Limit cycles and chaos in planar hybrid systems
Jaume Llibre, Paulo Santana
本研究聚焦由两个线性中心与任意次数多项式重置映射组成的平面混合微分系统，分析其极限环特性，同时提供了展现混沌动力学行为的系统实例。
本文研究由两个线性中心和任意次数多项式重置映射构成的平面混合微分系统族。我们探究其极限环，并给出呈现混沌动力学特性的这类混合系统实例。
In this paper we study the family of planar hybrid differential systems formed by two linear centers and a polynomial reset map of any degree. We study their limit cycles and also provide examples of these hybrid systems exhibiting chaotic dynamics.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Folding, Cycles and Chaos in Discrete Planar Systems
本文讨论了离散平面系统的折叠方法，并用它来证明变系数有理差分方程的平面系统中周期或混沌的存在性或不存在性。这些包括一些收敛到自治系统的系统和一些不收敛到自治系统的系统;例如，周期系数系统
On Non-occurrence of Chaos in Non-autonomous Planar Flows
通过将平面非自治微分系统折叠为标量微分方程，得到了系统不发生混沌行为的充分条件。
Complicated dynamics in planar polynomial equations
研究了平面非自治常微分方程中产生分布混沌的一种机制，并尝试用拓扑熵来度量混沌。它基于简单周期解之间的相互作用。证明了周期解之间存在无穷多个异宿解。
On the number of limit cycles which appear by perturbation of two-saddle cycles of planar vector fields
本文证明了平面解析向量场的解析有限参数族中的每一个异宿鞍环（一个双鞍环）在族中只能生成有限个极限环.
On the structural instability of non-hyperbolic limit cycles on planar polynomial vector fields
该研究聚焦平面多项式向量场非双曲极限环的结构稳定性问题，证明在惠特尼拓扑下奇数次非双曲极限环也存在结构不稳定性，补全了多项式情形下的相关结论。
Limit Cycles from Planar Piecewise Linear Hamiltonian differential Systems with Two or Three Zones
本文研究了具有两个或三个由直线分隔的区域的连续和不连续平面分段线性Hamilton微分系统的极限环的存在性，使得定义分段线性Hamilton微分系统的线性系具有孤立奇点，即中心或鞍点.在这种情况下，我们证明了，如果平面分段线性Hamilton微分系统是连续的或不连续的两个区域，则它没有极限环。现在，如果平面分段线性Hamilton微分系统是三个区域不连续的，则它至多有一个极限环，并且有一个极限环的例子。更确切地说，不考虑区域中的奇点的位置，我们给出了所有可能的鞍点和中心组合的唯一极限环的例子。
Crossing limit cycles of planar discontinuous piecewise differential systems formed by isochronous centers
近年来，由于平面不连续分段微分系统在真实现象建模中的丰富应用，人们对研究平面不连续分段微分系统的兴趣越来越大。理解这些系统动力学的难点之一是研究它们的极限环。本文研究了几类被一条直线分隔的平面间断分段微分系统的最大交叉极限环数，这些系统由齐次非线性项的线性中心（即等值线中心）和三次等值线中心的组合构成.对于这几类平面间断分段微分系统，我们解决了第16个Hilbert问题的推广，即给出了它们的最大交叉极限环个数的上界.
On the number of limit cycles which appear by perturbation of Hamiltonian two-saddle cycles of planar vector fields
我们找到了解析向量场的哈密顿双鞍环在解析变形下分叉的最大极限环个数的上界。
Proving the existence of numerically detected planar limit cycles
研究了实平面多项式微分系统极限环的存在性和位置问题。本文给出了一种利用横截曲线构造Poincaré-Bendixson区域的方法，证明了该区域存在极限环，并在数值上得到了验证.我们应用我们的结果到几个已知的系统，如一个或一些Liénard系统，证明存在的极限环，并非常精确地定位它们在相空间。我们的方法，结合其他一些经典的工具，可以应用于获得的极限环的鞍结分支的分支值的尖锐的界限，因为我们做的Rychkov系统。
Realization problems for limit cycles of planar polynomial vector fields
我们表明，对于任何有限配置的闭曲线$Γ\subset \mathbb{R}^2$，可以构建一个明确的平面多项式向量场，实现$Γ$，同胚，作为一组其极限环规定的周期，多重性和稳定性。对这些数据的唯一障碍是多重性的稳定性和奇偶性之间明显的相容关系。所构造的向量场是达布可积的，且允许一个多项式逆积分因子.
Limit cycles for some families of smooth and non-smooth planar systems
本文利用Brouwer度平均方法，研究了一类线性中心受连续齐次向量场之和扰动的平面系统的极限环个数的下界.我们的结果可以应用到模型的光滑性是失去了对集$Σ=\{xy=0\}$。我们还应用它们提出了一个变种的希尔伯特第16问题，其中的目标是绑定的极限环的数量方面的单项式的一个家庭的多项式向量场，而不是这样做的程度。
Limit Cycles Bifurcating from a Periodic Annulus in Discontinuous Planar Piecewise Linear Hamiltonian differential System with Three Zones
本文研究了由两条平行直线分隔的三个区域的间断平面分段线性Hamilton微分系统从周期环分支出的极限环的个数。证明了如果中心子系统，即定义在两条平行线之间的系统有实中心，而其它子系统有中心或鞍点，则周期环扰动后至少有三个极限环.为此，我们研究了分段哈密顿系统的Melnikov函数零点的个数，并给出了该系统的一个标准形，以简化计算。
Exogenous Versus Endogenous for Chaotic Business Cycles
我们提出了一种新的方法来产生混乱的商业周期在一个确定性的设置。而不是产生混沌内生，我们认为总的经济模型的极限环和平衡，使他们的混沌外生冲击，并获得混沌周期运动。因此，我们强调指出，经济学中不可避免的混沌循环不仅是经济模型的内在属性，而且可以看作是多个经济系统相互作用的结果。这提供了一个理解的混乱（不可预测性，缺乏预测）和控制混乱作为一个全球经济现象从确定性的观点。我们认为，本文的结果是对P.A.萨缪尔森[76]。此外，他们还证明了扩展混沌的不规则性是可以构造的，这使他们区别于广义同步。结构知识的优点是，通过应用已经为确定性混沌开发的仪器，人们可以控制混沌，强调一个参数或一种运动。对于循环混沌现象的全球化，我们利用新的机制，如夹带的混沌，吸引的混沌周期的平衡点和混沌周期的分岔在我们以前的文件中开发。
Existence and stability of a limit cycle in the model of a planar passive biped walking down a slope
我们考虑最简单的模型的被动步行下坡的开关耦合摆方程（McGeer，1990）。根据Garcia等人（1998）的基本工作，我们将地面坡度视为小参数$γ\ge 0$。当$γ=0$的系统可以在封闭的形式和存在的极限环（即潜在的步行周期）可以明确地建立解决。正如Garcia et al（1998）所观察到的，当$γ$增加时，极限环族消失，只有孤立的渐近稳定环（步行环）持续存在。然而，没有严格的证明，这样的分歧（通常被称为Melnikov分歧）已被报道。本文填补了这一领域的空白，并提供了所需的证据。
Study of periodic orbits in periodic perturbations of planar reversible Filippov systems having a two-fold cycle
研究了一类由可逆分段光滑微分系统的非自治周期扰动得到的平面Filippov系统周期解的存在性。假设未扰动系统是一个简单的二重循环，其特征是一个封闭的轨迹连接一个可见的二重奇点。证明了在一定的一般条件下，摄动系统存在滑动周期解和交叉周期解。为了得到我们的结果，Melnikov的想法一起应用的工具，从几何奇异扰动理论。最后，研究了扰动的分段哈密顿模型。
Uniqueness of limit cycles for a class of planar vector fields
本文给出了一类平面向量场极限环唯一性的充分条件。我们还展示了一类例子，正好有一个极限环。
Simultaneous occurrence of sliding and crossing limit cycles in piecewise linear planar vector fields
在本研究中，我们考虑平面分段线性向量场的两个区域由直线$x=0$。我们的目标是研究这类向量场同时交叉和滑动极限环的存在性。首先，我们为这些系统提供了一个标准型，假设每个线性系有中心，一个真正的一个为$y<0$和一个虚拟的一个为$y>0$，并使真正的中心是一个全球中心。然后，利用一阶分段线性扰动，得到了具有三个交叉极限环的分段线性微分系统。其次，我们看到，一个滑动周期可以检测后，二阶分段线性扰动。最后，在存在滑动极限环的条件下，证明了只能出现一个额外的交叉极限环。此外，我们还刻画了高振幅极限环和无穷大点的稳定性。在我们的证明中使用的主要技术是Melnikov方法，具有正精度的扩展Chebyshev系统，和Bendixson变换。
Bifurcation of limit cycles from a switched equilibrium in planar switched systems and its application to power converters
我们考虑一个切换系统的两个子系统被激活的轨迹分别进入区域$\{(x,y):x>\bar x\}$和$\{(x,y):x<-\bar x\}$，其中$\bar x$是一个积极的参数。我们证明了一个经常渐近稳定的平衡相关联的Filippov方程的滑动运动（对应于$\bar x=0$）产生一个轨道稳定极限环的所有$\bar x>0$足够小。该研究的动机是由应用程序的DC-DC电源转换器，其中$\bar x>0$是用来代替$\bar x=0$，以避免滑动运动。
Does the smooth planar dynamical system with one arbitrary limit cycle always exists smooth Lyapunov function?
给出了光滑李雅普诺夫函数与光滑平面动力系统共存的一个定理的严格证明，并从力学角度对动力系统进行了一种新的分解.我们基于这个动力结构，结合这个动力结构在不动点、极限环和混沌方面的一些努力，以及相关的已知结果，如Schoenflies定理、黎曼映射定理、边界对应定理和微分几何理论，证明了这种共存性.我们将程序分为三个步骤。首先，我们引入了一个新的定义的李雅普诺夫函数这三种类型的吸引子。其次，证明了平面上任意简单闭曲线与单位圆同构的一个引理。然后，通过定义一个势函数，给出了以圆为极限环的系统光滑李雅普诺夫函数的严格构造。进而得到了一个定理：对于具有任意极限环的光滑平面动力系统，光滑李雅普诺夫函数总是存在的。最后，通过讨论系统耗散的两个判据（发散和耗散功率），发现它们并不相等，并解释了耗散在极限环无限次重复运动中的意义。
Limit cycles from a monodromic infinity in planar piecewise linear systems
研究了两个线性区域由一条直线分隔且无穷远点有周期轨道的平面分段线性系。通过对变量和参数的一些变换，得到了一个五参数的约化标准形。代替通常的Bendixson变换工作在无穷远，一个更直接的方法是通过采取适当的坐标的交叉点的可能的周期轨道的分离直线。所需的计算来表征的稳定性和分岔的周期轨道在无穷远是容易得多。结果表明，无穷远点的Hopf分支可以具有余维3的退化，特别是可以从无穷远点的周期轨道分支出最多3个极限环.这提供了一种新的机制来解释该系列系统中声称的最大极限环数量。分析了无穷远点中心的分类及其分支的极限环。
Uniform upper bound for the number of limit cycles of planar piecewise linear differential systems with two zones separated by a straight line
具有两个由直线分隔的区域的平面分段线性微分系统极限环的最大个数的一致上界的存在性问题已成为数百篇论文的主题。自Lum-Chua的工作以来，经过30多年的研究，这个统一的上界是否存在仍然是一个悬而未决的问题。在这里，我们给出了一个肯定的答案，这个问题通过建立一个自然数$L^*\leq 8$的存在性，任何平面分段线性微分系统的两个区域由直线有不超过$L^*$极限环。证明是通过结合一个新发展的积分特征的Poincaré半映射的线性微分系统的Khovanski \u的理论，调查之间的交叉点的数量平滑曲线和特定类型的轨道的向量场的扩展。
Emergence of Multiple Crossing Limit Cycles in Planar Piecewise Systems with Isochronous Centers and Nonsmooth Switching Manifolds
研究平面分段系统中多重交叉极限环的产生机制，通过非光滑切换流形增强动力学复杂性，推导出交叉极限环数量的上界并构造实例。
On distinguishing genuine from spurious chaos in planar singular and nonsmooth systems: A diagnostic approach
本文通过正则化、数值细化和不变集标准，提出诊断协议以区分平面系统中的真实混沌与由奇点或离散化引起的伪混沌，验证了非光滑系统的鲁棒混沌特性。
The discontinuous planar piecewise linear system with two nodes has at most two limit cycles
针对由直线分隔且两子系统均为结点的平面分段线性系统，论文借助 Poincare 半映射与后继函数分析，证明计入重数后极限环数量至多为两个。
Heteroclinic cycles and chaos in a system of four identical phase oscillators with global biharmonic coupling
针对四个全局双谐波耦合相同相位振子这一最小 Kuramoto 型系统，本文利用对称性与异宿环情景提出搜索方法，并首次给出混沌存在的数值实例。
Double canard cycles in singularly perturbed planar systems with two canard points
考虑具有两个鸭点的奇摄动平面系统中包含两个鸭的双鸭圈。以往的工作研究了具有单参数层方程的奇摄动平面系统的复杂振动，包括松弛振动和鸭式环，这些系统恰好具有一个鸭式点、两个跳跃点或一个鸭式点和一个跳跃点。基于规范形理论、Blow-up技术和Melnikov理论，研究了两个非退化鸭点处两个Hopf破缺机制诱导的双鸭环.最后，我们将所得结果应用于一类具有二次阻尼的三次Lienard方程。
Upper bounds for the number of limit cycles of some planar polynomial differential systems
给出了一类平面多项式系统最大极限环个数的有效控制方法。它是基于一个合适的选择的Dulac函数和著名的Bendixson-Dulac准则的多个连接区域的应用。关键是提出了一种新的方法来控制准则中函数的符号。该方法适用于几个例子。
Order-chaos-order and invariant manifolds in the bounded planar Earth-Moon system
在这项工作中，我们调查的地球-月球系统，作为模型的平面圆形限制性三体问题，并将其动力学性质的基本结构与特定的不变流形。我们考虑一系列的雅可比常数值的颈部周围的拉格朗日点$L_1$始终是开放的，但由于希尔稳定性的轨道是有界的。首先，我们表明，该系统在月球附近显示三种不同的动力学场景：两个混合的，有规则和混乱的轨道，和一个几乎完全混乱的一个之间。然后，我们分析了这些方案之间的过渡使用单值矩阵理论，并确定它们是由两种特定类型的分叉。在此之后，我们说明了如何相空间的配置，特别是稳定区域和粘性的形状，是内在相关的双曲不变流形的李雅普诺夫轨道周围的$L_1$，也对一些特定的不稳定周期轨道。最后，我们定义渡越时间的方式，是有用的描绘动态捕获和显示跟踪的几何结构也连接到系统的传输特性。
Entrainment of Chaos
讨论了一种新的现象--混沌卷吸，它被理解为极限环对不规则行为的捕获。结果表明，当混沌振幅较小时，系统会出现混沌周期。否则，混沌不一定是循环的，如果扰动很强和/或极限环的直径很小。灵敏度作为一个主要的和独特的成分被认为是，此外，倍周期混沌的路线被选择用于扩展。这些结果对工程科学、脑电波和生物音乐学现象以及流体力学都有重要意义。对蔡氏振子、环形吸引子夹带混沌和控制问题的模拟和讨论支持了理论结果。并通过一个实例，利用李雅普诺夫函数方法，给出了一个混沌吸引子。
Saddle-node canard cycles in planar piecewise linear differential systems
应用奇异扰动方法，分析了一类奇异摄动平面分段线性（PWL）微分系统的鸭式极限环。所进行的研究涉及双曲和非双曲鸭式极限环后出现的超临界和亚临界Hopf分叉。所得结果与光滑向量场的结果完全一致。在某种意义上，手稿可以被理解为Krupa和Szmolyan [18]对光滑系统所获得结果的PWL框架的扩展。此外，还得到了一些新的慢-快行为。特别是，在超临界的情况下，并在适当的条件下，证明了极限环组织沿曲线展示两个折叠。这些褶皱中的每一个对应于鸭式极限环的鞍结分叉，一个涉及无头鸭式环，而另一个涉及有头鸭式环。这种配置允许三个鸭式极限环共存。
Limit cycles of planar vector fields: Hilbert's 16th problem and o-minimality
我讨论了最近的一些工作联系某些方面的第二部分希尔伯特的第16个问题的理论\hbox{o-minimality}。这些笔记改编自我于2017年6月在康斯坦茨大学的Zukunfts kolleg举行的Jour June系列研讨会上的演讲。
Upper bounds for the number of orbital topological types of planar polynomial vector fields "modulo limit cycles"
本文研究平面多项式向量场。我们的目标是估计n次域的轨道拓扑等价类的数目。一个明显的障碍是希尔伯特第16问题的第二部分。为了克服这个障碍，我们引入了等价模极限环的概念。本文是作者在[Mosc. Math.J.1（2001），no.4]，其中已经获得了形式2^{cn^2}的下界。在这里我们得到了相同形式的上界。我们还给每个平面多项式向量场配以一个装配可平面图，这个图是这类场的轨道拓扑分类的完全不变量。
Geometric decomposition of planar vector fields with a limit cycle
本文提出一种算法，用于数值计算具有极限环的平面动力系统的几何结构，以几何方法连接机制模型与抽象模型，解决计算生物学中极限环现象难以研究的问题。
Quadratic Planar Differential Systems with Algebraic Limit Cycles via Quadratic Plane Cremona Maps
在本文中，我们展示了如何将二次系统转换成新的二次系统后，一些双有理变换，二次平面克雷莫纳映射。然后我们将这些变换应用于具有代数极限环的二次微分系统族。因此，我们提供了一个新的家庭的二次系统具有代数极限环的程度为5。此外，我们展示了如何已知的家庭的二次微分系统的代数极限环的程度大于四个得到使用这些变换。我们还提供了所有具有代数极限环的二次微分系统族在Poincaré圆盘上的相图。
Uniqueness of Limit Cycles for Abel Equations and Planar Systems
该研究针对$2\pi$周期系数的阿贝尔方程，提出半周期凸性方法证明其正极限环的唯一性与双曲性，并将结果应用于两类平面多项式系统，解答了Gasull公开问题的部分内容。
On Degenerate Planar Hopf Bifurcations
本文主要研究光滑平面动力系统在孤立奇点附近的退化Hopf分支。为此，我们建议将简并性的定义分为两种类型。第一类退化是指在临界点之前或之后都不会出现围绕稳态的极限环，而在无穷远无穷远点周围可能出现极限环。第二类简并是指在超临界或亚临界的稳态周围出现几个极限环或作为极限情况的半稳定环。在第二类退化分叉中，我们还证明了当分叉参数趋于临界值时，出现的环半径趋于零，并具有“反常”的序。最后，我们给出了第二类退化分支的一个充分条件，并给出了退化分支的几种“典型”形式。
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