通过扩展到Hirzebruch曲面研究平面多项式向量场的代数可积性
Algebraic integrability of planar polynomial vector fields by extension to Hirzebruch surfaces
AI总结：
本文通过将复平面多项式向量场扩展到Hirzebruch曲面来研究其代数可积性，利用由此产生的无穷向量场族在有理首次积分下的临界性强性质，推导出代数可积性的新必要条件并界定了通用不变曲线单项式的参数区域。
摘要：
我们通过扩展到Hirzebruch曲面来研究复平面多项式向量场 $X=A (x,y)(\partial/\partial x) + B(x,y) (\partial/\partial y) $ 的代数可积性。利用这些扩展，每个向量场 $X$ 确定了两个依赖于自然参数的无穷平面向量场族，当 $X$ 具有有理首次积分时，这些族满足关于直线 $x=0$ 上的点及原点的临界性的强性质。作为推论，我们获得了平面向量场代数可积性的新必要条件，并且如果 $X$ 具有有理首次积分，我们提供了一个 $\mathbb{R}_{\geq 0}^2$ 中的区域，该区域包含与 $X$ 的通用不变曲线所涉及的单项式 $x^i y^j$ 对应的所有对 $(i,j)$。
英文摘要：
We study algebraic integrability of complex planar polynomial vector fields $X=A (x,y)(\partial/\partial x) + B(x,y) (\partial/\partial y) $ through extensions to Hirzebruch surfaces. Using these extensions, each vector field $X$ determines two infinite families of planar vector fields that depend on a natural parameter which, when $X$ has a rational first integral, satisfy strong properties about the dicriticity of the points at the line $x=0$ and of the origin. As a consequence, we obtain new necessary conditions for algebraic integrability of planar vector fields and, if $X$ has a rational first integral, we provide a region in $\mathbb{R}_{\geq 0}^2$ that contains all the pairs $(i,j)$ corresponding to monomials $x^i y^j$ involved in the generic invariant curve of $X$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
