Some remarks on Alweiss's technique and monochromatic configuration of the form $\left\{ x,y,x+y,x\cdot y\right\} $ over Rationals
本文利用超滤子技术，研究了最近由Bowen和Sabok在\cite{key-17}中证明的有理数上的$\left\{ x,y,x+y,x\cdot y\right\} $形式的单色分划正则结构.我们的方法探索，组合丰富的超滤的每个成员包含这些类型的配置。除此之外，我们还将证明，对于任何$n\in\mathbb{N},$，这些集合将包含$\left\{ x,y,x+y,x\cdot y^{n}\right\}$形式的配置，部分证明了肖在\cite{key-25}。
2022-12-28 math.CO
Rainbow monochromatic $k$-edge-connection colorings of graphs
边着色图中的路径称为单色路径，如果路径的所有边具有相同的颜色。如果每个$P_i$都是单色的，并且对于任意两个$i\neq j$，$P_i$和$P_j$具有不同的颜色，则我们称$k$路径为$P_1,\cdots,P_k$彩虹单色路径。一个图$G$的边染色称为彩虹单色$k$ -边连通染色（或简称$RMC_k$ -染色），如果$G$的每两个不同的顶点至少由$k$彩虹单色路连接。我们用$rmc_k(G)$来表示确保$G$具有$RMC_k$ -着色的最大颜色数，这个数称为彩虹单色$k$ -边连接数。证明了图的$RMC_k$ -染色的存在性，给出了图的$rmc_k(G)$的一些界，并给出了图的$rmc_k(G)$达到下界的图.我们还得到了$rmc_k(G(n,p))\geq f(n)$的阈值函数，其中$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor> k\geq 1$。
2020-01-06 math.CO
Erdős-Gallai-type results for colorful monochromatic connectivity of a graph
边有色图中的路径称为\emph{monochromatic path}，如果路径上的所有边都着色相同。$G$的边着色是\emph{monochromatic connection coloring}（简称MC-着色），如果在$G$中的任意两个顶点之间有一条单色路连接。\emph{monochromatic connection number}，记作$mc(G)$，定义为图$G$的MC-着色中使用的最大颜色数。这些概念是由Caro和Yuster提出的，他们得到了一些很好的结果。本文研究了$mc(G)$的两类Erdens-Gallai型问题，并完全解决了这两类问题.
2014-12-25 math.CO
Avoiding monochromatic sub-paths in uniform hypergraph paths and cycles
我们提出了一个递归公式的数量的方法，颜色$j$顶点蓝色的大小为$n$的r-均匀超路径，同时避免蓝色单色子超路径的长度为k。我们利用这个结果解决了$(r-1)$ -紧r-一致路和松r-一致圈的相应问题。这推广了可靠性工程和可靠性分析中的一些已知结果。
2020-02-28 math.CO
Monochromatic and heterochromatic subgraph problems in a randomly colored graph
设$K_n$是具有$n$顶点的完全图，$c_1, c_2, ..., c_r$是$r$不同颜色的图.假设我们在$c_1, c_2, ..., c_r$中随机均匀地对$K_n$的边缘着色。然后我们得到一个随机图，记为$\mathcal{K}_n^r$。本文研究了$\mathcal{K}_n^r$中几类单色和异色子图的渐近性质。在某些情况下，也得到了精确的门限函数。
2007-11-24 math.CO
Monochromatic products and sums in the rationals
证明了在有理数的任意有限多色着色中，必存在某种颜色包含由非零 $x$ 和 $y$ 构成的形如 $\{x,y,xy,x+y\}$ 的集合。
2022-10-21 math.CO math.DS math.LO
On the number of monochromatic solutions of integer linear systems on Abelian groups
设$G$是指数为$n$的有限阿贝尔群，$r$是正整数.令$A$是具有整数项的$k\times m$矩阵。我们证明了，如果$A$满足一些自然条件和$|G|$是足够大的，那么对于每个$r$ -着色的$G\setminus \{0\}$，有$δ$只依赖于$r,n$和$m$，使齐次线性系统$Ax=0$至少有$δ|G|^{m-k}$单色的解决方案。密度版本的计数结果也得到了解决。
2012-03-11 math.CO
Monochromatic vertex-disconnection of graphs
设G是一个点-有色图。如果图G的一个点割S的顶点着色相同，则称S为单色点割。一个图G是单色点不连通的，如果G的任何两个不相邻的顶点有一个单色点割将它们分开。图G的单色顶点不连通数mvd（G）是使图G单色顶点不连通的最大颜色数。本文研究了图的参数之间的关系：mvd（G），连通度和块分解。我们确定了一些著名图的mvd（G）的值，并在n-5 \leq mvd（G）\leq n且G的所有块都是极小2-连通无三角形图时刻画了G.我们得到了满足mvd（G）=k的图G的最大尺寸.进一步，我们研究了mvd（G）的Erdens-Gallai型结果，并完全解决了它们.最后，我们给出了一个计算mvd（G）的算法，并给出了G的mvd-染色。
2022-04-09 math.CO
Monochromatic Hilbert cubes and arithmetic progressions
Van der Waerden数$W(k,r)$表示最小的$n$，使得只要$[n]$是$r$ -着色的，就存在长度为$k$的单色算术级数。类似地，希尔伯特立方数$h(k,r)$表示最小的$n$，使得只要$[n]$是$r$ -着色的，就存在一个单色仿射$k$ -立方，也就是说，对于某些$|A|=k$和$x_0 \in \mathbb{Z}$，存在一个形式为$$\left\{x_0 + \sum_{b \in B} b : B \subseteq A\right\}$$的集合。我们证明了希尔伯特立方数和范德瓦尔登数之间的关系。令$k \geq 3$为整数。那么对于每个$ε>0$，存在一个$c > 0$，使得$$h(k,4) \ge \min\{W(\lfloor c k^2\rfloor, 2), 2^{k^{2.5-ε}}\}.$$因此，我们在$W(k,2)$显著大于$2^k$的条件下改进了$h(k,4)$的现有技术下限。在另一个方向上，这表明如果希尔伯特立方数接近其现有技术的下限，则$W(k,2)$在$k$中至多是双指数的。我们还证明了对任何Sidon集$A \subset \mathbb{Z}$，都有$$\left|\left\{\sum_{b \in B} b : B \subseteq A\right\}\right| = Ω( |A|^3) .$$的最优结果
2018-05-23 math.CO math.NT
Almost-monochromatic sets and the chromatic number of the plane
在$\mathbb{R}^d$的着色中，如果$S\setminus \{s_0\}$是单色的而$S$不是，则$(S,s_0)$与$S\subseteq \mathbb{R}^d$和与$s_0\in S$的对是\emph{almost monochromatic}。我们考虑的问题，找到几乎单色的相似副本对$(S,s_0)$在着色的$\mathbb{R}^d$，$\mathbb{Z}^d$，并在$\mathbb{Q}$下的着色的一些限制。在其他结果中，我们将这些$(S,s_0)$与$S\subseteq \mathbb{Z}$，其中每一个有限着色的$\mathbb{R}$没有一个无限的单色算术级数包含一个几乎单色类似的副本$(S,s_0)$。我们还表明，如果$S\subseteq \mathbb{Z}^d$和$s_0$是外的凸包的$S\setminus \{s_0\}$，那么每一个有限着色的$\mathbb{R}^d$没有一个类似的单色副本的$\mathbb{Z}^d$包含一个几乎单色的类似副本的$(S,s_0)$。此外，我们提出了一种方法，找到几乎单色集，可能会导致一个非计算机辅助证明$χ(\R^2)\geq 5$。
2022-02-26 cs.DM math.CO
King-serf duo by monochromatic paths in k-edge-coloured tournaments
一个开放的猜想Erdans的状态，对于每一个正整数$k$有一个（最小）正整数$f(k)$，使每当一个锦标赛有它的边着色$k$颜色，有一个集合$S$最多$f(k)$顶点，使每个顶点有一个单色路径到某些点在$S$。我们考虑了一个相关的问题，并表明，对于每个（有限或无限）基数$κ>0$有一个基数$ λ_κ$，使在每个$κ$ -边色锦标赛存在不相交的顶点集$K,S$的总大小最多为$ λ_κ$，使每个顶点$ v $有一个单色路径的长度最多为2从$K$到$v$或从$v$到$S$。
2017-05-02 math.CO
The (vertex-)monochromatic index of a graph
边着色图$H$中的树$T$称为\emph{monochromatic tree}，如果$T$的所有边具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的单色树。对于连通图$G$和给定的整数$k$，$G$的\emph{$k$-monochromatic index $mx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)$，存在单色$S$ -树。本文证明了对任意连通图$G$，对每个PDMATHAMT有$mx_k(G)=|E(G)|-|V(G)|+2$，使得$3\leq k\leq |V(G)|$ .顶点着色图$H$中的树$T$称为\emph{vertex-monochromatic tree}，如果$T$的所有内部顶点具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{vertex-monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的顶点单色树。对于连通图$G$和给定的整数$2\leq k\leq |V(G)|$，$G$的\emph{$k$-monochromatic vertex-index $mvx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)…
2016-03-19 math.CO
On some problems of Euclidean Ramsey theory
在本文中，我们证明，特别是，任何可测染色的欧几里德平面成两种颜色有一个单色三角形的一些限制的边。我们也考虑类似的问题，在有限域设置。
2015-07-22 math.CO math.NT
Coloring so that no Pythagorean Triple is Monochromatic
我们解决了勾股方程a^2+b^2=c^2的“分割正则性”问题;特别是，自然数是否可以被赋予2-着色，使得没有勾股三元组（即，方程的解）是单色的？我们证明了勾股三元组超图不可能包含Steiner三元系，这是2-可染性的一个自然障碍。然后，在将问题转化为关于3-CNF可满足性的问题并应用一些约简之后，使用SAT求解器来找到{1，...，7664}。工作继续，因为我们寻求改善的减少和扩展的计算。
2015-05-09 cs.DM cs.LO math.CO
Algorithm for monochromatic vertex-disconnection of graphs
设G是一个点-有色图。我们称G的一个点割S为单色点割，如果S的顶点着色相同。如果图G的任意两个不相邻的顶点之间有一个单色割，则称图G是单色点不连通的。图G的单色顶点不连通数mvd（G）是使图G单色顶点不连通的最大颜色数。本文提出了一个计算mvd（G）的算法，并给出了图G的mvd-染色。我们运行这个算法用Java编写的例子。代码的主要部分在附录B中显示，完全码在Github上给出：https://github.com/fumiaoT/mvd-coloring.git。其次，受局部化原理的启发，我们对几类特殊的图类得到了mvd（G）的一个上界。另外，当mvd（G）很大且G的所有块都是极小2-连通无三角形图时，我们刻画了G。在此基础上，我们证明了：任何图的块都是小阶极小2-连通图的图，都可以在多项式时间内计算出mvd（G）并给出mvd-染色.
2021-12-01 math.CO
On some multicolour Ramsey properties of random graphs
图$F$的大小Ramsey数$\hat{R}(F)$是最小整数$m$，使得在$m$边上存在图$G$，并且$G$的边的任何两种颜色的着色产生$F$的单色副本。本文首先研究了$n$顶点上的路$P_n$的大小Ramsey数。特别是，我们表明，$5n/2-15/2 \le \hat{R}(P_n) \le 74n$ $n$足够大。(The上界使用随机$d$ -正则图的扩展属性。这改进了先前Bollobás的下限$\hat{R}(P_n) \ge (1+\sqrt{2})n-O(1)$和Letzter的上限$\hat{R}(P_n) \le 91n$。接下来我们用$pn \to \infty$研究边着色随机图$G(n,p)$中的长单色路。设$α> 0$是一个任意小的常数。最近，Letzter表明，a.a.s.\ $G(n,p)$的任何$2$边着色产生长度为$(2/3-α)n$的单色路径，这是最佳的。推广这一结果，我们表明，a.a.s.\ $G(n,p)$的任何$3$ -边缘着色产生长度为$(1/2-α)n$的单色路径，这也是最佳的。在一般情况下，我们证明，对于$r\ge 4$ a.a.s.\ $G(n,p)$的任何$r$ -边缘着色产生长度为$(1/r-α)n$的单色路径。我们还考虑了一个相关的问题，并表明，对于任何$r \ge 2$，a.a.s.\ $G(n,p)$的任何$r$ -边着色产…
2016-01-11 math.CO
Variations on Ramsey numbers and minimum numbers of monochromatic triangles in line $2$-colorings of configurations
本文探索了拉姆齐数与单色化配置中单色三角形的最小数变体，通过定义线2-着色配置并计算具体对称示例，扩展并完善了相关图论理论。
2024-04-26 math.CO
Covering graphs by monochromatic trees and Helly-type results for hypergraphs
一个给定的$r$ -边着色图$G$需要多少条单色路、圈或一般树来覆盖它的所有顶点？这些问题在20世纪60年代被引入，并在过去的50年里被各种研究人员深入研究。在本文中，我们建立了一个连接，这个问题和下面的自然Helly-type超图问题。粗略地说，这个问题要求覆盖超图$H$的所有边所需的最大顶点数，如果已知$H$的任何少数边的集合具有小覆盖。我们得到相当准确的界限超图问题，并使用它们给一些意想不到的答案，一些问题的覆盖图的单色树提出和研究的巴尔和DeBiasio，Kohayakawa，莫塔和沙赫特，朗和洛，和Girão，Letzter和Sahasrabudhe。
2020-08-04 math.CO
Monochromatic tree covers and Ramsey numbers for set-coloured graphs
我们考虑一个概括的经典拉姆齐理论设置的设置，其中每个边缘的基础主机图是彩色的{ \em集}的颜色（而不是只有一种颜色）。我们给出了单色树覆盖在这种设置下，无论是一个基本的完全图，和一个基本的完全二部图的界限。我们还讨论了一个概括的拉姆齐数，我们的设置，并提出了一些其他的新方向。我们对完全图中树覆盖的研究结果表明，对于$k$ -交$r$ -部$r$ -一致超图，Ryser猜想的一个更强的版本成立：它们的横截最多为$r-k$ .（Király等人也得到了类似的结果，见下文）。然而，我们也表明，绑定$r-k$是不是最好的可能在一般情况下。
2018-05-28 math.CO
Monochromatic balanced components, matchings, and paths in multicolored complete bipartite graphs
众所周知，在完全二部图$K_{n,n}$的边的每一个$r$ -染色中，都存在一个至少有${2n\over r}$顶点的单色连通分支.这将是有趣的，知道我们是否可以额外要求，这个大的组件是平衡的，也就是说，它是真的，在每一个$r$着色的$K_{n,n}$有一个单色组件，满足双方在至少$n/r$顶点？四十多年前，Gyárfás和Lehel以及Faudree和Schelp分别证明了任何$2$着色的$K_{n,n}$都包含一个单色的$P_n$。最近，Bucić，Letzter和Sudakov证明了每个$3$着色的$K_{n,n}$包含一个大小为$\lceil n/3 \rceil$的单色连通匹配（一个边在同一连通分量中的匹配）。因此，对于$1\leq r\leq 3$，答案是肯定的。我们提供了一个简短的证明（一个非对称版本）的原始问题$1\leq r\leq 3$，也就是说，每一个$r$着色的$K_{m,n}$有一个单色组件，满足每一侧的$1/r$比例的部分大小。然后，有点令人惊讶的是，我们表明，这个问题的答案是“不”的所有$r\ge 4$。例如，存在$K_{n,n}$的$4$ -着色，其中最大的平衡单色分量在两个分类中都具有$n/5$顶点（而不是$n/4$）。我们的结构是基于$P_4$的$r$ -色二分Ramsey数的下界，表示为$f(r)$，这是最小的整数$\ell$，使得在每个$r$…
2019-10-09 math.CO
Hindman-like theorems with uncountably many colours and finite monochromatic sets
Hindman-Galvin-Glazer定理的一个特殊情况是，对于无限阿贝尔群$G$的每一个划分为两个单元，都会有一个无限的$X\subseteq G$使得它的有限和的集合$\{x_1+\cdots+x_n\big|n\in\mathbb N\wedge x_1,\ldots,x_n\in X\text{ are distinct}\}$是单色的。我们知道，如果我们试图得到一个不可数（而不仅仅是无限）的$X$，那么同样的陈述在很强的意义上是错误的。另一方面，Komjáth最近的一个结果指出，对于划分成不可数的许多细胞，有可能获得$\mathrm{FS}(X)$形式的单色集，对于某些规定的有限大小的$X$，当使用足够大的布尔群时。在本文中，我们提供了一个推广Komjáth的结果，我们表明，在某种意义上，这种推广是最强的可能。
2018-10-03 math.CO math.LO
Partition Regularity of Nonlinear Polynomials: a Nonstandard Approach
在2011年，Neil Hindman证明了对于每个自然数$n,m$，多项式\begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} x_{i}-\prod\limits_{j=1}^{m} y_{j} \end{equation*}对于$\mathbb{N}$的每个有限着色都有单色解。我们想把这个结果推广到两类非线性多项式。第一类由以下类型的多项式$P(x_{1},...,x_{n},y_{1},...,y_{m})$组成：\begin{equation*} P(x_{1},...,x_{n},y_{1},...,y_{m})=\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}M_{i}(y_{1},...,y_{m}), \end{equation*}其中$n,m$是自然数，$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}$对于$\mathbb{N}$的每个有限着色都有单色解，并且$M_{i}(y_{1},...,y_{m})$中每个变量$y_{1},...,y_{m}$的次数至多为1。这样的多项式的一个例子是\begin{equation*} x_{1}y_{1}+x_{2}y_{1}y_{2}-x_{3}.\end{equation*}第二类多项式推广Hindman的结果是更复杂的描述;其特殊性是，一些涉及的变量的程度可以大于一。我们使用的技术依赖于基…
2013-12-12 math.CO math.LO
An additive version of Ramsey's theorem
我们证明了，对于每一个$r, k$，有一个$n = n(r,k)$，使任何$r$染色的$[n]$上的完全图的边缘将产生一个单色的顶点${a + \sum_{i \in I} d_i \mid I \subseteq [k]}$上的完全子图的$a, d_1,..., d_k$的一些选择。特别地，总是存在$x_1 + ... + x_\ell = y_1 + ... + y_\ell$的解，其诱导子图是单色的。
2012-02-28 math.CO
On edges not in monochromatic copies of a fixed bipartite graph
设$H$是一个固定图。将$f(n,H)$表示为在完全图$K_n$的2-边着色中不包含在$H$的任何单色副本中的最大边数，并且将$ex(n,H)$表示为$H$的{\it Turán数}。一个简单的下限显示了任何$H$和$n$的$f(n,H)\ge ex(n,H)$。在\cite{KS2}中，Keevash和Sudakov证明了如果$H$是一个边色临界图或$C_4$，那么$f(n,H)= ex(n,H)$对大的$n$成立，并且他们问当$n$足够大时，这个等式是否对任何图$H$成立。在本文中，我们提供了一个肯定的答案，一个丰富的无限族的二部图$H$，包括所有偶圈和完全二部图$K_{s,t}$的$t>s^2-3s+3$或$(s,t)\in\{(3,3),(4,7)\}$。另外，我们证明了对于所有这样的$H$，$K_n$的2-边着色$c$达到最大数$f(n,H)$当且仅当$c$中的一个色类诱导$ex(n,H)$的极值图.我们还得到了二部图的一个多染色推广。最后对相关问题进行了讨论。
2016-05-30 math.CO
Monochromatic paths and cycles in $2$-edge-colored graphs with large minimum degree
图$G$指向图$H$，如果在$G$的每个$2$ -边着色中存在$H$的单色副本。Schelp的想法，如果完全图$K_n$箭头一个小图$H$，那么每一个“密集”子图的$K_n$也箭头$H$，他概述了一些问题，在这个方向。我们的主要成果就是本着这种精神。本文证明了：对于每一个充分大的$n$，如果$n = 3t+r$（其中$r \in \{0,1,2\}$和$G$是一个具有$δ(G) \ge (3n-1)/4$的$n$ -顶点图），则对于$G$的每一个$2$ -边染色，要么存在同色的每一个长度为$\{3, 4, 5, \dots, 2t+r\}$的圈，要么存在同色的每一个偶数长度为$\{4, 6, 8, \dots, 2t+2\}$的圈.我们的结果是紧的，在这个意义上，不再周期（长度$>2t+r$）可以保证和最小程度的条件不能减少。这也暗示了Schelp的猜想：对于每一个足够大的$n$，每一个最小度大于$3|V(G)|/4$的$(3t-1)$ -顶点图$G$指向具有$2n$顶点的路径$P_{2n}$.此外，它意味着足够大的$n$的猜想由Benevides，Schluczak，Scott，Skokan和白色的$n=3t+r$，其中$r \in \{0,1,2\}$和每个$n$ -顶点图$G$与$δ(G) \ge 3n/4$，在每个$2$ -边着色的$G$存在一个单色循环的长度至少$2t+r…
2021-05-25 math.CO
Star-critical Gallai-Ramsey numbers of graphs
Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$是最小的整数$n$，使得每个$k$ -边着色的$K_{n}$对于某些$i\in [k]$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。我们找到最大的明星，可以从$K_n$，使基本的图形仍然被迫有彩虹$K_3$或单色$H_{i}$在彩色$i$的一些$i\in [k]$。因此，我们定义星临界Gallai-Ramsey数$gr_{k}^{*}(K_3: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$为最小整数$s$，使得对于某些$i\in [k]$，每个$k$ -边色$K_{n}-K_{1, n-1-s}$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。当$H=H_{1}=\cdots=H_{k}$时，我们简单地用$gr_{k}^{*}(K_{3}: H)$表示$gr_{k}^{*}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$。我们确定了完全图和一些小图的星临界Gallai-Ramsey数。此外，我们表明，$gr_{k}^{*}(K_3: H)$是指数的$k$，如果$H$不是二分的，线性的$k$，如果$H$是二分的，但不是一个明星和常数（不依赖于$k$），如果$H$是一个明星。
2021-03-02 math.CO
Forcing monochromatic induced subgraphs
University of Waterloo（滑铁卢大学）
证明对于任意c种颜色和任意非空图H1,...,Ht，存在n使得任何c边染色完全图若不包含完全联结的H1,...,Ht的单色诱导副本，则顶点集可划分为n个子集，每个非单点集内某种颜色的边排除至少一个Hi作为诱导子图。
2026-07-17 math.CO
Covering complete partite hypergraphs by monochromatic components
Ryser猜想的一个著名特例是k部相交超图的横截至多为k-1个顶点。Gyárfás提出了一个等价形式：如果一个完全图K的边被k种颜色着色，那么K的顶点集最多可以被k-1个集合覆盖，每个集合都以某种颜色连接。事实证明，超图猜想的类似物可以回答：Z。Király证明了在r-一致完全超图K ^r（r>= 3）的边的每一个k-染色中，K ^r的顶点集最多能被以某种颜色连通的$\lceil k/r \rceil$集覆盖.本文研究了完全r-一致r-部超图的类比问题。一个超图的边染色称为生成，如果每一个顶点都关联到染色中使用的任何颜色的边。我们提出了下面的类似Ryser猜想。在完全r-一致r-部超图的边的每一个生成（r + t）-染色中，顶点集最多可以被t +1个以某种颜色连通的集合覆盖。我们的主要结果是：当1 <= t <= r-1时，该猜想成立.我们还证明了一个稍弱的结果t>= r，即t +2集，每个连接在某种颜色，是足以覆盖的顶点集。为了在完全r-一致超图和完全r-一致r-部超图之间架起一座桥梁，我们引入了一个新的概念。一个超图是完全r-一致（r，l）-部的，如果它的所有r-集与每个部类相交的顶点不超过l个。本文推广了l = 1时的结果，证明了对任意r>= 3，2 <= l <= r，k>= 1 + r-l，在完全r-一致（r，l）-部超图的边的每一个生成k-染色中，顶点集最多可被1 + …
2016-04-11 math.CO
Exact Ramsey numbers of odd cycles via nonlinear optimisation
对于图$G$，$k$ -色拉姆齐数$R_k(G)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每个$k$ -色包含$G$的单色副本.令$C_n$表示$n$顶点上的圈。我们表明，固定$k\geq2$和$n$奇数和足够大，\[ R_k(C_n)=2^{k-1}(n-1)+1. \]这解决了一个猜想的邦迪和Erdabins [J. Combin。日Ser. B \textbf{14}（1973），46- 54]。证明是分析的性质，其中的第一步是使用规律性的方法，将这个问题在拉姆齐理论的一个非线性优化。这使我们能够证明一个稳定型的概括上述和建立一个令人惊讶的对应极端$k$ -着色这个问题和完美匹配的$k$ -维超立方体$Q_k$。
2016-08-19 math.CO
Prime and polynomial distances in colourings of the plane
本文扩展了奇距离图无界色数定理，证明平面任意有限着色必含单色点对，其距离为给定整系数多项式的值或素数。
2024-05-22 math.CO math.MG math.NT
Coloring random graphs online without creating monochromatic subgraphs
考虑以下随机过程：一个二项式随机图$G_{n,p}$的顶点被一个接一个地显示，并且在每一步中，只有由已经显示的顶点诱导的边可见。我们的目标是从固定数量的可用颜色$r$中立即并可替换地为每个顶点分配一个颜色，而不会在此过程中创建某个固定图形$F$的单色副本。我们的第一个主要结果是，对于任何$F$和$r$，这个问题的门限函数由$p_0(F,r,n)=n^{-1/m_1^*(F,r)}$给出，其中$m_1^*(F,r)$表示$F$和$r$的所谓\emph{online vertex-Ramsey density}。这个参数是通过一个纯粹确定性的两人游戏来定义的，在这个游戏中，随机过程被一个对手所取代，这个对手受到从随机设置继承的某些限制。我们的第二个主要结果表明，对于任何$F$和$r$，在线顶点拉姆齐密度$m_1^*(F,r)$是一个可计算的有理数。我们的下限证明是算法的，即，我们得到多项式时间在线算法，成功地着色$G_{n,p}$所需的概率$1-o(1)$为任何$p(n) = o(n^{-1/m_1^*(F,r)})$。
2011-04-27 math.CO math.PR
Owings-like theorems for infinitely many colours or finite monochromatic sets
本文推广Owings问题，研究阿贝尔群着色下单色和集的存在性，完全解决了基数κ与θ同为有限或同为无限的情况，并部分解决了θ无限κ有限的情况。
2024-07-23 math.CO math.LO
Euclidean Gallai-Ramsey Theory
本文将欧氏拉姆齐理论与图的Gallai-拉姆齐理论结合起来，引入欧氏Gallai-拉姆齐理论.更确切地说，我们考虑以下问题：对于一个整数$r$和配置$K$和$K'$，是否存在一个整数$n_0$，使得对于任何$n$维欧几里得空间的点用$n \geq n_0$的$r$ -染色，存在一个与$K$全等的单色配置或一个与$K'$全等的彩虹配置？特别地，我们给出了一些配置$K$和$K'$，如三角形和矩形的$n_0$上的界。这些都是普通欧几里得拉姆齐理论的扩展，其目的是找到一个单色的配置。
2022-09-27 math.CO
Bounded monochromatic components for random graphs
本文研究了二项随机图$G_{n,p}$的顶点划分问题。对于$np\to\infty$，我们观察到以下现象：在任何分区为渐近少于$χ(G_{n,p})$部分，即$o(np/\log np)$部分，一个部分必须诱导一个连通分量的顺序至少大致平均部分大小。换句话说，我们考虑$t$ -分量色数，在顶点着色中所需的最小颜色数，对于这些顶点，没有单色分量具有超过$t$的顶点。只要是$np \to \infty$，$t$在$Θ(p^{-1}\log np)$附近就有一个阈值：如果$t$更小，则$t$分量色数几乎与色数一样大，而如果$t$更大，则它在$n/t$附近。对于固定的$0 < p <1$，我们获得更精确的信息。我们发现一些更微妙的事情发生在阈值$t = Θ(\log n)$，我们确定的渐近一阶行为的特点是一个非光滑的功能。此外，我们考虑了$t$ -分量稳定数，即导出最大分量阶至多为$t$的子图的顶点子集的最大阶，并证明了它集中在关于一个显式给定公式的一个定长区间内，只要$t = O(\log \log n)$。我们还考虑了一个相关的Ramsey型参数和使用界上的组件的稳定数$G_{n,1/2}$来描述其基本的渐近增长。
2017-07-18 math.CO math.PR
Some multivariable Rado numbers
方程的Rado数是与方程相关联的拉姆齐理论量。设$\mathcal{E}$是一个线性方程。用$\operatorname{R}_r(\mathcal{E})$表示最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E})]$的任何$r$着色必须允许$\mathcal{E}$的单色解。本文给出了$\sum_{i=1}^{m-2}x_i+kx_{m-1}=\ell x_{m}$的Rado数的上下界，并给出了一些精确值。进一步，我们得到了$\ell=m=4$和$m=5, \ell=k+i \ (1\leq i\leq 5)$的一些结果.作为推广，线性方程组$\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r$的\emph{$r$-color Rado numbers}被定义为最小整数，如果它存在，使得$[1,\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)]$的任何$r$ -着色必须允许某个$\mathcal{E}_i$的单色解，其中$1\leq i\leq r$。利用Lovász局部引理给出了$\operatorname{R}_r(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,...,\mathcal{E}_r)$的下…
2022-03-11 math.CO
Gallai-Ramsey multiplicity for rainbow small trees
本文定义了Gallai-Ramsey重数，并在足够多颜色下求得了彩虹小树与一般单色图该重数的精确值，同时研究了二部Gallai-Ramsey重数。
2024-03-25 math.CO
Replacing the host K_n by n-chromatic graphs in Ramsey-type results
将拉姆齐理论中的两个著名结果从$K_n$推广到任意的$n$ -色图.首先是一个注意到Erd \H OS和雷达指出，在每2着色的边缘$K_n$有一个单色树上$n$顶点。第二个是Cockayne和Lorimer的定理，指出对于满足$n_1=\max\{n_1,n_2,\dots,n_t\}$和$n=n_1+1+\sum_{i=1}^t (n_i-1)$的正整数，以下成立。在$K_n$的边与颜色$1,2\dots,t$的每个着色中，对于某些$i\in \{1,2,\dots,t\}$，存在大小$n_i$的单色匹配。
2015-06-15 math.CO
Some Two Color, Four Variable Rado Numbers
存在一个最小整数$N$使得$\{1,2,...,N\}$的任何2-着色都允许$k,\ell \in \mathbb{Z}^+$的$x+y+kz =\ell w$的单色解，其中$N$依赖于$k$和$\ell$ .我们确定$N$时$\ell-k \in \{0,1,2,3,4,5\}$，对于所有的$k,\ell$，其中${1/2}((\ell-k)^2-2)(\ell-k+1)\leq k \leq \ell-4$，以及对于任意的$k$时$\ell=2$。
2007-06-29 math.CO
On Induced Online Ramsey Number of Paths, Cycles, and Trees
一个在线拉姆齐游戏是一个游戏之间的建设者和画家，轮流交替。给出了图$H$和图$G$的一个独立顶点的无限集合。在每一轮中，生成器绘制一条边，绘制器将其着色为红色或蓝色。如果在某个有限回合之后有图形的单色副本$H$，则生成器获胜，否则绘制器获胜。在线Ramsey数$\widetilde{r}(H)$是生成器可以在$G$中强制生成$H$单色副本的最小轮数。这是一个类比的大小拉姆齐数$\overline{r}(H)$定义为最小数，使存在图$G$与$\overline{r}(H)$的边缘，其中任何边缘二着色$G$包含一个单色副本的$H$。本文引入诱导在线Ramsey数的概念：诱导在线Ramsey数$\widetilde{r}_{ind}(H)$是Builder在$G$中可以强制生成$H$的诱导单色副本的最小轮数。我们证明了渐近紧界诱导在线Ramsey数的道路，圈和两个家庭的树。此外，我们还提供了一个类似于Conlon [On-line Ramsey Numbers，SIAM J. Discr. Math.2009]，表明对于$i\ge1$存在树$T_1,T_2,\dots$、$|T_i|<|T_{i+1}|$的无限族，使得\[ \lim_{i\to\infty} \frac{\widetilde{r}(T_i)}{\overline{r}(T_i)} = 0. \]
2019-01-11 cs.DM math.CO
