On Bellman's equations with VMO coefficients
N. V. Krylov
本文给出了具有VMO“系数”的Bellman方程在整个$\bR^{d}$空间中在$W^{2}_{p}$，$p>d$中的可解性结果.抛物型方程也涉及。
We present a result about solvability in $W^{2}_{p}$, $p>d$, in the whole space $\bR^{d}$ of Bellman's equations with VMO ``coefficients''. Parabolic equations are touched upon as well.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On fully nonlinear elliptic and parabolic equations in domains with VMO coefficients
本文证明了一类完全非线性抛物型方程，包括抛物型Bellman方程，在具有VMO“系数”的有界圆柱区域上的终端边值问题在索伯列夫空间$W^{1,2}_p$，$p>d+1$中的可解性.还得到了相应的椭圆型边值问题在$W^{2}_p$，$p>d$中的可解性.
Second-order elliptic equations with variably partially VMO coefficients
本文证明了二阶椭圆型方程在一个方向上可测，在正交方向上VMO，且方向依赖于小球的可解性.这在很大程度上推广了具有连续或VMO系数的方程的情况。
Parabolic and elliptic equations with VMO coefficients
给出了椭圆型和抛物型方程的发散和非散度型的$L_{p}$ -理论.主系数被假定属于类$VMO_{x}$，其特别地包含独立于$x$的所有函数。得到了这类方程的鞅问题的弱唯一性。
Partial regularity for elliptic systems with VMO-coefficients
建立了散度型非齐次椭圆型方程组向量值解的部分正则性，其中系数关于$x$可能是不连续的。更准确地说，我们假设一个VMO条件的$x$和连续性的$u$和证明Hölder连续的奇异集外的解决方案。
Parabolic equations with partially VMO coefficients and boundary value problems in Sobolev spaces with mixed norms
研究了索伯列夫空间中具有混合范数的二阶抛物型方程.首项系数（除$a^{11}$外）在时间和一个空间变量中是可测量的，并且VMO在其他空间变量中是可测量的。系数$a^{11}$在时间上是可测量的，在空间变量上是VMO。利用方程在全空间中唯一可解的性质，求解了半空间中抛物型方程的Dirichlet和斜微商问题。
Parabolic equations with VMO coefficients in spaces with mixed norms
给出了抛物型方程的发散和非散度型的$L_{q}(L_{p})$ -理论.主系数被认为属于类$VMO_{x}$，其中，特别是，包含所有可测函数，只依赖于$t$。证明方法简化了以前在$p=q$情况下使用的方法。
Partial regularity for parabolic systems with VMO-coefficients
我们建立了抛物方程组向量值解的部分正则性，其中系数关于（x，t）可能是不连续的。更确切地说，我们假设一个VMO条件关于（x，t）和连续性关于u和证明Hölder连续性的解决方案以外的奇异集。
Regularity theory for nonlocal equations with VMO coefficients
证明了分数阶索伯列夫空间中具有可能间断系数的VMO型非线性非局部方程的高正则性。而对于相应的局部椭圆型方程与VMO系数，它是唯一可能获得更高的可积性，在我们的非局部设置，我们也能够证明大量的更高的可微性，使我们的结果是在某种意义上的纯粹的非局部类型。通过嵌入，我们也获得了更高的Hölder正则性的非局部方程。
Regularity results for a class of nonlocal double phase equations with VMO coefficients
研究了一类具有间断系数的非局部双相问题。在相关系数函数为VMO（消失平均振荡）型且主系数不仅依赖于变量而且依赖于解本身的假设下，得到了这类问题的弱解的局部自改善性质和更高的Hölder连续性结果.
Boundary estimates for elliptic operators in divergence form with VMO coefficients
本文针对具有VMO系数的散度型椭圆算子，建立了边界正则性估计及Hopf-Oleinik型引理的非退化估计，并用系数与数据的$L^p$-平均振荡刻画连续模。
Second-order elliptic and parabolic equations with $B(\mathbb R^{2}, VMO)$ coefficients
证明了二阶非散度型抛物型方程在索伯列夫空间$W^{1,2}_p$中的可解性，其中$p>2$接近2。假定首项系数在时间变量和空间变量的两个坐标上是可测的，并且关于其他坐标几乎是VMO（消失平均振荡）。这意味着对于首项系数在两个坐标系中可测而在另一个坐标系中可测的非散度型椭圆型方程的相同$p$，存在$W^{2}_p$ -可解性.在稍有不同的假设下，我们也得到了当$p=2$。
Parabolic equations with variably partially VMO coefficients
本文证明了非散度型二阶抛物型方程的$p\in (1,\infty)$-可解性。假设首项系数在一个空间方向上是可测量的，并且在每个小抛物柱面中在正交方向上具有消失的平均振荡（VMO）和时间变量，其中方向取决于圆柱。这推广了Krylov [17]关于椭圆型方程的一个最近结果，并去掉了$p>2$ .
Interior $C^{1,α}$ regularity on the linearized Monge-Amp$\grave{e}$re equation with $\mathrm{VMO}$ type coefficients
本文建立了线性化Monge-可积$\grave{e}$再方程$$\mathcal{L}_ϕu:=\mathrm{tr}[ΦD^2 u]=f,$$解的内$C^{1,α}$估计，其中Monge-可积$\grave{e}$再测度$g:=\mathrm{det}D^2ϕ$的密度满足$\mathrm{VMO}$ -型条件，$Φ:=(\mathrm{det}D^2ϕ)(D^2ϕ)^{-1}$是$D^2ϕ$的余因子矩阵.
Global $W^{2,p}$ regularity on the linearized Monge-Amp$\grave{e}$re equation with $\mathrm{VMO}$ type coefficients
本文建立了线性化Monge-可积$\grave{e}$再方程$$\mathcal{L}_ϕu:=\mathrm{tr}[ΦD^2 u]=f,$$解的整体$W^{2,p}$估计，其中Monge-可积$\grave{e}$再测度$g:=\mathrm{det}D^2ϕ$的密度满足$\mathrm{VMO}$ -型条件，$Φ:=(\mathrm{det}D^2ϕ)(D^2ϕ)^{-1}$是$D^2ϕ$的余因子矩阵.
On $C^{1+α}$ regularity of solutions of Isaacs parabolic equations with VMO coefficients
证明了完全非线性二阶抛物型方程的边值问题存在$L_{p}$ -黏性解，且对于$α\in(0,1)$，该解在$C^{1+α}$中.该方程有一个特殊的结构，“主要”部分只包含二阶导数是由一个正齐次函数的二阶导数和作为一个函数的自变量，它是可测量的时间变量，可以说，VMO的空间变量。
Weighted mixed norm estimates for fractional wave equations with VMO coefficients
本文研究了全空间、半空间和圆柱域上$α\in (1,2)$阶时间分数阶波动方程的$L_p$估计。当小圆柱上的首项系数具有小的平均振动时，我们得到了非散度型和散度型的加权混合模估计和可解性。
$W^{1,p}_{X}$ interior estimates for variational hypoelliptic operator with $VMO_X$ coefficients
本文考虑一个散度型亚椭圆算子，它由一个在某个区域$Ω\subseteq\erren$上满足Hörmander条件的实光滑向量场系统$X_{1},..., X_{q}$构成。对于方程$X_j^T(a^{ij}X_iu)=X_j^T F^j,$的弱解，通过假设系数$a^{ij}$局部属于空间$VMO_X$，关于由向量场诱导的Carnot-Caratheodory度量，可以得到内部$L^{p}$估计$2\leq p<\infty$.
The Caffarelli Alternative in Measure for the Nondivergence Form Elliptic Obstacle Problem with Principal Coefficients in VMO
本文研究了VMO中非散度型椭圆算子的障碍问题。我们发展了解的存在性、唯一性、最优正则性和非退化性的所有基本理论。这些结果，反过来，使我们能够开始研究的正则性的自由边界，我们显示存在的爆破限制，一个基本的措施稳定性的结果，并测量理论版本的Caffarelli替代证明在Caffarelli的1977年文件“的正则性自由边界在更高的维度。"
Quasilinear Cauchy-Dirichlet problem for parabolic equations with $VMO_x$ coefficients
研究具有不连续系数的抛物型拟线性方程Cauchy-Dirichlet问题，在适当结构条件下证明了强解的存在性、唯一性及Hölder连续性。
Mixed-norm $L_p$-estimates for non-stationary Stokes systems with singular VMO coefficients and applications
本文证明了小圆柱中具有无界可测系数且关于空间变量具有小平均振荡的发散型和非散度型时变Stokes方程组解的混合范数Sobolev估计.作为一种特殊情况，我们的结果包含了变系数Stokes系统的Caccioppoli型估计。一个新的$ε$正则性准则的Leray-Hopf弱解的Navier-斯托克斯方程也得到作为我们的正则性结果的结果，这反过来又意味着一些著名的Serrin的正则性准则的边界情况。
Improved Sobolev regularity for linear nonlocal equations with VMO coefficients
本文研究了具有非常不规则的VMO型系数甚至是BMO中很小的系数的线性非局部方程的高可积性和可微性。特别地，这样的系数可能是不连续的。而相应的本地椭圆型方程VMO系数这样的索伯列夫正则性增益沿可微尺度是无法实现的，它已经观察到在以前的工作中，获得可微性在我们的非本地设置是可能的限制性较低的假设下，比在本地设置。在本文中，我们遵循这一方向，并表明，在右手边，允许一个任意小的增益的可积性的假设下，弱解$u \in W^{s,2}$实际上属于$W^{t,p}_{loc}$的任何$s \leq t < \min\{2s,1\}$，其中$p>2$反映了可积性获得的金额。换句话说，我们获得的可微性并不取决于我们能够获得的可积性的大小。这扩展了许多结果在以前的作品中，要么连续性的系数是必需的，或只有一个一般较小的增益微分证明。
Weighted estimates for time-fractional parabolic equations with VMO coefficients
本文研究了具VMO系数的时间分数阶抛物方程在全空间和半空间中的加权估计与可解性，通过奇偶延拓及边界条件推导半空间结果，证明依赖于Fefferman-Stein定理与Hardy-Littlewood极大函数定理。
$L^p$-theory for fractional gradient PDE with VMO coefficients
本文证明了系数为$VMO$的椭圆型分数阶偏微分方程解的分数阶导数的$L^p$估计。特别是，我们的工作扩展了已知的最佳正则性在二阶椭圆设置的分数阶椭圆型方程的频谱。
On divergence form SPDEs with VMO coefficients
本文给出了全空间上散度型随机微分方程在Sobolev空间$W^{1}_{p}$中可解性的几个结果。
On divergence form SPDEs with VMO coefficients in a half space
本文将关于$\bR^{d}_{+}$中散度型SPDE在索伯列夫空间$W^{1}_{p}$、$p\in[2,\infty)$中的可解性的几个已知结果推广到系数在空间变量中不连续的方程。
SPDEs in divergence form with VMO coefficients and filtering theory of partially observable diffusion processes with Lipschitz coefficients
在Lipschitz连续性假设下，给出了部分可观测扩散过程系数在$L_{p}$意义下的滤波密度光滑性的几个结果.我们把通常用形式伴随于非散度型算子的滤波方程改写为散度型，得到了它们。
Boundary Lebesgue mixed-norm estimates for non-stationary Stokes systems with VMO coefficients
我们考虑具有可测系数和狮子型边界条件的Stokes系统。我们发现，在对比的Dirichlet边界条件，局部边界混合范数$L_{s,q}$ -估计举行的空间二阶导数的解决方案，假设小的平均振荡系数相对于空间变量在小圆柱。在$s=q=2$的非混合范数情况下，结果仍然是新的，并提供了局部边界Caccioppoli型估计。工作中的主要挑战来自缺乏规律性的压力和时间导数的解决方案，并从系统的非局部结构的边界的相互作用。为了克服这些困难，我们的方法在很大程度上依赖于几个新开发的正则性估计的发散和非散度型的抛物型方程的系数，只有在时间变量和空间变量之一是可测量的。
Parabolic equations with measurable coefficients in $L_p$-spaces with mixed norms
给出了具有混合范数的索伯列夫空间中抛物型方程的唯一可解性。假设二阶系数（除$a^{11}$外）仅在时间和一个空间变量中可测量，并且在其他空间变量中可测量VMO。系数$a^{11}$在一个空间变量中是可测量的，而VMO在其他变量中是可测量的。
Holder continuity of weak solutions of p-Laplacian PDE's with VMO coefficients
我们考虑$p$ -Laplacian PDE \begin{equation} \nabla\cdot\big(a(x)|Du|^{p-2}Du\big)=0,\notag \end{equation}对于$x\inΩ\subseteq\mathbb{R}^{n}$的解$u\in W^{1,p}\big(Ω;\mathbb{R}^{N}\big)$，其中$Ω$是开有界的.更一般地说，我们认为解决方案的椭圆系统\begin{equation} \nabla\cdot\left(a(x)g'\big(a(x)|Du|\big)\frac{Du}{|Du|}\right)=0\text{, }x\inΩ\notag \end{equation}以及极小的功能\begin{equation} \int_Ωg\big(a(x)|Du|\big)\ dx.\notag \end{equation}在每种情况下，系数映射$a\ : \ Ω\rightarrow\mathbb{R}$仅假设为类$VMO(Ω)\cap L^{\infty}(Ω)$，这意味着它可能是不连续的。在不假设$x\mapsto a(x)$有任何弱可微性的情况下，我们证明了对于每个$0<α<1$都有$u\in\mathscr{C}_{\text{loc}}^{0,α}(Ω)$。前面的结果是，事实上，一个推论的一个更一般的结果，适…
Mean oscillation gradient estimates for elliptic systems in divergence form with VMO coefficients
针对散度型线性椭圆方程组，在系数满足弱于Dini但强于VMO的振荡条件时，证明解的梯度属于BMO或VMO，并给出反例说明无法进一步得到有界性或连续性。
On diffusion processes with $B(\mathbb{R}^{2}, VMO)$ coefficients and "good" Green's functions of the corresponding operators
证明了非散度型二阶抛物型方程在具有特殊混合范数的索伯列夫空间中的可解性。假定首项系数在时间变量和空间变量的两个坐标系中是可测的，并且关于其他坐标系几乎处于VMO（消失平均振荡）中。这一可解性结果暗示了相应的随机伊藤方程的解在“好”解类（非空）中的弱唯一性。这也意味着格林函数在“好”类中的唯一性（它总是非空的）。
Parabolic $L^p$ Dirichlet Boundary Value Problem and VMO-type time-varying domains
本文证明了在时变区域上，当系数$A= [a_{ij}(X, t)]$和$B=[b_i]$满足一定的自然小Carleson条件时，$1 < p \leq \infty$的抛物型$L^p$ Dirichlet边值问题对于形式为$u_t = \mbox{div} (A \nabla u) + B \cdot \nabla u$的偏微分方程的可解性.这一结果把抛物面的情形归结为椭圆的标准。进一步证明了若算子$A,\,B$的系数满足Carleson条件，且时变区域为VMO型，则抛物型$L^p$ Dirichlet边值问题对所有$1 < p \leq \infty$都是可解的.这一结果与文献中的结果由Mazalena，Mitrea和Shaanova，和霍夫曼，Mitrea和泰勒的事实，即域的边界有正常的VMO或附近VMO意味着可逆的某些边界算子在$L^p$的所有$1 < p \leq \infty$，然后（使用层势的方法）意味着可解的$L^p$边值问题在同一范围内的某些椭圆型偏微分方程。我们的结果没有使用层势的方法，因为我们考虑的系数太粗糙，不能使用这种技术，但值得注意的是，我们恢复了$L^p$的可解性在整个范围内的$p$的上述两篇论文。
Higher-order parabolic equations with VMO assumptions and general boundary conditions with variable leading coefficients
我们证明了加权混合$L_{p}(L_{q})$ -估计，与$p,q\in(1,\infty)$，高阶椭圆型和抛物型方程的半空间$\mathbb{R}^{d+1}_{+}$和区域上的一般边界条件，满足Lopatinskii-Shapiro条件。我们假设椭圆算子$A$的首项系数在时间和空间变量上都属于消失平均振荡类，并且边界条件的首项系数是可变的.证明是基于并推广了作者最近在[DG 17]中得到的估计。[DG17] H.Dong和C. Gallarati.具有VMO假设和一般边界条件的高阶椭圆和抛物型方程。接受发表在泛函分析杂志上。参见：arXiv：1702.03254。
Higher-order elliptic and parabolic equations with VMO assumptions and general boundary conditions
本文证明了半空间$\R^{d+1}_{+}$上高阶椭圆型和抛物型方程的混合$L_{p}(L_{q})$ -估计，其中$p,q\in(1,\infty)$的一般边界条件满足Lopatinski-Shapiro条件.我们假设椭圆算子$A$的首项系数在时间和空间变量上都是零平均振荡。在证明中，我们给出了半空间上具有一般边界条件的方程的平均振动估计。
Approximation of the Solutions to Quasilinear Parabolic Problems with Perturbed $VMO_x$ Coefficients
本文研究了带有扰动 $VMO_x$ 系数的半线性抛物型问题解的近似方法，通过隐函数定理和牛顿迭代法构建逼近序列。
Solutions of the 3D inhomogeneous incompressible Navier-Stokes system with initial velocity in $VMO^{-1}$
针对初始密度有正下界且速度在$L^2 \cap VMO^{-1}$中的三维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程，建立了强解的局部存在性，并在小性条件下证明了全局存在性，方法包括输运方程估计和新的冻结系数法。
Elliptic differential equations with measurable coefficients
证明了非散度型二阶椭圆型方程在索伯列夫空间中的唯一可解性。二阶项的系数在一个变量中是可测的，而在其他变量中是VMO的。由此得到了椭圆型方程鞅问题的弱唯一性。
A Semi-Linear Backward Parabolic cauchy Problem with Unbounded Coefficients of Hamilton-Jacobi-Bellman Type and Applications to optimal control
得到了一类系数无界的线性抛物型Cauchy问题解的梯度的加权一致估计。然后利用这些估计证明了半线性向后抛物柯西问题温和解的存在性和唯一性，这里的微分方程是一个合适的最优控制问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程.通过倒向随机微分方程，证明了控制方程的温和解确实是控制方程的值函数，并验证了反馈律的正确性。
Parabolic equations with measurable coefficients
研究了非散度型二阶抛物型方程在$W_p^{1,2}((0,T) \times \bR^d)$，$p \ge 2$中的唯一可解性.首项系数只能在一个空间变量或时间和一个空间变量中测量。此外，他们是VMO（消失的平均振荡）关于其余的变量。
On divergence form second-order PDEs with growing coefficients in $W^{1}_{p}$ spaces without weights
我们考虑二阶散度型一致抛物和椭圆型偏微分方程的有界和$VMO_{x}$首项系数和可能线性增长的低阶系数。我们寻找的解决方案是可求和的$p$ th权力相对于通常的勒贝格测度以及他们的一阶导数相对于空间变量。
Microlocal defect functionals in VMO: Geometric localisation and applications to highly heterogeneous media
研究将微局部缺陷泛函概念扩展到属于\(\mathrm{L}^\infty\cap\mathrm{VMO}_c\)的测试函数，在\(\mathrm{L}^p - \mathrm{L}^q\)设置下建立泛函分析框架，用于确定含粗糙VMO系数方程的精确几何定位原理。
A weighted $L_p$-theory for parabolic PDEs with BMO coefficients on $C^1$-domains
本文给出了定义在$C^1$域上的二阶抛物型偏微分方程的加权$L_p$ -理论。假定首项系数在时间变量上可测，且对于空间变量具有VMO（消失平均振荡）或小BMO（有界平均振荡），低阶系数允许无界，且在边界附近爆破.我们的BMO条件比文献中的其他条件稍微宽松。
The Dirichlet problem in Lipschitz domains for higher order elliptic systems with rough coefficients
本文研究了Lipschitz域上的狄利克雷问题，边界条件为Besov空间中的任意阶散度型强椭圆方程组，系数为有界复值.我们的主要结果给出了一个尖锐的条件上的局部平均振荡的系数的微分算子和单位正常的边界（这是自动满足，如果这些功能属于空间VMO），保证与这个问题相关联的解决方案运营商是一个同构。
Recent progress in the $L_p$ theory for elliptic and parabolic equations with discontinuous coefficients
本文综述了近10-15年来关于间断系数椭圆型和抛物型方程的一些结果。我们从N给出的方法开始。V. Krylov在全空间中推广到具有VMO $_x$系数的抛物型方程.然后我们讨论了一些后续的发展，包括椭圆和抛物型方程的系数，允许仅在一个或两个空间方向可测，加权$L_p$估计Muckenhoupt（$A_p$）的重量，非局部椭圆和抛物型方程，以及完全非线性椭圆和抛物型方程。
Continuous dependence estimates for the ergodic problem of Bellman equation with an application to the rate of convergence for the homogenization problem
本文建立了Bellman算子遍历问题的连续相关估计（即（v_1-v_2）的估计，其中v_1和v_2解两个不同系数的方程）.我们将得到一个||v_1-v_2||_ \infty，其具有对系数之间的L^ \infty -距离的显式依赖性和常数的显式表征，并且在某些正则性条件下，||v_1-v_2||_{C^2（\R^n）}。然后，前一个结果将是至关重要的估计的收敛速率的Bellman方程的均匀化。在某些正则情况下，我们将得到与文献[11，26]中为正则线性问题建立的相同的收敛速率。
Partial regularity for degenerate parabolic systems with non-standard growth and discontinuous coefficients
本文研究一类退化抛物型方程组弱解的部分Hölder连续性，其模型为可微抛物型$p(x,t)$方程组\begin{equation*}\partial_t u-\operatorname{div}[μ(z)(1+|Du|^2)^{\frac{p(z)-2}{2}}Du]=0,\qquad p(z)\geq2.\end{equation*}这里，指数函数$p(z)$满足对数连续性条件.证明了如果$μ(z)$满足一定的VMO型条件，则除了测度零集之外，$u$是局部Hölder连续的.
Elliptic equations in Sobolev spaces with Morrey drift and the zeroth-order coefficients
考虑椭圆型方程的算子$L=a^{ij}D_{ij}+b^{i}D_{i}-c$，其中$a$几乎在VMO中，$b$在包含$ L_{d}$的Morrey类中，$c\geq0$在包含$L_{d/2}$的Morrey类中.证明了$C^{1,1}$ -域上的$Lu=f\in L_{p}$在索伯列夫空间中的可解性，以及对任意$λ>0$，$λu-Lu=f$在全空间中的可解性.讨论了与这类算子相关的鞅问题的弱唯一性。
Global Sobolev theory for Kolmogorov-Fokker-Planck operators with coefficients measurable in time and $VMO$ in space
本文研究了具有时间可测和空间VMO系数的Kolmogorov-Fokker-Planck算子的全局Sobolev估计及其Cauchy问题的适定性。
Adaptive $C^0$ interior penalty methods for Hamilton-Jacobi-Bellman equations with Cordes coefficients
在本文中，我们进行了先验和后验误差分析的$C^0$内部惩罚方法的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，系数满足Cordes条件。这些估计表明了该方法的拟最优性，并提供了一种自适应有限元法。根据已证明的正则性理论，我们仅假设Hamilton-Jacobi-Bellman方程的解属于$H^2$。
On linear elliptic and parabolic equations with growing drift in Sobolev spaces without weights
本文研究了具有有界零阶和有界VMO首项系数且一阶系数可能增长的二阶一致椭圆型和抛物型方程。我们寻找的解决方案是可求和的$p$次幂相对于通常的勒贝格测度以及他们的第一和第二阶导数相对于空间变量。
Parabolic oblique derivative problem in generalized Morrey spaces
本文研究了抛物型斜导问题在广义Morrey空间中的解的正则性，证明了右端项属于特定广义Morrey空间时，解属于对应的广义Sobolev-Morrey空间。
Solution Theory of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations in Spectral Barron Spaces
本文研究全空间静态HJB方程在谱Barron空间中的解理论，证明在系数为谱Barron函数且折扣因子足够大时解可被一致有界序列局部一致逼近，从而可用两层神经网络无维数灾难地近似求解。
The BMO-Dirichlet problem for elliptic systems in the upper-half space and quantitative characterizations of VMO
本文证明了对于任何齐次二阶常复系数椭圆型方程组$L$，边界数据为BMO的$L$中的狄利克雷问题在函数类$u$中适定，其中$dμ_u(x',t):=|\nabla u(x',t)|^2\,t\,dx'dt$为Carleson测度.本文建立了一个Fatou型定理，保证了满足Carleson测度条件的系统的光滑零解$u$的点态非切边界迹的存在性.这意味着BMO可以被刻画为光滑零解$u$到椭圆系统$L$的非切逐点迹的集合，并且具有$μ_u$是Carleson测度的性质.我们建立了上半空间中BMO-狄利克雷问题的一个正则性结果：满足上述Carleson测度条件的$L$的任意给定光滑零解的非切点态迹属于Sarason空间VMO当且仅当$μ_u$满足一个消失Carleson测度条件.此外，我们得到的Dirichlet问题的适定性时，边界数据规定在Morrey-Campanato和解决方案需要满足消失Carleson测量条件的分数阶。因此，我们将空间VMO刻画为BMO中包含的光滑函数类的闭包，其中一致连续性可以适当量化（例如满足Hölder或Lipschitz条件的光滑函数类），改进了Sarason的经典结果，将VMO描述为BMO中具有有界平均振荡的一致连续函数空间的闭包。最后，证明了满足$T(1)=0$的Calderón-Zygmund算子$T$在$\mathrm{VMO}$中扩张为有界线性算子…
Regularity theory for parabolic equations with singular degenerate coefficients
本文研究了一类散度型抛物型方程，其系数奇异退化为一个空间变量的Muckenhoupt权函数.在一定条件下，建立了加权逆Hölder不等式.证明了奇异退化系数只依赖于一个空间变量的齐次方程的弱解的Lipschitz估计。这些估计然后被用来建立内部，边界和整体加权估计的Calderón-Zygmund型弱解，假设系数是部分VMO（消失平均振荡）的考虑的权重。在加权索伯列夫空间中也得到了可解性。我们的结果是新的，甚至对椭圆型方程，和非平凡地推广已知的结果一致椭圆和抛物型方程。所得结果对于研究可测系数的分数阶椭圆型和抛物型方程也是有用的。
Linear and fully nonlinear elliptic equations with Morrey drift
给出了主系数几乎为VMO，漂移项和自由项为包含$L_{d}$的Morrey类，零阶系数有界的有界区域上线性椭圆型方程的可解性的一些结果.我们证明了解的二阶导数在包含$W^{2}_{p,loc}$的局部Morrey类中。实际上，该论述是针对完全非线性方程给出的，并且包含了上述结果，即使方程的主要部分只是拉普拉斯算子，这些结果也是新的。
Interior regularity of fully nonlinear degenerate elliptic equations, I: Bellman equations with constant coefficients
这是关于完全非线性退化椭圆型方程的内部正则性的一系列论文中的第一篇。考虑一类扩散系数、漂移系数和折扣因子与空间变量无关的随机最优控制问题。在适当的假设下，对于$k=0,1$，当终端支付和运行支付都是全局$C^{k,1}$时，我们得到了值函数的$C^{k,1}$ -光滑性，从而得到了退化Bellman方程的相关狄利克雷问题解的存在唯一性.
On parabolic equations in Sobolev spaces with lower-order coefficients from Morrey spaces
该研究针对低阶系数取自Morrey空间的抛物方程，证明了在有界$C^{1,1}$柱体中，当右端项属于$L_p$时，方程在Sobolev空间中具有可解性。
Kalman-Bucy filter and SPDEs with growing lower-order coefficients in $W^{1}_{p}$ spaces without weights
我们考虑散度型一致抛物型随机偏微分方程VMO有界的首项系数，有界系数的随机部分，并可能增长的低阶系数的确定性的一部分。我们寻找的解决方案是可求和的$p$次幂，$p\geq2$，相对于通常的勒贝格测度以及他们的一阶导数相对于空间变量。我们的方法使我们能够包括Zakai的方程的卡尔曼-布西滤波器到一般的滤波理论。
Higher gradients estimates in Morrey spaces for weak solutions to linear ultraparabolic equations
本文研究一类具有VMO系数和有界系数的线性超抛物方程$a_{ij} (z)$ .假设通过在任何点${z_0} \in {\mathbb{R}^{N + 1}}$冻结系数$a_{ij}(z)$而获得的算子$L_0$是次椭圆的。首先通过选取一个截断函数建立了一个Caccioppoli型不等式，利用$L_0$基本解的性质建立了一个Sobolev型不等式，利用一个新的截断函数建立了一个Poincaré型不等式.然后在齐性空间上利用逆Hölder不等式得到了弱解的$L^p$估计.最后，通过研究一个具有非齐次边值条件的变系数齐次超抛物方程和一个具有齐次边值条件的变系数齐次超抛物方程，给出了上述方程的弱解的较高的Morrey估计.
Global $L_p$ estimates for kinetic Kolmogorov-Fokker-Planck equations in divergence form
本文给出了散度型动力学Kolmogorov-Fokker-Planck（KFP）方程在混合范数Lebesgue空间中的先验估计和唯一可解性结果.首项系数是有界的一致非退化的速度变量$v$，并满足消失的平均振荡（VMO）型条件。我们分别考虑了$L_2$的情况，并处理了包括相对论KFP方程在内的更多的一般方程。
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