Recurrent words with constant Abelian complexity
James Currie, Narad Rampersad
我们证明了不存在的经常性的话与常数阿贝尔复杂性包含4个或更多的不同的字母。这回答了Richomme等人的一个问题。
We prove the non-existence of recurrent words with constant Abelian complexity containing 4 or more distinct letters. This answers a question of Richomme et al.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Abelian sandpile model on Ferrers graphs -- A classification of recurrent configurations
本文在费勒斯图上对阿贝尔沙堆模型的所有递归构形进行了分类。这种分类是根据EW-tableaux的装饰性来进行的，未装饰的EW-tableaux是具有最小递归构形的双射。我们引入装饰排列，扩展到装饰EW-表之间的双射，这样的表和排列，给一个直接的双射之间的装饰排列和所有经常性的配置的ASM。我们还描述了一个双射之间的装饰排列和Postnikov的不传递树，广度优先搜索对应于一个典型的倾倒相应的配置。
Abelian Properties of Words (Extended abstract)
我们说两个有限字$u$和$v$是阿贝尔等价的当且仅当它们每个字母出现的次数相同，或者等价地当它们定义了相同的Parikh向量。在本文中，我们研究了各种阿贝尔性质的话，包括阿贝尔复杂性，和阿贝尔权力。研究了Thue-Morse词和Tribonacci词的阿贝尔复杂度，回答了G. Rauzy通过展示一类其阿贝尔复杂度处处等于3的词。我们还调查了阿贝尔重复的话，并表明，任何无限的有界阿贝尔复杂性字包含阿贝尔$k$的权力，每一个正整数$k$。
On the generalization of the study of a letter power substitution on modulo-recurrent words
本文提出无限词中字母幂的 $k$ 到 $k$ 替换概念，并将其应用于模递归词和 Sturmian 词，确立了这些词的复杂度函数。
Abelian returns in Sturmian words
返回词是研究符号动力系统的有力工具。它们可以看作是动力系统中第一个返回映射的离散模拟。本文研究了返回词概念的两个阿贝尔变体，它们各自给出了Sturmian词的一个新的刻画。我们证明了一个递归无限字是Sturmian当且仅当它的每个因子有两个或三个阿贝尔（或半阿贝尔）回报。我们研究了Sturmian词中的阿贝尔返回结构，并给出了恰好有两个阿贝尔返回的因子的一个刻画。最后，我们讨论了阿贝尔返回和周期性的话之间的联系。
On the study of cellular automata on modulo-recurrent words
本文研究了保持稳定性的细胞自动机在Sturmian词上的应用，确定了其组合性质，并证明了词的2-平衡性和交换复杂度函数。
Factor versus palindromic complexity of uniformly recurrent infinite words
我们研究了无限词的回文复杂度和因子复杂度之间的关系。我们证明了对于一致递归的词，有P（n）+P（n+1）\leq ΔC（n）+ 2，对所有n个\in N.对于一大类的话，这是一个更好的估计回文复杂性的因素复杂性，然后由Allouche等人提出的。我们提供了几个例子，无限的话，我们的估计达到其上界。特别是，我们推导出一个明确的处方的回文复杂的无限字编码r-区间交换变换。如果与变换相连接的置换π由π（k）=r+1-k给出，则每个偶数长度的回文正好有一个，每个奇数长度的回文正好有r个。
Abelian Complexity of Infinite Words Associated with Quadratic Parry Numbers
我们推导出一个显式公式的阿贝尔复杂性的无限字与二次帕里数。
On the 2-Abelian Complexity of the Thue-Morse Word
我们证明了无限Thue-Morse字的2-阿贝尔复杂性是2-正则的，以及2-阿贝尔复杂性的其他性质，最值得注意的是它是一个不断增加的长度的回文串接。我们还显示了尖锐的界限的唯一扩展的大小为n的因素，发生在Thue-Morse字的长度。
On balanced and abelian properties of circular words over a ternary alphabet
我们重新审视平衡循环词的分类问题，并专注于三元字母表的情况。我们提出了一个$3$维推广的离散逼近表示的Christoffel的话。通过考虑三元字母表上平衡循环词的阿贝尔复杂度的最小界$3$，我们提供了一个三元字母表上所有循环词的阿贝尔复杂度的分类受到这个界。这一结果也使我们能够构建一个不可数集的双无限非周期词的阿贝尔复杂度等于$3$。
On Anti-Powers in Aperiodic Recurrent Words
Fici、Restivo、Silva和Zamboni将$\textit{$ k $-anti-power}$定义为成对不同且具有相同长度的$k$连续字的级联。他们要求最大的$k$，使得每个非周期循环词必须包含一个$k$ -反幂，他们证明了这个最大值必须是3、4或5。我们通过证明最大值为5来解决这个问题。我们还推测，如果$W$是一个相当不错的非周期形态字，那么有一些恒定的$C = C(W)$，使所有的$i,k\geq 1$，$W$包含$k$ -反功率与块的长度最多$Ck$开始在其$i^\text{th}$的位置。我们解决了这个猜想的二进制字是由一个统一的态射生成的，其特点是一个小的例外的话，这样一个常数不能找到。这推广了最近的结果的第二作者，Gaetz和Narayanan已被证明的Thue-Morse字，这也表明，这样的线性界是最好的人可以希望在一般情况下。
Factor Colorings of Linearly Recurrent Words
在这篇短文中，我们研究了非周期线性递归无限词的因子染色。我们表明，总是存在一个着色，不承认单色分解成因素的字的长度增加。
Primitive Words and Lyndon Words in Automatic and Linearly Recurrent Sequences
我们调查的问题有关的存在的原始词和林登词的自动和线性递归序列。我们证明了k-自动序列的Lyndon分解本身也是k-自动的。我们还表明，函数计数的原始因素（分别，Lyndon因子）是k-正则的。最后，我们证明了线性递归序列的Lyndon因子的个数是有界的。
On abelian and additive complexity in infinite words
对具有有界阿贝尔复杂度的无限词结构的研究是由G。Richomme，K. Saari和L. Q.磨冰机在本文中，我们定义了有限子集Z^m上无限个字的有界加法复杂度。我们提供了另一种证明的结果之一Richomme，Saari和Zamboni。
There are exponentially many ternary words that avoid abelian cubes
由于定理2的证明错误，本文已被作者撤回。
On modulo-recurrence and window complexity in infinite words
引入均匀模递归和强模递归概念，证明Sturmian词和最大复杂度词是强模递归的，并建立Thue-Morse词窗口复杂度与经典复杂度的关系，构造窗口复杂度有界或呈次线性增长的词，证明一致递归非周期词的窗口复杂度无界。
Infinite words rich and almost rich in generalized palindromes
我们专注于有限字母表$\mathcal{A}$上的$Θ$丰富和几乎$Θ$丰富的词，其中$Θ$是$\mathcal{A}^*$上的对合反态。我们证明了任何循环的几乎$Θ$ -丰富的词$\uu$是一个图像的循环$Θ'$ -丰富的词在一个适当的态射，其中$Θ'$再次是一个对合反态。此外，如果字$\uu$是一致递归的，我们表明，$Θ'$可以设置为反转映射。我们还处理一个特殊的情况下，几乎$Θ$丰富的话。我们表明，每一个$Θ$ -标准字种子是一个图像的Arnoux-Rauzy字。
The abelian complexity of infinite words and the Frobenius problem
我们研究下面的问题，首先介绍了由Dekking。考虑字母表{0，1，.，}上的无限单词x，k-1}和半群同态S：{0，1，.，k-1}* -> N.设L_x表示x的因子集。关于S和x的阿贝尔复杂度的什么条件保证S（L_x）包含N的除n以外的所有元素？我们研究这个问题的一些特定的无限词x具有不同的阿贝尔复杂性函数。
Card deals, lattice paths, abelian words and combinatorial identities
我们给出组合解释的几个相关的身份与名称Barrucand，Strehl和Franel，其中包括一个的Aesthetic号码。采用的组合结构是乱序型卡交易介绍了在以前的论文Barrucand的身份，标记格路径，并在评论杰弗里Shallit，阿贝尔词超过3个字母的字母表。
Crucial words for abelian powers
如果一个词避免了禁止，但它不能通过其字母表中的任何字母扩展到右边而不产生禁止，则该词对于给定的一组“禁止词”（或简称为“禁止”）是“关键的”。“最小关键词”是长度最短的关键词。一个词W包含一个“阿贝尔k次幂”，如果W有一个形式为X_1X_2..的因子。其中X_i是X_1的置换，其中2<= i <= k。当k=2或3时，分别处理“阿贝尔平方”和“阿贝尔立方体”。在2004年（arXiv：math/0205217），Evdokimov和Kitaev证明了在n个字母表A_n = {1，2，. n}避免阿贝尔正方形的长度为4 n-7，其中n >= 3。本文证明了A_n上避免交换立方体的最小关键字的长度为9 n-13（n ≥ 5），并且它的长度分别为2，5，11和20（n=1，2，3，4）.当n >= 4，k >= 2时，给出了An上关键字的长度为k^2（n-1）-k-1的结构，避免了交换k次幂.这种构造给出了k=2和k=3的最小长度。当k >= 4，n >= 5时，给出了A_n上关键字长度的一个下界，避免了阿贝尔k次幂.
Abelian complexity and Abelian co-decomposition
我们提出了一种技术，用于探索经常性无限词的阿贝尔复杂性，特别是与帕里数相关的无限词。使用该技术，我们对Richomme、Saari和Zamboni提出的开放问题给出了肯定的答案，即特里波纳奇词的阿贝尔复杂性是否无限次地达到$\{4,5,6\}$中的每个值。
Mutually Abelian-Bordered Binary Words
本文将有界词对概念推广到阿贝尔情形，利用格路计数二元词中相互阿贝尔有界对及无界对的数量。
Observations and Problems on k-abelian avoidability
我们引入了新的可避免性问题的话，考虑等价关系，k-阿贝尔等价，这是正确的平等和交换平等之间，即阿贝尔平等。对于两个k-阿贝尔等价词，长度为k的不同因子的出现次数一致，前缀（分别为）。后缀）也是相等的。避免单词2-重复的最小字母表的大小，即正方形，是3，对于阿贝尔正方形，是4。因此，对于2-阿贝尔正方形，这个大小必须是3或4。类似地，可以避免2-阿贝尔立方体（即3-重复）的最小字母表的大小是2或3，因为立方体（分别为阿贝尔立方体）在二进制中是可避免的（分别地，三进制）字母表。我们表明，对于2-阿贝尔广场所需的大小是4，在阿贝尔广场的情况下。最长的2-阿贝尔无平方的三进制字的长度是537。2-阿贝尔立方体的问题是开放的。然而，我们有计算证据表明，大小将是2，因为存在长度为100 000的2-阿贝尔无立方二进制字，这意味着2-阿贝尔情况将表现得像单词一样。
Abelian Nivat's conjecture for non-rectangular patterns
本文研究了二维词的周期性与其阿贝尔模式复杂度之间的关系。$\mathbb{Z}^n$中的模式$\cal{P}$是$\mathbb{Z}^n$的某个有限子集$F$的所有平移的集合。无限字的$F$-因子是限制为$F$的有限字。然后，模式$\mathcal{P}$上的模式复杂度计算$P\in \mathcal{P}$的无限字的不同$F$-因子的数量。两个有限字被称为阿贝尔等价，如果对于字母表中的每个字母，它们包含相同数量的出现这个字母。阿贝尔模式复杂度计算直到阿贝尔等价为止的$F$-因子的数量。作为本文的主要结果，我们刻画了二维凸模式的如下性质：如果模式$\cal{P}$上的阿贝尔模式复杂度等于1，则该字是全周期的。类似的结果适用于$\mathbb{Z}^2$上的函数而不是字，以及常数和而不是阿贝尔复杂度等于1。在1维空间中，我们刻画了存在非常数函数的常和模式。
Prime graphical parking functions and strongly recurrent configurations of the Abelian sandpile model
本文研究了停车函数与阿贝尔沙堆模型（ASM）的对偶性，定义了“不可分解”的素$G$-停车函数，证明其对应ASM的强递归构型，并在轮图、完全图、完全多部图和完全分裂图等图族上验证了该联系。
Permutation graphs and the Abelian sandpile model, tiered trees and non-ambiguous binary trees
置换图是其边由置换的逆给出的图。我们研究了这类图上的阿贝尔沙堆模型。我们展示了置换图上ASM的递归配置与Dugan等人[10]引入的分层树之间的双射。这种双射允许在相应的树上读取递归配置的某些参数。特别是，我们表明，经常性配置的水平可以被解释为相应的树的外部活动，使展示的双射提供了一个著名的结果连接的ASM的水平多项式无处不在的Tutte多项式的新的证明。我们证明了最小递归配置的集合与Aval等人[2]引入的完全非二义性二叉树的集合是双射的，并引入了这些的多根推广，我们证明了它对应于所有递归配置。在单下降排列的情况下，我们恢复了[11]中Ferrers图的一些结果，同时我们也恢复了Perkinson等人[16]在阈值图的情况下的结果。
Avoiding Abelian powers in binary words with bounded Abelian complexity
无限词的阿贝尔复杂性的概念最近被最后三位作者用来研究词的各种阿贝尔性质。特别地，他们利用范德瓦尔登定理证明了，如果一个词避免了某个整数$k$的阿贝尔$k$ -幂，那么它的阿贝尔复杂度是无界的。这就提出了下面的问题：在一个具有有限阿贝尔复杂度的词中，阿贝尔$k$ -幂出现的频率有多高？特别是，是否每个具有有界阿贝尔复杂度的一致递归字都以阿贝尔$k$幂开始？虽然这是真实的各种类的均匀经常性的话，包括例如类的所有Sturmian的话，在本文中，我们表明存在的均匀经常性的二进制字，有界阿贝尔复杂性，其中承认无限数量的后缀不开始在阿贝尔广场。我们还表明，任何无限的二进制无符号字的移位轨道闭包包含一个字，避免阿贝尔立方体在开始。我们还考虑了态射对阿贝尔复杂度的影响，并证明了具有有界阿贝尔复杂度的词的态射图像也具有有界阿贝尔复杂度。最后，我们给出了无限二进制字中阿贝尔平方的可避免性的一个公开问题，并证明了它等价于Pirillo-Varricchio和Halbeisen-Hungerbühler的一个著名的公开问题.
The sandpile model on the complete split graph, Motzkin words, and tiered parking functions
在完全分裂图上对阿贝尔沙堆模型的常返状态进行了分类.有两种不同的情况需要考虑，这取决于完全分裂图中汇点的位置。这种减少常返状态的特征是根据Motzkin词，也可以根据组合项链来表征。我们还给出了一个表征的常返状态方面的一种新型的停车功能，我们称之为分层停车功能。这些停车功能的特点是为每辆车分配一个等级（或颜色），并指定有多少辆较低等级的车希望停在它们前面。我们还列举了本文研究的不同的递归配置集，并在这样做的过程中推导出一个公式的数量的完全分裂图，使用双射Prüfer码参数的生成树。
Abelian Complexity in Minimal Subshifts
在本文中，我们进行了一般性的研究阿贝尔复杂性的一个无限字的有限字母表。我们研究阿贝尔复杂性和通常的子词复杂性之间的相似性和差异。虽然Thue-Morse最小子移位的特征既不在于它的阿贝尔复杂性，也不在于它的子字复杂性，我们证明了子移位完全由两个复杂性函数一起表征。对G. Rauzy通过展示一类其阿贝尔复杂度处处等于3的词。我们还调查阿贝尔复杂性和阿贝尔权力的存在之间的联系。利用vanderWaerden定理，证明了对于每个正整数k，任何具有有界阿贝尔复杂度的极小子移位都包含阿贝尔k次幂.在Sturmian词的情况下，我们证明了更强的东西：对于每个Sturmian词w和正整数k，w的每个足够长的因子开始于阿贝尔k次幂。
On Abelian Closures of Infinite Non-binary Words
两个有限字$u$和$v$称为阿贝尔等价，如果每个字母在$u$和$v$中出现的次数相等。无限字$\mathbf{x}$的阿贝尔闭包$\mathcal{A}(\mathbf{x})$是无限字$\mathbf{y}$的集合，使得对于$\mathbf{y}$的每个因子$u$，存在$\mathbf{x}$的因子$v$，其阿贝尔等价于$u$。阿贝尔闭包的概念给出了斯特米安词的一个特征：在一致递归的二进制词中，周期和非周期斯特米安词正是那些$\mathcal{A}(\mathbf{x})$等于移位轨道闭包$Ω(\mathbf{x})$的词。此外，对于非Sturmian的非周期二进制字，它的交换闭包包含无穷多个极小子移位。在本文中，我们考虑了著名的家庭的非二进制字，如平衡的话，最小复杂度的话的阿贝尔闭包。我们还考虑了一般子移位的交换闭包，并对其交换闭包进行了初步观察，提出了一些相关的开放性问题。
The abelian complexity of the paperfolding word
我们证明了普通折纸词的阿贝尔复杂度函数是一个2-正则序列。
Infinite Words with Finite Defect
基于回文复杂度与因子复杂度之间的关系，给出了有限缺损一致递归词的一个新的刻画。此外，我们引入了一类态射P_ret封闭下的组合，我们证明了一个一致递归字有限亏损是一个丰富的（也称为全）字下的态射类P_ret的形象。这个类与Hof、Knill和Simon定义的著名类P密切相关; P_ret的每一个态射都共轭到类P的一个态射。
Abelian maximal pattern complexity of words
本文研究了无限词在阿贝尔等价下的最大模式复杂度。通过投影计算了无限个循环非周期词的阿贝尔最大模式复杂度的下界。我们表明，在二进制字的情况下，绑定实际上是实现的，并给出了表征经常性的非周期性的话。
Weak abelian periodicity of infinite words
我们说一个无限长的字w是弱阿贝尔周期的，如果它可以分解成字母频率相同的有限长的字。本文研究了弱阿贝尔周期性的性质及其与平衡、频率的关系。建立了一致二元态射的不动点弱阿贝尔周期性的充要条件。此外，我们还讨论了极小子移位的弱阿贝尔周期性。
Abelian Closures of Infinite Binary Words
两个有限字$u$和$v$称为阿贝尔等价，如果每个字母在$u$和$v$中出现的次数相等。无限字$\mathbf{x}$的阿贝尔闭包$\mathcal{A}(\mathbf{x})$（的移位轨道闭包）是无限字$\mathbf{y}$的集合，使得对于$\mathbf{y}$的每个因子$u$，存在$\mathbf{x}$的因子$v$，其阿贝尔等价于$u$。阿贝尔闭包的概念给出了斯特米安词的一个特征：在二元一致递归词中，斯特米安词恰好是那些$\mathcal{A}(\mathbf{x})$等于移位轨道闭包$Ω(\mathbf{x})$的词。在本文中，我们表明，相反，较大的字母表，阿贝尔封闭的一致经常性的非周期性二进制字，这不是Sturmian包含无穷多个最小的子移位。
Enumerating Abelian Returns to Prefixes of Sturmian Words
我们遵循Puzynina和Zamboni的作品，以及Rigo等人关于Sturmian词的阿贝尔回归。我们确定的基数集$\mathcal{APR}_u$的阿贝尔返回的所有前缀的Sturmian词$u$的斜率的连分数的系数，依赖于截距。我们提供了一个简单的算法，找到一组$\mathcal{APR}_u$，我们确定它的特点Sturmian字。
Extending Dekking's construction of an infinite binary word avoiding abelian $4$-powers
我们构造了一个临界指数为3的无限二进制字，避免了阿贝尔4-幂。我们的方法给出了一个算法，以确定是否某些类型的形态序列，避免添加剂的权力。我们还表明，有$Ω(1.172^n)$二进制字的长度$n$，避免阿贝尔4-权力，提高了以前的估计。
Variations of the Morse-Hedlund Theorem for $k$-Abelian Equivalence
在本文中，我们研究了一个新的家庭的复杂性函数的局部到整体的现象，由$k \in \Ni \cup \{+\infty\}$索引的无限字，其中$\Ni$表示的集合的正整数。如果对于所有长度小于或等于$k$的$x \in A^*$，$x$在$u$中出现的次数等于$x$在$v$中出现的次数，则称$A^*$中的两个有限字$u$和$v$是$k$ -阿贝尔等价的。这在$A^*$上定义了一系列等价关系$\sim_k$，弥合了阿贝尔等价（当$k = 1$）和相等（当$k = +\infty$）之间的鸿沟。给定一个无限字$w \in A^ω$，我们考虑相关的复杂性函数$\mathcal P^{(k)}_w : \Ni \rightarrow \Ni$，它计算$k$ -阿贝尔等价类的$w$的长度$n$的因素的数量。作为一个整体，这些复杂度函数有一些共同的特点：每个都给出了双无限词的周期性特征，每个都可以用来描述Sturmian词的非周期性单边无限词的框架。然而，它们也表现出一些显着的差异，其中的研究是我们的论文的主要议题之一。
Abelian returns in Sturmian words
在本文中，我们研究了一个阿贝尔版本的概念返回字。我们的主要结果是一个新的表征Sturmian词通过阿贝尔回报。也就是说，我们证明了一个字是Sturmian当且仅当它的每个因素有两个或三个阿贝尔回报。此外，我们描述了结构的交换回报的Sturmian词，并讨论了交换回报和周期性之间的联系。
Abelian powers in paper-folding words
我们发现，折纸的话包含任意大的阿贝尔权力。
Words with the Maximum Number of Abelian Squares
阿贝尔正方形是两个单词的连接，这两个单词是彼此的字谜。长度为$n$的字可以包含作为阿贝尔平方的$Θ(n^2)$不同因子。我们研究无限的话，使长度$n$的阿贝尔平方因子的数量与$n$二次增长。
On cogrowth function of uniformly recurrent sequences
对于序列$W$，我们计算出最小禁止字的个数$O_W(n)$不再是$n$，并证明了$$\overline{\lim_{n \to \infty}} \frac{O_W(n)}{\log_3n} \geq 1.$$
Words with unbounded periodicity complexity
如果一个无限非周期字是一致递归的或有界重复的，那么它的周期复杂度的极限是无穷大。此外，还存在在无限多个位置处具有任意高的周期复杂度的一致递归字。
Abelian Anti-Powers in Infinite Words
阶交换反幂$k$（或简称交换$k$ -反幂）是具有成对不同Parikh向量的相同长度的$k$连续字的级联。该定义将$k$ -反幂的概念推广到阿贝尔设置，如在[G. Fici等人，无限词中的反幂，J. Comb. Theory，Ser. A，2018]，它是相同长度的$k$成对不同词的串联。我们的目标是研究一个词是否包含阿贝尔$k$ -反权力任意大的$k$。S. Holub证明了所有的折纸词都包含每一阶的阿贝尔幂。J. Comb. Theory，Ser.A，2013]。我们表明，他们也包含阿贝尔反权力的每一个订单。
Balances and Abelian Complexity of a Certain Class of Infinite Ternary Words
定义在字母表$\mathcal{A}$上的词$u$是$c$平衡的（$c\in\mathbb{N}$），如果对于相同长度的$u$的所有因子对$v$、$w$和对于所有字母$a\in\mathcal{A}$，$v$和$w$中的字母数$a$之间的差小于或等于$c$。本文考虑一个三元字母表$\mathcal{A}=\{L,S,M\}$和一类由$ϕ_p(L)=L^pS$，$ϕ_p(S)=M$，$ϕ_p(M)=L^{p-1}S$定义的置换$ϕ_p$，其中$p>1$ .我们证明了$ϕ_p$的不动点，正式写作$ϕ_p^\infty(L)$，是3-平衡的，它的阿贝尔复杂度是有界的值7以上，无论$p$的值。我们还表明，这两个界限是最佳的，即它们不能被改善。
Abelian maximal pattern complexity of two-dimensional words
本文研究二维词在阿贝尔等价下的极大模式复杂度，针对非投影双周期的二维词建立其阿贝尔极大模式复杂度的下界并证明其紧性，进而得到强回归二元非双周期词的精确复杂度与双周期性的有界性准则。
Abelian properties of Parry words
一个词的阿贝尔复杂度$\mathbf{u}$是一个计算长度为$n$的$\mathbf{u}$的成对非阿贝尔等价因子的数量的函数。我们证明了对于任何$c$平衡的Parry字$\mathbf{u}$，阿贝尔复杂度函数的值可以由有限状态自动机计算。证明是基于相对Parikh向量的概念。该方法适用于可以用与长度$n$对应的相对Parikh向量集表示的任何函数$F(n)$。例如，我们表明，一个$c$平衡帕里字的平衡功能是可计算的有限状态自动机以及。
Abelian Combinatorics on Words: a Survey
我们调查已知的结果和开放的问题在阿贝尔组合的话。阿贝尔组合词是经典组合词理论的交换设置的扩展。该扩展基于\emph{abelian equivalence}，\emph{abelian equivalence}是通过具有相同的Parikh向量（即，字母表中每个字母的出现次数相同）在单词集合中定义的等价关系。在过去的几年里，有很多关于组合数学中经典定义和性质的阿贝尔类比的研究。本调查旨在收集这些结果。
Abelian-Square-Rich Words
阿贝尔正方形是两个单词的连接，这两个单词是彼此的字谜。长度为$n$的字最多可以包含$Θ(n^2)$不同因子，并且存在长度为$n$的字包含$Θ(n^2)$不同的阿贝尔平方因子，即，是阿贝尔平方的不同因子。这促使我们研究无限的话，使不同的阿贝尔平方因子的长度$n$的数量与$n$二次增长。更确切地说，我们说一个无限字$w$是{ \it阿贝尔平方丰富}，如果对于每个$n$，长度为$n$的$w$的每个因子平均包含许多不同的阿贝尔平方因子，这些因子在$n$中是二次的;和{ \it一致阿贝尔平方丰富}，如果$w$的每个因子包含许多不同的阿贝尔-与其长度的平方成比例的平方因子。当然，如果一个词是一致阿贝尔平方丰富，那么它是阿贝尔平方丰富，但我们表明，反过来是不正确的一般。我们证明了Thue-Morse字是一致阿贝尔平方丰富的，并且计数Thue-Morse字的长度为$2n$的不同阿贝尔平方因子的个数的函数是$2$ -正则的。对于Sturmian词，我们证明了角为$α$的Sturmian词$s_α$是一致交换方富的当且仅当无理$α$有界偏导数，即当且仅当$s_α$有界指数.
Binary Words Containing Few Abelian Squares
本文扩展了Fici和Saarela的猜想，证明在某些特殊情况下该猜想成立，并提出在其他情况下通过Parikh向量构造词以最小化阿贝尔平方数量。
Avoidability of long $k$-abelian repetitions
我们研究了长$k$ -阿贝尔平方和$k$ -阿贝尔立方体在二进制和三进制字母表上的可避免性。对于$k=1$来说，这些都是Mäkelä的问题。我们表明，一个人不能避免阿贝尔立方体的阿贝尔周期至少$2$在无限二进制的话，因此回答否定的一个问题从Mäkelä。然后，我们可以避免$3$ -阿贝尔平方周期至少$3$在无限二进制字和$2$ -阿贝尔平方周期至少2在无限三进制字。最后，我们研究了不同的$k$ -阿贝尔平方，必须出现在一个无限的二进制字的最小数目。
Solved and unsolved problems about abelian squares
我们提出并讨论了一些已知的结果和开放的问题阿贝尔广场的话小字母表。
On Avoiding Sufficiently Long Abelian Squares
有限字$w$是阿贝尔平方，如果$w = xx^\prime$，其中$x^\prime$是$x$的置换。在1972年，Entringer、Jackson和Schatz证明了每个长度为$k^2 + 6k$的二进制字都包含一个长度为$\geq 2k$的阿贝尔平方。我们使用笛卡尔格路径的特征阿贝尔平方在二进制序列，并构建一个二进制字的长度$q(q+1)$避免阿贝尔平方的长度$\geq 2\sqrt{2q(q+1)}$或更大。因此，我们证明了避免长度为$2k$的阿贝尔平方的最长二进制字的长度是$Θ(k^2)$。
Balance and Abelian complexity of the Tribonacci word
G. Rauzy证明了态射$τ: 0\mapsto 01, 1\mapsto 02 and 2\mapsto 0$所产生的Tribonacci最小子移位在测量理论上共轭于$R^2$中紧集上的三个分形域的交换，每个域都由相同的向量模格平移。本文研究了Tribonacci字$t$的阿贝尔复杂度AC（n），它是$τ$的唯一不动点.我们表明，$AC(n)\in {3,4,5,6,7}$为每个$n\geq 1$，这五个值的每一个假设。我们的证明依赖于这样一个事实，即Tribonacci词是2平衡的，即，对于长度相等的$t$的所有因子$U$和$V$，以及对于每个字母$a \in {0,1,2}$，$a$在$U$中出现的次数和$a$在$V$中出现的次数相差至多2。虽然这一结果在几篇论文中被宣布，但据我们所知，还没有发表过这一事实的证据。我们给出了$t$的2-平衡性质的两个非常不同的证明。第一个使用的词组合属性的生成态射，而第二个利用$τ$的关联矩阵的频谱特性。
Central sets generated by uniformly recurrent words
如果$A$包含某个自然数的无穷序列$(x_n)_{n\in \nats} $的所有不同项的有限和，则称$\nats$的子集$A$为IP-集。中心集，首先由Furstenberg使用拓扑动力学的概念引入，构成了一类特殊的IP集，具有丰富的组合性质：每个中心集包含任意长的等差数列，以及齐次线性方程的所有分区正则系统的解。在本文中，我们研究中心集的组合学的框架内的话。使用各种家庭的一致经常性的话，包括Sturmian的话，Thue-莫尔斯字和不动点的弱混合替换，我们产生了一个品种的中心集，反映了丰富的组合结构的基础单词。本文中的结果依赖于不同数学领域之间的相互作用，其中一些以前没有直接联系。它们包括关于词的组合学的一般理论、抽象计数系统以及由Hindman、Strauss和其他人开发的美丽理论，该理论将IP集和中心集与$\nats .$的斯通-切赫紧化的代数/拓扑性质联系起来
Every nonnegative real number is an abelian critical exponent
无穷字$w$的阿贝尔临界指数被定义为指数与$w$中出现的阿贝尔幂的周期之间的最大比率。Fici等人证明了Sturmian词的有限阿贝尔临界指数集与Lagrange谱一致。这个谱包含所有足够大的正实数。我们构造的话，其阿贝尔临界指数填充剩余的差距，也就是说，我们证明了，对于每个非负实数$θ$存在一个无限的字具有阿贝尔临界指数$θ$。我们也将这个结果推广到$k$ -阿贝尔情形。
Avoiding abelian and additive powers in rich words
该文研究无限富词中 abelian 幂与 additive 幂的避免问题，分别在二元和三元字母表上构造无 additive 5-幂与 4-幂的无限富词，并证明所用字母表大小均为最小。
Abelian Repetitions in Sturmian Words
我们研究了Sturmian词中的阿贝尔重复。我们利用的Sturmian词和子区间的酉段的因素之间的双射，使我们能够研究的阿贝尔重复使用经典的结果，初等数论的时期。证明了在任意Sturmian字中，周期为$m$的阿贝尔重复的最大指数与$m$之比的上极限是一个数$\geq\sqrt{5}$，并且对于Fibonacci无穷字，等式成立.我们进一步证明了斐波那契无限字的最长前缀是周期$F_j$的阿贝尔重复，$j>1$，如果$j$是偶数，则长度为$F_j(F_{j+1}+F_{j-1} +1)-2$，如果$j$是奇数，则长度为$F_j(F_{j+1}+F_{j-1})-2$。这使我们能够给出一个确切的公式的最小阿贝尔周期的斐波那契有限字。更准确地说，我们证明了，对于$j\geq 3$，斐波那契字$f_j$有阿贝尔周期等于$F_n$，其中$n = \lfloor{j/2}\rfloor$如果$j = 0, 1, 2\mod{4}$，或$n = 1 + \lfloor{j/2}\rfloor$如果$ j = 3\mod{4}$。
Algorithms for Computing Abelian Periods of Words
Constantinescu和Ilie（Bulletin EATCS 89，167- 170，2006）介绍了单词的\emph{Abelian period}的概念。在大小为$σ$的字母表上长度为$n$的字可以具有$Θ(n^{2})$不同的阿贝尔周期。蛮力算法使用$O(n \times σ)$空间计算单词在时间$O(n^2 \times σ)$上的所有阿贝尔周期。我们提出了一个离线算法的基础上的$\sel$功能具有相同的最坏情况下的理论复杂性的暴力，但在实践中优于它。然后，我们提出了在线算法，也使计算所有的阿贝尔周期的所有前缀的$w$。
Average height for Abelian sandpiles and the looping constant on Sierpinski graphs
本文研究谢尔宾斯基图上阿贝尔沙堆的平均高度、高度概率和环常数，计算常返沙堆的期望平均高度，并利用常返构型与均匀生成树的联系给出高度概率的算法计算，进而将体平均高度与环常数关联。
Factor frequencies in languages invariant under more symmetries
在循环非周期无限字中，长度为$n+1$的因子的频率数不超过$3Δ\C(n)$，其中$Δ\C (n)$是因子复杂度的第一个差，如Boshernitzan所示。Pelantová与作者一起得出了一个更好的上界无限的话，其语言是封闭的逆转。本文进一步缩小了语言在对称的有限群的所有元素下不变的一致递归无限词的上界，并证明了所得到的上界的最优性。
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