Two new proofs of the complete monotonicity of a function involving the psi function
Feng Qi, Bai-Ni Guo
本文给出了函数$x^α[\ln x-ψ(x)]$在$(0,\infty)$上完全单调的充要条件$α\le1$的两个新的证明.
In the present paper, we give two new proofs for the necessary and sufficient condition $α\le1$ such that the function $x^α[\ln x-ψ(x)]$ is completely monotonic on $(0,\infty)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Proofs for a monotonicity result of a function involving the psi and exponential functions
本文给出了函数$ψ(x)+\ln\bigl(e^{1/x}-1\bigr)$在$(0,\infty)$上严格递增的单调性结果的两种证明，其中$ψ(x)$是psi函数.
Complete monotonicity of a function involving the $p$-psi function and alternative proofs
在本文中，作者交替地证明了函数$x^α\big[\ln\frac{px}{x+p+1}-ψ_p(x)\big]$在$(0,\infty)$上是完全单调的当且仅当$α\le 1$，其中$p\in\mathbb{N}$和$ψ_p(x)$是经典psi函数$ψ(x)$的$p$ -模拟.这推广了一个已知的结果。
Inequalities for the Psi and $k$-Gamma Functions
建立了Psi与$k$ -Γ函数的不等式.该过程利用与Psi和$k$ -Γ函数相关联的一些函数的某些单调性性质。
On functional inequalities for the psi function
本文研究了函数$x\mapsto ψ(1 +bx)^a/ψ(1 + ax)^b$的单调性。给出了关于Γ函数的对数导数的psi函数的几个不等式.
Some properties of the psi and polygamma functions
本文证明了几个涉及psi和多Γ函数的函数的单调性和单调性，推广和推广了一些已知的不等式.
Double Inequalities for Complete Monotonicity Degrees of Remainders of Asymptotic Expansions of the Gamma and Digamma Functions
受“对数函数与psi函数之差的完全单调度”一文中几个定理的启发，本文证明了伽玛函数与双Γ函数的对数的渐近展开的逼近器的完全单调度的几个定理，并给出了这类逼近器的两个有界性.
Complete Monotonicity and Inequalities of Functions Involving $Γ$-function
本文研究了某些涉及Γ函数的函数的完全单调性。利用这些函数的单调性，我们得到了一些涉及Gamma函数和β函数的不等式.这种不等式出现在概率论中。
A complete monotonicity result involving the $q$-polygamma functions
给出了$q$ -多Γ函数的完全单调函数，推广了已有的结果.
A class of completely monotonic functions involving divided differences of the psi and polygamma functions and some applications
证明了一类由Kershaw二重不等式导出的包含psi函数和多Γ函数的均差的函数是完全单调的.作为这些结果的应用，推导出了源于Kershaw二重不等式最佳上、下界建立的涉及两个Γ函数之比的函数的单调性和凸性，恢复了两个涉及双阶乘之比的尖锐二重不等式，估计了概率积分或误差函数，推导了$\mathbb{R}^{n-1}$和$\mathbb{R}^n$中单位球体积比的双重不等式，推广了Γ函数关于psi函数的对称上、下界.
Monotonicity, convexity, and inequalities for functions involving gamma function
本文研究了Γ函数与幂函数组合的单调性、数学完全单调性、对数凸性和几何凸性等性质。所得结果推广了某些已知的有关结果。
Complete monotonicity properties of a function involving the polygamma function
本文研究了函数$f_{a,k}(x)=ψ^{(k)}(x+a) - ψ^{(k)}(x) - \frac{ak!}{x^{k+1}}$的完全单调性，其中$a\in(0,1)$和$k\in \mathbb{N}_0$ .具体来说，我们考虑$k\in \{ 2n: n\in \mathbb{N}_0 \}$和$k\in \{ 2n+1: n\in \mathbb{N}_0 \}$的情况。随后，我们推出了一些涉及多Γ函数的不等式。
Complete monotonicity of a function involving the gamma function and applications
本文给出了涉及Γ函数的对数的函数是完全单调的充要条件，并应用这些结果对Γ函数$Γ(x)$、$n$次调和数$\sum_{k=1}^n\frac1k$和阶乘$n!$进行了界化.
From inequalities involving exponential functions and sums to logarithmically complete monotonicity of ratios of gamma functions
In the paper, the authors review origins, motivations, and generalizations of a series of inequalities involving several exponential functions and sums, establish three new inequalities involving finite exponential functions and sums by finding convexity of a function related to the generating function of the Bernoulli numbers, survey the history, backgrounds, generalizations, logarithmically complete monotonicity, and applications of a series of ratios of finite gamma functions , present complete monotonicity of a linear combination of finite trigamma functions , construct a new ratio of fini…
Complete monotonicity of a family of functions involving the tri- and tetra-gamma functions
psi函数$ψ(x)$由$ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$定义，并且用于$i\in\mathbb{N}$的$ψ^{(i)}(x)$表示多伽马函数，其中$Γ(x)$是伽马函数。本文证明了函数$$ [ψ'(x)]^2+ψ"(x)-\frac{x^2+λx+12}{12x^4(x+1)^2} $$在$(0,\infty)$上是完全单调的当且仅当$λ\le0$，且其负的当且仅当$λ\ge4$ .由此，一些不等式被细化和尖锐化。
Some families of generalized Mathieu-type power series, associated probability distributions and related functional inequalities involving complete monotonicity and log-convexity
利用Mathieu级数及其推广，导出了若干新的整表示，并对Mathieu级数的某些推广所对应的概率密度函数和概率分布进行了系统的研究.特别是，数学期望，方差和特征函数，有关的概率密度函数的考虑概率分布推导。作为结果，一些有趣的不等式涉及完全单调性和对数凸性。
Complete monotonicity of a function involving a ratio of gamma functions and applications
本文给出了一个包含Γ函数之比的函数在代数上完全单调的充要条件。这推广和推广了[ \emph{Inequalities and monotonicity for the ratio of gamma functions}，Taiwan J. Math. \textbf{7}（2003），no.~ 2，239 \nobreakdash --247。]等人作为应用，导出了几个涉及$\mathbb{R}^n$中单位球体积的不等式，改进、推广和推广了一些已知的不等式.
Complete monotonicity of some functions involving polygamma functions
本文建立了$x^α\bigl\lvertψ^{(i)}(x+β)\bigr\lvert$和$α\bigl\lvertψ^{(i)}(x+β)\bigr\lvert-x\bigl\lvertψ^{(i+1)}(x+β)\bigr\lvert$在$(0,\infty)$上分别单调和完全单调的充要条件，其中$i\in\mathbb{N}$，$α>0$和$β\ge0$是标量，$ψ^{(i)}(x)$是多Γ函数.
Complete monotonicity of functions involving the $q$-trigamma and $q$-tetragamma functions
令$ψ_q(x)$、$ψ_q'(x)$和用于$q>0$的$ψ_q''(x)$分别代表$q$ -digamma、$q$ -trigamma和$q$ -tetramama函数。本文用两种不同的方法证明了函数$[ψ'_q(x)]^2+ψ''_q(x)$（$q>1$）和$[ψ_{q}'(x)-\ln q]^2 +ψ''_{q}(x)$（$0<q<1$）在$(0,\infty)$上是完全单调的.应用这些结果，作者推导出了涉及$q$ - digamma函数$ψ_q(x)$的四个函数的单调性质以及两个限制$q$ - digamma函数$ψ_q(x)$的双重不等式。
Inequalities and monotonicity properties for gamma and q-gamma functions
我们证明了一些新的结果，并统一了旧的证明，涉及完全单调的表达式涉及伽玛和$q$ -Γ函数，$0 < q < 1$。这些结果中的每一个都暗示了相关概率测度的无限可分性。在少数情况下，我们能够得到简单单调性而不具有完全单调性。所有的结果导致这些功能的不平等。其中许多是由沃尔特·高茨基在1959年的一篇论文中提出的。我们表明，一些界限可以扩展到复杂的参数。
Uniqueness of nontrivially complete monotonicity for a class of functions involving polygamma functions
对于$m,n\in\mathbb{N}$，将$f_{m,n}(x)=\bigr[ψ^{(m)}(x)\bigl]^2+ψ^{(n)}(x)$置于$(0,\infty)$上。本文用两种方法证明了：在所有的关于$m,n\in\mathbb{N}$的$f_{m,n}(x)$中，只有$f_{1,2}(x)$在$(0,\infty)$上是非平凡完全单调的.准确地说，函数$f_{1,2}(x)$和$f_{m,2n-1}(x)$在$(0,\infty)$上是完全单调的，但是用于$(m,n)\ne(1,1)$的函数$f_{m,2n}(x)$不是单调的，并且在$(0,\infty)$上不保持相同的符号。
The monotonicity and convexity of a function involving digamma one and their applications
设$\mathcal{L}(x,a)$由公式% \begin{equation*} \mathcal{L}(x,a)=\tfrac{1}{90a^{2}+2}\ln \left( x^{2}+x+\tfrac{3a+1}{3}% \right) +\tfrac{45a^{2}}{90a^{2}+2}\ln \left( x^{2}+x+\allowbreak \tfrac{% 15a-1}{45a}\right) . \end{equation*}定义在$\left( -1,\infty \right) \times \left( 4/15,\infty \right) $或$\left( 0,\infty \right) \times \left( 1/15,\infty \right) $上，我们研究了函数$x\rightarrow F_{a}\left( x\right) =ψ\left( x+1\right) -\mathcal{L}(x,a)$的单调性和凸性，其中$ψ$表示Psi函数。确定了最佳参数$a$，使得不等式$ψ\left( x+1\right) <\left( >\right) \mathcal{L}% (x,a) $对$x\in \left( -1,\infty \right) $或$\left( 0,\infty \right) $成立，从而给出了函数和调和…
Monotonicity results and bounds for the inverse hyperbolic sine
本文给出了一个涉及反双曲正弦函数的单调性结果。由此，我们得到了反双曲正弦的界的一些不等式。
Bounds for the ratio of two gamma functions--From Gautschi's and Kershaw's inequalities to completely monotonic functions
本文以界定两个Γ函数之比为主线，回顾和分析了几个不等式，几个涉及两个伽玛函数之比或$q$ -Γ函数的函数的完全单调性，一个涉及两个Γ函数之比的函数的数学完全单调性，给出了两个Γ函数之比和多Γ函数均差的新的界，以及相关的单调性结果.
An inequality involving the gamma and digamma functions
本文建立了一个涉及Gamma函数和双Γ函数的不等式，并利用它证明了一个涉及Gamma函数和双Γ函数的函数的负性和单调性.
Universal Bounds and Monotonicity Properties of Ratios of Hermite and Parabolic Cylinder Functions
本文得到了一类Hermite函数与抛物柱面函数之比的未证明性质。这些比率被证明是严格递减的，并受普适常数的约束。与通常的分析方法不同，我们采用简单的纯概率参数来得出我们的结果。特别是，我们利用厄米和抛物柱面函数和特征函数的无穷小生成的Ornstein-Uhlenbeck过程之间的关系。作为副产品，我们得到了Turán型不等式。
Monotonicity and absolute convexity of two functions involving Riemann zeta function
利用Riemann zeta函数的积分表示、单调性规则及函数1/(e^t-1)的性质，研究两个函数的单调性和凸性，并推导出Bernoulli数比值的单调性和不等式。
Some remarks on the monotonicity of primary matrix functions on the set of symmetric matrices
本文研究对称矩阵集合上初等矩阵函数的多种单调性判据，并将结果用于澄清非线性弹性中真应力-真应变单调性条件的相关表述。
On some complete monotonic functions
受文献“Refinements and sharpenings of some double inequalities for bounding the gamma function“和“Complete monotonicity and monotonicity of two functions defined by two derivatives of a function involving三Γ函数“中公开问题的启发，我们证实了其中的一些结果，并反驳了另一个结果.
A completely monotonic function involving the tri- and tetra-gamma functions
psi函数$ψ(x)$由$ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$定义，并且用于$i\in\mathbb{N}$的$ψ^{(i)}(x)$表示多Γ函数，其中$Γ(x)$是伽马函数。本文证明了包含$[ψ'(x)]^2+ψ''(x)$与$x$的真分数之差的函数在$(0,\infty)$上是完全单调的.
Comments on the paper "Universal bounds and monotonicity properties of ratios of Hermite and Parabolic Cylinder functions"
在[1]的摘要中我们读到：“我们得到了涉及一类Hermite和抛物柱面函数的比的迄今未证明的性质。“然而，我们解释了该论文中的一些主要结果是如何在[2]中得到证明的，即”万有界“。文[1]中讨论了文[2]中的一个错误，它并不影响文[2]中给出的关于这些“泛界”的证明;我们很容易修正这个错误。最后，我们提出了一个猜想，关于最好的可能的上界为一定比例的抛物柱面函数。
The monotonicity rules for the ratio of two Laplace transforms with applications
设$f$和$g$都是$\left( 0,\infty \right) $上的连续函数，$g\left( t\right) >0$是$t\in \left( 0,\infty \right) $的连续函数，$ F\left( x\right) =\mathcal{L}\left( f\right) $和$G\left( x\right) =\mathcal{L }\left( g\right) $分别是$f$和$g$收敛于$x>0$的拉普拉斯变换.我们证明了，如果有一个$t^{\ast }\in \left( 0,\infty \right) $，$f/g$是严格增加$\left( 0,t^{\ast }\right) $和严格减少$\left( t^{\ast },\infty \right) $，那么比例$F/G$是减少$\left( 0,\infty \right) $当且仅当\begin{equation*} H_{F,G}\left( 0^{+}\right) =\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left( \frac{F^{\prime }\left( x\right) }{G^{\prime }\left( x\right) }G\left( x\right) -F\left( x\right) \right) \geq 0, \end{equatio…
Integral representations and properties of some functions involving the logarithmic function
利用复变函数论中的柯西积分公式，建立了涉及对数函数的几个复变函数的主分支的整表示，得到了这些函数是算子单调函数、完全Bernstein函数、Stieltjes函数等性质，验证了一个关于涉及对数函数的函数完全单调的猜想。
Two monotonic functions involving gamma function and volume of unit ball
本文证明了$\mathbb{R}^n$中涉及Γ函数$Γ(x)$的两个函数的单调性，这两个函数与单位球$\mathbb{B}^n$的$n$维体积有关.
Functional inequalities involving modified Struve functions
本文利用第二类修正Struve函数的整表示证明了它的单调性和凸性。进一步，作为这些结果的结果，我们给出了第二类修正的Struve函数及其对数导数的一些函数不等式（如Turán型不等式）和上下界.
Some sharp inequalities involving Seiffert and other means and their concise proofs
本文通过建立涉及正弦函数和余弦函数的函数的单调性，给出了一些已知不等式的简洁证明，并找到了一些新的涉及两个正实数$a$和$b$的Seiffert、反调和、质心、算术、几何、调和和均方根均值的尖锐不等式，其中$a$和$b$具有$a\ne b$ .
On a function involving generalized complete $(p,q)$- elliptic integrals
受Alzer和Richards \cite{ar}工作的启发，本文作者研究了函数$$Δ_{p,q} (r) = \frac{{E_{p,q}(r) - \left( {r'} \right)^p K_{p,q}(r) }}{r^p } - \frac{{E'_{p,q}(r) - r^p K'_{p,q}(r) }}{{\left( {r'} \right)^p }},$$的单调性和凸性，其中$K_{p,q}$和$E_{p,q}$分别表示完整的$(p,q)$ -第一类和第二类椭圆积分。
Further Inequalities Associated with the Classical Gamma Function
本文给出了关于Γ函数的某些比值的二重不等式.这些结果进一步推广了以前的几个结果。该方法是基于一些函数的单调性涉及广义Γ函数。最后，我们提出了一些开放的问题。
Completely and logarithmically completely monotone functions
本研究针对完全单调与对数完全单调函数领域，通过简化定理证明、拓展适用范围、纠正错误、推广及提出新结论，研究相关Gamma函数的单调性，并提出psi函数相关公开问题，推动该理论发展。
Inequalities involving the gamma and digamma functions
本文改进了[H. Alzer和N. Batir，Monotonicity properties of the Γ函数数，Appl. Math. Letters，20（2007），778-781]。\begin{equation*} exp\left(-\frac{1}{2}ψ\left(x+\frac{1}{3}\right)\right)<\frac{Γ(x)}{\sqrt{2π}x^xe^{-x}}<exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x)\right), \end{equation*}和$$ \frac{1}{2}ψ'(x+1/3))<\log x-ψ(x)<\frac{1}{2}ψ'(x).$$这里$Γ$是经典伽马函数，$ψ$是双Γ函数。
Uniform bounds, zero separation and monotonicity for the regular Coulomb wave functions
本文推导了正则库仑波函数及其导数的一致界，推广了其零点配置与单调性分析，并借助相关正交多项式零点探讨了 Sturm 分离定理的失效问题。
Logarithmic complete monotonicity of a matrix-parametrized analogue of the multinomial distribution
在本文中，作者介绍了矩阵参数化推广的多项式概率质量函数，涉及到几个多元Γ函数的比例。证明了这种推广的对数完全单调性，并导出了涉及多元Γ函数的比率的新的不等式。
Some two-parameter families of generalized Bernstein functions
本文证明涉及 Gamma 函数比值与 Psi 函数的某些双参数族属于广义 Bernstein 类，并给出其新性质。
On Some Properties and Inequalities for the Nielsen's $β$-Function
本文研究了1906年引入的Nielsen $β$ -函数的凸性、单调性、可加性以及一些不等式。
On the application of a hypergeometric identity to generate generalized hypergeometric reduction formulas
本文通过新的超几何恒等式推导出新的求和公式，并验证了相关函数的递推关系
Certain Inequalities Involving the $q$-Deformed Gamma Function
本文的灵感来自J. Sándor在2006年的工作。本文建立了几个涉及比率$ \frac{Γ_{q}(x+1)}{ Γ_{q} \left( x+\frac{1}{2}\right)}$的二重不等式，其中$Γ_{q}(x)$是经典Γ函数的$q$ -变形，记作$Γ(x)$ .所采用的方法在提出的结果利用杰克逊的$q$ -变形Γ函数的$q$ -整表示。此外，Hölder不等式的$q$ -积分，以及一些基本的分析技术，涉及$q$ -类似的psi功能。作为结果，$q$ -类似的经典文德尔的渐近关系。最后，对本文所建立的不等式的尖锐性进行了研究。
Shafer-Fink type inequalities for arc lemniscate functions
本文研究了一些涉及弧双纽线和双曲弧双纽线函数的函数的单调性和不等式。特别地，证明了弧双纽线和双曲弧双纽线函数的Shafer-Fink型不等式.
Sharp double inequality for complete elliptic integral of the first kind
对于$r\in(0,1)$，函数$\K(r)=\int_0^{π/2}(1-r^2\sin^2t)^{-1/2}dt$被称为第一类完全椭圆积分。本文证明了两个涉及$\K(r)$的函数的绝对单调性。从而改进了Alzer和Richards的结果。
Bounds for an integral involving the modified Struve function of the first kind
建立了积分$\int_0^x\mathrm{e}^{-βt}t^ν\mathbf{L}_ν(t)\,\mathrm{d}t$的简单上下下界，其中$x>0$，$ν>-1$，$0<β<1$和$\mathbf{L}_ν(x)$是第一类修正的Struve函数.这些边界补充和改进现有的结果，通过更清晰的边界或增加的有效性范围。在我们的界的推导过程中，我们得到了第一类修正的Struve函数和第二类修正的Bessel函数乘积$K_ν(x)$的单调性结果和不等式，以及比率$\mathbf{L}_ν(x)/\mathbf{L}_{ν-1}(x)$的一个新的界.
Inequalities for modified Bessel functions and their integrals
建立了涉及修正Bessel函数$I_ν(x)$和$K_ν(x)$的一些积分的简单不等式.我们还得到了一个单调性结果为$K_ν(x)$和一个新的下界，其中涉及Γ函数，为$K_0(x)$。
On exterior moduli of quadrilaterals and special functions
本文证明了涉及由第一类和第二类完全椭圆积分定义的函数的两个恒等式。利用该函数的单调性和凸性，得到了该函数的一些函数不等式和初等估计。作为应用，研究了一些函数不等式和矩形外模的增长性。
Bounds for the ratio of two gamma functions--From Wendel's and related inequalities to logarithmically completely monotonic functions
本文以界定两个Γ函数之比为主线，回顾和分析了几个不等式，几个涉及两个伽玛函数或$q$ -Γ函数之比的函数的完全单调性，以及涉及两个伽玛函数或$q$ -Γ函数之比的函数在数学上完全单调的充要条件。
A logarithmically completely monotonic function involving the ratio of gamma functions
本文简要地综述和评述了一些涉及Gamma函数及其各种比值的函数，简单地叙述了它们的数学完全单调性和有关结果，并找到了一个新的涉及两个Γ函数之比的、源于编码增益的函数是数学完全单调的充要条件。
A Class of logarithmically completely monotonic functions relating the $q$-gamma function and applications
本文研究了$q$ -Γ函数的数学完全单调性，并应用这些结果建立了$q$-Γ函数的一些新的不等式.进一步，设序列$r_n$由$$n!=\sqrt{2πn}(n/e)^n e^{r_n}.$$定义，我们建立了Stirling公式余项$r_n.$的新估计
Complete monotonicity of log-functions
本文研究涉及对数的 $s$ 元特殊函数族 $\mathcal{F}_s$ 的完全单调性，通过建立其与实多元多项式空间的线性同构，证明了该完全单调函数锥是半代数的，并给出了有限时间判定算法。
A ratio of many gamma functions and its properties with applications
建立了一个涉及指数函数与和的不等式，引入了多个Γ函数的比，讨论了新引入的比的单调性、对数凸性、（数学上）完全单调性和Bernstein函数性质，构造了两个多项式系数和多元β函数的不等式.
Completely monotonic degree of a function involving the tri- and tetra-gamma functions
令$ψ(x)$为二伽马函数，即经典欧拉伽马函数$Γ(x)$的对数导数。本文证明了函数$[ψ'(x)]^2+ψ''(x)$的完全单调度是$4$，回顾了课题的历史和动机，证明了函数$f(x)$是强完全单调的当且仅当函数$xf(x)$是完全单调的，给出了涉及$[ψ'(x)]^2+ψ''(x)$的函数的完全单调度，给出了一个初等函数的对数凸性和单调性，并提出了一个数学上凹函数卷积的公开问题.
Integral representation and functional inequalities involving generalized polylogarithm
本文用Dirichlet级数与Laplace表示及Hadamard卷积两种方法，得到广义多对数函数的单、双积分表示，并证明其完全单调性、Turan不等式、凸性与界，另给出Lerch超越函数积分表示及Hadamard卷积的替代证明。
On an infinitely divisible distribution involving modified Bessel functions
本文证明了Ismail和Miller关于修正贝塞尔函数构成的函数为无限可分分布拉普拉斯变换的猜想，通过归结为指数和关于阶数的单调性并利用积分表示与Bernstein定理完成证明。
Inequalities for Taylor series involving the divisor function
设$$ T(q)=\sum_{k=1}^\infty d(k) q^k, \quad |q|<1, $$，其中$d(k)$表示自然数$k$的正约数。我们提出的单调性定义的$T$方面的功能。更具体地说，我们证明了$$ H(q) := T(q)- \frac{\log(1-q)}{\log(q)} $$在$ (0,1) $中严格递增，而$$ F(q) := \frac{1-q}{q} \,H(q) $$在$ (0,1) $中严格递减。然后应用这些结果得到各种不等式，其中之一指出双重不等式$$ α\,\frac{q}{1-q}+\frac{\log(1-q)}{\log(q)} < T(q)< β\,\frac{q}{1-q}+\frac{\log(1-q)}{\log(q)}, \quad 0<q<1, $$与最佳可能常数因子$α=γ$和$β=1$成立。这里，$γ$表示欧拉常数。这改进了Salem用$α=1/2$和$β=1$证明不等式的一个结果.
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