发表机构
Babeş-Bolyai University; Óbuda University（巴比什-波雅依大学; 奥布达大学）
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本文证明了Ismail和Miller关于修正贝塞尔函数构成的函数为无限可分分布拉普拉斯变换的猜想，通过归结为指数和关于阶数的单调性并利用积分表示与Bernstein定理完成证明。
AI 中文摘要
Mourad E.H. Ismail 和 Kenneth S. Miller 在1982年猜想：对于 $\nu>\mu\geq0$ 和 $b>a>0$，函数 $$x\mapsto G(x;\mu,\nu)=\left(\frac ba\right)^{\mu-\nu}\frac{I_\mu(a\sqrt{x})I_\nu(b\sqrt{x})}{I_\mu(b\sqrt{x})I_\nu(a\sqrt{x})},$$ 其中 $I_\nu$ 表示第一类修正贝塞尔函数，是某个无限可分概率分布的拉普拉斯变换。他们的猜想等价于某些关于第一类贝塞尔函数第 $\nu$ 阶的第 $n$ 个正零点 $j_{\nu,n}$ 的指数和关于阶数的单调性性质。在本文中，我们的目标是将问题进一步归结为关于 $\nu$ 的单调性，即 $$Q_\nu(t)=\sum_{n\geq1}j_{\nu,n}^2e^{-t j_{\nu,n}^2},\qquad t>0,$$ 并证明这一单调性。通过这种方式，我们证明了上述函数 $x\mapsto G(x;\mu,\nu)$ 确实是某个无限可分概率分布的拉普拉斯变换，从而上述猜想成立。我们证明的关键要素是：第一类修正贝塞尔函数关于阶数的商的导数的一个积分表示，结合 Bernstein 定理以及一个概率尾部论证。
英文摘要
Mourad E.H. Ismail and Kenneth S. Miller in 1982 conjectured that for $ν>μ\geq0$ and $b>a>0$ the function $$x\mapsto G(x;μ,ν)=\left(\frac ba\right)^{μ-ν}\frac{I_μ(a\sqrt{x})I_ν(b\sqrt{x})}{I_μ(b\sqrt{x})I_ν(a\sqrt{x})},$$ where $I_ν$ stands for the modified Bessel function of the first kind, is the Laplace transform of an infinitely divisible probability distribution. Their conjecture is equivalent to the monotonicity property of some exponential sums over the zeros $j_{ν,n}$ with respect to the order, where $j_{ν,n}$ denotes the $n$th positive zero of the Bessel function of the first kind of order $ν$. In this paper our aim is to reduce the problem further to the monotonicity, with respect to $ν$, of \[Q_ν(t)=\sum_{n\geq1}j_{ν,n}^2e^{-t j_{ν,n}^2},\qquad t>0,\] and to prove this monotonicity. In this way we show that indeed the above function $x\mapsto G(x;μ,ν)$ is the Laplace transform of an infinitely divisible probability distribution, and the above conjecture is true. The key ingredient in our proof is an integral representation for the derivative of a quotient of modified Bessel functions of the first kind with respect to the order, combined with Bernstein's theorem and a probability tail argument.
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