Spectral supersaturation: Triangles and bowties
本文利用超饱和-稳定性方法证明了Ning-Zhai三角形结果的稳定性变体，并首次针对非色临界子结构（领结图）提出了谱超饱和定理，为其他非色临界图的谱计数提供了可行方法。
2025-07-17 math.CO
On stability of the Erdős-Rademacher Problem
Mantel定理指出每个有$\lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor +t$边的$n$ -顶点图，其中$t>0$包含一个三角形。确定这样的图中三角形的最小数目的问题通常被称为Erdens-Rademacher问题。Lovász和Simonovits证明了在每个图中至少有$t\lfloor n/2 \rfloor$三角形。Katona和Xiao在没有覆盖所有三角形的$s-1$顶点的附加条件下考虑了同样的问题。他们解决了$t=1$和$s=2$的案件。解决了他们的猜想，当$n$足够大时，我们确定了每个固定的$s$和$t$对的最小三角形个数.此外，解决了Katona和Xiao的另一个猜想，我们将理论推广到考虑团而不是三角形。
2021-06-11 math.CO
Most probably trangle-free graphs
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文研究了在超过无三角形图最大边数的情况下，通过概率方法最大化无三角形图概率的问题，并确定了特定边数情况下的精确最大概率。
2026-02-26 math.CO
Extremal triangle-free graphs with chromatic number at least four
本文将非二分无三角形图的 Erdős–Gallai/Andrásfai 边数极值结果推广到色数至少为四的情形，证明 $n\geq90$ 时边数至多为 $\lfloor(n-3)^2/4\rfloor+5$，并由 Grötzsch 图膨胀图证明其紧性。
2025-10-19 math.CO
A spectral Lovász-Simonovits theorem
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；School of Mathematics and Statistics, Central South University（中南大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Hunan University（湖南大学数学学院）
本文提出谱Lovász-Simonovits定理，研究图的谱半径与三角形数量的关系，证明了在特定条件下图中三角形数量的下限，并探讨了谱稳定性问题。
2026-03-18 math.CO
Book Ramsey numbers I
一本大小为q的书是q个三角形的并集，它们共享一条公共边。当p<q/6-o（q）时，我们找到了大小为q的书与大小为p的书的精确拉姆齐数。
2004-05-07 math.CO
Extremed signed graphs for triangle
本文研究了带号图的Turán问题。设$\dot{G}$是一个具有$e(\dot{G})$边和$e^-(\dot{G})$负边的$n$阶连通不平衡符号图，$ρ(\dot{G})$是$\dot{G}.$的谱半径。（PDMATHAMT）从具有$V(K_{n-2})=\{u_1,\dots,u_s,v_1,\dots,v_t\}$的全阳性团$(K_{n-2},+)$获得（$s,t\ge 1$）和两个孤立顶点$u$和$v$通过添加负边$uv$和正边$uu_1,\dots,uu_s,vv_1,\dots,vv_t.$首先，我们证明了如果$\dot{G}$是$C_3^-$ -free的，则$e(\dot{G})\le \frac{n(n-1)}{2}-(n-2),$具有相等性当且仅当$\dot{G}\sim \dot{G}^{s,t}.$此外，$e^-(\dot{G}^{s,t})\le \lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor\lceil\frac{n-2}{2}\rceil+n-2,$具有相等性当且仅当$\dot{G}^{s,t}= \dot{G}_U^{\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor,\lceil\frac{n-2}{2}\rceil},$其中$\dot{G}_U^{\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor,\lceil\frac{n-2…
2022-12-22 math.CO
Counting graph orientations with no directed triangles
Alon和Yuster证明了对于$n \geq 10^4$，任何$n$ -顶点图中每个$K_3$都是传递定向的，其定向数至多为$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$，并证明了$n$的精确下界应为$n \geq 8$ .我们证实了他们的猜想，此外，其特征的极值家庭显示，平衡的完全二部图与$n$顶点是唯一的$n$ -顶点图，正好有$2^{\lfloor n^2/4\rfloor}$这样的方向。
2020-05-27 cs.DM math.CO
A note on Ramsey Numbers for Books
大小为N的书是共享一条公共边的N个三角形的并集。我们证明了，对于所有N>（10^6）M，一本大小为N的书与一本大小为M的书的拉姆齐数等于2N+3。我们的证明是基于计数的。
2004-05-10 math.CO
Triangle-free Graphs with Large Minimum Common Degree
本文证明最小公共度大于 n/8 的无三角形图必同态于长度为 5 的圈，从而推广 Häggkvist 的经典结果，并说明该界不可改进。
2024-08-10 math.CO
Spectral Turán problem of non-bipartite graphs: Forbidden books
本文研究禁用书图B_{r+1}的非二部图的谱Turán问题，利用剩余指标、Chvátal-Hanson定理和谱极值方法，确定了谱半径上界并刻画了唯一极图，揭示了r=0与r≥1时极图结构完全不同。
2025-06-05 math.CO
A note on the number of triangles in graphs without the suspension of a path on four vertices
路径$P_4$的悬挂由一个$P_4$和连接到四个顶点中的每一个的附加顶点组成，并且由$\hat{P_4}$表示。无$\hat{P_4}$的$n$顶点图中三角形的最大数目用$ex(n,K_3,\hat{P_4})$表示. Mubayi和Mukherjee在2020年的研究表明，$ ex(n,K_3,\hat{P_4})= n^2/8+O(n)$。我们表明，对于足够大的$n$，$ex(n,K_3,\hat{P_4})=\lfloor n^2/8\rfloor$。
2022-03-23 math.CO
Book embeddings of graphs and a theorem of Whitney
证明了图的书嵌入所需的页数是任意极大不可分离子图所需页数的最大值，并且证明了每个三角形都有一个面的平面图有两页书嵌入.后者推广了H. Whitney和给出了$X$ -树和正方形网格的两页书嵌入。
2021-10-02 math.CO
A spectral Erdős-Faudree-Rousseau theorem
本文利用超饱和-稳定性和谱技术证明了谱Erdős-Faudree-Rousseau定理，并展示了该方法在图书大小猜想、友谊图子结构及奇圈稳定性等问题中的广泛应用。
2025-07-17 math.CO
More on spectral supersaturation for the bowtie
Chuzhou University（滁州学院）；Tsinghua University（清华大学）；East China University of Science and Technology（华东理工大学）
本文研究了bowtie的谱超饱和问题，证明了当图的谱半径达到一定阈值时，图中必须包含一定数量的bowtie结构。
2026-01-08 math.CO
Supersaturation in Nosal graphs: Triangles and books
School of Mathematics and Statistics, Gansu Center for Applied Mathematics, Lanzhou University（兰州大学数学与统计学院，甘肃省应用数学中心）；Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文用谱盈余衡量图超出诺萨尔阈值程度，证明了关于三角形、书本、风筝等的边谱超饱和结果，如特定条件下图含三角形数量、书本大小、风筝数量等，改进了相关界并确定了渐近常数。
2026-07-21 math.CO
Sparse halves in dense triangle-free graphs
Erdinger证明了在$n$顶点上的每个无三角形图$G$都包含一组至多跨越$n^2 /50$边的$\lfloor n/2 \rfloor$顶点. Krivelevich证明了最小度至少为$\frac{2}{5}n$的图的猜想。Keevash和Sudakov将这个结果改进为平均度至少为$\frac{2}{5}n$的图。我们加强这些结果表明，猜想持有的最低程度至少$\frac{5}{14}n$和图的平均程度至少$(\frac{2}{5} - \varepsilon)n$的一些绝对$\varepsilon >0$的图。此外，我们证明了猜想是正确的，图的编辑距离接近的Petersen图。
2015-02-10 math.CO
A note on a problem of Erdos and Rothschild
共享公共边的一组$q$三角形称为大小为$q$的书。让$bk(G)$表示的大小最大的书在图$G$，Erdwords和罗斯柴尔德\cite{erdostwo}问什么极小值的$bk(G)$是图$G$与$n$顶点和一组数量的边缘，其中每一个边缘都包含在至少一个三角形。本文证明了对于任何具有$n$顶点和$\frac{n^2}{4} - nf(n)$边的图$G$，其中每条边至少包含在一个三角形中，$bk(G) \geq Ω\left(\min{\{\frac{n}{\sqrt{f(n)}}, \frac{n^2}{f(n)^2}\}}\right)$ .
2014-12-04 math.CO
Book free $3$-Uniform Hypergraphs
本文研究不含 $k$-书结构的 $3$-均匀超图，证明其超边数至多为 $\ rac{n^2}{8}(1+o(1))$，给出了该类超图的渐近边数上界。
2023-10-30 math.CO
Gallai-Ramsey numbers for books
给定一个图$G$和一个正整数$k$，\emph{Gallai-Ramsey number}被定义为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本.本文给出了$B_{m} = K_{2} + \overline{K_{m}}$书中Gallai-Ramsey数的一般上、下界，并证明了$m \leq 5$的精确结果.
2018-02-14 math.CO
Eigenvalues and triangles in graphs
本文证实了Bollobás和Nikiforov关于$K_{r+1}$-自由图特征值平方和的猜想在$r=2$时的情形，并基于Erdős和Nosal定理给出了非二分图含三角形的两个最优充分条件。
2020-07-18 math.CO
Ramsey numbers of large books
书$B_n$是由共享公共边的$n$三角形组成的图。1978年，Rousseau和Sheehan证明了Ramsey数满足$r(B_m,B_n)\le 2(m+n)+c$，其中有一个常数$c>0$。本文证明了对所有的$m\le n$和$n$，$r(B_m, B_n)\le 2(m+n)+o(n)$都是大的，从而渐近地证实了Rousseau和Sheehan的猜想.作为推论，我们的结果暗示了Faudree，Rousseau和Sheehan（1982）关于强正则图的一个相关猜想是渐近成立的.
2021-12-17 math.CO
Ramsey numbers of quadrilateral versus books
书$B_n$是由共享公共边的$n$三角形组成的图。本文研究了四边形与书本的Ramsey数。先前的结果给出了$1\le n\le 14$的$r(C_4,B_n)$的精确值。我们的目标是显示的确切值$r(C_4,B_n)$无限多$n$。为了实现这一目标，我们首先证明了$m\ge4$和$0 \leq t \leq m-1$的$r(C_4,B_{(m-1)^2+(t-2)})\le m^2+t$。这改进了Faudree，Rousseau和Sheehan（1978）的一个结果，该结果指出\begin{align*} r(C_4,B_n)\le g(g(n)), \;\;\text{where}\;\;g(n)=n+\lfloor\sqrt{n-1}\rfloor+2. \end{align*}结合新的上界和无$C_4$图的构造，我们能够对无穷多个$n$确定$r(C_4,B_n)$的精确值。作为一个特例，我们证明了对所有素数幂$q\ge4$都有$r(C_4,B_{q^2-q-2}) = q^2+q-1$.
2021-08-25 math.CO
On the number of triangles in $K_4$-free graphs
本文推翻了Győri和Keszegh关于无$K_4$图中三角形数量下界的猜想，构造了无限多反例，并建立了一个修正的紧下界。
2025-09-15 math.CO
The maximum number of triangles in graphs without large linear forests
设$G$是$n$个顶点上的一个图. 图GG的一个线性森林是GG中由顶点不交的路以及孤立点组成的子图. $G$的最大线性森林是$G$的边数最多的子图，是一个线性森林。我们用$l(G)$来表示这个最大数。让$t=\left\lfloor (k-1)/2\right \rfloor$。最近，Ning和Wang证明了：若\cite{boning}，则对任意$k<n$，\[ e(G) \leq \max \left\{\binom{k}{2},\binom{t}{2}+t (n - t)+ c \right\}, \]，其中$c=0$，若$k$为奇数，则$c=1$为奇数，且不等式是紧不等式。本文证明了：若$l(G)=k-1$和$δ(G)=δ$（$δ<\lfloor k/2 \rfloor$），则对任意$k<n$，\[ e(G) \leq \max \left\{\binom{k-δ}{2}+δ(n-k+δ),\binom{t}{2}+t\left(n-t\right)+c \right\}. \]，当$δ=0$时，它归结为Ning和Wang的结果。此外，设$r_3(G)$是$G$中的三角形的数目。证明了若$l(G)=k-1$和$δ(G)= δ$，则对任意$k<n$，\[ r_3(G)\leq \max \left\{\binom{k-δ}{3}+\binomδ{2}(n-k+δ),\bino…
2018-12-24 math.CO
On the Ramsey-Turán density of triangles
现代图论中最古老的结果之一，由于Mantel，断言每个$n$顶点上的无三角形图最多有$\lfloor n^2/4\rfloor$边。大约半个世纪后，Andrásfai研究了稠密无三角形图，并证明了$n$顶点上的最大无三角形图不具有大小为$αn$的独立集，其中$2/5\le α< 1/2$是五边形的爆破。自Andrásfai的工作以来，又过去了50多年。在这篇文章中，我们朝着理解没有大独立集的稠密无三角形图的结构迈出了下一步。值得注意的是，我们用$α(G)\ge 3n/8$确定了$n$顶点上的无三角形图$G$的最大尺寸，并用$α(G) > n/3$提出了关于无三角形图$G$的结构的一个猜想.我们注意到，情况下$α(G) \le n/3$的行为不同，但由于工作的勃兰特这种情况是相当好的理解。
2020-12-17 math.CO
On the Turán number of the expansion of the book
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
该研究确定了充分大n时书图的3-扩张的Turán数，涉及书图、图的r-扩张及Turán数相关内容。
2026-09-03 math.CO
On a generalized Erdős-Rademacher problem
图的三角形覆盖数是指所有三角形中的顶点的最小数目。给定正整数$s,t$和一个具有$\lfloor n^2/4 \rfloor +t$边和三角形覆盖数$s$的$n$ -顶点图$G$，我们（对于大的$n$）确定了$G$中三角形最小数目的精确界，并描述了极值结构.对于更大尺寸的团和色临界图也证明了类似的结果。这扩展了Rademacher、Erd \H os和Lovász-Simonovits的经典工作，他们的结果只适用于$s \le t$。我们的结果也解决了两个萧和Katona。我们证明了其中之一，并给出了一个反例，证明了另一个猜想的修改版本。
2020-05-14 math.CO
On sufficient conditions for rainbow cycles in edge-colored graphs
设$G$是边着色图.我们使用$e(G)$和$c(G)$分别表示$G$的边数和$E(G)$上出现的颜色数。对于顶点$v\in V(G)$，$v$的\emph{color neighborhood}被定义为分配给与$v$关联的边的颜色集合。$G$的一个子图是\emph{rainbow}，如果它的所有边都被赋予不同的颜色。著名的曼特尔定理指出，如果$e(G)\geq\lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor+1$，则在$n$顶点上的图$G$包含三角形。Rademacher（1941）证明了在相同条件下$G$至少包含$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$三角形。Li，Ning，Xu and Zhang（2014）证明了Mantel定理的彩虹版本：边着色图$G$有彩虹三角形，如果$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2$。本文首先刻画了所有满足$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2-1$但不含彩虹三角形的图$G$。受Rademacher定理的启发，我们刻画了所有满足$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2$但只包含一个彩虹三角形的图$G$。进一步得到了彩虹短圈存在的色邻域条件的两个结果。我们的结果改进了Broersma、Li、Woeginger和Zhang（2005）提出的先前定理。此外，我们提供了一个充分条件的颜色邻域的顶点不相交的彩虹圈存在…
2019-03-18 math.CO
Sabotaging Mantel's Theorem
University of Warwick（华威大学）；University College London（伦敦大学学院）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
针对无三角形图需额外包含指定子图H的情况，研究曼特尔定理极值界的变化，建立通用上下界且对随机无三角形图等在指数层面为紧界。
2026-08-17 math.CO
On the $4$-clique cover number of graphs
本研究针对t≥4时t-团覆盖数由Turán图T_{n,t}最大化的猜想，结合归纳框架、贪心划分等新技术，证实了t=4时的猜想，推进了团覆盖数极值问题的研究。
2025-06-12 math.CO
Counting substructures and eigenvalues I: triangles
受Mubayi [Adv. Math.，2010]，我们从谱的角度研究Mubayi定理背后的现象，并从三角形的基本情况开始这个问题。本文证明了具有给定顶点数、边数和谱半径的图中三角形的副本数的紧界。设$n$和$m$是图的阶和大小。我们的结果推广了Nosal的证明，即当谱半径大于$\sqrt{m}$时，存在一个三角形; Rademacher的证明，即当边数大于2-部Turán图的边数时，至少存在$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$三角形.这些结果以及Bollobás和Nikiforov的两个谱不等式可以被视为寻找Mubayi定理谱版本问题的三角形情况的解决方案。此外，我们给出了Bollobás和Nikiforov [J. Combin. Theory Ser. B，2007]：$t(G)\geq \frac{λ(G)(λ^2(G)-m)}{3}$并刻画极值图。最后提出了一些需要解决的问题。
2021-12-24 math.CO
The Turán number of book graphs
给定一个图$H$和一个正整数$n,$，$H$的图兰数对于阶为${\rm ex}(n,H),$的$n,$是不包含$H$作为子图的阶为$n$的简单图的最大尺寸。带有$p$页面的书，记为$B_p$，是由共享公共边的$p$三角形组成的图。Bollobás和Erdás于1975年开始研究书图的Turán数。${\rm ex}(p+2,B_p)$和${\rm ex}(p+3,B_p)$这两个数已由乔和詹确定。本文确定了数${\rm ex}(p+4,B_p),$、${\rm ex}(p+5,B_p)$和${\rm ex}(p+6,B_p),$，并刻画了数${\rm ex}(n,B_p)$与$n=p+2,\,p+3,\,p+4,\,p+5.$对应的极图
2021-04-25 math.CO
The Erdős bipartification conjecture is true in the special case of Andrásfai graphs
设Andrásfai图$\mathrm{And}_k$定义为顶点集为$\{v_0,v_1,...c, v_{3k-2}\}$且两个顶点$v_i$和$v_j$相邻的图当且仅当$|i-j| \equiv 1\mod 3$ .图$\mathrm{And}_k$是极大无三角形图，它在刻画最小度大的无三角形图为同态原像方面起着重要作用。图$G$的最小二分化定义为一组边$F\subset E(G)$，它具有图$(V(G), E(G)\backslash F)$是二分的性质，并且对于每个$e \in F$，图$(V(G), E(G)\backslash (F\backslash e))$不是二分的.本文证明了存在$\mathrm{And}_k$的极小二分$F_k$，它恰好由$\lfloor\frac{k^2}{4}\rfloor$边组成.这等于$\lfloor{1/36}\bigl(|\mathrm{And}_k|+1\bigr)^2\rfloor$，其中$|\cdot|$表示图的顶点数。对于所有的$k$，这与Paul Erdens的猜想一致，即每个无三角形图$G$可以通过删除至多${1/25} |G|^2$边而成为二分图。像$F_k$这样的二分化可以用来证明Andrásfai图的任意同态原像可以通过删除至多${1/25} |G|^2$边而成为二分的。
2009-09-29 math.CO
Cycle-maximal triangle-free graphs
我们猜想平衡完全二部图$K_{\lfloor n/2 \rfloor,\lceil n/2 \rceil}$比任何其它的$n$ -顶点无三角形图包含更多的圈，并且我们在证明这一点上取得了一些进展。我们给出了圈极大三角形自由图的等价条件;给出了圈数与顶点数、边数、围长以及与小固定图的同态之间的界限;并利用这些界限证明了在正则图中，猜想成立。我们还考虑了接近正则的图，其最小度和最大度最多相差一个正整数$k$。对于$k=1$，我们表明，任何这样的反例有$n\le 91$，并不同态$C_5$ ;和任何固定的$k$存在一个有限的上界的顶点数的反例。最后，我们描述了一个算法，有效地计算矩阵永久（一般是一个P-完全问题），在我们的界限使用的特殊情况下。
2014-10-29 math.CO
Triangles in randomly perturbed graphs
研究了随机扰动图模型中两两点不交三角形的求法问题，该模型是任意满足给定最小度条件的$n$ -顶点图$G$与二项随机图$G(n,p)$的并集.我们证明了渐近几乎必然$G \cup G(n,p)$包含至少$\min\{δ(G), \lfloor n/3 \rfloor\}$成对顶点不相交的三角形，提供$p \ge C \log n/n$，其中$C$是一个足够大的常数。这是狄拉克的一个旧结果的扰动版本。我们的结果是渐近最优的，并以强形式回答了Han，Morris和Treglown [RSA，2021，no.3，480- 516]的一个问题。我们还证明了我们结果的一个稳定性版本，在成对顶点不相交三角形的情况下，它扩展了Han，Morris和Treglown的结果[RSA，2021，no. 3，480- 516]。连同Balogh，Treglown和Wagner的结果[CPC，2019，第2号，159- 176]，这完全解决了随机扰动图中三角因子的存在性。我们相信，本文介绍的方法是有用的各种相关问题：我们讨论可能的概括集团因素，周期因素，和$2$的普遍性。
2022-06-01 math.CO
Almost Empty Monochromatic Triangles in Planar Point Sets
对于正整数$c, s \geq 1$，令$M_3(c, s)$是最小整数，使得平面中至少有$M_3(c, s)$点的任何集合，在一条直线上没有三个点，并且用$c$颜色着色，包含最多$s$内部点的单色三角形。$s=0$对应于空的单色三角形，在过去几年中得到了广泛的研究。特别地，已知$M_3(1, 0)=3$、$M_3(2, 0)=9$和$M_3(c, 0)=\infty$用于$c\geq 3$。本文推广了当$c \geq 2$和$s \geq 1$ .证明了使$M_3(c, λ_3(c))< \infty$满足的最小整数$λ_3(c)$：$$\left\lfloor\frac{c-1}{2}\right\rfloor \leqλ_3(c)\leq c-2,$$其中$c \geq 2$ .此外，对于小的$c$和$s$值，确定了$M_3(c, s)$的精确值。我们还猜想$λ_3(4)=1$，并验证它足够大的霍顿集。
2015-06-18 math.CO
On the local density problem for graphs of given odd-girth
Erdinger证明了每个$n$ -顶点无三角形图都包含一个至多跨越$n^2/50$边的$\lfloor n/2\rfloor$顶点子集.推广了Norin和Yepremyan最近的一个结果，我们证实了这个猜想的图同态所谓的Andrásfai图。因此，Erdés猜想对每一个具有最小度$δ(G)>10n/29$的无三角形图$G$成立，如果是$χ(G)\leq 3$，则度条件可以放宽为$δ(G)> n/3$ .事实上，我们得到了一个更一般的结果，高奇围长的图。
2019-03-04 math.CO
On The b-Chromatic Number of Regular Graphs Without 4-Cycle
图$G$的b-色数，记为$ϕ(G)$，是$G$允许正常$k$ -染色使得每个色类都有一个顶点与其他色类中的至少一个顶点相邻的最大整数$k$.本文证明了：对每个不含4-圈的$d$ -正则图$G$，有$ϕ(G)\geq\lfloor\frac{d+3}{2}\rfloor$，若$G$有三角形，则有$ϕ(G)\geq\lfloor\frac{d+4}{2}\rfloor$ .另外，如果$G$是一个不含4-圈和$diam(G)\geq6$的$d$ -正则图，则有$ϕ(G)=d+1$ .最后，我们证明了对任何不含4-圈和$κ(G)\leq\frac{d+1}{2}$的$d$ -正则图$G$，$ϕ(G)=d+1$ .
2011-03-08 math.CO
A spectral Erdős-Rademacher theorem
本文提出 Erdős-Rademacher 定理的谱版本，给出度量图谱半径增量的方法，并将结果推广到颜色临界图的计数问题。
2024-06-09 math.CO
A spectral threshold for triangle counting
School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学数学与统计学院）
研究在谱半径条件下图所含三角形的最小数量，证明了当谱半径满足特定不等式时，图至少包含s个三角形，并刻画了极图。
2026-06-11 math.CO
Gallai's path decomposition conjecture for triangle-free planar graphs
图$G$的路径分解是覆盖$G$的边集的$G$的边不相交路径的集合。Gallai（1968）证明了$n$顶点上的连通图的路分解至多为$\lfloor (n+1)/2\rfloor$ . Gallai猜想已在许多图类中得到验证。特别地，Lovász（1968）证明了这个猜想对于至多有一个偶数度顶点的图，而Pyber（1996）证明了它对于每个圈包含一个奇数度顶点的图。最近，Bonamy和Perrett（2016）验证了Gallai猜想，用于最大度至多为$5$的图，Botler等人（2017）验证了树宽至多为$3$的图。本文证明了无三角形可平面图的Gallai猜想。
2018-03-19 cs.DM math.CO
Upper bounds on the Q-spectral radius of book-free and/or $K_{s,t}$-free graphs
本文证明了两个关于最大度为$Δ$的$G$阶图$n$的无符号拉普拉斯谱半径$q(G)$的结果。令$B_{n}=K_{2}+\overline{K_{n}}$表示书，即，图形$B_{n}$由共享边的$n$三角形组成。(1)设$1< k\leq l< Δ< n$和$G$是阶$n$具有最大度$Δ$的连通\{ $B_{k+1},K_{2,l+1}$ \}-free图.然后$$\displaystyle q(G)\leq \frac{1}{4}[3Δ+k-2l+1+\sqrt{(3Δ+k-2l+1)^{2}+16l(Δ+n-1)}.$$具有相等性当且仅当$G$是具有参数（$Δ$，$k$，$l$）的强正则图. (2)设$s\geq t\geq 3$和$G$是一个连通的无$K_{s,t}$图，其序为$n$ $(n\geq s+t)$ .然后是$$q(G)\leq n+(s-t+1)^{1/t}n^{1-1/t}+(t-1)(n-1)^{1-3/t}+t-3.$$
2016-12-12 math.CO
The Spectrum of Triangle-free Graphs
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Iowa State University（爱荷华州立大学）；McGill University（麦吉尔大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
研究三角自由图的谱性质，证明其符号拉普拉斯矩阵的最小特征值上界，并与Erdős的两个猜想相关联。
2026-09-10 math.CO
Hypergraph Turán problem of the generalized triangle with bounded matching number
本文研究匹配数不超过 $s$ 的不含广义三角形 $F_5$ 的 3-图的最大边数，通过证明 Mantel 定理的二染色版本，得到 $n\geq 30(s+1)$、$s\geq 3$ 时的精确上界。
2025-07-23 math.CO
Sharp bounds for decomposing graphs into edges and triangles
对于一个实常数$α$，令$π_3^α(G)$是$K_2$的个数的两倍加上$α$乘以$G$的所有边分解为$K_2$和$K_3$的副本上的$K_3$的个数的最小值，其中$K_r$表示$r$顶点上的完全图。设$π_3^α(n)$是所有具有$n$顶点的图$G$上的$π_3^α(G)$的最大值。极值函数$π_3^3(n)$最早由Gyatri和Tuza [Decompositions of graphs into complete subgraphs of given order，Studia Sci.数学。饥饿。22（1987），315- 320]。在这个问题上的最新进展，Král '，Lidicklane，Martins和Pehova [分解图成边和三角形，Combin.概率计算28（2019）465--472]通过标记代数证明了$π_3^3(n)\le (1/2+o(1))n^2$ .我们通过确定$π_3^α(n)$的精确值和所有$α$和足够大的$n$的极值图集来扩展他们的结果。特别是，我们表明$α=3$的$K_n$和完全二分图$K_{\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil}$是唯一可能的极值的例子大$n$。
2020-06-11 math.CO
The Crossing Number of Seq-Shellable Drawings of Complete Graphs
Harary-Hill猜想指出，对于每个$n>0$，$n$上的完全图的顶点$K_n$，其所有可能的图的最小交叉数等于\begin{align*} H(n) := \frac{1}{4}\Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-1}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-2}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor\frac{n-3}{2}\Big\rfloor\text{.} \end{align*}。到目前为止，该猜想的下界只能对$K_n$与$n\leq 12$的任意图得到验证。近年来，对某些类型的图形，如$2$ -page-book，$x$ -monotone，$x$ -bounded，shellable和bishellable图形的猜想的验证取得了进展。到目前为止，双壳图类是Harary-Hill猜想已被证实的最广泛的类，因为它包含了所有前面提到的类。在这项工作中，我们介绍了类的seq-shellable图纸，并验证了Harary-Hill猜想这个新的类。我们证明了双壳性蕴涵了序列可壳性，并证明了$K_{11}$的一个不可双壳但可序列可壳的图类，因此可序列可壳的图类严格包含了可双壳的图类.
2018-03-20 cs.CG math.CO
Connectivity keeping trees in triangle-free graphs
Korea Institute for Advanced Study（韩国高等科学研究院）；School of Data Science, Yokohama City University（横滨市立大学数据科学学院）；Department of Mathematics Education, Seoul National University（首尔国立大学数学教育系）；Department of Mathematics, Ajou University（阿丘大学数学系）
本文在无三角形图中研究保持连通性的子树问题，证明最小度至少为2k+3m−4的k-连通无三角形图必含同构于任意m阶树T的子树且删除后仍保持k-连通，并给出二部图等子类的精细结果。
2026-10-14 math.CO
Spectral extremal graphs without intersecting triangles as a minor
令$F_s$是通过共享公共顶点而从$s$三角形获得的友谊图。对于固定的$s\ge 2$和足够大的$n$，达到最大谱半径的$n$阶的无$F_s$图首先由Cioabelo，Feng，Tait和Zhang [Electron. J. Combin. 27（4）（2020）]，后来由Zhai，Liu和Xue [Electron. J. Combin. 29（3）（2022）]。近年来，不含$H$的图的谱极值问题得到了广泛的研究。例如，Tait [J. Combin. Theory Ser. A 166（2019）]，Zhai and Lin [J. Combin.理论系列B 157（2022）]分别解决了$H=K_r$和$H=K_{s,t}$的情况。受这些结果的启发，我们考虑了$H=F_s$情形下的谱极值问题。证明了$K_s \vee I_{n-s}$是所有$n$ -顶点$F_s$ -无子图中唯一的达到最大谱半径的图.此外，令$Q_t$是通过共享公共顶点从长度为$4$的圈的$t$副本获得的图。我们还确定了唯一的$Q_t$ -minor-free图达到最大的谱半径。即，$K_t \vee M_{n-t}$，其中$M_{n-t}$是通过嵌入由$\lfloor \frac{n-t}{2}\rfloor$边组成的匹配从阶$n-t$的独立集合获得的图。
2023-01-15 math.CO
Weakened Gallai-Ramsey Numbers for Books
Western Carolina University（西卡罗来纳大学）
本文研究书图B_n的弱化Gallai-Ramsey数，扩展了前人t=3时的结果，确定了t>3时gr^3_2(B_n)在5≤n≤15的值，并给出该类数的一般下界。
2026-08-14 math.CO
The 2-page crossing number of $K_n$
大约在1958年，Hill描述了如何画出具有[Z（n）：=1/4 \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor \lfloor \frac{n-2}{2} % \rfloor \lfloor \frac{n-3}{2} \rfloor ]交叉的完全图$K_n$，并证明了$K_n$的交叉数$\crg (K_{n})$正好是Z（n）。这也被称为盖伊猜想，因为他后来推广了它。到本世纪末，发现了具有Z（n）交叉的$K_{n}$的基本不同的绘图。这些绘图是\emph{2-page book drawings}，即所有顶点都在$\ell$（脊柱）上的绘图，并且每个边缘都完全包含在$\ell$定义的两个半平面（页面）之一中。$K_{n} $的\emph{2-page crossing number}，用$ν_{2}(K_{n})$表示，是由$K_{n}% $的2页书籍绘图确定的最小交叉数。由于$\crg(K_{n}) \leν_{2}(K_{n})$和$ν_{2}(K_{n}) \le Z(n)$，希尔猜想的一个自然步骤是%（形式上）较弱的猜想$ν_{2}(K_{n}) = Z(n)$，由Vrt 'o推广。据我们所知，这个自然猜想是由Imrich Vrt 'o在2007年首次提出的。在本文之前，已知的$ν_2(K_n)$的结果…
2012-06-25 cs.CG math.CO
Bollobás-Nikiforov Conjecture for graphs with not so many triangles
本文验证了Bollobás-Nikiforov猜想的推广形式，证明了对于边数为$m$且三角形数量至多为$O(m^{1.5-\varepsilon})$的图族该猜想成立，特别指出其在平面图、无书图和无环图中成立。
2024-07-27 math.CO
Extracting list colorings from large independent sets
我们将Kostochka和Yancey的核引理应用于其逻辑结论。其结果是一种神奇的方法，可以从一个独立集的存在性中得出关于列表着色（和在线列表着色）的结论。我们用它来证明在线列表着色的布鲁克斯定理的Ore度版本。图$G$中边$xy$的Ore度为$θ(xy) = d_G(x) + d_G(y)$。$G$的矿石级为$θ(G) = \max_{xy\in E(G)}θ(xy)$。我们证明了每个具有$θ\ge18$和$ω\le\fracθ{2}$的图都是在线$\left\lfloor \fracθ{2}\right\rfloor $可选择的。此外，我们还证明了在线列表着色无三角形图的一个上界：$χ_{OL}\leΔ+1-\lfloor\frac{1}{4}\lg(Δ)\rfloor$。最后，我们把Gallai树刻画为连通图$G$，它至少有$|G|$边没有独立集。
2015-12-26 math.CO
Counting triangles in graphs without suspensions of paths
School of Mathematical Sciences, Anhui University（安徽大学数学科学学院）；Center for Pure Mathematics, School of Mathematical Sciences, Anhui University（安徽大学数学学院纯数学中心）
针对不含路径悬挂图的图中三角形计数问题，本文通过统一方法确定了对每个固定路径的广义Turán数的渐近值，证明了Mubayi和Mukherjee的相关猜想。
2026-10-14 math.CO
