The period-index problem for fields of transcendence degree 2
Max Lieblich
利用几何方法证明了有限域上超越度为2的域的Brauer群的标准周期指数猜想。
Using geometric methods we prove the standard period-index conjecture for the Brauer group of a field of transcendence degree 2 over a finite field.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Functional Transcendence of Periods and the Geometric André--Grothendieck Period Conjecture
本文通过证明代数簇族中代数形式积分的函数超越性，给出混合 Hodge 结构变分的 Ax–Schanuel 结果，并据此建立几何形式的 André–Grothendieck 周期猜想。
Transcendence and linear relations of $1$-periods
研究了关于$1$ -周期的四个基本问题，并给出了完整的答案. 1)给出了周期积分超越的充要条件. 2)我们给出了所有$1$ -周期之间的$\overline{\mathbf{Q}}$ -线性关系的定性描述，在这种情况下建立了Kontsevich的周期猜想. 3)期间可能消失，我们确定所有情况下，当这种情况发生。4)对于一个固定的$1$ -动机，我们在Baker定理的精神下导出了它的周期空间维数的一般公式。
Algebraization, transcendence, and D-group schemes
提出丢番图几何中关于$\bar{\mathbb Q}}$上光滑投射簇上线丛构造的一个猜想.这个猜想与余维为1的格罗滕迪克周期猜想密切相关，也是由解析几何、形式几何和超越理论中的经典代数化结果所激发的。它的制定涉及到考虑$D$组计划附加到阿贝尔计划代数曲线上$\bar{\mathbb Q}}$。我们还从经典的超越定理à la Schneider-Lang导出了$\bar{\mathbb Q}}$上交换阿贝尔簇中余维为1的圈的Grothendieck周期猜想。
On the Transcendence of Period Images
设$f : X \to S$是光滑连通基$S$上的一族光滑投射代数簇，且所有的一切都定义在$\overline{\mathbb{Q}}$上.用$\mathbb{V} = R^{2i} f_{*} \mathbb{Z}(i)$表示Hodge结构在度$2i$上同调上的相关积分变差.我们考虑以下问题：当一个纤维$\mathbb{V}_{s}$以上的代数点$s \in S(\overline{\mathbb{Q}})$同构的超越纤维$\mathbb{V}_{s'}$与$s' \in S(\mathbb{C}) \setminus S(\overline{\mathbb{Q}})$？当$\mathbb{V}$诱导出一个准有限周期映射$φ: S \to Γ\backslash D$时，霍奇理论预言这样的同构不存在。我们引入新的微分代数技术，以证明这是真实的所有点$s \in S(\overline{\mathbb{Q}})$以外的一个明确的适当的闭代数子集的$S$。作为推论，我们建立了一个规范的$\overline{\mathbb{Q}}$代数模型的周期图像规范化的存在。
Notes on De Jong's period=index theorem for central simple algebras over fields of transcendence degree two
这些是注意到德容的证明期间=指数定理领域的超越度两个。他们实际上是关于简化证明勾勒德容在最后一节他的文件。这些笔记是为了支持我的讲座在暑期学校“中央单代数代数的功能领域”在康斯坦茨大学之间的8月26日和9月1日2007年（其他讲座就这个问题是由菲利普吉尔，安德鲁Kresch，最大Lieblich，塔马斯Szamuely和扬范吉尔）。没有独创性的意图（也许除了一点点在证明阿廷分裂定理）。说明中说明了材料所依据的各种来源。应该提醒读者，这些笔记没有更新，以反映在暑期学校结束后发生的主题的发展。
Transcendence of the Hodge-Tate filtration
对于$C$的一个完全代数封闭的$\mathbb{Q}_p$的扩展，我们证明了一个一维$p$ -可分群$G/ \mathcal{O}_C$可以定义在一个完全离散值的子域$L \subset C$与Hodge-Tate周期比包含在$L$的当且仅当$G$有CM，当且仅当周期比产生的程度等于高度的$G$的$\mathbb{Q}_p$的扩展。这是一个$p$ -adic模拟的经典超越结果的施耐德指出，$τ$在复杂的上半平面，$τ$和$j(τ)$是同时代数超过$\mathbb{Q}$当且仅当$τ$是包含在二次扩展的$\mathbb{Q}$。我们还简要讨论了一个抽象的推广shtukas与一只爪子。
Higher Ramanujan equations II: periods of abelian varieties and transcendence questions
在第一部分中，我们考虑了模空间$B_g$，它主要分类了赋有辛Hodge基的维数$g$的极化阿贝尔簇，并在其上构造了高阶Ramanujan向量场$(v_{kl})_{1\le k\le l \le g}$.在第二部分中，我们从复分析的观点研究了这些对象.构造了一个全纯映射$φ_g : \mathbf{H}_g \to B_g(\mathbf{C})$，其中$\mathbf{H}_g$表示亏格$g$的Siegel上半空间，满足微分方程组$\frac{1}{2πi}\frac{\partial φ_g}{\partial τ_{kl}}=v_{kl}\circ φ_g$，$1\le k\le l \le g$ .当$g=1$时，我们证明了$φ_1$可以等同于Eisenstein级数的三元组$(E_2,E_4,E_6)$，从而使以前的微分方程与Ramanujan关于Eisenstein级数的经典关系相一致.我们讨论的$φ_g$值和领域的周期的阿贝尔簇之间的关系，我们解释了这与格罗滕迪克的时期猜想。最后，证明了由矢量场$v_{kl}$诱导的$B_g(\mathbf{C})$上的全纯叶理的每一片叶在$B_{g,\mathbf{C}}$中是Zerkiki稠密的.这最后一个结果意味着一个“功能版本”的格罗滕迪克的周期猜想的阿贝尔簇。
Computing transcendence and linear relations of 1-periods
本文提出一个算法，计算有限个 1-周期间的所有代数系数线性关系，从而判定其超越性与相等性，解决 Kontsevich-Zagier 问题，并推广到自治一阶微分方程的分类。
Algebraicity criteria, invariant subvarities and transcendence problems from arithmetic dynamics
我们引入一个代数性准则。它具有以下形式：在一定条件下，整体域$K$上某个代数簇的解析子簇，如果它包含许多$K$ -点，则它是$K.$上的代数簇。当我们有一个动力系统时，这种情况经常出现，因为我们经常可以通过迭代从一个点产生无穷多个点。结合这个准则和不变子簇的研究，我们得到了算术动力学超越性的一些结果。得到了多项式动力偶的Böttcher坐标乘积或乘性正则高乘积是代数的一个特征。为此，我们研究了自同态乘积的不变子簇。特别是，我们部分地生成Medvedev-Scanlon的分类不变的子簇分裂多项式映射到可分离的自同态$(\mathbb{P}^1)^N$在任何特征。通过引入独立性的概念，我们还得到了一些高维的部分推广。然后研究了代数次数为$d\geq 2$的数域上$\mathbb{A}^N$上的优势自同态$f$.我们表明，在大多数情况下（例如，当这样的自同态扩展到$\mathbb{P}^N$上的自同态），有许多解析曲线的中心在无穷大的周期。我们表明，对于大多数人来说，它是代数的当且仅当它包含一个代数点。我们还研究了周期曲线。我们证明了对于大多数的$f$，所有的周期曲线的度至多为$2$ .当采用$N=2$时，得到了更精确的分类结果。证明了在一般$f$满足的条件下，若$f$有无穷多条周期曲线，则$f$在原点变化时是齐次的.
The period-index conjecture is false for motivic reasons
该研究构造了满足特定条件的簇，证明了周期-指数猜想不成立，在d=3时还扩展到$\boldsymbol{\bar{Q}}$域，为相关代数几何问题提供了反例。
Abelian differentials and their periods: the bi-algebraic point of view
本文从阿贝尔微分层的自然双代数结构出发，在算术和函数两个层次上研究了阿贝尔微分周期的超越性。对算术点进行了几何化处理，研究了算术点的分布，证明了双代数曲线在许多情况下是线性曲线。
Algebraic relations among periods and logarithms of rank 2 Drinfeld modules
对于定义在代数函数域上的秩为2的Drinfeld模ρ，我们考虑它的周期矩阵P，它类似于定义在数域上的椭圆曲线的周期矩阵.设F_q的特征为奇，ρ不含复乘.证明了P的元生成的场在F_q（θ）上的超越度为4。作为结果，我们还证明了F_q（θ）上线性无关的代数函数的Drinfeld图的代数无关性。
Period-index bounds for arithmetic threefolds
对于$p$ -adic域上超越度为2的域的Brauer群，标准的周期指数猜想预言该指数整除周期的立方。利用Gabber的素数到$\ell$变换理论和扭曲层的变形理论，证明了周期与$6p$互质的Brauer类的周期指数除以周期的四次方，给出了此类域的第一个一致的周期指数界.
Algebraic classes in mixed characteristic and André's p-adic periods
本文定义André的p进周期代数，构建tannakian框架研究其超越度并类比Grothendieck周期猜想，展示经典p进函数特殊值作为周期出现的例子，联系代数类经典问题。
Some remarks concerning the Grothendieck Period Conjecture
我们讨论了各种结果和问题的Grothendieck期间猜想，这是一个对应的，关于德拉姆-贝蒂实现的代数簇的数域，经典的Asymptures的霍奇和泰特。这些结果为Grothendieck和Kontsevich-Zagier关于数域上簇的周期的扭子的超越性质的结论提供了新的证据。我们特别建立了Grothendieck周期猜想对曲线、阿贝尔簇和K3曲面的乘积在1度上成立，对光滑三次四重曲面在2度上成立。
Transcendental splitting fields of division algebras
本研究探讨可除代数共有特定类型分裂域的问题，证明存在无穷多同指数、周期≥3的互不同构Brauer类共享指定分裂域，同时固定可除代数时，共享超越次数≤3或≤2的分裂域的可除代数数量有限，生成Brauer群的同一循环子群。
Colliot-Thélène's conjecture and finiteness of u-invariants
证明了Colliot-Thélène关于1次0-圈的猜想蕴含了全虚数域上曲线的函数域的u-不变量的有限性和有理数上超越度为1的任意域的Brauer群的周期指数界.
Periods in Families and Derivatives of Period Maps
本文研究光滑紧致族纤维的拟周期作为底空间上函数所生成的域，证明其代数闭包与霍奇滤过旗簇坐标及导数的域一致，并推广到平坦向量丛情形确定超越次数。
Period, index and potential sha
本文提出了O 'Neil周期指数阻塞映射的理论，并导出了全局域上亏格为1的曲线的算法。我们的第一个结果意味着对每一对正整数（P，I），其中P整除I，I整除P^2，存在数域K和K上的亏格为1的曲线C，其周期为P，指数为I.其次，设E是整体域K上的任意椭圆曲线，P > 1是被K的特征线整除的任意整数。我们在K上构造了无限多个亏格为1的曲线C，其周期为P，指数为P^2，雅可比矩阵为E。我们推导出域扩张下Sharevich-Tate群结构的强结果。
On the period-index problem in light of the section conjecture
周期和指数的曲线$X/K$在$p$ -adic局部域$K$，使基本群$π_1(X/K)$允许分裂被证明是权力的$p$。因此，在数域上的曲线的例子被构造，其中具有部分被局部地阻碍在$p$ -adic的地方。因此，截面猜想对这些曲线成立，因为既没有截面也没有有理点。
P-adic Period Conjectures for 1-motives: Integration and Linear Relations
本文为1-动机建立p进周期理论，构造p进积分配对与分层周期空间，提出并证明深度1和2的周期猜想，并发展p进解析子群定理，为研究p进周期线性关系及超越性开辟新途径。
Moduli of vector bundles on $μ_n$-gerbes over genus 2 curves and the period-index problem
研究通过构造 genus 2 曲线上的向量丛模空间，证明基域上存在周期等于指数的 Brauer 类，并展示 C_1-域上 2- torsion Brauer 类满足周期-指数问题，为该猜想提供新证据。
Twisted sheaves and the period-index problem
利用扭层及其模空间研究了概型的Brauer群。特别地，我们（1）证明了扭曲方法如何有效地用于重新证明关于Brauer群和上同调Brauer群的基本事实（2）给出了代数闭域上曲面的de Jong周期指数定理的一个新证明;（3）证明了有限域上曲面的一个类似结果。我们还包括一个减少所有的周期指数问题的布劳尔组的功能领域的代数闭域的特点0，其中（除其他事项外）扩展德容的结果，包括类的周期可分的特点的基本领域。最后，我们使用这里开发的理论给出了一个标准类型的局部到全局猜想的几何有理簇的函数域的射影平面的反例。
Period-index in top cohomology over semiglobal fields
本文研究半整体域顶上同调类的周期与指数关系，证明公共槽引理及二者对一般类相等，并给出二次型应用与开放问题。
Period and index in the Brauer group of an arithmetic surface (with an appendix by Daniel Krashen)
本文介绍了两种新的方法，使用堆栈分裂曲面上的Brauer类的分歧。每一种分裂方法都产生一个新的扭堆叠向量丛模空间。通过研究这些空间的结构，我们证明了标准的周期指数猜想的新结果。第一个产生了新的界限的周期指数关系的类曲线在更高的局部域，而第二个可以用来与哈塞原则的形式的模空间的稳定向量丛的尖曲线在全球领域的周期指数问题的Brauer组的算术表面。我们包括丹尼尔克拉申的附录，表明当地的周期指数界限是尖锐的。
The period-index problem for complex tori
我们解决了周期指数问题的一般复杂环面的Brauer群的维数至少为3，给出了一个明确的公式，为每个Brauer类的指数。因此，复解析版本的周期指数猜想是假的无穷多个布劳尔类的一般复杂环面的维数至少为3。
The Period and Index of a Generic Geometrically Elliptic Normal Curve
本文在广义Severi–Brauer簇的基扩张上构造亏格一曲线作为几何椭圆正规曲线族的versal对象，并计算其周期与指数，证明所有可能的组合均可实现。
The period-index problem for elliptic curves and the essential dimension of Picard stacks
本文研究了椭圆曲线的周期指标问题，并引入了一个与Picard栈的本质维数密切相关的类指标。特别是，我们将使用示例来了解通常周期和通用索引是不同的。我们的构造与卡塞尔的例子不同。
Hodge theory of twisted derived categories and the period-index problem
研究了扭曲导出范畴的Hodge理论及其与周期指数问题的关系。我们的主要贡献是发展的理论扭曲Mukai结构的拓扑平凡Brauer类任意光滑的适当品种和家庭。作为应用，我们构造了Hodge类，其代数性暗示了周期指数界;构造了Severi-Brauer簇上的积分Hodge猜想的新反例;证明了Deligne-Mumford曲面的导出范畴上的积分Hodge猜想.
The period-index problem for hyperkähler varieties: Lower and upper bounds
本文通过证明超kähler变种的周期-指数猜想的最优性，并在K3^n型变种上验证了非特殊共素Brauer类的猜想。
The Period-Index Problem of the Canonical Gerbe of Symplectic and Orthogonal Bundles
本文考虑特征为零的代数闭域上不可约光滑射影曲线上的正则稳定抛物辛丛和正交丛。从这种丛的模栈到它的粗模空间的态射是一个$μ_2$ -gerbe。本文研究了这类微分方程的周期和指数，并解决了相应的周期指数问题。
Splitting unramified Brauer classes by abelian torsors and the period-index problem
本文利用扭曲相对Picard簇，通过固定阿贝尔概型的挠子分裂射影簇上的Brauer类，并证明非分歧Brauer类的指标整除其周期的固定幂次。
The period-index problem and Hodge theory
在2次Lefschetz标准猜想的条件下，证明了光滑射影簇上的Brauer类的指数在光滑族中均匀地整除其周期的一个固定幂.在另一个方向，我们重新解释更经典的条款霍奇基斯最近的工作，使霍奇理论的下界的指数布劳尔类。我们还证明了我们的结果在任意代数闭基领域的版本，并作为一个应用构造定性新的反例的整体泰特猜想。
The hyperkähler period-index conjecture is false
该研究证明Huybrechts提出的强化型周期-指数猜想在K3^[2]型和Kum^2型的超双曲四维簇上不成立。
The prime divisors of the period and index of a Brauer class
我们表明，在局部环连接拓扑的素数划分的周期和指数的布劳尔类重合。结果特别适用于布劳尔类连接计划，代数栈，拓扑空间和射影表示理论的投射有限群。
The period-index problem for real surfaces
研究了实代数曲面函数域的Brauer群中一类函数的周期和指数何时重合。我们证明，它总是这样的情况下，如果表面没有真正的点（更一般地说，如果类消失的限制，它是明确定义的轨迹的真正的点），并给出了一个充要条件unramified类。作为应用，我们证明了实代数曲面的函数域的u-不变量等于4，回答了Lang和Pfister的问题。我们的策略依赖于一个新的霍奇理论的方法，德容的周期指数定理在复杂的表面。
Generalized period-index problem with an application to quadratic forms
设$F$是完备离散域上曲线的函数域。设$\ell$是不等于剩余域的特征的素数。给定Brauer群${}_{\ell}Br(F)$的$\ell$扭部分中的有限子群$B$，定义$B$的指数为分裂$B$中所有元素的域扩张的度的最小值.本文利用$F$的算术不变量给出了任意有限子群$B$的指数的一个上界。作为我们的结果的一个简单的应用，给定一个二次型$q/F$，其中$F$是一个$n$ -局部域上的曲线的函数域，我们提供了一个上界，使$q\otimes L$的Witt指数成为最大可能的最小度的域扩张$L/F$。
The period-index conjecture for abelian threefolds and Donaldson-Thomas theory
本文通过发展三维Calabi-Yau范畴的约化Donaldson-Thomas不变量理论，证明了阿贝尔三维流形上非分歧Brauer类的周期-指数猜想，并由此推导出一般扭曲阿贝尔三维流形的积分Hodge猜想。
On The Topological Period-Index Problem over 8-manifolds
建立了闭可定向8-流形上拓扑Brauer类的指数的上界.特别是，我们验证了拓扑Brauer类的拓扑周期指数猜想（TPIC）的顺序不全等2模4闭定向8-流形。此外，我们还给出了一个反例，证明了TPIC对于闭可定向8-流形一般是不成立的。
The topological period-index problem over 6-complexes
通过比较射影酉群分类空间的Postnikov塔和扭曲Atiyah-Hirzebruch谱序列中的微分，我们得到了关于周期的拓扑指数的一个下界，并完全解决了维数不超过6的有限CW复形的周期指数问题的拓扑形式.条件的建立，如果他们满足一个光滑的复杂的3倍品种的上同调，将反驳普通的周期指数猜想。满足这些条件的高维品种的例子。我们使用我们的结果来阻碍实现周期2 Brauer类作为与Clifford代数层相关的类，并构造了总Clifford不变映射不是满射的簇。以前没有这样的例子。
The period-index problem for hyper-Kähler varieties via hyperholomorphic bundles
本文通过射影超全纯丛，为$K3^{[n]}$型超Kähler簇的周期-指数问题建立了新界，并验证了Huybrechts猜想的部分情形。
Minimal Trivializing Isogenies of $\mathbb{G}_m$-gerbes over Abelian Varieties and Period-Index Problem
本文通过引入新不变量 $Ind_{SH}(\alpha)$ 并研究 $\mathbb{G}_m$-gerbe 的 $\mu_n$-提升和 $1$-扭曲半齐次向量丛，改进了周期-指数关系，并证明了周期-指数猜想对任意维椭圆曲线乘积成立。
The period-index problem for hyperkähler manifolds
本文提出射影超凯勒流形上非分歧布饶尔类的指数整除周期的维度一半次幂这一猜想，并在允许拉格朗日纤维化的流形和 K3 曲面的希尔伯特概型两类情形中给出证明。
Period and index, symbol lengths, and generic splittings in Galois cohomology
我们使用一个新的概念的基础上的“presentable函子”，以描述的问题之间的关系，有界符号长度上同调和找到最小程度的分裂字段的xuocohomology类的建设。所涉及的建设，然后也被用来描述通用分裂品种度2上同调系数的乘法型交换代数群。
Rationally simply connected varieties and pseudo algebraically closed fields
域的上同调维数是域上具有非零伽罗瓦上同调的最大次数。塞尔的“猜想II”预测，对于每一个完美的领域的上同调维数$2$，每一个torsor领域的一个半单，单连通代数群是平凡的。一个域是完美的和“伪代数闭的”（PAC），如果域上的每一条几何不可约曲线都有一个有理点。它们具有上同调维数$1$。这样的域的每个超越度$1$扩张都有上同调度$2$ .我们证明了Serre的“猜想II”的上同调度$2$的字段提供要么域的特征$0$或域包含原根的单位为所有阶$n$总理的特征。该方法以一种基本的方式使用“理性简单连通性”。用同样的方法，我们证明了这类域是$C_2$ -域，并证明了这类域的Brauer群的周期等于指数。最后，我们用类似的方法，重新证明和推广了Fried-Jarden的一个定理：每个正特征的理想PAC域都是$C_2$
Serre-Godeaux varieties and the etale index
我们利用有限群的Serre-Godeaux簇、射影表示理论、扭曲Atiyah-Segal完备化定理以及我们以前关于拓扑周期指数问题的工作，计算了Brauer类α的etale指数.特别是，这些计算表明，阿尔法的etale指数一般不同于阿尔法的周期。作为应用，我们利用射影表示理论计算了高维Serre-Godeaux簇的函数域上的非分歧类的指数.
Cohomological obstruction theory for Brauer classes and the period-index problem
设U是有限上同调维数的连通概型，其中每个有限集都包含在仿射开子概型中。假设alpha是H^2（U_et，Gm）_{tors}中的一个类。对于每一个正整数m，α-扭曲层的K-理论被用来确定α可由秩为m^2的阿祖马亚代数表示的障碍。alpha的etale指数，表示为eti（alpha），是使得所有障碍物消失的最小正整数。设per（alpha）为H^2（U_{et}，Gm）_{tors}中alpha的阶数。从稳定同伦理论的方法给出了一个上界的etale指数，这取决于周期的α和etale上同调维数的U;这个界表示的指数的稳定同伦群的领域和指数的稳定同伦群的B（Z/每（α））。作为推论，如果U是有限上同调维数d的域的谱，则eti（alpha）整除per（alpha）^[d/2]，其中[d/2]是d/2的整数部分，只要per（alpha）既不被k的特征整除，也不被任何相对于d小的素数整除。
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