The topology and isochronicity on complex Hamiltonian systems with homogeneous nonlinearities
本文研究 $\mathbb{C}^2$ 上具有齐次非线性的 Hamiltonian 微分系统，通过分析多项式函数的拓扑性质推导出任意次数系统等时中心的完整充要条件，避免了繁琐的规范化系数计算。
2024-08-22 math.DS
Linearizability and critical period bifurcations of a generalized Riccati system
本文研究了一类三次多项式微分系统的等时性和可线性化性问题，该系统可以看作是Riccati系统的推广。找到了等时性和可线性化的条件，确定了具有等时中心的系统的全局结构。进一步，我们找到了弱中心的阶，并研究了临界周期在中心邻域内的局部分支问题。
2017-06-24 math.DS
Isochronous Centers of Lienard Type Equations and Applications
本文研究了中心为0的方程$(E) \ddot x + f(x) \dot x^2 + g(x) = 0$，并研究了它的等时性条件。当$f$和$g$是解析的（不一定是奇的）时，给出了0的等时性的一个充要条件.这种方法使我们能够提出一种算法，获得的条件（E）的一个点是一个等值线中心。特别地，我们又用另一种方法找到了二次Loud系统$(L_{D,F})$的等时线.也考虑了一些Kukles类。此外，我们还对一类具有等熵中心的5参数可逆三次系统进行了分类。关键词：周期函数，单调性，等时性，中心，多项式系统。
2005-11-29 math-ph math.DS math.MP
Isochronous centers of polynomial Hamiltonian systems and a conjecture of Jarque and Villadelprat
研究了Jarque和Villadelprat关于平面多项式哈密顿系统的偶数次中心不等距的猜想。证明了二次和四次系统的这一猜想。利用向量场的修正来表征等时性，并对多项式向量场显式计算该量，我们能够描述一个非常大的一类任意大的偶数阶非等时性哈密顿系统.
2016-05-25 math.DS
Topological properties on isochronous centers of polynomial Hamiltonian differential systems
本文研究n次复多项式哈密顿微分系统等时中心的拓扑性质，证明消没圈平凡性的条件、给出等时性的简单必要条件，并建立Gavrilov问题与偶次实哈密顿系统非等时性猜想的关联。
2023-06-15 math.DS
On the period function of Newtonian systems
本文研究了平面自治系统$$(S) \quad \dot x=y,\qquad \dot y = -h(x) - g(x)y - f(x)y^2.$$中心的存在性。我们感兴趣的是围绕中心0的周期函数$T$。给出了（S）在0点等时性的一个充分条件.当$f,g,h$是解析函数时，这样的条件也是必要的。在这种情况下，给出了系统（S）的等距中心的一个特征。一些应用程序将被导出。特别地，将描述等熵中心的新家族
2013-02-26 math-ph math.CA math.DS
Planar polynomial vector fields having a polynomial first integral can be obtained from linear systems
在这项工作中，我们考虑平面多项式微分系统具有多项式首次积分。我们证明了这些系统可以得到一个线性系通过多项式变量变换。
2009-06-17 math.CA math.DS
Upper bounds for the number of limit cycles of some planar polynomial differential systems
给出了一类平面多项式系统最大极限环个数的有效控制方法。它是基于一个合适的选择的Dulac函数和著名的Bendixson-Dulac准则的多个连接区域的应用。关键是提出了一种新的方法来控制准则中函数的符号。该方法适用于几个例子。
2008-03-14 math.CA math.DS
Upper bounds for the number of orbital topological types of planar polynomial vector fields "modulo limit cycles"
本文研究平面多项式向量场。我们的目标是估计n次域的轨道拓扑等价类的数目。一个明显的障碍是希尔伯特第16问题的第二部分。为了克服这个障碍，我们引入了等价模极限环的概念。本文是作者在[Mosc. Math.J.1（2001），no.4]，其中已经获得了形式2^{cn^2}的下界。在这里我们得到了相同形式的上界。我们还给每个平面多项式向量场配以一个装配可平面图，这个图是这类场的轨道拓扑分类的完全不变量。
2004-02-13 math.CA math.DS
Centers and invariant straight lines of planar real polynomial vector fields and its configurations
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Sun Yat-sen University（中山大学）
本文研究了平面实多项式哈密顿向量场的中心和不变直线数量及其配置规律，证明了当中心数达到上限时的配置规则，并探讨了中心数与极限环存在的关系。
2023-03-25 math.CA math.DS
The Discrete Markus-Yamabe Problem for Symmetric Planar Polynomial Maps
我们深入探讨了多项式平面映射的离散Markus-Yamabe问题，以及对这个问题作出肯定回答的映射的范式。此外，在对称的情况下，我们表明，唯一的非线性等变多项式映射提供了一个肯定的答案离散马库斯-山边问题是那些拥有Z2作为他们的对称群。我们用它来建立两个新的工具，提供有关平面多项式映射的谱的信息。
2012-01-23 math.DS
Complicated dynamics in planar polynomial equations
研究了平面非自治常微分方程中产生分布混沌的一种机制，并尝试用拓扑熵来度量混沌。它基于简单周期解之间的相互作用。证明了周期解之间存在无穷多个异宿解。
2017-10-01 math.DS
On the structural instability of non-hyperbolic limit cycles on planar polynomial vector fields
该研究聚焦平面多项式向量场非双曲极限环的结构稳定性问题，证明在惠特尼拓扑下奇数次非双曲极限环也存在结构不稳定性，补全了多项式情形下的相关结论。
2024-02-27 math.DS
Centers of quasi-homogeneous polynomial planar systems
本文确定了0至4次拟齐次多项式平面向量场的中心，研究了各中心的可逆性与解析可积性，并发现了既非轨道可逆也非解析可积的多项式中心这一新场景。
2024-09-27 math.DS
On the computation of Darboux first integrals of a class of planar polynomial vector fields
本文研究了一类含有$\prod_{i=1}^r f_i^{α_i}$型达布首次积分的平面多项式向量场，其中$α_i$是正实数，$f_i$是定义在无穷远处只有一个位置的曲线的多项式.我们表明，这些向量场有一个扩展的减少过程，并给出了一个算法，从一部分的扩展减少的向量场，计算达布首次积分通用指数。
2018-08-10 math.DS
Realization problems for limit cycles of planar polynomial vector fields
我们表明，对于任何有限配置的闭曲线$Γ\subset \mathbb{R}^2$，可以构建一个明确的平面多项式向量场，实现$Γ$，同胚，作为一组其极限环规定的周期，多重性和稳定性。对这些数据的唯一障碍是多重性的稳定性和奇偶性之间明显的相容关系。所构造的向量场是达布可积的，且允许一个多项式逆积分因子.
2015-10-21 math.DS
New lower bound for the number of critical periods for planar polynomial systems
本文构造了两类以原点为中心的平面多项式哈密顿系统，并得到了这类系统临界周期数的下界。对于$n$次的多项式位势系统，我们给出了临界周期个数的$n-2$的一个下界;对于$n$次的多项式系统，当$n$为奇数时，我们得到了$n^2/2+n-5/2$的一个下界;当$n$为偶数时，我们得到了$n^2/2-2$的一个临界周期个数的下界.据我们所知，这些下界是新的，而且后者是现有结果的两倍，直到主导项。
2020-05-05 math.DS
Darboux-type center conditions for families of planar polynomial vector fields
Universidade Federal de Goiás（戈亚斯联邦大学）；Monash University（蒙纳士大学）
研究平面多项式向量场的中心焦点问题，基于李雅普诺夫函数法，给出两类微分系统中心焦点条件新结果，找到由李雅普诺夫常数生成的鲍廷理想的一个包含关系，结果适用于任意次数\(n\geq2\)。
2026-07-07 math.DS
Planar cubic polynomial differential systems with the maximum number of invariant straight lines
考虑到它们的多重性，我们对拥有最大数量不变直线（实直线或复直线）的所有三次系统进行分类。我们证明了这类系统正好有23个拓扑不同的类。对于每一个类，我们提供其不变的直线的庞加莱圆的配置。此外，每个类的特征在于一组仿射不变条件。
2004-04-29 math.DS
Planar Semi-quasi Homogeneous Polynomial differential systems with a given degree
本文研究平面半拟齐次多项式微分系统（简称PSQHPDS），它可以看作是半齐次和拟齐次系统的推广。利用代数技巧，导出了PSQHPDS的几个重要性质，并利用这些性质建立了一个算法，以获得PSQHPDS在给定次数下的所有显式。然后，我们应用该算法研究了二次和三次PSQHPDS的中心问题。证明了二次方程无中心，三次方程有中心当且仅当它经过坐标的线性变换和时间的重新标度后可表示为$\dot{x}=x^2-y^3, \dot{y}=x$.
2018-06-04 math.DS
Global injectivity of planar non-singular maps polynomial in one variable
我们考虑非奇异和雅可比映射的组件是多项式的变量y。证明了如果一个映射的y度为1，则它是一个三角映射和一个拟三角映射的合成。我们还证明了非奇异y-二次映射是内射的，如果其中一个前导函数系数不为零。此外，y-二次雅可比映射是一个拟三角映射和3个三角映射的合成。其他结果给出了更广泛的类的非奇异映射，也考虑内射的垂直带I × R。
2023-02-10 math.DS
Commuting planar polynomial vector fields for conservative Newton systems
研究了平面上与给定多项式向量场可换的多项式向量场的特征问题。一个经典的结果是，当一个常微分方程对应于一个具有线性无关的对易向量场的平面向量场时，可以写出其解的公式。这个问题也是向量场的线性化问题的核心。令$f \in K[x]$，其中$K$是特征为零的域，$d$是以标准方式对应于微分方程$\ddot x = f(x)$的导数。还令$H$为$d$的哈密顿多项式，即$H=\frac{1}{2}y^2-\int{f(x)dx}$。已知与$d$可换的所有多项式导子的集合形成$K[H]$ -模$M_d$。在本文中，我们证明了，对于每个这样的$d$，模块$M_d$是秩$1$当且仅当$\text{deg}\; f\geqslant 2$。例如，经典椭圆方程$\ddot x = 6x^2+a$，其中$a \in \mathbb{C}$，属于这一类。
2018-02-02 math.AC math.CA math.DS
Growth estimate for the number of crossing limit cycles in planar piecewise polynomial vector fields
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)（坎皮纳斯州立大学）
本文研究了平面分段多项式向量场中交叉极限环数量的增长问题，证明其至少以n²/4的速度增长，并改进了哈密顿向量场类的线性增长估计。
2026-01-29 math.DS
A Globally Asymptotically Stable Planar Homogeneous Polynomial Vector Field With No Polynomial Lyapunov Function
University of Waterloo（滑铁卢大学）
研究反驳了全局渐近稳定齐次多项式向量场必有齐次多项式李雅普诺夫函数的猜想，以具整数系数的平面齐次三次多项式向量场为反例，其无特定性质的齐次多项式李雅普诺夫函数，但有明确二次齐次李雅普诺夫函数，还给出机器验证形式化。
2026-07-20 cs.SY eess.SY math.DS
Integrability of planar polynomial differential systems through linear differential equations
本文考虑有理常微分方程dy/dx = Q（x，y）/P（x，y），其中Q（x，y）与P（x，y）互质多项式均为实系数.我们给出了一种构造这种类型的方程的方法，这种方程的首次积分可以由二阶齐次线性微分方程的两个独立的解表示。这个首次积分一般由一个非刘维尔函数给出。我们证明了所有已知的具有任意高次的不可约不变代数曲线且没有有理首次积分的二次系统族都可以用这种方法构造出来。我们还提出了一个新的例子，这种家庭。我们给出了一个类似的方法来构造有理方程，但借助于一阶线性微分方程。
2005-06-02 math.DS
Generalized upper principal part of real planar polynomial vector fields
Federal University of São Carlos (UFSCar)（圣卡洛斯联邦大学）；University of São Paulo (USP), Institute of Mathematics and Computer Science（圣保罗大学数学与计算机科学学院）
本文推广实平面多项式向量场无穷远动力学拓扑分类的最新结果，利用牛顿多面体定义广义上主部与极小广义上主部，证明在特定开稠密集里满足非退化假设时原向量场与极小广义上主部无穷远拓扑等价，依托环面紧化与标准型定理。
2026-09-07 math.DS
Differential Galois Theory and non-Integrability of Planar Polynomial Vector Fields
利用微分伽罗瓦论，研究了平面上多项式域可积的一个必要条件。更具体地说，通过围绕特解的变分方程，得到了有理首次积分存在的一个必要条件。该方法是从一阶变分方程出发的系统方法。我们用几个例子来说明这个结果。关键的一点是检查一个合适的原语是否是初等的。利用刘维尔的一个定理，这个问题等价于某个一阶线性方程，Risch方程的有理解的存在性。这是Risch在1969年研究的一个经典问题，并通过“Risch算法”给出了其解。指出了不可积性与误差函数等高阶超越函数的关系。
2017-07-14 math.DS
Qualitative planar dynamics with star nodes and homogeneous nonlinearities: beyond Hilbert's $16^{th}$ problem
Universidade Federal Fluminense（弗鲁米嫩塞联邦大学）；Centro de Matemática da Universidade do Porto（波尔图大学数学中心）；Faculdade de Economia do Porto（波尔图经济学院）
本文研究了具有星形节点和齐次非线性性的平面动力学，通过分析多项式向量场的极限环问题，超越了希尔伯特第16问题的现有研究范围。
2026-02-07 math.DS
Algebraic integrability of planar polynomial vector fields by extension to Hirzebruch surfaces
本文通过将复平面多项式向量场扩展到Hirzebruch曲面来研究其代数可积性，利用由此产生的无穷向量场族在有理首次积分下的临界性强性质，推导出代数可积性的新必要条件并界定了通用不变曲线单项式的参数区域。
2022-02-12 math.AG math.DS
Limit cycles and chaos in planar hybrid systems
本研究聚焦由两个线性中心与任意次数多项式重置映射组成的平面混合微分系统，分析其极限环特性，同时提供了展现混沌动力学行为的系统实例。
2024-10-01 math.DS
The displacement map associated to polynomial unfoldings of planar Hamiltonian vector fields
研究了平面上多项式Hamilton向量场的小的单参数多项式开折所对应的位移映射。它的首项，生成函数$M(t)$，在复平面上有一个解析延拓，并且$M(t)$的实零点对应于从Hamilton流的周期轨道分叉的极限环。给出了$M(t)$的单值群的一个几何描述，并利用它给出了$M(t)$满足Fuchs型或Picard-Fuchs型微分方程的充分条件.作为例子，我们考虑更详细的哈密顿向量场$\dot{z}=i\bar{z}-i(z+\bar{z})^3$和$\dot{z}=iz+\bar{z}^2$，分别具有二阶和三阶的旋转对称性。在这两种情况下，$M(t)$满足Fuchs型方程，但在第一个例子中，$M(t)$总是阿贝尔积分（也就是说，相应的方程是Picard-Fuchs型的），而在第二个例子中，这不一定是真的。我们导出了$M(t)$的一个显式公式，并估计了它的实零点的个数。
2004-12-16 math.DS
On the centers of the weight-homogeneous polynomial vector fields on the plane
对权度为1、2、3、4的平面权齐次多项式向量场的中心进行了分类。
2009-01-30 math.DS
On the cyclicity of weight-homogeneous centers
设W是具有中心的权齐次平面多项式微分系统。我们找到了一个上界的极限环的数量分叉下的一般多项式扰动下的周期环W。我们将这一结果应用于具有幂零中心且没有亚纯首次积分的特定平面多项式系统族。
2009-03-14 math.DS
On a tropicalization of planar polynomial ODEs with finitely many structurally stable phase portraits
本文将热带几何概念应用于平面多项式常微分方程，构建基于微分包含的热带动力系统理论，定义相图与结构稳定性并证明其等价类有限，在广义autocatalator模型中枚举到15类，为化学反应网络骨架模型识别提供新方法。
2025-02-24 math.DS
On Planar Holomorphic Systems
平面全纯系统$\dot{x}=u(x,y)$，$\dot{y}=v(x,y)$是指对于某个全纯函数$f(z)$满足$u=\operatorname{Re}(f)$和$v=\operatorname{Im}(f)$的平面全纯系统.它们具有重要的动力学性质，例如，它们没有极限环，中心焦点问题是微不足道的。特别地，多项式系统是全纯的假设减少了系统的参数的数量。虽然次数为$n$的多项式系统依赖于$n^2 +3n+2$参数，但多项式全纯仅依赖于$2n + 2$参数。在这项工作中，除了使全纯系统的理论的一般概述，我们分类所有可能的全球相图，庞加莱磁盘上的系统$\dot{z}=f(z)$和$\dot{z}=1/f(z)$，其中$f(z)$是一个多项式的次数$2$，$3$和$4$在变量$z\in \mathbb{C}$。我们还对Moebius系统$\dot{z}=\frac{Az+B}{Cz+D}$的所有可能的全局相图进行了分类，其中$A,B,C,D\in\mathbb{C}, AD-BC\neq0$ .最后，我们得到了全纯系统和共轭全纯系统第一积分的显式表达式，这在流体动力学的研究中有重要的应用。
2022-01-11 math.DS
Computing the exact number of periodic orbits for planar flows
本文考虑多项式平面流周期轨道的\emph{exact}数的确定问题。这个问题是希尔伯特第16问题的一个变种。使用一个自然的可计算性的定义，我们表明，这个问题是不可计算的，一方面，另一方面，可计算的所有结构稳定的系统上定义的单位磁盘上的集合一致。我们还证明了存在一族多项式平面系统，该系统的周期轨道数没有可计算的精确上界。
2022-10-28 cs.LO math.DS math.LO
Planar S-systems: Global stability and the center problem
S系统是幂律动力系统（具有实指数的多项式系统）的简单例子。对于平面S-系统，我们研究了唯一正平衡点的全局稳定性，并解决了中心问题。进一步，我们构造了一个具有两个极限环的平面S-系统。
2018-05-08 math.DS q-bio.MN
Locating Extremal Periodic Orbits for the Planar Circular Restricted Three Body Problem using Polynomial Sum-of-Squares Optimization
本文利用多项式求和平方优化技术，研究平面圆限制三体问题中极值周期轨道的定位方法，旨在为航天任务提供低燃料消耗的轨道解决方案。
2026-01-19 math-ph math.DS math.MP
Sum of squares certificates for stability of planar, homogeneous, and switched systems
Princeton University（普林斯顿大学）；MIT（麻省理工学院）
论文研究了齐次多项式向量场或平面多项式向量场的全局多项式李雅普诺夫函数存在性，证明其等价于平方和李雅普诺夫函数的存在性，并扩展到所有稳定切换线性系统。
2017-12-30 cs.SY eess.SY math.AG
