性或有限的。关于极小有理切线的多样性的条件对于Picard数为1的Fano流形的几乎所有已知例子都成立，除了射影空间。当最小有理切线的簇是非线性的时，证明是基于N. Mok和作者关于切映射的双有理性。当Fano流形的极小有理切线簇是有限的时，其关键思想是通过与极小有理曲线相关联的泛态射对给定的满射进行因式分解.
Frobenius morphism and vector bundles on cycles of projective lines
本文讨论了弗罗贝尼乌斯态射对射影线圈上不可分解的向量丛的作用。这给出了一个问题的答案保罗Monsky，这出现在他的研究希尔伯特-昆兹理论的平面三次曲线。
The Morphism Induced by Frobenius Push-Forwards
设$X$是特征$p>0$的代数闭域$k$上亏格$g(X)\geq 1$的光滑投影曲线，$F_{X/k}:X\rightarrow X^{(1)}$是相对Frobenius态射.令$\mathfrak{M}^{s(ss)}_X(r,d)$（分别$\mathfrak{M}^{s(ss)}_{X^{(1)}}(r\cdot p,d+r(p-1)(g-1))$）分别是秩为$r$（或$\mathfrak{M}^{s(ss)}_{X^{(1)}}(r\cdot p,d+r(p-1)(g-1))$）的（半）稳定向量丛的模空间. $r\cdot p$）和程度$d$（分别为$d+r(p-1)(g-1)$）在$X$上（分别$X^{(1)}$）。证明了由$[\E]\mapsto[{F_{X/k}}_*(\E)]$诱导的集合论映射$S^{ss}_{\mathrm{Frob}}:\mathfrak{M}^{ss}_X(r,d)\rightarrow\mathfrak{M}^{ss}_{X^{(1)}}(r\cdot p,d+r(p-1)(g-1))$是一个真态射.此外，如果$g(X)\geq 2$，则诱导态射$S^s_{\mathrm{Frob}}:\mathfrak{M}^s_X(r,d)\rightarrow\mathfrak{M}^s_{X^{(1)}}(r\cdot p,d+r(p-1)(g-1))…
Moduli Stacks of Vector Bundles and Frobenius Morphisms
本文描述了特征p上有限域上代数曲线上定秩行列式代数向量丛模栈的上同调环上的不同弗罗贝尼乌斯态射的作用，并分析了特殊情况，如射影线上的向量丛以及与无限格拉斯曼的关系.
Frobenius morphism and semi-stable bundles
本文是在2008年首尔东亚代数几何会议上发表的演讲的扩展版本。在这篇笔记中，我打算给出一个关于半稳定丛在Frobenius拉回和直接镜像下的行为的结果的简要综述。有些结果是新的。
The Grothendieck ring of the structure group of the geometric Frobenius morphism
光滑簇上的几何弗罗贝尼乌斯态射是一个fppf-纤维丛。我们研究的结构群计划的表示。特别地，我们描述了不可约表示，并计算其有限维表示的Grothendieck环。
D-affinity and Frobenius morphism on quadrics
我们计算了二次曲面上线丛的Frobenius推进分解为线丛与旋量丛的直和。作为一个应用，我们展示了当Frobenius推进给出一个倾斜丛时，我们将其应用于研究二次曲面上的D-模。
On the Albanese morphism of varieties with Frobenius stable Kodaira dimension zero
本文证明了在正特征下，Frobenius 稳定 Kodaira 维数为零的正规固有簇的 Albanese 态射具有可分、满射和连通纤维等性质，并由此推导出阿贝尔簇上纤维化 Iitaka 次可加性猜想的一个新情形。
The toric Frobenius morphism and a conjecture of Orlov
我们结合Bondal-Uehara方法产生特殊的集合环面品种的第一作者和Favero的结果，扩大了一套品种，满足Orlov猜想的衍生尺寸。
Noncommutative resolution of toric singularities: An application of Frobenius morphism of noncommutative blowup
利用非交换爆破的弗罗贝尼乌斯态射，我们证明了每个正规环面奇点都有一个标准的非交换分解。
Ample filters and Frobenius amplitude
设$X$是域上的射影概形.通过弗罗贝尼乌斯态射证明了相干层序列的消失上同调与拉回下的消失密切相关。我们还比较了丰富局部自由层的各种定义，并证明了由弗罗贝尼乌斯态射给出的消失在某种意义上是最强的。我们的工作可以看作是Serre消灭定理的各种推广。
Tilting bundles via the Frobenius morphism
我们展示了如何使用特征$p$方法构造一类光滑射影簇的倾斜丛。给定这样一个簇$X$，把它约化到一个素数模，并考虑结构层在弗罗贝尼乌斯态射下的直接象。我们证明了在适当的限制下的特征，这些直接图像是倾斜丛的一些复曲面Fano品种，Del Pezzo表面，和旗品种$G/B$类型$A_2$和$B_2$。
Frobenius morphisms over Z/p^2 and Bott vanishing
设$X$是$Z/p$上的光滑投射代数簇，它对$Z/p^2$上的方案$X'$有平坦提升.如果$X$上的绝对Frobenius态射$F$提升为$X'$上的态射，那么Mazur的一个老技巧表明，在$F$下的de Rham复形的下推分解。我们证明了问题中的拟同构是分裂的。这是复曲面品种（其中胶参数给予提升Frobenius $Z/p^2$），我们得到自然特征$p$证明博特消失和退化的丹尼洛夫谱序列。对于旗品种，我们得到了推广的结果Paranjape和Srinivas关于非提升Frobenius的维特向量。
Maximally Frobenius-destabilized vector bundles over smooth algebraic curves
正特征的向量丛在被弗罗贝尼乌斯态射拉回后有不稳定的趋势。在本文中，我们仔细研究了曲线上的向量丛，在适当的意义下，最大限度地不稳定的弗罗贝尼乌斯态射。然后证明了秩为2的丛存在于特征为3的曲线上，并且直到被线丛扭转为止是唯一的。我们还给出了这类丛在充分向量丛研究中的一个应用，它对所有特征都成立。
Frobenius--Tschirnhausen ampleness
该研究探讨弗罗贝尼乌斯迹核丰沛的光滑射影簇，证明其非常态态射必有限且应为皮卡秩1的法诺簇，还证实经典型和G₂型广义格拉斯曼簇的弗罗贝尼乌斯迹核丰沛，仅低特征例外。
On images of weak Fano manifolds
考虑光滑复射影簇之间的光滑射影态射。如果源空间是一个弱Fano（或Fano）流形，那么目标空间也是。我们的证据是霍奇理论。我们不需要mod $p$归约参数。我们还讨论了相关的主题和问题。
Rational connectedness of log $Q$-Fano varieties
本文对极小模型程序中的一个猜想给予肯定的回答。证明了dim $n$的log $Q$-Fano簇是有理连通的.我们还研究了正则丛在射影态射下的行为。
Boundedness of finite morphisms onto Fano manifolds with large Fano index
本文研究了到 Fano 指数大于 1 的 Fano 流形上的有限态射的有界性，证明了特定四维流形情形下态射次数的有界性及无非同构满射自同态，并在 int-amplified 自同态条件下证明了流形的 toric 性及奇异二次曲面的分类。
The Frobenius morphism on flag varieties, II
本文是arXiv：1410.3742的续篇，研究了${\bf A}_3$和${\bf A}_4$型伴随簇上结构层的Frobenius推进.我们表明，这个向前推进层分解成一个直和的不可分解的丛，并明确确定这个集，不依赖于的特点。根据arXiv：0707.0913的结果，这个集合在相干层的导出范畴中形成了一个强的完全例外集合。这些计算导致了我们在最后陈述的一般情况下的一个自然的代数答案。
Kernels of Arithmetic Jet Spaces and Frobenius Morphism
本文研究了算术jet空间的核与Frobenius映射，揭示了其与Witt向量结构的联系。
Frobenius type positivity of Hodge bundles and applications
本文为相干层定义F^t-丰沛性和F^tGG-丰沛性两种Frobenius型正性概念，证明它们强于通常丰沛性，并建立半稳定态射下Hodge丛的F^1GG-半正性，推广了Fujita等人的结果，得到顶Chern特征正性及消失定理，并应用于Fano簇像和斜率不等式研究。
Pure subrings of regular local rings, endomorphism rings and Frobenius morphisms
本文研究正则局部环纯子环的自同态环，证明其在极大Cohen-Macaulay条件下为非交换crepant消解，并利用Frobenius态射构造Morita等价的另一消解，同时探讨非交换Frobenius态射与整体维数有限性的关系，并应用于wild商奇点的强F-正则性判定。
Frobenius semisimplicity for convolution morphisms
本文研究了有限域上簇上的混合$\ell$ -adic复形的性质，这些性质与弗罗贝尼乌斯自同构的作用有关.建立了有限域上簇的真态射下直象复形的半单性和Frobenius半单性的纤维准则.我们猜想域上的交复形的直像总是半单的和Frobenius半单的;这个猜想意味着Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber分解定理的一个强形式在有限域上是有效的。我们证明了我们的猜想（广义）卷积态射与部分仿射旗品种分裂连接约化群在有限域上，我们证明了盟军Frobenius半单纯性结果的交叉上同调群扭曲产品的舒伯特品种。我们为这些结果提供了两个证明：一个是基于某些卷积态射的纤维的仿射空间的铺设，另一个涉及到一个新的“大细胞”理论的示意图，适用于部分仿射旗品种，并结合Deligne的权重理论与适当的收缩$\mathbb G_m$ -行动对这些大细胞。这两个证明都依赖于我们的一般结果，即有限域上的簇的真映射的像的交复形是域的交复形的直像的直和项。通过适当的变换，主要结果在任何代数闭基域上都是有效的。
Images directes I: Espaces rigides analytiques et images directes
这篇文章是一系列三篇文章中的第一篇，专门讨论等晶体的直接图像：在这里，我们考虑没有Frobenius结构的等晶体;在第二篇文章中（分别是，第三个），我们将在收敛（分别）中引入Frobenius结构。overconvergent）上下文。对于可提升的真光滑态射，利用刚性解析空间之间的真态射的基变换定理，建立了直象的超收敛性.这一结果部分回答了Berthelot关于直象在适当的光滑态射下过收敛的一个猜想。
Exceptional collections on toric Fano threefolds and birational geometry
Bernardi和Tirabassi证明了在假设Bondal猜想的情况下，光滑复曲面Fano $3$ -folds上存在由线丛组成的完全强例外集合，该猜想指出结构层$\mc O_X$的Frobenius推进生成光滑投射复曲面簇$X$的导出范畴$D^b(X)$。本文利用双有理几何证明了光滑复曲面Fano $3$ -折叠的Bondal猜想，并改进了其结果.
Generalized GCD for toric Fano varieties
研究了非奇异环面Fano簇的环面不变爆破态射的最大公因数问题。我们的主要结果应用了Okounkov体理论和由Ru和Vojta建立的Cartan第二主要定理的算术形式。它还建立在西尔弗曼的几何概念的最大公因数。作为我们结果的一个特例，我们推导出非零代数数对的广义最大公因数的一个界。
Fujita's Conjecture and Frobenius amplitude
本文证明了Fujita猜想在任意特征下的一个版本，推广了K.E.史密斯我们的方法使用了弗罗贝尼乌斯态射，但避免了紧闭包理论。我们还获得了具有一定振幅性质的相干层的Fujita猜想的版本。
Positivity of anti-canonical divisors and $F$-purity of fibers
本文证明了：给定具有$F$ -纯闭纤维的光滑投射簇之间的平坦广义光滑态射，如果源空间是Fano、弱Fano或具有nef反典型因子的簇，则目标空间也是Fano、弱Fano或具有nef反典型因子的簇.我们还证明了一般光滑满射非常数态射的相对反典范除子在任意特征上都不是nef和big的。
Logarithmic Kunz and Radu--André Theorems
本文将刻画非奇异性的Kunz定理及其相对版本Radu–André定理，推广到正特征的对数代数几何领域。
Descent of morphisms of overconvergent F-crystals
Tsuzuki已经证明，对于具有Frobenius和连接在局部域k（（t））上的晶体，将过收敛晶体范畴嵌入收敛晶体范畴是完全忠实的。我们证明Tsuzuki的猜想仅限于子类别的潜在半稳定（或准单能）晶体，以下德容的证明稍弱的结果。我们还证明了Tsuzuki的猜想仅限于晶体最多有两个不同的斜坡。
The contraction morphism between maps and quasimaps to toric varieties
本文针对光滑射影环面簇构造了从稳定映射模空间闭子叠到拟映射模空间的收缩态射，证明了 Fano 情况下的满射性，并基于基点次数概念揭示了拟映射的确定条件。
The Frobenius morphism in invariant theory
设$R$是定义在特征为$p>0$的代数闭域上的格拉斯曼$\mathbb{G}=\operatorname{Gr}(2,n)$的齐次坐标环.在本文中，我们给出了一个完全特征自由的描述$R$，认为是一个分次$R^p$-模，分解成不可分解的（"Frobenius summands"）。作为推论，我们得到了$\mathbb{G}$的结构层的Frobenius向前推进的一个类似的分解，特别地，我们得到了这个向前推进几乎从来不是一个倾斜丛.另一方面，我们表明，$R$提供了一个"非交换决议" $R^p$时，$p\ge n-2$，推广的结果是真实的复曲面品种。在不变量理论和几何设置中，我们观察到，如果特征不太小，则Frobenius和数在适当的意义上不依赖于特征。在几何背景下，这是Bezrukavnikov和Mirković关于Frobenius分解的一般结果的显式版本。我们希望这是一个更一般的"$p$-均匀性"原则的实例。
Bott vanishing for Fano 3-folds
Bott证明了射影空间上层上同调的一个强消失定理，即对每个$j>0$，$i\geq 0$，和$L$都有$H^j(X,Ω^i_X\otimes L)=0$.这适用于复曲面品种，但不适用于大多数其他品种。我们对满足Bott消失的光滑Fano 3-折叠进行了分类。比预期的要多。在此过程中，我们猜想，对于每个光滑簇的投射双有理态射$π\colon X\to Y$，以及$X$上的每个在$Y$上充足的线丛$A$，对于每个$j>0$和$i\geq 0$，更高的直接像层$R^jπ_*(Ω^i_X\otimes A)$为零。
Deformations of Calabi-Yau manifolds in Fano toric varieties
在这篇文章中，我们研究的变形的Calabi-Yau流形$Z$在环面品种$F$，可能不光滑。特别地，我们证明了从$Z$在$F$中的无穷小变形的Hilbert函子$H^F_Z$到$Z$的无穷小变形的函子的遗忘态射是光滑的.这意味着$H^F_Z $在希尔伯特格式中的对应点处的光滑性。此外，我们给出了一些例子，并包括一些计算的Hodge数的Calabi-Yau流形的Fano复曲面簇。
Frobenius splitting and Derived category of toric varieties
利用线丛在复曲面簇上的Frobenius直像的分裂，在导出范畴D^b（X）中显式地构造了线丛的正交基，其中X是具有（几乎）最大Picard数的Fano复曲面簇.
Bridgeland Stability Conditions on Fano Threefolds
本文证明所有 Fano 三维流形上 Bridgeland 稳定性条件的存在性，通过修正 Bayer-Toda-第二作者的猜想，并利用强 Bogomolov 不等式及环 Frobenius 态射进一步证明环情形下的原始猜想。
Crystalline Realizations of 1-Motives: Integral Structure and Classification via Linear Frobenius
本文在1-动机范围内证明了p进版本的塔猜想，通过Deligne 1-动机的全忠实性定理，将Barsotti-Tate晶体函子与滤过Dieudonné模的Hom群联系起来，从而得出Frobenius兼容的晶体类本质上是动机的，进而给出动机映射的线性代数描述。
The Frobenius morphism on flag varieties, I
本文给出了秩为2的半单代数群$\bf G$，在旗簇${\bf G}/{\bf B}$上的凝聚层导出范畴中构造了一个特殊的半正交分解.这些分解被定义在本地化${\mathbb Z}_{\rm S}$，其中$\rm S$是坏素数的集合$\bf G$，而他们的块结构是兼容的Bruhat顺序Schubert品种。由这些分解定义的${\rm D}^b({\bf G}/{\bf B})$上的非标准$t$ -结构相对于由${\bf G}/{\bf B}$的规范层的平方根给出的对偶${\mathcal RHom}_{{\bf G}/{\bf B}}(-,ω_{{\bf G}/{\bf B}}^{\frac{1}{2}})$是自对偶的。对于经典类型的群，这允许构造更高的Frobenii向前推进丛${\sf F}^n_{\ast}{\mathcal O}_{{\bf G}/{\bf B}}$到不可分解丛的直和的显式分解。当$p>h$，对应群的Coxeer数，这组不可分解的丛在${\mathbb Z}_{\rm S}$上定义的${\rm D}^b({\bf G}/{\bf B})$中形成完全例外集合。
The Frobenius morphism in invariant theory II
设$R$是定义在特征为$p \geq \max\{n-2,3\}$的代数闭域$k$上的格拉斯曼$\mathbb{G}=Gr(2,n)$的齐次坐标环.本文给出了$r \geq 2$的分次$R^{p^r}$ -模$R$的分解.这是一个同伴的文件，我们以前的文件，其中的情况下$r=1$的治疗，并考虑在一起，我们的结果意味着，$R$有有限的F-表示类型（FFRT）。虽然预计所有环的不变量的约化群有FFRT，我们的是第一个非平凡的例子，这样的一个环的一个群体，这不是线性约化。作为推论，我们证明了微分算子环$D_k(R)$是简单的，$\mathbb{G}$具有全局有限F-表示型（GFFRT），$R$为$R^{p^r}$提供了一个非交换的分解.
Quantum Frobenius splittings and cluster structures
该研究证明量子Frobenius态射对偶及Lusztig分裂与量子cluster单项式相容，特化后得flag簇典范Frobenius分裂与Schubert胞腔cluster代数结构相容的结论。
Endomorphisms of Fano 3-folds and log Bott vanishing
本文将射影簇内放大自同态的博特消失定理推广到对数版本，应用于法诺三维簇，重新证明并推广了光滑复法诺三维簇相关结果至特征p情形。
Some properties and applications of $F$-finite $F$-modules
本文的目的是描述M. Hochster对内射壳上的Frobenius映射、Frobenius近分裂以及$F$ -有限$F$ -模的态射的性质的研究。在本文的结果中，我们证明了$F$ -有限$F$ -模的态射有一个特别简单的形式，并证明了某些Frobenius近分裂有100多个相容子模，从而推广了M. Blickle和G. Böckle到非$F$有限的情况。
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