arXiv 2106.093422021-06-17math.AGmath.NT

论时期意象的超越性

On the Transcendence of Period Images

David Urbanik

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摘要：

设$f : X \to S$是光滑连通基$S$上的一族光滑投射代数簇，且所有的一切都定义在$\overline{\mathbb{Q}}$上.用$\mathbb{V} = R^{2i} f_{*} \mathbb{Z}(i)$表示Hodge结构在度$2i$上同调上的相关积分变差.我们考虑以下问题：当一个纤维$\mathbb{V}_{s}$以上的代数点$s \in S(\overline{\mathbb{Q}})$同构的超越纤维$\mathbb{V}_{s'}$与$s' \in S(\mathbb{C}) \setminus S(\overline{\mathbb{Q}})$？当$\mathbb{V}$诱导出一个准有限周期映射$φ: S \to Γ\backslash D$时，霍奇理论预言这样的同构不存在。我们引入新的微分代数技术，以证明这是真实的所有点$s \in S(\overline{\mathbb{Q}})$以外的一个明确的适当的闭代数子集的$S$。作为推论，我们建立了一个规范的$\overline{\mathbb{Q}}$代数模型的周期图像规范化的存在。

英文摘要：

Let $f : X \to S$ be a family of smooth projective algebraic varieties over a smooth connected base $S$, with everything defined over $\overline{\mathbb{Q}}$. Denote by $\mathbb{V} = R^{2i} f_{*} \mathbb{Z}(i)$ the associated integral variation of Hodge structure on the degree $2i$ cohomology. We consider the following question: when can a fibre $\mathbb{V}_{s}$ above an algebraic point $s \in S(\overline{\mathbb{Q}})$ be isomorphic to a transcendental fibre $\mathbb{V}_{s'}$ with $s' \in S(\mathbb{C}) \setminus S(\overline{\mathbb{Q}})$? When $\mathbb{V}$ induces a quasi-finite period map $φ: S \to Γ\backslash D$, conjectures in Hodge theory predict that such isomorphisms cannot exist. We introduce new differential-algebraic techniques to show this is true for all points $s \in S(\overline{\mathbb{Q}})$ outside of an explicit proper closed algebraic subset of $S$. As a corollary we establish the existence of a canonical $\overline{\mathbb{Q}}$-algebraic model for normalizations of period images.

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摘要：

英文摘要：

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