Darboux-type center conditions for families of planar polynomial vector fields
Universidade Federal de Goiás（戈亚斯联邦大学）；Monash University（蒙纳士大学）
研究平面多项式向量场的中心焦点问题，基于李雅普诺夫函数法，给出两类微分系统中心焦点条件新结果，找到由李雅普诺夫常数生成的鲍廷理想的一个包含关系，结果适用于任意次数\(n\geq2\)。
2026-07-07 math.DS
Planar polynomial vector fields having a polynomial first integral can be obtained from linear systems
在这项工作中，我们考虑平面多项式微分系统具有多项式首次积分。我们证明了这些系统可以得到一个线性系通过多项式变量变换。
2009-06-17 math.CA math.DS
Planar cubic polynomial differential systems with the maximum number of invariant straight lines
考虑到它们的多重性，我们对拥有最大数量不变直线（实直线或复直线）的所有三次系统进行分类。我们证明了这类系统正好有23个拓扑不同的类。对于每一个类，我们提供其不变的直线的庞加莱圆的配置。此外，每个类的特征在于一组仿射不变条件。
2004-04-29 math.DS
Planar Semi-quasi Homogeneous Polynomial differential systems with a given degree
本文研究平面半拟齐次多项式微分系统（简称PSQHPDS），它可以看作是半齐次和拟齐次系统的推广。利用代数技巧，导出了PSQHPDS的几个重要性质，并利用这些性质建立了一个算法，以获得PSQHPDS在给定次数下的所有显式。然后，我们应用该算法研究了二次和三次PSQHPDS的中心问题。证明了二次方程无中心，三次方程有中心当且仅当它经过坐标的线性变换和时间的重新标度后可表示为$\dot{x}=x^2-y^3, \dot{y}=x$.
2018-06-04 math.DS
Global injectivity of planar non-singular maps polynomial in one variable
我们考虑非奇异和雅可比映射的组件是多项式的变量y。证明了如果一个映射的y度为1，则它是一个三角映射和一个拟三角映射的合成。我们还证明了非奇异y-二次映射是内射的，如果其中一个前导函数系数不为零。此外，y-二次雅可比映射是一个拟三角映射和3个三角映射的合成。其他结果给出了更广泛的类的非奇异映射，也考虑内射的垂直带I × R。
2023-02-10 math.DS
A succinct characterization of period annuli in planar piecewise linear differential systems with a straight line of nonsmoothness
本文通过对参数进行基本运算，刻画并解决了具有一条非光滑直线的平面分段线性微分系统中周期环的存在性问题。
2023-07-27 math.DS
Lower bound on the number of periodic solutions for asymptotically linear planar Hamiltonian systems
本文证明了渐近线性平面哈密顿系统的$T$ -周期解个数的下界。准确地说，我们表明，这样的系统，$T$ -周期的时间，与$T$ -马斯洛夫指数$i_0,i_\infty$在原点和无穷远，至少有$|i_\infty-i_0|$周期解，和一个额外的，如果$i_0$是甚至。我们的论证结合了Poincaré-Birkhoff定理和拓扑度的应用。我们说明了我们的结果的清晰度，并将其扩展到二阶常微分方程的情况下，在零和无穷远的线性行为。
2018-05-28 math.DS
Limit Cycles Bifurcating from a Periodic Annulus in Discontinuous Planar Piecewise Linear Hamiltonian differential System with Three Zones
本文研究了由两条平行直线分隔的三个区域的间断平面分段线性Hamilton微分系统从周期环分支出的极限环的个数。证明了如果中心子系统，即定义在两条平行线之间的系统有实中心，而其它子系统有中心或鞍点，则周期环扰动后至少有三个极限环.为此，我们研究了分段哈密顿系统的Melnikov函数零点的个数，并给出了该系统的一个标准形，以简化计算。
2021-09-21 math.DS
Growth estimate for the number of crossing limit cycles in planar piecewise polynomial vector fields
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)（坎皮纳斯州立大学）
本文研究了平面分段多项式向量场中交叉极限环数量的增长问题，证明其至少以n²/4的速度增长，并改进了哈密顿向量场类的线性增长估计。
2026-01-29 math.DS
Upper bounds for the number of limit cycles of some planar polynomial differential systems
给出了一类平面多项式系统最大极限环个数的有效控制方法。它是基于一个合适的选择的Dulac函数和著名的Bendixson-Dulac准则的多个连接区域的应用。关键是提出了一种新的方法来控制准则中函数的符号。该方法适用于几个例子。
2008-03-14 math.CA math.DS
Integrability of planar polynomial differential systems through linear differential equations
本文考虑有理常微分方程dy/dx = Q（x，y）/P（x，y），其中Q（x，y）与P（x，y）互质多项式均为实系数.我们给出了一种构造这种类型的方程的方法，这种方程的首次积分可以由二阶齐次线性微分方程的两个独立的解表示。这个首次积分一般由一个非刘维尔函数给出。我们证明了所有已知的具有任意高次的不可约不变代数曲线且没有有理首次积分的二次系统族都可以用这种方法构造出来。我们还提出了一个新的例子，这种家庭。我们给出了一个类似的方法来构造有理方程，但借助于一阶线性微分方程。
2005-06-02 math.DS
Generalized upper principal part of real planar polynomial vector fields
Federal University of São Carlos (UFSCar)（圣卡洛斯联邦大学）；University of São Paulo (USP), Institute of Mathematics and Computer Science（圣保罗大学数学与计算机科学学院）
本文推广实平面多项式向量场无穷远动力学拓扑分类的最新结果，利用牛顿多面体定义广义上主部与极小广义上主部，证明在特定开稠密集里满足非退化假设时原向量场与极小广义上主部无穷远拓扑等价，依托环面紧化与标准型定理。
2026-09-07 math.DS
Differential Galois Theory and non-Integrability of Planar Polynomial Vector Fields
利用微分伽罗瓦论，研究了平面上多项式域可积的一个必要条件。更具体地说，通过围绕特解的变分方程，得到了有理首次积分存在的一个必要条件。该方法是从一阶变分方程出发的系统方法。我们用几个例子来说明这个结果。关键的一点是检查一个合适的原语是否是初等的。利用刘维尔的一个定理，这个问题等价于某个一阶线性方程，Risch方程的有理解的存在性。这是Risch在1969年研究的一个经典问题，并通过“Risch算法”给出了其解。指出了不可积性与误差函数等高阶超越函数的关系。
2017-07-14 math.DS
Upper bounds for the number of orbital topological types of planar polynomial vector fields "modulo limit cycles"
本文研究平面多项式向量场。我们的目标是估计n次域的轨道拓扑等价类的数目。一个明显的障碍是希尔伯特第16问题的第二部分。为了克服这个障碍，我们引入了等价模极限环的概念。本文是作者在[Mosc. Math.J.1（2001），no.4]，其中已经获得了形式2^{cn^2}的下界。在这里我们得到了相同形式的上界。我们还给每个平面多项式向量场配以一个装配可平面图，这个图是这类场的轨道拓扑分类的完全不变量。
2004-02-13 math.CA math.DS
Planar random walk in a stratified quasi-periodic environment
研究了平面上非齐次马尔可夫链在环境水平分层和准周期型非齐次时的常返性。
2020-12-11 math.DS math.PR
Isochronicity conditions for some planar polynomial systems
本文研究了系统$\dot x=-y+A(x,y), \dot y=x+B(x,y)$在$O\in \mathbb{R}^2$中心的等时性，其中$A, B\in \mathbb{R}[x,y]$，它可以归结为Lienard型方程.使用所谓的C-算法，我们已经找到了27个新的多参数等值线中心。
2009-09-10 math.CA math.DS
A Globally Asymptotically Stable Planar Homogeneous Polynomial Vector Field With No Polynomial Lyapunov Function
University of Waterloo（滑铁卢大学）
研究反驳了全局渐近稳定齐次多项式向量场必有齐次多项式李雅普诺夫函数的猜想，以具整数系数的平面齐次三次多项式向量场为反例，其无特定性质的齐次多项式李雅普诺夫函数，但有明确二次齐次李雅普诺夫函数，还给出机器验证形式化。
2026-07-20 cs.SY eess.SY math.DS
Centers and invariant straight lines of planar real polynomial vector fields and its configurations
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Sun Yat-sen University（中山大学）
本文研究了平面实多项式哈密顿向量场的中心和不变直线数量及其配置规律，证明了当中心数达到上限时的配置规则，并探讨了中心数与极限环存在的关系。
2023-03-25 math.CA math.DS
Algebraic integrability of planar polynomial vector fields by extension to Hirzebruch surfaces
本文通过将复平面多项式向量场扩展到Hirzebruch曲面来研究其代数可积性，利用由此产生的无穷向量场族在有理首次积分下的临界性强性质，推导出代数可积性的新必要条件并界定了通用不变曲线单项式的参数区域。
2022-02-12 math.AG math.DS
An asymptotic estimate of the variance of the self-intersections of a planar periodic Lorentz process
考虑了具有严格凸障碍物和有限视界的周期平面Lorentz过程。这个过程描述了在平面内以单位速度运动的质点在障碍物上的弹性反射的位移。我们称这个洛伦兹过程的自相交数为小于n的整数对（k，m）的个数V（n），使得粒子在第k次和第m次碰撞时都碰到同一个障碍物。本文的目的是证明V（n）的方差等价于cn^2（最近，Dkillanneal和Utev已经证明了简单平面随机游动的这一结果）。
2013-03-12 math.DS math.PR
Isochronicity conditions for some planar polynomial systems II
本文研究了系统$$\dot x=-y+A(x,y),\;\dot y=x+B(x,y),$$在$O\in \mathbb{R}^2$中心的等时性，其中$A,\;B\in \mathbb{R}[x,y]$可化为Liénard型方程.当$deg(A)\leq 4$和$deg(B) \leq 4$，使用所谓的C-算法，我们发现了$36$新的家庭的等离子中心。当Urabe函数为$h=0$时，给出了线性化的显式一般公式.本文是\cite{BoussaadaChouikhaStrelcyn2010}的直接延续，但可以独立阅读。
2010-11-05 math.CA math.DS
Computing the exact number of periodic orbits for planar flows
本文考虑多项式平面流周期轨道的\emph{exact}数的确定问题。这个问题是希尔伯特第16问题的一个变种。使用一个自然的可计算性的定义，我们表明，这个问题是不可计算的，一方面，另一方面，可计算的所有结构稳定的系统上定义的单位磁盘上的集合一致。我们还证明了存在一族多项式平面系统，该系统的周期轨道数没有可计算的精确上界。
2022-10-28 cs.LO math.DS math.LO
Commuting planar polynomial vector fields for conservative Newton systems
研究了平面上与给定多项式向量场可换的多项式向量场的特征问题。一个经典的结果是，当一个常微分方程对应于一个具有线性无关的对易向量场的平面向量场时，可以写出其解的公式。这个问题也是向量场的线性化问题的核心。令$f \in K[x]$，其中$K$是特征为零的域，$d$是以标准方式对应于微分方程$\ddot x = f(x)$的导数。还令$H$为$d$的哈密顿多项式，即$H=\frac{1}{2}y^2-\int{f(x)dx}$。已知与$d$可换的所有多项式导子的集合形成$K[H]$ -模$M_d$。在本文中，我们证明了，对于每个这样的$d$，模块$M_d$是秩$1$当且仅当$\text{deg}\; f\geqslant 2$。例如，经典椭圆方程$\ddot x = 6x^2+a$，其中$a \in \mathbb{C}$，属于这一类。
2018-02-02 math.AC math.CA math.DS
