Some properties of the psi and polygamma functions
Feng Qi, Bai-Ni Guo
本文证明了几个涉及psi和多Γ函数的函数的单调性和单调性，推广和推广了一些已知的不等式.
In this paper, some monotonicity and concavity results of several functions involving the psi and polygamma functions are proved, and then some known inequalities are extended and generalized.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A class of completely monotonic functions involving divided differences of the psi and polygamma functions and some applications
证明了一类由Kershaw二重不等式导出的包含psi函数和多Γ函数的均差的函数是完全单调的.作为这些结果的应用，推导出了源于Kershaw二重不等式最佳上、下界建立的涉及两个Γ函数之比的函数的单调性和凸性，恢复了两个涉及双阶乘之比的尖锐二重不等式，估计了概率积分或误差函数，推导了$\mathbb{R}^{n-1}$和$\mathbb{R}^n$中单位球体积比的双重不等式，推广了Γ函数关于psi函数的对称上、下界.
Sharp inequalities for polygamma functions
证明了二重不等式\frac{(k-1)!}{\Bigl\{x+\Bigl[\frac{(k-1)!}{|ψ^{(k)}(1)|}\Bigr]^{1/k}\Bigr\}^k} + \frac{k!}{x^{k+1}} < \bigl| n ^{（k）}（x）\bigr| < \frac{(k-1)!}{\bigl(x+\frac12\bigr)^k} + \frac{k!}{x^{k+1}}适用于$x>0$和$k\in\mathbb{N}$，并且常数$\Bigl[\frac{(k-1)!}{|ψ^{(k)}(1)|}\Bigr]^{1/k}$和$\frac12$是最佳可能。同时，还讨论了关于Gamma函数、psi函数和多Γ函数的一些相关不等式和（数学上）完全单调性结果.
Some completely monotonic functions involving the polygamma functions
在已有结果的基础上，我们提出了一些涉及多Γ函数的完全单调函数.
A complete monotonicity result involving the $q$-polygamma functions
给出了$q$ -多Γ函数的完全单调函数，推广了已有的结果.
On some families of integrals solvable in terms of polygamma and negapolygamma functions
从Hermite的赫尔维茨zeta函数的整表示开始，我们推导出显式表达式的初等，polygamma，和napolygamma函数的几个家庭的积分类型$\int_0^\infty f(t)K(q,t)dt$与内核$K(q,t)$等于$(e^{2πq t}-1)^{-1}$，$(e^{2πq t}+1)^{-1}$，和$(\sinh(2πq t)^{-1}$。
Refinements of lower bounds for polygamma functions
本文改进了多Γ函数的一些下界。
Complete monotonicity of some functions involving polygamma functions
本文建立了$x^α\bigl\lvertψ^{(i)}(x+β)\bigr\lvert$和$α\bigl\lvertψ^{(i)}(x+β)\bigr\lvert-x\bigl\lvertψ^{(i+1)}(x+β)\bigr\lvert$在$(0,\infty)$上分别单调和完全单调的充要条件，其中$i\in\mathbb{N}$，$α>0$和$β\ge0$是标量，$ψ^{(i)}(x)$是多Γ函数.
Complete monotonicity properties of a function involving the polygamma function
本文研究了函数$f_{a,k}(x)=ψ^{(k)}(x+a) - ψ^{(k)}(x) - \frac{ak!}{x^{k+1}}$的完全单调性，其中$a\in(0,1)$和$k\in \mathbb{N}_0$ .具体来说，我们考虑$k\in \{ 2n: n\in \mathbb{N}_0 \}$和$k\in \{ 2n+1: n\in \mathbb{N}_0 \}$的情况。随后，我们推出了一些涉及多Γ函数的不等式。
Turán-type inequaities for generalized polygamma function
受C. [1]和A.拉福吉亚在[2]中，我们建立了k-多Γ函数和p-k-多Γ函数的一些新的Turán型不等式.
A completely monotonic function involving the tri- and tetra-gamma functions
psi函数$ψ(x)$由$ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$定义，并且用于$i\in\mathbb{N}$的$ψ^{(i)}(x)$表示多Γ函数，其中$Γ(x)$是伽马函数。本文证明了包含$[ψ'(x)]^2+ψ''(x)$与$x$的真分数之差的函数在$(0,\infty)$上是完全单调的.
On Some Sums of Digamma and Polygamma functions - Version (2017) and Review
这篇论文是十多年前一篇类似标题的论文的增强版。许多公式涉及有限和无限总和的digamma和多Γ函数的二次秩序，其中很少出现在标准的参考著作或文献，但定期出现在应用中，收集，审查，列出和发展到一个知识渊博的读者可以设计一个正式的证明。纠正了文献中的几个错误
More supplements to a class of logarithmically completely monotonic functions associated with the gamma function
本文给出了Γ函数在$(0,\infty)$上单调的充要条件和必要条件.作为该充要条件的应用，导出了psi和多Γ函数的界以及两个Γ函数之比的不等式.
Complete monotonicity of a family of functions involving the tri- and tetra-gamma functions
psi函数$ψ(x)$由$ψ(x)=\frac{Γ'(x)}{Γ(x)}$定义，并且用于$i\in\mathbb{N}$的$ψ^{(i)}(x)$表示多伽马函数，其中$Γ(x)$是伽马函数。本文证明了函数$$ [ψ'(x)]^2+ψ"(x)-\frac{x^2+λx+12}{12x^4(x+1)^2} $$在$(0,\infty)$上是完全单调的当且仅当$λ\le0$，且其负的当且仅当$λ\ge4$ .由此，一些不等式被细化和尖锐化。
Inequalities for the Psi and $k$-Gamma Functions
建立了Psi与$k$ -Γ函数的不等式.该过程利用与Psi和$k$ -Γ函数相关联的一些函数的某些单调性性质。
A two-parameter deformation of the gamma function, associated functions, and some related inequalities
本文提出一种新的双参数Gamma函数变形，推广了现有Gamma型函数，并研究了其参数相关性质及相应的beta和polygamma函数的不等式。
On some integrals involving the Hurwitz zeta function: part 2
建立了一系列包含Hurwitz zeta函数及其它与之相关的初等函数和特殊函数，如伯努利多项式、ln sin（πq）、ln Gamma（q）和多Γ函数的不定积分公式.许多结果可以用一族函数A_k（q）：=k zeta '（1-k，q）和一族负阶多Γ函数来表示，其中k是自然数，我们详细研究了它们的性质.
Fundamental relations between the Dirichlet beta function, euler numbers, and Riemann zeta function for positive integers
首次发现并给出了正整数变元Dirichlet β函数的一个新定义.本文在多Γ函数的基础上，对Dirichlet β函数进行了重新定义，给出了一种求与Dirichlet β函数有关的所有特殊常数的一般方法。我们还显示了各种新的和基本的关系之间的多Γ函数，黎曼zeta，偶数索引的欧拉数，狄利克雷β函数的方式从来没有见过或想象。
Generalizations of Some Inequalities for the $p$-Gamma, $q$-Gamma and $k$-Gamma Functions
本文给出并证明了$p$ -Gamma，$q$ -Gamma和$k$ -Γ函数的几个不等式的推广.我们的方法利用了psi、$p$ -psi、$q$ -psi和$k$ -psi函数的级数表示。
Some extensions of Ramanujan's 1-psi-1 summation formula
我们已经发现了几个求和公式，扩展拉马努金的psi和。首先包含一个参数$α=1/N$，$N$是一个正整数，并在极限$N\to\infty$下变换为$q$ -β积分。另一个是广义二项式定理的$q$ -模拟，是$(1+t)^a$的$t^α$幂展开式，$0<α\leq 1$，它用二元积分表示某个级数的和。
Explicit Formulas For Generalized Polylogarithmic Integrals, Euler Sums, And BBP-Type Series
本文研究含五参数的多对数积分闭式表达式，用Lerch超越函数统一表示，并讨论其与欧拉和及BBP型级数的联系。
Sharp inequalities for the psi function and harmonic numbers
本文分别建立了关于psi函数$ψ$与调和数$H_n$的界的两个尖锐不等式，推广了[I. Muqattash和M. Yahdi，\textit{Infinite family of approximations of the Digamma function}，Math. Comput.建模\textbf{43}（2006），1329 \nobreakdash --1336。]并给出了一些说明。
Bounds for the ratio of two gamma functions--From Gautschi's and Kershaw's inequalities to completely monotonic functions
本文以界定两个Γ函数之比为主线，回顾和分析了几个不等式，几个涉及两个伽玛函数之比或$q$ -Γ函数的函数的完全单调性，一个涉及两个Γ函数之比的函数的数学完全单调性，给出了两个Γ函数之比和多Γ函数均差的新的界，以及相关的单调性结果.
Pointwise strong (H, Phi) approximation by Fourier series of L^{Psi} integrable functions
我们本质上推广和改进了G. H. Hardy和J.E. Littlewood关于傅里叶级数的强可和性。我们将给出广义强平均（H; Phi）的一个估计，作为G. H. Hardy，J. E. Littlewood，在从L^{Psi}可积函数的情况下。作为这种逼近的一种度量，我们将在定义L^{Psi}点的基础上，使用与Φ互补的函数Psi构造的函数。并给出一些推论和说明。
Necessary and sufficient conditions for a function involving divided differences of the di- and tri-gamma functions to be completely monotonic
本文给出了包含双伽玛函数和三Γ函数的均差的函数完全单调的充要条件。在此基础上，给出了包含两个Gamma函数之比的函数是代数完全单调的充要条件，并给出了多Γ函数的均差界的一些二重不等式.
Some two-parameter families of generalized Bernstein functions
本文证明涉及 Gamma 函数比值与 Psi 函数的某些双参数族属于广义 Bernstein 类，并给出其新性质。
Elementary derivations of identities for bilateral basic hypergeometric series
给出了双边基本超几何级数的几个经典和几个新的求和公式及变换公式的初等推导。出于动机的目的，我们回顾我们先前的简单证明（“A simple proof of Bailey's very-well-pointed 6-psi-6 summation”，Proc. Amer. Math. Soc.，贝利的非常平衡的6-psi-6求和。本文用类似但不同的方法，给出了双边基本超几何级数的某些变换的初等导子。特别地，这些包括M。通过归纳，杰克逊的非常平衡的8-psi-8变换、非常平衡的10-psi-10变换、斯莱特对非常平衡的2 r-psi-2 r系列的一般变换以及斯莱特对一般r-psi-r系列的变换。最后，我们得到了Chu-Gasper-Karlsson-Minton型双边基本超几何级数的一些新的变换.
Some completely monotonic properties for the $(p,q )$-gamma function
定义了$Γ_{p,q}$函数，它是$Γ$函数的推广.此外，我们定义$ψ_{p,q}$ -psi函数的类似物作为$Γ_{p,q}$的对数导数。对于$Γ_{p,q}$ -函数，给出了与凸性、对数凸性和完全单调性有关的一些性质。此外，还确定了$ψ$功能的$ψ_{p,q} $类似物的一些性质。作为应用，在$p\to \infty, q\to 1,$时，得到了\cite{Valmir1}和\cite{SHA}的全部结果。
Double Inequalities for Complete Monotonicity Degrees of Remainders of Asymptotic Expansions of the Gamma and Digamma Functions
受“对数函数与psi函数之差的完全单调度”一文中几个定理的启发，本文证明了伽玛函数与双Γ函数的对数的渐近展开的逼近器的完全单调度的几个定理，并给出了这类逼近器的两个有界性.
Completely and logarithmically completely monotone functions
本研究针对完全单调与对数完全单调函数领域，通过简化定理证明、拓展适用范围、纠正错误、推广及提出新结论，研究相关Gamma函数的单调性，并提出psi函数相关公开问题，推动该理论发展。
On the application of a hypergeometric identity to generate generalized hypergeometric reduction formulas
本文通过新的超几何恒等式推导出新的求和公式，并验证了相关函数的递推关系
A Generalization of Bohr-Mollerup's Theorem for Higher Order Convex Functions
1922年，Harald Bohr和Johannes Mollerup利用对数凸性建立了欧拉Γ函数的一个显著特征。十年后，埃米尔·阿廷研究了这一结果，并利用微积分的初等方法导出了Γ函数的基本性质。玻尔-穆勒鲁普定理随后被尼古拉·布尔巴基采用，作为他阐述Γ函数的出发点。这本开放获取的书发展了一个深远的推广玻尔Mollerup定理高阶凸函数，沿线发起的沃尔夫冈Krull，罗杰韦伯斯特，和其他一些人，但要远远超过过去的工作。特别地，这个推广使用初等技巧表明，非常丰富的函数谱满足Γ函数的几个经典性质的类似物，包括玻尔-穆勒鲁普定理本身，欧拉反射公式，高斯乘法定理，斯特林公式和维尔斯特拉斯标准因子分解。在这项工作中开发的理论的范围说明通过各种例子，从Γ函数本身及其变体和概括（q-伽马，polygamma，多Γ函数）的重要特殊函数，如赫维茨zeta函数和广义Stieltjes常数。这卷也是一个机会，以纪念100周年的玻尔-Mollerup定理，并引发了大量的研究人员在这个美丽的理论的兴趣。
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