Proofs for a monotonicity result of a function involving the psi and exponential functions
Feng Qi, Bai-Ni Guo
本文给出了函数$ψ(x)+\ln\bigl(e^{1/x}-1\bigr)$在$(0,\infty)$上严格递增的单调性结果的两种证明，其中$ψ(x)$是psi函数.
In the note, two alternative proofs are provided for a monotonicity result that the function $ψ(x)+\ln\bigl(e^{1/x}-1\bigr)$ is strictly increasing on $(0,\infty)$, where $ψ(x)$ is the psi function.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Complete monotonicity of a function involving the $p$-psi function and alternative proofs
在本文中，作者交替地证明了函数$x^α\big[\ln\frac{px}{x+p+1}-ψ_p(x)\big]$在$(0,\infty)$上是完全单调的当且仅当$α\le 1$，其中$p\in\mathbb{N}$和$ψ_p(x)$是经典psi函数$ψ(x)$的$p$ -模拟.这推广了一个已知的结果。
Two new proofs of the complete monotonicity of a function involving the psi function
本文给出了函数$x^α[\ln x-ψ(x)]$在$(0,\infty)$上完全单调的充要条件$α\le1$的两个新的证明.
Inequalities for the Psi and $k$-Gamma Functions
建立了Psi与$k$ -Γ函数的不等式.该过程利用与Psi和$k$ -Γ函数相关联的一些函数的某些单调性性质。
On functional inequalities for the psi function
本文研究了函数$x\mapsto ψ(1 +bx)^a/ψ(1 + ax)^b$的单调性。给出了关于Γ函数的对数导数的psi函数的几个不等式.
Some properties of the psi and polygamma functions
本文证明了几个涉及psi和多Γ函数的函数的单调性和单调性，推广和推广了一些已知的不等式.
Double Inequalities for Complete Monotonicity Degrees of Remainders of Asymptotic Expansions of the Gamma and Digamma Functions
受“对数函数与psi函数之差的完全单调度”一文中几个定理的启发，本文证明了伽玛函数与双Γ函数的对数的渐近展开的逼近器的完全单调度的几个定理，并给出了这类逼近器的两个有界性.
Complete monotonicity of a family of functions involving the tri- and tetra-gamma functions
psi函数$ψ(x)$由$ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$定义，并且用于$i\in\mathbb{N}$的$ψ^{(i)}(x)$表示多伽马函数，其中$Γ(x)$是伽马函数。本文证明了函数$$ [ψ'(x)]^2+ψ"(x)-\frac{x^2+λx+12}{12x^4(x+1)^2} $$在$(0,\infty)$上是完全单调的当且仅当$λ\le0$，且其负的当且仅当$λ\ge4$ .由此，一些不等式被细化和尖锐化。
Complete monotonicity of a difference between the exponential and trigamma functions
本文通过直接证明一个给出第一类一阶修正Bessel函数下界的不等式，对$(0,\infty)$上的指数函数$e^{1/t}$与三Γ函数$ψ'(t)$的差的完全单调性给出了一个新的证明.
From inequalities involving exponential functions and sums to logarithmically complete monotonicity of ratios of gamma functions
In the paper, the authors review origins, motivations, and generalizations of a series of inequalities involving several exponential functions and sums, establish three new inequalities involving finite exponential functions and sums by finding convexity of a function related to the generating function of the Bernoulli numbers, survey the history, backgrounds, generalizations, logarithmically complete monotonicity, and applications of a series of ratios of finite gamma functions , present complete monotonicity of a linear combination of finite trigamma functions , construct a new ratio of fini…
A class of completely monotonic functions involving divided differences of the psi and polygamma functions and some applications
证明了一类由Kershaw二重不等式导出的包含psi函数和多Γ函数的均差的函数是完全单调的.作为这些结果的应用，推导出了源于Kershaw二重不等式最佳上、下界建立的涉及两个Γ函数之比的函数的单调性和凸性，恢复了两个涉及双阶乘之比的尖锐二重不等式，估计了概率积分或误差函数，推导了$\mathbb{R}^{n-1}$和$\mathbb{R}^n$中单位球体积比的双重不等式，推广了Γ函数关于psi函数的对称上、下界.
A property of logarithmically absolutely monotonic functions and the logarithmically complete monotonicity of a power-exponential function
引入了“代数绝对单调函数”的概念，揭示了代数绝对单调函数也是绝对单调的一个包含，证明了函数$\bigl(1+\fracαx\bigr) ^{x+β}$的代数完全单调性和代数绝对单调性，其中$α$和$β$是给定实参数，给出了一个新的证明，证明了一个代数上完全单调的函数也是完全单调的，并提出了一个公开问题。
The monotonicity and convexity of a function involving digamma one and their applications
设$\mathcal{L}(x,a)$由公式% \begin{equation*} \mathcal{L}(x,a)=\tfrac{1}{90a^{2}+2}\ln \left( x^{2}+x+\tfrac{3a+1}{3}% \right) +\tfrac{45a^{2}}{90a^{2}+2}\ln \left( x^{2}+x+\allowbreak \tfrac{% 15a-1}{45a}\right) . \end{equation*}定义在$\left( -1,\infty \right) \times \left( 4/15,\infty \right) $或$\left( 0,\infty \right) \times \left( 1/15,\infty \right) $上，我们研究了函数$x\rightarrow F_{a}\left( x\right) =ψ\left( x+1\right) -\mathcal{L}(x,a)$的单调性和凸性，其中$ψ$表示Psi函数。确定了最佳参数$a$，使得不等式$ψ\left( x+1\right) <\left( >\right) \mathcal{L}% (x,a) $对$x\in \left( -1,\infty \right) $或$\left( 0,\infty \right) $成立，从而给出了函数和调和…
Complete monotonicity, completely monotonic degree, integral representations, and an inequality related to the exponential, trigamma, and modified Bessel functions
本文证明了$(0,\infty)$上的差分$e^{1/t}-ψ'(t)$的完全单调性，计算了$e^{1/z}$的洛朗级数展开式余项的完全单调度，建立了余项的整表示，并导出了一个不等式，给出了第一类一阶修正Bessel函数的下界.
Properties of three functions relating to the exponential function and the existence of partitions of unity
本文研究了与指数函数及单位分解存在性有关的三个函数的性质，包括导数的精确计算、解析性、完全单调性、数学完全单调性、绝对单调性等。
A conjecture on monotonicity of a ratio of Kummer hypergeometric functions
在1993年的预印本中，作者给出了指数级数的比的单调性的一些证明。它们等价于Kummer超几何函数之比的单调性的证明，并且可能还没有得到证明。在这个简短的说明中，1993年预印本中最有趣的猜想被复制了，并得到了推广。在更新的版本中，添加了一个重要信息，即图1，2以及问题1，2最近由突尼斯IPEIM的Khaled Mehrez证明，详情参见。arXiv：1410.6120。将单调性的结果推广到基本超几何函数。
Proofs of some conjectures on monotonicity of ratios of Kummer, Gauss and generalized hypergeometric functions
1993年，作者之一给出了指数级数截面比单调性的一些证明。它们导致了关于Kummer超几何函数的比单调性的更一般的猜想，但自1993年以来一直没有得到证明。本文在更一般的情形下证明了Kummer超几何函数的这些性质及其对Gauss和广义超几何函数的进一步推广。这些结果也与Turan型不等式密切相关。
The monotonicity results and sharp inequalities for some power-type means of two arguments
对于具有$a\neq b$的$a,b>0$，我们定义M_{p} =M^{1/p}（a^{p}，b^{p}）\text{if} p \neq 0 \text{and} M_{0} = \sqrt{ab}，其中$M=A,He,L,I,P,T,N,Z$和$Y$分别代表算术平均值、Heronian平均值、对数平均值、等距（指数）平均值、第一塞弗特平均值、第二塞弗特平均值、Neuman-Sándor平均值、幂指数平均值和指数几何平均值。通常，如果$M$是$a$和$b$的平均值，则$M_{p}$也是，并称为“幂型平均值”。我们证明了幂型平均数$P_{p}$，$T_{p}$，$N_{p}$，$Z_{p}$在$p$中在$\mathbb{R}$上是递增的，并建立了幂型平均数$A_{p}$，$He_{p}$，$L_{p}$，$I_{p}$，$P_{p}$，$N_{p}$，$Z_{p}$，$Y_{p}$ %之间的尖锐不等式.从这个意义上讲，一个非常好的不等式链L_{2} <P< N_{1/2} <He< A_{2/3} <I< Z_{1/3} < Y_{1/2}如下。最后提出了一个猜想。
Mittag-Leffler functions and complete monotonicity
我们考虑两个操作的Mittag-Leffler函数，取消指数项在无限远的扩展，并产生一个完全单调的函数。第一种是某个微分-差分算子的作用，并通过某个领带域得到一个刻画。第二个是减去指数项本身乘以一个不完全Γ函数。这些结果扩展了许多作者以前的工作。
The monotonicity rules for the ratio of two Laplace transforms with applications
设$f$和$g$都是$\left( 0,\infty \right) $上的连续函数，$g\left( t\right) >0$是$t\in \left( 0,\infty \right) $的连续函数，$ F\left( x\right) =\mathcal{L}\left( f\right) $和$G\left( x\right) =\mathcal{L }\left( g\right) $分别是$f$和$g$收敛于$x>0$的拉普拉斯变换.我们证明了，如果有一个$t^{\ast }\in \left( 0,\infty \right) $，$f/g$是严格增加$\left( 0,t^{\ast }\right) $和严格减少$\left( t^{\ast },\infty \right) $，那么比例$F/G$是减少$\left( 0,\infty \right) $当且仅当\begin{equation*} H_{F,G}\left( 0^{+}\right) =\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left( \frac{F^{\prime }\left( x\right) }{G^{\prime }\left( x\right) }G\left( x\right) -F\left( x\right) \right) \geq 0, \end{equatio…
Properties of modified Bessel functions and completely monotonic degrees of differences between exponential and trigamma functions
本文建立了关于第一类修正Bessel函数的不等式、单调性、凸性和单峰性，并计算了指数函数与三Γ函数的差的完全单调度.
Sharp inequalities for polygamma functions
证明了二重不等式\frac{(k-1)!}{\Bigl\{x+\Bigl[\frac{(k-1)!}{|ψ^{(k)}(1)|}\Bigr]^{1/k}\Bigr\}^k} + \frac{k!}{x^{k+1}} < \bigl| n ^{（k）}（x）\bigr| < \frac{(k-1)!}{\bigl(x+\frac12\bigr)^k} + \frac{k!}{x^{k+1}}适用于$x>0$和$k\in\mathbb{N}$，并且常数$\Bigl[\frac{(k-1)!}{|ψ^{(k)}(1)|}\Bigr]^{1/k}$和$\frac12$是最佳可能。同时，还讨论了关于Gamma函数、psi函数和多Γ函数的一些相关不等式和（数学上）完全单调性结果.
Completely and logarithmically completely monotone functions
本研究针对完全单调与对数完全单调函数领域，通过简化定理证明、拓展适用范围、纠正错误、推广及提出新结论，研究相关Gamma函数的单调性，并提出psi函数相关公开问题，推动该理论发展。
On modifications of the exponential integral with the Mittag-Leffler function
本文研究了指数积分的Schelkunoff修正的性质，并将其推广到Mittag-Leffler函数中。这样做，我们得到了一个新的特殊函数（据我们所知），可能是相关的线性粘弹性，因为它的完整的单调性在时域。我们还考虑了广义正弦和余弦积分函数
A ratio of many gamma functions and its properties with applications
建立了一个涉及指数函数与和的不等式，引入了多个Γ函数的比，讨论了新引入的比的单调性、对数凸性、（数学上）完全单调性和Bernstein函数性质，构造了两个多项式系数和多元β函数的不等式.
Monotone extremal functions and the weighted Hilbert's inequality
本文寻找满足单调性条件的 signum 函数的指数型最优单侧控制函数，并以此给出加权 Hilbert-Montgomery-Vaughan 不等式的简单 Fourier 分析证明。
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