三角形和开三角形
The triangle and the open triangle
摘要：
我们证明了，对于任何传递图上的渗流，三角形条件蕴涵着开三角形条件。
英文摘要：
We show that for percolation on any transitive graph, the triangle condition implies the open triangle condition.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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可迁旅游中末道渗流的极限常数
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Bernoulli渗流中的相邻簇
Neighboring clusters in Bernoulli percolation
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具有指数增长性的顺从准传递图上铁磁Ising模型临界磁化强度连续性的注记
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本文的主要目标是回答问题1.10，解决Benjamini-Lyons-Schramm [BLS 99]的猜想1.11，该猜想将图上的调和Dirichlet函数与Bernoulli渗流唯一性阶段的无限簇的调和Dirichlet函数联系起来。我们将结果扩展到更一般的不变量，包括随机簇模型。本文证明了在含有非常数调和Dirichlet函数的单模传递局部有限图上Bernoulli渗流的非唯一性相的存在性（并对Random-Cluster模型的非唯一性相作了一些改进）.这是通过使用$\ell^2$贝蒂数的装置来完成的。
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一类非幺模图的临界渗流
Critical percolation on certain non-unimodular graphs
渗流理论中的一个重要猜想是：在临界概率小于1的任意传递图上，几乎必然不存在临界渗流的无限簇。早期的工作已经为适合的情况Z^2和Z^d建立了这一点，对于大d，以及所有具有幺模自同构群的不适合的图。我们发现，猜想持有的基本类的非顺从图与非么模自同构群：装饰树和非么模Diestel-Leader图。我们还证明了两个顶点之间的连接概率随它们的距离呈指数衰减。最后，我们证明了点灯人群正部的临界渗流不存在无限簇。
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非顺从可平面图上的Ising渗流
Ising Percolation on Nonamenable Planar Graphs
本文研究了连通、传递、非顺从、平面、顶点度有限的单端图$G$上Ising模型的无限"$+$"或"$-$"簇.如果i.i.d.~的临界逾渗概率$p_c^{site}$当$G$上的Bernoulli点渗流小于$\frac{1}{2}$时，我们发现Ising模型的耦合常数存在一个明确的区域，使得存在无穷多个无限的“$+$”-团簇和无穷多个无限的"$-$“-团簇，而Ising模型的随机团簇表示没有无限的1-团簇.如果$p_c^{site}>\frac{1}{2}$，我们得到了一个下界的临界概率在随机集群表示的伊辛模型的$p_c^{site}$。
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关于渗透临界概率和么模随机图
On percolation critical probabilities and unimodular random graphs
我们研究了经典的渗流临界概率$p_c$，$p_T$和由Duminil-Copin和Tendall（2015）定义的临界概率$\tilde{p_c}$到有界度单模随机图的推广。我们进一步研究了Schramm的猜想在单模随机图的情况下：$p_c(G_n)$收敛到$p_c(G)$，如果$G_n\to G$在局部弱意义？我们的研究结果如下：1. $p_c=\tilde{p_c}$对有界度幺模图成立。然而，存在具有次指数体积增长和$p_T < p_c$的幺模图;即，相变的经典尖锐性不成立。2.我们给出隐含$\lim p_c(G_n) = p_c(\lim G_n)$的条件。3.有一些幺模图序列使得$G_n\to G$但$p_c(G)>\lim p_c(G_n)$或$p_c(G)<\lim p_c(G_n)<1$。作为一个推论，我们的积极结果，我们表明，任何传递图的次指数体积增长有一个序列$T_n$的大围长双Lipschitz不变子图，使$p_c(T_n)\to 1$。它仍然开放，无论何时传递图的成本为1，这是否成立。
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动态渗流随机游动的比较原理
A comparison principle for random walk on dynamical percolation
我们考虑Peres，Stauffer和Steif（2015）引入的动态渗流上的随机游动模型。我们得到比较结果，这个模型的打击和混合时间和频谱间隙和log-Sobolev常数与相应的数量为简单的随机游动的基础图$G$，一般的图形。当$G$是环面$\mathbb{Z}_n^d$时，我们恢复了Peres等人的结果，并将其推广到临界情形。我们也得到了界的情况下，$G$是一个过渡图的适度增长，也当它是超立方体。
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有限传递图上的超临界渗流 I：巨片的唯一性
Supercritical percolation on finite transitive graphs I: Uniqueness of the giant component
该研究针对有限顶点传递图的伯努利边渗流，证明稀疏图序列的超临界巨片以高概率唯一，验证了Benjamini的相关猜想，并给出稠密图超临界唯一性的充要等周条件。
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非顺从图上的微超临界渗流I：有限簇的分布
Slightly supercritical percolation on nonamenable graphs I: The distribution of finite clusters
研究了微超临界流体中有限团簇的分布（$p \downarrow p_c$）传递非顺从图上的Bernoulli键渗流，特别证明了如果$G$是满足$L^2$有界性条件的传递非顺从图（$p_c<p_{2\to 2}$）和$K$表示原点的簇，则存在$δ>0$，使得对于每个$$ \mathbf{P}_p(n \leq |K| < \infty) \asymp n^{-1/2} \exp\left[ -Θ\Bigl( |p-p_c|^2 n\Bigr) \right] $$和\[ \mathbf{P}_p(r \leq \operatorname{Rad}(K) < \infty) \asymp r^{-1} \exp\left[ -Θ\Bigl( |p-p_c| r\Bigr) \right] \]，其中所有隐式常量仅依赖于$G$。我们推导出，特别是临界指数$γ'$和$Δ'$描述的增长率的时刻的有限集群$p \downarrow p_c$采取其平均场值的$1$和$2$分别。这些结果特别适用于凯莱图的非初等双曲群，产品与树，并传递图的谱半径$ρ<1/2$。特别是，每个非负责任生成的群有一个凯莱图，这些结果适用。它们对于不是树的图来说是新的。在$\mathbb{Z}^d$上，即使对于非常大的$d$，相应的事实仍有待理解。在本系列的第二篇论文中，我们将应用这些结果来研究在相同条件下无限微超临界团簇…
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大的有限渗流集团上退火返回概率的界
Bounds for the annealed return probability on large finite percolation clusters
给出了传递么模图上不变渗流有限簇上的延迟随机游动的期望返回概率的界。它们特别适合于临界伯努利渗流和相关的重尾簇大小分布的情况。上界依赖于这样一个事实，即有限图的笛卡儿积与一定的最小尺寸的循环是哈密尔顿。对于齐次树上的临界伯努利键渗流，这个界是尖锐的。在这种情况下，大时间t的期望收益概率的渐近类型是1/t的3/4次方。
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关于渗流中的临界概率
On the critical probability in percolation
对于有限可迁图上的渗流问题，Nacheland和Peres提出了一种基于磁化率的对数导数的临界概率的刻画。作为第一个测试案例，我们研究了Erdens-Rényi随机图G_{n,p}的建议，并证实了对数导数具有所需的性质：（i）它的最大值位于临界窗口p=1/n+Θ（n^{-4/3}）内，（ii）它的最大值的倒数与临界窗口的宽度Θ（n^{-4/3}）一致。我们还证明了最大化不位于p=1/n或p=1/（n-1），反驳了Peres的一个猜测.
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拟传递图上无序随机网络的相变
Phase transition of disordered random networks on quasi-transitive graphs
给定一个具有体积增长率的准传递无限图$G$，${\rm gr}(G),$，一个具有偏置的瞬态偏置电网络$(G,\, c_1)$，$λ_1\in (0,\,{\rm gr}(G))$和一个具有偏置的常返偏置电网络$(G,\, c_2)$，$λ_2\in ({\rm gr}(G),\infty).$，写出$G(p)$，表示由大耦合定义的$G$上的Bernoulli-$p$键渗流.设$(G,\, c_1,\, c_2,\, p)$为以下有偏无序随机网络：$G(p)$中的开边$e$取电导$c_1(e)$，$G(p)$中的闭边$g$取电导$c_2(g)$。我们的主要研究结果如下：（i）在具有渗流阈值$p_c\in (0,\, 1),$的连通拟传递无限图$G$上，$(G,\, c_1,\, c_2,\, p)$具有非平凡的递归/瞬时相变使得阈值$p_{c}^{*}\in (0,\, 1)$是确定的，并且几乎可以肯定$(G,\, c_1,\, c_2,\, p)$对于$p<p_c^*$是复发的，对于$p>p_c^*.$是瞬时的。证明了当$G$是Cayley图时，$(G,\, c_1,\, c_2,\, p)$的瞬时相变当且仅当相应的群不是虚$\mathbb{Z}$ . (ii)使用$\mathbb{Z}^d$治疗任何$d\geq 1,$ $p_c^{*}= p_c$。而在$d$ -正规树$\ma…
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带有随机一维增强的渗流
Percolation with random one-dimensional reinforcements
Universidade Federal de Minas Gerais（米纳斯吉拉斯联邦大学）；Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学）
该研究探讨了在特定图结构上，通过随机一维增强区域实现的不均匀伯努利边渗流模型，推导了保证非渗流相持续的条件。
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遍历图上蛙模型相变的存在性与精确性
Existence and sharpness of the phase transition for the frog model on transitive graphs
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本文研究了遍历图上蛙模型的相变存在性与精确性，通过分析活跃粒子的生存作为依赖渗流模型，证明了非可缩图和准转图中相变的精确性。
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