Braiding Knots in Contact 3-Manifolds
Elena Pavelescu
我们证明了由开卷分解支持的切触结构中的横向连接可以横向编织。我们还推广了马尔可夫定理的封闭时，两个辫子代表（横向）同位素链接。
We show that a transverse link in a contact structure supported by an open book decomposition can be transversely braided. We also generalize Markov's theorem on when the closures of two braids represent (transversely) isotopic links.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Braiding surface links which are coverings over the standard torus
我们考虑四维空间中的一个曲面链，它可以由标准环面上的一个简单分支覆盖来表示，我们称之为环面覆盖链。环面覆盖链接包括旋转$T^2$ -结和旋转旋转$T^2$ -结。本文在标准2-球面上编织了一个环面覆盖环。这给出了环面覆盖链环的辫状指数的上估计。特别是，我们表明，转向纺$T^2$-结的环面$(2,\,p)$ -结的编织指数为4。
A Transverse Braiding Theorem with Rational Open Book Decomposition
本研究推广Pavelescu的论证，证明紧接触3-流形中任意横截链环都可相对于有理开书分解横截同痕为辫，推进了横截链环与有理开书分解相关的几何拓扑研究。
Knots and Contact Geometry
我们对勒让德环面纽结进行了分类，并在3-球面上的紧切触结构中画出了8个纽结，直到勒让德合痕。作为一个推论，我们也得到了横向环面结和数字8结的横向合痕的分类。
Knot contact homology and representations of knot groups
我们研究了纽结群的某些线性表示，这些线性表示导致纽结接触同调的增加。这种对增广的观点增强了我们对增广多项式和纽结的A-多项式之间关系的理解。例如，我们表明，对于2桥结的多项式同意，这是从来没有的情况下（非2桥）环面结，也不是一个家庭的3桥椒盐卷饼结。此外，我们还得到了纽结的秩的一个下界。因此，我们的结果给出了另一个证明，环面节和一个家庭的椒盐卷饼节有其相应的秩等于他们的桥数。
Legendrian knots in overtwisted contact structures
我们证明了可平凡化为平面丛的切触结构中的两个勒让德结是勒让德同位素的，前提是：（1）它们作为框架结是同位素的，（2）它们相对于切触结构的某种平行化具有相同的旋转数，以及（3）存在与两个结不相交的过扭曲圆盘。(For条件（1）读作：（1a）它们作为拓扑结是同位素的，（1b）它们具有相同的Thurston-Bennequin不变量。然后，我们讨论的情况下，条件（3）不满足，特别是非松散的勒让德结。
Negative contact surgery on Legendrian non-simple knots
研究Legendrian非简单结的不同LOSS不变量的负有理接触r-手术产生不同接触3流形，首次展示相同经典不变量但所有负有理数r手术不同的例子，并推广至某些两桥结家族。
Braided embeddings of contact 3-manifolds in the standard contact 5-sphere
本文利用一个流形关于另一个流形的编织来研究切触流形的嵌入。特别是，我们展示了如何嵌入到标准的接触5-球的接触3-流形。我们还展示了如何使用接触几何来阻止一个流形对另一个流形的编织。
Decoding chirality in circuit topology of a self entangled chain through braiding
本研究将电路拓扑的结构建方法融入辫子理论框架，计算不同拓扑关系下软接触组合的Jones多项式并证明其因式分解特性，为分子结手性分析及手性缠结链设计提供工具，可应用于材料科学等领域。
Trace-free characters and abelian knot contact homology II
本文证明了(4,5)-和(5,6)-扭转结具有鬼特征，从而推翻了Ng关于结接触同调与特征环同构的猜想。
On contact surgery and knot Floer invariants
本文建立了接触手术与Legendrian纽结Floer不变量之间的非消失关系，利用缝合Floer同调及极限构造，证明了接触不变量非零蕴含相应Legendrian不变量非零。
Contact cosmetic surgery on Legendrian knots in integer homology sphere $L$-spaces
研究整数同调球L-空间中Legendrian纽结的接触整容手术，证明除可能的拉格朗日切片纽结外，所有非平凡Legendrian纽结均满足接触整容手术猜想。
Topologically Trivial Legendrian Knots
本文研究了紧切触三维流形和过扭切触三维流形中的拓扑平凡勒让德纽结。第一部分详细阐述了紧切触三维流形中拓扑平凡的勒让德纽结（即嵌入2-圆盘的勒让德纽结）的分类证明。这一部分基本上是10多年前写的，但只有一个简短的版本，没有详细的证明，发表（在CRM Proc. Lecture Notes，Vol. 15，1998）。该论文还简要讨论了过扭曲的情况。本文的最后一部分对过扭切触流形中的勒让德纽结进行了更系统的讨论，特别是对过扭切触S ^[3]中拓扑平凡的勒让德纽结进行了粗略的分类（即分类到整体切触同构）。
The existence of a transverse universal knot
证明了存在一个横截于$S^3$的紧切触结构$ξ_{std}$的纽结$K$，使得每个接触3-流形$(M, ξ)$都可以作为沿$K$分支的接触覆盖得到.接触覆盖指的是沿着$K$分支的映射$φ: M \to S^3$，使得$ξ$与$φ$之下的$ξ_{std}$的提升接触同位素。
Knot contact homology detects cabled, composite, and torus knots
纽结接触同调是纽结的一个不变量，它是由勒让德接触同调导出的，勒让德接触同调与纽结群有许多联系。我们利用纽结群的基本性质证明了纽结接触同调检测每个环面纽结。此外，如果一个结的结接触同调同构于一个索（或复合）结的结接触同调，那么这个结就是一个索（或复合）结。
Classical invariants of Legendrian knots in the 3-dimensional torus
$R^3$中的所有纽结都具有塞弗特曲面，因此可以定义$R^3$上切触结构中勒让德纽结的经典Thurston-Bennequin和旋转（或Maslov）不变量。这些定义很容易推广到任何具有切触结构$ξ$的$3$ -流形$M$中的零同调纽结。我们概括的塞弗特表面的定义，并使用它们来定义这些不变量的所有勒让德结，包括那些不是零同源的，在$3$ -环面$T^3$上的切触结构。我们展示了如何计算的Thurston-Bennequin和旋转不变量在紧定向切触结构$T^3$使用投影。
Fractional Dehn twists in knot theory and contact topology
分数德恩扭曲给出了有边曲面同胚的相对合痕类与其自由合痕类的Thurston代表之间差异的度量。我们将展示如何估计和计算这些不变量。我们讨论的关系，我们的工作，在经典的纽结理论，一般的开卷分解，接触拓扑的稳定问题。我们包括一个基本的描述过扭曲的切触结构的开卷分解。
Transverse knots determined by their cyclic branched covers
本文研究横截结的横截同胚类，通过构造其他非同胚但循环分支覆盖接触同胚的横截结例子，证明许多横截结的横截同胚类由其循环分支覆盖的接触同胚类型决定。
On loose Legendrian knots in rational homology spheres
证明了有理同调切触3-球面中的松勒让德纽结，满足一些附加的假设，是勒让德同位素当且仅当它们具有相同的经典不变量。证明需要一个结果Dymara松散Legendrian结和Eliashberg的分类overtwisted切触结构上的3流形。
Cosmetic contact surgeries along transverse knots and the knot complement problem
研究了标准接触3球体中沿横结的Cosmetic接触手术，证明了非平凡手术的排除，并展示了横结由外皮接触同构类型确定的结论。
The contact homology of Legendrian knots with maximal Thurston-Bennequin invariant
我们证明了存在一个具有极大Thurston-Bennequin不变量的Legendrian纽结，其接触同调是平凡的。我们还提供了另一个Legendrian纽结，它具有相同的纽结类型和经典不变量，但非零接触同调。
Ozsváth-Szabó invariants of contact surgeries
我们给出了新的紧度标准，积极手术沿结在3领域，概括的结果Lisca和Stipsicz，和Sahamie。主要的工具将是本田，Kazez和马蒂奇的，Ozsvath和Szabo的Floer理论接触不变量。我们计算的Ozsvath和Szabo的不变量的正接触手术沿勒让德结在3-球的经典不变量的结。我们还将Legendrian布线结构与接触手术相结合，以获得有关合理接触手术的结果。
Trace-free characters and abelian knot contact homology I
本文研究无迹特征与阿贝尔结接触同调的关系，证明Ng猜想成立当且仅当结不存在ghost characters，并适用于所有2桥和3桥结。
Neighbourhoods and isotopies of knots in contact 3-manifolds
本文证明了切触三维流形中任意纽结的一个邻域定理。作为一个应用，我们证明了接触3-流形中的两个拓扑同位素勒让德纽结在适当的稳定化后成为勒让德同位素。
Heegaard Floer invariants of Legendrian knots in contact three--manifolds
本文定义了切触三维流形中的零同调勒让德不变量和横结不变量。不变量由基本光滑结的结弗洛尔同调的元素决定。我们计算这些不变量，并表明，他们不消失的某些非松散的结过扭曲的3-球。此外，我们还应用这些不变量在许多超扭切触3-流形中寻找了横截非单纽结类型。
On knots in overtwisted contact structures
我们证明了每一个过扭曲的切触结构的纽结类型是由无限多个不同的横向结都具有相同的自环绕数。在某些情况下，我们甚至可以对所有这些结进行分类。我们还显示了类似的结果，勒让德结，并证明了一个“民间”的结果，关于松散的横向和勒让德结（即结与overtwisted补充），这说，这种结是由他们的经典不变量（到contactomorphism）。最后，我们讨论了这些结果如何部分地填补了我们的理解的“地理”和“植物学”的问题，勒让德结在过扭曲的切触结构，以及许多悬而未决的问题，这些问题。
Combinatorial knot contact homology and transverse knots
我们给出了横同调的一种组合处理方法，横纽结的一个新的不变量是纽结接触同调的推广。该理论有几种形式，其中一种是拓扑结的不变量，并产生一个与A多项式相关的三变量结多项式。我们提供了一些计算的横向同源性，证明其有效性，在区分横向结，包括不能区分的Heegaard Floer横向不变量或其他以前的不变量的结。
On transverse-universality of twist knots
本文研究了扭结的横贯普遍性，发现一类非横贯普遍但拓扑上普遍的横贯结。
Contact Surgeries on the Legendrian Figure-Eight Knot
我们发现，所有积极的接触手术的每一个Legendrian 8字结在$(S^3, ξ_{\rm{std}})$的结果在一个过度扭曲的切触结构。证明使用凸曲面理论和不变量从Heegaard弗洛尔同调。
On Diagrammatic Categorification of Verma Modules I: Braiding
本文通过图解双模的导出张量积范畴化 Verma 模的 R-矩阵，构造辫子函子并证明辫群作用，为纽结补空间建立 Khovanov 同调，并与环形 Khovanov 同调比较。
Knots and Contact Geometry II: Connected Sums
我们研究了勒让德结和横结在连通和运算下的行为。因此，我们表明，存在勒让德结，不区分任何已知的不变量。此外，我们分类勒让德结在一些非勒让德简单的结类型。
An Ozsvath-Szabo Floer homology invariant of knots in a contact manifold
使用结弗洛尔同调过滤，我们定义了一个结在一个三流形具有非零弗洛尔同调类的不变量。在Ozsvath-Szabo切触不变量的情形下，我们得到了切触三流形中纽结的一个不变量。这个不变量提供了一个上界的Thurston-Bennequin加上旋转数的任何勒让德实现的结。我们用它来证明第一个系统的建设素结接触流形以外的三个球负最大Thurston-Bennequin不变量。也许更有趣的是，我们的不变量提供了一个标准，一个开放的书，以诱导一个紧密的切触结构。一个推论是，如果一个流形具有切触结构，这些结构具有不同的非零Ozsvath-Szabo不变量，那么任何纤维纽结都可以在至多一个这些切触结构中实现经典的Eliashberg-Bennequin界。
Isomorphism of the groups of Vassiliev Invariants of Legendrian and of Pseudo Legendrian Knots in Contact 3-manifolds
对勒让德纽结的Vassiliev不变量的研究始于D. Fuchs和S. Tabachnikov谁表明，集团的复值瓦西里耶夫不变量的Legendrian和框架结的标准接触$R^3$是典型的同构。最近，我们构建了第一个例子，其中Vassiliev不变量的Legendrian和框架结是不同的，和Vassiliev不变量的Legendrian结区分Legendrian结是同位素的框架结和同伦的Legendrian浸入。这就提出了一个问题：关于勒让德结的什么信息可以用瓦西里耶夫不变量来捕捉。在这里，我们回答这个问题，表明任何接触3-流形的cooriented的切触结构的勒让德结和结的瓦西里耶夫不变量的群体是无处正切的向量场coorients的切触结构是规范同构的。
Filtrations on the knot contact homology of transverse knots
我们构造了R^3上标准切触结构中横链环的一个新的不变量。该不变量是链环的纽结接触同调微分分次代数（DGA）的双重过滤版本。这里，R^3中链环的纽结接触同调是其余法向提升到R^3的单位余切丛S^*R^3中的勒让德接触同调DGA，滤子是通过计算DGA微分的全纯圆盘与切触结构的两个余法向提升的交点来构造的。我们还提出了一个组合公式的过滤DGA的编织代表的横向链接，并将其应用到表明，新的不变量是独立的先前已知的不变量的横向链接。
A topological introduction to knot contact homology
这是一个调查结接触的同源性，强调拓扑，代数和组合方面。
Braids, knots and contact structures
这些笔记是为了补充我于2004年2月19日在韩国首尔第一东亚绳结及相关主题学院所做的演讲而准备的。在这篇文章中，我回顾方面的互连之间的辫子，结和切触结构的欧氏三维空间。我与William Menasco（arXiv math.GT/0310279）和（arXiv math.GT/0310280）讨论了我最近的工作。在后者中，我们证明了切触3-空间中存在不同的横向结类型，具有相同的拓扑结类型和相同的Bennequin不变量。
Contact surgeries and the transverse invariant in knot Floer homology
研究了纽结弗洛尔同调中横不变式在接触（+1）-手术下的自然性质.这可以作为横不变式的计算工具。结果表明，当n为奇数且n>3时，Eliashberg-Chekanov扭纽结E_n不是横截单的.
A Legendrian knot atlas for knots of arc index 10
本文将标准接触三维空间中的Legendrian纽结图集扩展至弧指标为10的纽结。
On Transverse Knots and Branched Covers
我们研究接触流形出现的循环分支覆盖的横向结在标准的接触3-球面。我们讨论这些接触流形的性质，并描述他们在开放的书籍和接触手术。在许多情况下，我们表明，这样的分支覆盖接触形态的光滑同位素横结具有相同的自环绕数。这些纽结对包括Birman-Menasco和Ng-Ozsvath-Thurston的大多数非横截简单纽结。
2-knot homology and Yoshikawa move
Ng构造了${\mathbb{R}}^3$中结点的一个不变量，即组合结点接触同调.扩展他的研究，我们构造了一个不变量的表面结在${\mathbb{R}}^4$使用标记图。
Knot and braid invariants from contact homology II, with an appendix written jointly with Siddhartha Gadgil
我们提出了一个拓扑解释结和辫子接触同源度为零，在绳索和绞关系。这种解释使我们能够扩展结不变嵌入图和高维结。我们计算两桥结的结不变量，并将其与一般结的双分支覆盖联系起来。在附录中，我们证明了绳环是由纽结的基本群和外围结构决定的，并给出了应用。
2-knot homology and Roseman move
Ng构造了${\mathbb{R}}^3$中结点的一个不变量，即组合结点接触同调.扩展他的研究，我们构建了一个不变量的表面结在${\mathbb{R}}^4$使用图在${\mathbb{R}}^3$。
Transverse Surgery on Knots in Contact 3-Manifolds
我们研究了手术对切触三维流形中横结的影响。特别是，我们调查的影响，这样的手术打开的书籍，Heegaard Floer接触不变，和紧张。本文的首要主题是表明，在许多情况下，手术的横向结比手术的勒让德结更自然。除了从横结的角度重新解释勒让德结的手术外，我们的主要研究结果是在两个互补的方向上：在不允许的横结手术（勒让德结的\textit{cf.\@}正接触手术）保持紧密性的条件下，以及在产生过度扭曲的条件下。在第一个方向上，我们给出了第一个结果的紧密性不允许横向手术的接触流形消失Heegaard Floer接触不变量。特别地，如果外科手术系数大于$2g-1$，则在支撑紧密接触结构的属$g$开本的连接装订上的不允许的横向外科手术保持紧密性。在第二个方向，随着更一般的声明，我们推导出一个部分概括Lisca和Stipsicz的结果：当$L$是一个Legendrian结与$tb(L) \leq -2$，和$|rot(L)| \geq 2g(L)+tb(L)$，然后接触$(+1)$-手术对$L$是过度扭曲。
Knot and braid invariants from contact homology I
本文以微分分次代数的形式引入了纽结和辫子共轭类的拓扑不变量，并给出了这些不变量的一个显式组合公式。这些代数给出了五维切触流形中某些勒让德环面的相对切触同调。我们提出了几个计算，并得出结不变量和行列式之间的关系。
Framed knot contact homology
本文将纽结接触同调推广到环$\mathbb{Z}[λ^{\pm 1},μ^{\pm 1}]$上的一个理论，给出了拓扑和组合的不变量。改进的不变量定义在$S^3$中的框架纽结上，并可推广到任意流形上的纽结，它能区分非纽结和突变体。它包含亚历山大多项式，并自然产生一个二元多项式结不变量，这是相关的$A$ -多项式。
Contact Dehn surgery, symplectic fillings, and Property P for knots
这是2005年在波恩举行的数学工作会议上的一个演讲的笔记。根据Ozbagci-Stipsicz的思想，给出了切触3-流形上Eliashberg凹填充定理的一个基于切触Dehn手术的证明.该定理在Kronheimer-Mrowka证明非平凡结的性质P中的作用被勾勒出来。
Knot contact homology, string topology, and the cord algebra
在$\mathbb{R}^3$中的纽结$K$的余正规拉格朗日$L_K$是余切丛$T^* \mathbb{R}^3$的子流形，该余切丛由沿$K$的余向量组成，该余向量零化$K$的切向量。通过与单位余切丛$S^* \mathbb{R}^3$相交，得到单位余正规$Λ_K$，并且$Λ_K$的勒让德接触同调是$K$的纽结不变量，称为纽结接触同调。我们定义了一个版本的字符串拓扑的字符串在$\mathbb{R}^3 \cup L_K$，并证明这是同构的度0结接触的同源性。弦拓扑观点给出了弦代数的拓扑推导（也同构于0度纽结接触同调），并将其与纽结群联系起来。结合同构给出了纽结接触同调检测解结的新证明。我们的技术涉及到详细分析的某些模空间的全纯磁盘在$T^* \mathbb{R}^3$上的$\mathbb{R}^3 \cup L_K$的边界。
Surgeries on knots and tight contact structures
本文证明对任意纽结和正有理数进行负手术得到的流形总具有紧切触结构，其紧性由非零的Heegaard Floer切触不变量检测。
Vassiliev invariants of Legendrian, of transverse and framed knots in contact 3-manifolds
我们表明，对于一个大类的接触3-流形的Vassiliev不变量的Legendrian和框架结的群体是规范同构的。作为推论，我们得到曲面$F$上波前的有穷级Arnold $J^+$型不变量群同构于$F$的球面余切丛$ST^*F$中框架纽结的Vassiliev不变量群.另一方面，我们构建接触流形的第一个例子，其中勒让德结的Vassiliev不变量可以区分勒让德结，实现同位素框架结和勒让德浸入同伦。
Tied pseudo links \& Pseudo knotoids
本文研究了{ \it伪结点}理论，它是一种具有缺失交叉信息的结点，介绍并研究了{ \it伪系链}理论和{ \it伪拟结点}理论。特别是，我们首先提出了一个编织算法的伪结，然后我们介绍了$L$ -移动在该设置中，使用它，我们制定了一个尖锐的版本的模拟伪辫子的马尔可夫定理。然后介绍并研究了{ \it系伪链}理论，它推广了系链的概念，并利用系伪链与系奇异链之间的关系。首先，我们提出了一个$L$移动编织等效捆绑奇异编织。然后，我们介绍了绑伪辫幺半群，我们制定和证明类似的亚历山大和马尔可夫定理绑伪链接。最后，我们介绍和研究了{ \it pseudo knotoids}的理论，它推广了knotoids的概念。我们提出了一个伪knotoid的合线定理，然后我们传递到braidoid水平。通过引入{ \it pseudo} $L$ { \it -moves}，并通过给出伪结子的Alexander定理和Markov定理的类似物，我们进一步介绍和研究了{ \it pseudo braidoid}.我们还讨论了进一步的研究有关{ \it绑（多）-knotoids和绑伪（多）-knotoids}。伪结理论可以作为研究DNA的有力工具，而捆绑连接在分子生物学的其他方面也有潜在的用途。
Classification of tight contact structures on surgeries on the figure-eight knot
接触拓扑学中的两个基本问题是哪些流形允许紧切触结构，以及在这些流形上，我们能否对这种结构进行分类。我们提出了第一个这样的分类（主要是）双曲3-流形的无限家庭：手术的数字8结。我们还确定哪些紧切触结构是辛可填充的，哪些是普适紧的。
Tight Contact Structures via Admissible Transverse Surgery
本文研究了在切触三维流形上的紧结和过扭结之间的关系。当接触结构$ξ_K$由纽结$K \subset M$支撑时，我们获得了当负手术导致具有非零Heegaard Floer接触类的切触结构时的表征。为此，我们利用镜像结$\overline{K} \subset -M$支持的切触结构$ξ_{\overline{K}}$的相关信息。我们得到了几个推论的存在紧密的切触结构，L-空间结外的$S^3$，非平面切触结构，和非平面勒让德结。
Transverse knots, branched double covers and Heegaard Floer contact invariants
给定标准切触3-球面中的一个横链，我们研究了作为球面的一个分支双覆盖而产生的切触流形。我们给出了一个接触手术描述这样的流形，它允许确定Heegaard Floer接触不变量的一些。通过Birman-Menasco的结的例子，我们表明，这些接触流形可能无法区分非同位素的横结。我们还研究了分支双覆盖的Heegaard Floer接触不变量与Khovanov同调之间的关系，特别是我们在相关论文中引入的横链不变量。
Knotted solid tori in contact manifolds
该研究聚焦切触流形中的实心环面，探究纽结型宽度与最大Thurston-Bennequin不变量的关系并给出判定条件，还证明多类纽结型中存在大量此前仅在$S^3$中发现的不可加厚环面。
Quantum invariants of links and new quantum field models
我们提出了一个规范模型的量子电动力学（QED）和它的nonabel推广，从中我们得到结不变量，如琼斯多项式。我们的方法是灵感来自Witten的工作，他从基于陈-西蒙拉格朗日的量子场论导出了结不变量。从我们的方法，我们可以得到新的结和链接不变量，扩展琼斯多项式，并给出一个完整的分类结和链接。从这些新的结不变量，我们有，结可以完全分类的权力指数$m$的$TrR^{-m}$其中$R$表示$R$ -矩阵编织和是单值的Knizhnik-Zamolodchikov方程。然后可以形成结的分类表，其中素数结由素数$m$分类，非素数结由非素数$m$分类。
Invariants of Knots, Embeddings and Immersions via Contact Geometry
本文综述了利用接触几何构造浸入和嵌入不变量的思想。特别是，它讨论了如何将接触流形与任何流形相关联，以及如何将勒让德子流形与嵌入或浸入相关联。然后，我们讨论了最近的工作，创建不变量的浸入和嵌入使用的Legendrian接触同源的相关Legendrian子流形。
Colored HOMFLY polynomials that distinguish mutant knots
我们从WZNW共形块上的编织操作的角度说明了具有多重结构的有色HOMFLY多项式如何检测突变。作为一个例子，我们明确评估（2，1）色HOMFLY多项式区分一个著名的突变对，木下寺坂和康威结。
A complete knot invariant from contact homology
我们构造了一个加强的纽结接触同调，并证明了我们可以从它推出的纽结群的群环连同周边子群。特别地，它完全确定了光滑合痕的纽结。的增强包括（完全非交换）Legendrian接触同源性的结和不相交的余切纤维球的余法线环面的工会，以及产品上的过滤部分，这种同源性。作为推论，我们得到了一个新的，全纯曲线证明的结果的第三作者，勒让德合痕类的余法环面是一个完整的结不变。
Berge duals and universally tight contact structures
对纽结的Dehn手术确定了填充环面的核心surgered流形中的对偶纽结。我们考虑对$S^3$进行透镜空间手术。每个双支撑切触结构。我们证明了，如果一个普遍紧的切触结构是支持的，那么对偶是在同一个同调类的环面结的对偶。
A note on the concordance of fibered knots
要么支持紧切触结构的纤维结在光滑协调类中是唯一的，要么存在切片-带状猜想的纤维反例。
Invariants of Legendrian knots from open book decompositions
利用支持切触结构的开书分解，定义了切触流形中勒让德结的一个新的不变量。我们定义切触3-流形（M，M）中勒让德结L的支撑亏格sg（L）为M的一本打开的书的一页的最小亏格，该页支撑切触结构，使得L位于一页上，并且由该切触结构和该页给出的框架一致.我们证明了在过扭曲的切触结构中的任何零同调的松纽结都有支持亏格零。为了证明这一点，我们观察到任何3-流形M中的任何拓扑纽结或链接位于M的平面开卷分解的一页上。
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