Special Lagrangian fibrations, wall-crossing, and mirror symmetry
Denis Auroux
在这篇综述论文中，我们简要地回顾了非卡拉比-丘品种镜像对称的SYZ方法的各个方面，特别侧重于弗洛尔同调中的拉格朗日纤维化和跨壁现象。各种各样的例子，其中一些是新的。
In this survey paper, we briefly review various aspects of the SYZ approach to mirror symmetry for non-Calabi-Yau varieties, focusing in particular on Lagrangian fibrations and wall-crossing phenomena in Floer homology. Various examples are presented, some of them new.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Lagrangian torus fibration and mirror symmetry of Calabi-Yau hypersurface in toric variety
本文利用梯度流方法构造了复曲面簇中Calabi-Yau超曲面的Lagrange环面纤维化。利用我们构造的拉格朗日环面纤维化，我们能够证明复曲面簇中一般Calabi-Yau超曲面的SYZ镜像猜想的辛拓扑版本。我们也将能够给出一般SYZ镜像猜想的精确公式（包括奇异轨迹和奇异纤维的对偶性）。
Abelian fibrations and SYZ mirror conjecture
SYZ镜像猜想预言了一个Calabi-Yau流形$X$由一族环面组成，这一族环面与镜像对偶流形$\hat{X}$上的一族特殊拉格朗日环面对偶。在这里，我们考虑一个纤维化的极化阿贝尔簇，我们构建了一个对偶。并且证明了它们在导出范畴的层次上是等价的。
Suspending Lefschetz fibrations, with an application to Local Mirror Symmetry
我们考虑莱夫谢茨纤维化上的悬挂操作，它使p（x）成为p（x）-y^2。这使得纤维化的范畴保持不变，并以特定的方式改变了纤维的范畴（或者更准确地说，由消失环的基组成的子范畴）。作为应用，我们证明了复曲面上典范丛的全空间的部分同调镜像对称性。
Lagrangian Torus Fibrations and Mirror Symmetry of Calabi-Yau Manifolds
本文综述了我们最近在复曲面簇中Calabi-Yau超曲面的Lagrange环面纤维化的构造和辛Strominger-Yau-Zaslow猜想方面的工作，以及一些新的进展。它被提交给在韩国首尔KIAS举行的辛几何和镜像对称会议的会议记录。论文于2001年1月完成，并进行了修订和补充参考。
On the Complex Affine Structures of SYZ Fibration of Del Pezzo Surfaces
给定任意光滑三次曲线$E\subseteq \mathbb{P}^2$，我们证明了Collins-Jacob-Lin arXiv：1904.08363构造的$\mathbb{P}^2\setminus E$的特殊拉格朗日纤维化的复仿射结构与Carl-Pomperla-Siebert构造镜像所用的仿射结构一致.此外，我们使用Floer理论胶合方法构造一个镜子使用沉浸拉格朗日，这是同意由卡尔-庞珀拉-西伯特构造的镜子。
Lagrangian torus fibrations and homological mirror symmetry for the conifold
本文从Strominger-Yau-Zaslow猜想的角度讨论了锥的同调镜像对称性。
Twin Lagrangian fibrations in mirror symmetry
孪生拉格朗日纤维化是由丘成桐和第一作者首先提出的，它是由两个拉格朗日纤维化组成的几何结构，两个拉格朗日纤维化的纤维相互交叉。本文证明了某些辛流形上的孪生拉格朗日纤维化的存在性，这些流形的镜像由刚性解析圈纤维化。使用家庭Floer理论在这个意义上的Zakiaya和Abouzaid，这些双拉格朗日纤维化被证明是诱导纤维化刚性解析子品种的镜子。作为补充证据，我们讨论了我们的结构的两个简单的应用。
Symmetries of Lagrangian fibrations
我们构造了一类具有Lagrange环面纤维化的辛流形的保纤维反辛对合。特别是，我们处理的K3表面和五次三倍。我们解释我们的结果作为佐证的观点，在同调镜像对称，反辛对合是对偶的镜子。在同样的情况下，我们构造了保纤维的辛同胚，它可以被解释为全纯线丛扭曲的镜像。
Homological mirror symmetry and torus fibrations
本文讨论了镜像对称中的两个主要猜想：关于环面纤维化的Strominger-Yau-Zaslow猜想和同调镜像猜想（关于Calabi-Yau流形上的Rakaya范畴与对偶Calabi-Yau流形上相干层的导出范畴的等价性）。我们关于环面纤维化起源的观点是基于坍缩黎曼流形的标准微分几何图像以及共形域论的类似考虑。它似乎给出了一个比用D-膜描述的镜像流形透明得多的描述。并尝试用环面纤维化证明同调镜像猜想。在交换阿贝尔簇的情况下，对于一大类拉格朗日子流形，我们得到了Massey乘积在辛和全纯方面的一个鉴别。在证明中使用的工具是一个混合的起源：不那么经典的莫尔斯理论，同调扰动理论和非阿基米德分析。
Dual torus fibrations and homological mirror symmetry for A_n-singularities
本文研究了不一定紧支撑相干层在A_n-奇点的最小分解下的同调镜像对称性。重点讨论了它与Strominger-Yau-Zaslow猜想的关系。
Lagrangian fibrations on blowups of toric varieties and mirror symmetry for hypersurfaces
从Strominger-Yau-Zaslow（SYZ）猜想的角度考虑（可能是非紧的）复曲面簇中（本质上是任意的）超曲面的镜像对称性。给定复曲面簇$V$中的超曲面$H$，在正性假设下，我们构造了一个Landau-Ginzburg模型，它是$V\times\mathbb{C}$沿$H\times 0$爆破的SYZ镜像.这种构造也产生SYZ镜像到仿射圆锥丛，以及Landau-Ginzburg模型，它可以自然地被看作是$H$的镜像。主要的应用涉及仿射超曲面的一般类型，我们的结果提供了一个几何基础，出现在最近的文献中的各种镜像对称声明。我们也得到类似的结果完全相交。
Degenerations and Lagrangian fibrations of Calabi-Yau manifolds
本文讨论了镜像对称条件下卡-丘流形的退化和特殊的拉格朗日环面纤维化。特别强调的是Tyurin退化和Doran-Harder-Thompson猜想，它建立了镜像对称之间的桥梁卡-丘流形和准法诺流形。这个猜想的证明本身就很有趣，并引导我们到其他一些相关的话题，如SYZ镜像对称，θ函数和几何量子化。受该猜想的启发，我们还提出了一种新的构造Landau-Ginzburg模型的方法，即分裂Calabi-Yau纤维化。
Gross fibrations, SYZ mirror symmetry, and open Gromov-Witten invariants for toric Calabi-Yau orbifolds
对于复曲面Calabi-Yau（CY）orbifold $\mathcal{X}$，其基础复曲面簇是半投射的，我们构造并研究了$\mathcal{X}$上的非复曲面Lagrange环面纤维化，我们称之为Gross纤维化.我们将Strominger-Yau-Zaslow（SYZ）方法应用到$\mathcal{X}$的Gross纤维化中，利用亏格为0的开轨道Gromov-Witten（GW）不变量的瞬子修正来构造它的镜像，GW不变量是$\mathcal{X}$中由Gross纤维化的纤维约束的全纯轨道盘的虚计数.我们明确评估所有这些不变量首先证明一个开放/封闭的平等，然后采用复曲面镜像定理适当的复曲面（部分）紧化$\mathcal{X}$。我们的计算应用于（1）证明了Gross-Siebert关于亏格0开轨道GW不变量与$\mathcal{X}$的镜像映射之间关系的猜想--开镜像定理，它导致镜像映射的计数意义，（2）展示开放性复曲面CY轨道折叠的GW不变量在复曲面可分辨下变化--阮氏可分辨猜想的一个开放模拟。
Family Floer program and non-archimedean SYZ mirror construction
本文基于家族 Floer 理论，用全纯圆盘计数、非阿基米德分析和 $A_\infty$ 同调代数构造含刚性解析空间与超势的镜像 Landau-Ginzburg 模型，并将假设减弱到半正 Lagrangian 纤维化。
Lagrangian 3-torus fibrations
本文给出了一种构造先验给定的具有奇异性的积分仿射流形上的奇异Lagrange 3-环面纤维化的方法，我们称之为简单的。本文的主要结果是证明了M。格罗斯的“拓扑镜像对称”，可以化为辛紧化。作为一个例子，我们得到了一对紧辛6-流形和拉格朗日纤维化，其基础仿射结构是对偶的。所得到的辛流形同胚于光滑五次Calabi-Yau 3-fold及其镜像。
Special Lagrangian fibrations, mirror symmetry and Calabi-Yau double covers
本文的第一部分是对Strominger-Yau-Zaslow猜想在不同背景下的研究进展进行综述。特别地，我们总结了给定一个由Kahler流形和一个反正则因子组成的对（X，D），X-D中的特殊Lagrange环面族和X中的全纯圆盘的加权计数如何被用来建立一个与X镜像的Landau-Ginzburg模型。在第二部分中，我们转向对具有全纯对合的Calabi-Yau流形和它们的对合的更投机的考虑。也就是说，给定一个表示Kahler流形X中的反正则类的两倍的超曲面H，我们试图将X-H上的特殊拉格朗日纤维化和X沿H分支的（Calabi-Yau）双覆盖联系起来;不幸的是，镜像对称的含义还远不清楚。
Family Floer SYZ mirror algorithm for the Grassmannian $Gr(2,4)$
为格拉斯曼流形\(Gr(2,4)\)的朗道 - 金兹堡镜像给出非阿基米德SYZ构造，从A侧拉格朗日纤维化出发，在B侧朗兰兹对偶格拉斯曼流形的贝科维奇解析化中构造镜像纤维化，证明二者相关性质一致。
Fibrations in semi-toric and generalized complex geometry
本文研究自相交边界Lefschetz纤维化与广义复结构的相互作用，利用动量映射与Gompf--Thurston方法构造稳定广义复四流形，并证明连通和相容性与奇点交换结果。
Topological torus fibrations on Calabi--Yau manifolds via Kato--Nakayama spaces
这是一篇关于镜像对称的Gross-Siebert方法及其与Strominger-Yau-Zaslow猜想的相互作用的拓扑学文章。
Lagrangian torus fibration models of Fano threefolds
受格罗斯拓扑镜像对称工作的启发，我们构建了候选拉格朗日环面纤维化模型的105个家庭的光滑Fano三倍。我们证明，在第二个贝蒂数的情况下是一个，每个纤维化的全空间是同胚的预期Fano三倍，并表明，数值不变量一致的所有105。我们的构造依赖于具有奇点的仿射流形的环面退化的概念，并且我们获得的多面体和Fano流形之间的对应与Coates-Corti-Kasprzyk等人的工作中出现的Fano流形的镜像对称是兼容的。
On the reconstruction problem in mirror symmetry
设π：M \ra B是具有奇点的拉格朗日环面纤维化，使得纤维的马斯洛夫指数为零，且无障碍。本文构造了Novikov场上的刚性解析空间M_0^ \chk，它是π的光滑轨迹B_0上对偶环面纤维化的半平坦复结构的变形。通过描述全纯圆盘模空间的跨壁现象的A- \infty同态，得到了M_0^ \chk的转移函数.
The wrapped Fukaya category for semi-toric SYZ fibrations
引入了在无穷远处拉格朗日截面满足驯服性条件的（广义）半环面SYZ纤维化的包裹Donaldson-Gillaya范畴。例子包括复曲面卡-丘3重中反典范除子的补数上的格罗斯纤维化。我们计算了拉格朗日截面的包裹Floer上同调，发现它是Hori-Vafa镜像上的函数代数。后一个结果是证明这种情况下的同调镜像对称性的关键步骤。在这里开发的技术允许在一般的建设包装类的开放卡-丘流形携带SYZ纤维化与良好的行为在无穷远。我们讨论了镜像对称的代数与解析方面的关系。
Categorical mirror symmetry on cohomology for a complex genus 2 curve
受物理学观察的启发，镜像对称是这样的概念，即某些流形成对出现$X$和$Y$，使得$X$上的复杂几何反映了$Y$上的辛几何。它允许人们从$X$的已知复杂性质推导出关于$Y$的辛信息。Strominger-Yau-Zaslow arXiv：hep-th/9606040描述了这种对如何在几何上作为具有相同基底和相关纤维的环面纤维化出现，称为SYZ镜像对称。Kontsevich arXiv：alg-geom/9411018证明了$X$（相干层的有界导出范畴）上的复不变量应该等价于$Y$（类，参见文章摘要中的参考文献）的辛不变量。这就是所谓的同调镜像对称。在这个项目中，我们首先使用“广义SYZ镜”的结构超曲面在环面品种以下Abouzaid-Auroux-Katzarkov arXiv：1205.0053v4，为了获得$X$和$Y$作为流形。复流形是亏格为2的曲线$Σ_2$（因此是一般类型$c_1<0$）作为其雅可比环面中的超曲面。它的广义SYZ镜像是一个Landau-Ginzburg模型$(Y,v_0)$，它带有一个全纯函数$v_0:Y \to \mathbb{C}$，我们在这个全纯函数上构造了一个辛纤维化，然后我们把$D^bCoh(Σ_2)$的一个全子范畴嵌入到$Y$的一个上同调的P-Seidel范畴中，描述为一个辛纤维化.虽然我们的纤维化是第一个非精确的，非莱夫谢茨纤维化配备了一个类，主…
Pseudotoric structures and special Lagrangian torus fibrations on certain flag varieties
我们构造pseudotoric结构（à la Tyurin）的两步旗品种$F\ell_{1, n-1; n}$，并解释pseudotoric结构和特殊的拉格朗日环面纤维化，后者是重要的SYZ镜像对称性的研究之间的一般关系。作为一个应用，我们推测我们的结构如何可以解释的数量在Rietsch的朗道-金斯堡镜的超势。
Quasimap Wall-crossings and Mirror Symmetry
本文给出了GIT映射的ε稳定拟映射的虚类的一个过壁公式，并证明了它在射影空间中的完全交情形下的过壁公式，且其第一类Chern类没有正性限制.由此建立了亏格g后裔Gromov-Witten势与亏格ε-拟映射后裔势之间的跨壁公式。对于五次三重，我们的结果可以解释为给出了严格的几何解释的BCOV B-模型的分拆函数的镜像家庭的全纯极限。
Family Floer mirror space for local SYZ singularities
本文针对带 Gross Lagrangian 纤维化的环面 Calabi-Yau 流形，精确表述并证明含奇异纤维的 SYZ 镜像对应，揭示 Maurer-Cartan 集严格小于对偶奇异纤维。
Homological mirror symmetry of toric Fano surfaces via Morse homotopy
应用SYZ构造于环面Fano曲面，通过考虑矩多面体的Morse同伦而非Fukaya范畴来讨论同调镜像对称。
A note on homological mirror symmetry for singularities of type D
我们证明了Lefschetz纤维化的同调镜像对称性得到的多项式类型A或D的不连通和。这个证明是基于一个D型多项式的加法下的Rupeaya范畴的行为。
Homological mirror symmetry for weighted projective spaces and Morse Homotopy
本文将环面流形上的加权Morse同伦范畴与凝聚层导出范畴的同调镜像对称研究推广至环面轨形，讨论了加权射影空间的对应版本同调镜像对称。
Lagrangian fibrations and theta functions
本文主要研究了阿贝尔簇及其变形虫的投射嵌入的渐近性态。投影嵌入由θ函数给出。已知阿贝尔簇的拉格朗日纤维化确定θ函数的基。从几何量子化和镜像对称的观点考察了这种关系，证明了在适当的意义下，自然环面作用量的矩映射可以近似于阿贝尔簇的拉格朗日纤维化.在最后一节中，我们讨论了更一般的设置的结果的一部分。
On the mirrors of low-degree del Pezzo surfaces
本文比较了度数 $d \leq 3$ 的 del Pezzo 曲面的不同镜像构造，通过提取 Lefschetz 纤维化并利用类曲面伪格理论与突变方法，证明了这些纤维化定义了范畴镜像，并建立了相关 Fukaya-Seidel 范畴的等价性。
Homological Mirror Symmetry for local SYZ singularities
格罗斯和西伯特确定了一类奇异拉格朗日环面纤维化时出现平滑的环形退化，并在成对的镜像对称相关。我们确定了一个沉浸在这些本地模型，支持一个模空间的对象是同构的镜像空间，并证明了一个同调镜像语句的方式。
The Strominger-Yau-Zaslow conjecture: From torus fibrations to degenerations
这篇综述文章从讨论Strominger-Yau-Zaslow猜想的原始形式开始，综述了关于这个猜想的知识状态，并解释了对这个猜想的思考如何自然地导致作者和Bernd Siebert发起的通过Calabi-Yau流形和对数结构的退化来研究镜像对称的计划。
SYZ transforms for immersed Lagrangian multi-sections
本文研究了半平坦拉格朗日环面纤维化上SYZ变换的几何性质。本文的出发点是通过浸入拉格朗日多截面的SYZ变换，研究辛2-环面上一对直线的拉格朗日运算与镜像椭圆曲线上全纯向量丛的扩张之间的关系。这项研究导致我们的一个新的概念之间的等价性的浸入式的范畴的一般紧辛流形$(M, ω)$，沉浸的Floer上同调是不变的，特别是，这提供了一个问题的回答赤穗乔伊斯。进一步，如果$M$允许积分仿射流形上的Lagrange环面纤维化，在一些附加的假设下，我们证明了这种新的等价是通过SYZ变换的对偶环面纤维化上的全纯向量丛之间的同构的镜像.
Singularity categories of normal crossings surfaces, descent, and mirror symmetry
给定一个光滑的3重$Y$，一个线丛$L \to Y$，以及$L$的一个截面$s$，使得$s$的消失轨迹是一个具有图状奇异轨迹的正规交叉曲面$X$，我们提出了一种方法来重建$X$的奇异范畴作为$xyz : \mathbb{A}^{3} \to \mathbb{A}^{1}$的矩阵分解范畴的几个副本的同伦极限（裤子范畴的镜像）.这扩展了我们以前对$L$平凡化的结果。关键技术是矩阵分解范畴的非双周期自等价的分类。我们还提出了一个几何镜的奇异性范畴的Rabinowitz包装的Ganatra-Gao-Venkatesh范畴的某些辛四维流形，并与这个建设的工作Lekili-Ueda和Jeffs。
SYZ mirror symmetry for hypertoric varieties
利用$T$ -对偶和开Gromov-Witten不变量的生成函数，构造了光滑超环面簇和相应SYZ镜像簇上的Lagrange环面纤维化.一般来说，这种变化是单一的。我们使用SYZ基地的墙壁和房间结构构建了一个解决方案。
Constructing local models for Lagrangian torus fibrations
给出了一类仿射簇上具有控制判别轨迹的拉格朗日环面纤维化的构造。特别地，我们以以下方式应用我们的构造。我们发现一个拉格朗日环面纤维化的3倍负顶点，其判别轨迹有余维2，这提供了一个局部模型，寻找环面纤维化的紧凑的卡-丘3倍，余维2判别轨迹。然后，我们发现一个拉格朗日环面纤维化的一个简单的正规交叉因子（满足一定的条件），使纤维化的基础是一个开放的子集的锥上的对偶复杂的因子的一维地层。这可以用来构建一个类似的非阿基米德SYZ纤维构造的Nicaise，徐和余。
Mirror Symmetry and the Strominger-Yau-Zaslow conjecture
这篇调查是为2012年数学会议的当前发展而写的，是我在2005年西雅图会议上发表的文章“Strominger-Yau-Zaslow猜想：从环面纤维化到退化”的更新。我们追溯了SYZ猜想自1996年提出以来的进展和思考。我们从最初的微分几何猜想及其改进开始，并解释它是如何导致我和Siebert开发的代数几何程序的。在解释了整个哲学之后，我解释了最近的结果如何适合这个程序。
Family Floer cohomology and mirror symmetry
Kontsevich-Soibelman和Kontsevich-Soibelman的思想表明，人们可以使用Strominger-Yau-Zaslow的几何方法将镜像对称作为环面对偶来构造配备拉格朗日环面纤维化的辛流形的镜像，作为纤维上支持的Kontsevich-Soibelman范畴的简单对象的模空间。在没有奇异纤维的情况下，在这个框架中解释了反射镜的构造，并且，给定一个拉格朗日子流形，在反射镜上构造了一个（扭曲的）相干层。
Homological mirror symmetry for Brieskorn-Pham singularities
我们证明了由Brieskorn-Pham多项式定义的Lefschetz纤维化的导出类范畴等价于与同一多项式相关联的奇点的三角化范畴以及秩为1的阿贝尔群的分次.辛Picard-Lefschetz理论开发的赛德尔是一个重要组成部分的证明。
Local mirror symmetry via SYZ
本文通过Gross-Hacking-Keel的非环面爆破构造解释Gross-Siebert纲领中基本局部模型的镜像对称，并以此作为通过SYZ纤维化研究仿射簇簇辛几何的纲领的一部分。
Floer cohomology in the mirror of the projective plane and a binodal cubic curve
本文构造了一族Landau-Ginzburg镜像到射影平面的拉格朗日子流形，该平面以一条双节三次曲线为反正则因子。这些对象在镜像对称下对应于扭曲层O（1）的幂，因此它们的弗洛尔上同调群形成同构于齐次坐标环的代数。一个有趣的特点是存在一个奇异环面纤维的镜子，其中的拉格朗日部分。Floer上同调的代数结构是通过计算Lefschetz纤维化的截面来计算的。我们的结果与Abouzaid-Gross-Siebert提出的热带模拟一致。讨论了反正则因子的分量的补的镜像的推广。
Mirror Theorem for Elliptic Quasimap Invariants
提出并证明了射影空间中光滑Calabi-Yau完全交的椭圆拟映射不变量的镜像定理。该定理与文献（arXiv：1308.6377）中出现的穿墙公式相结合，对这些簇的椭圆Gromov-Witten不变量，给出了Zinger和Popa的镜像定理。本文和跨壁公式为有理和椭圆Gromov-Witten不变量的镜像理论提供了一个统一的框架。
Symplectic invariants of some families of Lagrangian T^3 fibrations
本文构造了具有指定拓扑型奇异纤维的非紧辛流形上的Lagrange T^3-纤维化，并对其进行了分类。这有助于理解可能出现在T^3-双折射卡-丘3-折叠镜像对上的奇异纤维的结构。
Family Floer SYZ singularities for the conifold transition
该研究在族Floer语境下证明了锥面过渡SYZ猜想的数学精确版本，明确写出奇异T对偶纤维并证实其与镜像簇代数簇缺失点的对应关系，还提供了Berkovich几何中仿射环面纤维化的新例子。
Closed string mirrors of symplectic cluster manifolds
本文研究四维辛簇流形上节点 Lagrangian 环面纤维化的相对辛上同调层，证明其对应于典范构造的刚性解析闭弦镜像，并推广公理化计算方法。
Comparison of mirror functors of elliptic curves via LG/CY correspondence
Polishchuk-Zaslow通过Lagrange环面纤维化解释了辛环面的Veskaya范畴与椭圆曲线的相干层范畴之间的同调镜像对称性。最近，Cho-Hong-Lau利用局部镜像函子证明了同调镜像对称性，其目标范畴由分次矩阵分解给出。我们发现这两种方法之间有明确的关系。
Semi-global invariants of piecewise smooth Lagrangian fibrations
本文研究光滑辛流形的某些类型的分片光滑拉格朗日纤维化，我们称之为缝合拉格朗日纤维化。我们将经典的作用角坐标理论扩展到这些纤维化，通过将非光滑性信息编码到某些不变量中，大致由一系列封闭的1-形式的环面组成。这项工作的主要动机是由作者以前构造的分段光滑拉格朗日纤维化给出的（在一些分段光滑拉格朗日纤维化中，http：//martariomatematico.dm.unito.it/rendiconti/63-3.html），它与M.格罗斯在他的论文“拓扑镜像对称”，http://arxiv.org/abs/math.AG/9909015.
On homological mirror symmetry of toric Calabi-Yau three-folds
利用复曲面Calabi-Yau三重曲面$\check X$的镜像$X$上的拉格朗日环面纤维化构造了$X$上的拉格朗日截面和各种拉格朗日球面。然后，我们提出了一个明确的对应关系的部分和线丛之间的$\check X$和球面和层支持的复曲面因子的$\check X$。我们猜想，这些对应导致嵌入的相关派生范畴的$X$内的派生范畴的相干层$\check X$。
Homological mirror symmetry for toric orbifolds of toric del Pezzo surfaces
用相容二聚体模型和其上的完美匹配对来描述由二元Laurent多项式定义的正合Lefschetz纤维化的Czenaya范畴，并在某些情况下证明了这一猜想，作为推论，得到了环面的有限子群的环面del Pezzo曲面的商栈的同调镜像对称性.
Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: Vanishing cycles and coherent sheaves
研究了DelPezzo曲面及其镜像Landau-Ginzburg模型的同调镜像对称性。特别地，我们证明了通过在k点上爆破CP ^2得到的Del Pezzo曲面X_k上的相干层的导出范畴等价于具有k+3个奇异纤维的椭圆纤维化W_k：M_k \to \C的消失圈的导出范畴，并具有适当的辛形式。此外，我们还证明了导出范畴之间的镜像对应可以推广到X_k的非对易变形，并给出了X_k的变形参数与上同调类[B+iω] \in H ^2（M_k，C）之间的显式对应.
Ribbon Graphs and Mirror Symmetry I
给定一个具有额外结构的带状图$Γ$，我们利用可构造层定义了一个dg范畴$CPM(Γ)$，用来模拟由$Γ.$描述的Teichmüller空间的胞元中的黎曼曲面的dg范畴。当$Γ$被适当地修饰并允许组合的“带截面的环面纤维化”时，我们从$Γ$构造了一个具有环面分量的一维代数栈$\widetilde{X}_Γ$。证明了该模型等价于$\widetilde{X}_Γ$上完全复形的dg范畴$Perf(\widetilde{X}_Γ)$.
Homological mirror symmetry for log Calabi-Yau surfaces
本文针对具有极大边界的对数 Calabi-Yau 曲面构造镜像 Lefschetz 纤维化，建立有向与缠绕 Fukaya 范畴同相干层范畴的显式同构，并与 Gross-Hacking-Keel 的 almost-toric 纤维化及已有镜像势构造相匹配。
Homological mirror symmetry for orbifold log Calabi-Yau surfaces
本文在大复结构极限下证明了轨道对数卡拉比-亚多夫表面的同调镜像对称，通过构造与每对（X,D）相关的抽象Lefschetz纤维，其中X是具有孤立环形商点的射影有理面，D是一个堆叠反 canonical 分子。此外，作者还通过一个由轨道del Pezzo表面组成的例子，将抽象构造与显式Laurent多项式镜像联系起来。
Homological mirror symmetry without corrections
设$X$是一个在基$Q$上具有Lagrange环面纤维化的闭辛流形.首先由Kontsevich和Soibelman考虑的一个构造从这些数据产生了一个刚性解析空间$Y$，它可以被认为是Strominger，Yau和Zaslow引入的$T$ -对偶的一个变体。我们证明了在$π_2(Q)$为零的技术假设下（所有已知的例子都满足这个假设），$X$中重言式无障碍分次拉格朗日量的Pegasaya范畴完全忠实地嵌入到$Y$上的（扭曲）相干层的导出范畴中.主要的新工具是建设和计算的Floer上同调群的拉格朗日纤维配备了拓扑无限秩的本地系统，对应的镜像对称下，仿射环介绍泰特，配备其自然拓扑结构的巴拿赫代数。
Homological mirror symmetry for hypersurface cusp singularities
我们研究了超曲面尖点奇点和三个超曲面简单椭圆奇点的同调镜像对称。我们表明，这些进行了杰出的Lefschetz纤维化的米尔诺纤维，其派生的有向类是等价的导出范畴相干层光滑的理性表面$Y_{p,q,r}$。利用两侧的局部化技巧，我们得到了Milnor纤维的导出包裹层范畴与从$Y_{p,q,r}$中删除一个反典范除子$D$所给出的拟投射曲面上的导出凝聚层范畴之间的同构.在尖点的情况下，对$(Y_{p,q,r}, D)$自然地与对偶尖点奇点联系在一起，与格罗斯、哈金和基尔对卢坚加猜想的证明联系在一起。
Convergence of Hermitian-Yang-Mills Connections on Kähler Surfaces and mirror symmetry
本文的目的是展示一个自然的构造复几何和辛几何的镜像对称的思想。设给定一族二维Kähler环面对及其上的稳定全纯向量丛$(\hat M_{\ep}, E_{\ep})$，\ep \in（0，1] $, and each has structure of a Lagrangian torus fibration $ π：\hat M_{\ep} \to B $ whose fibers are of diameter $ O（\ep）$, and let $ A_{\ep} $ be a family of hermitian Yang-Mills(HYM) connections on $ E_{\ep} $. As $ \ep $ goes to zero, $ A_{\ep} $ will, modulo possible bubbles, converge to a connection which is flat on each fiber. Since each fiber is a torus, limit connection will determine elements of the dual torus, which are points of the fiber of the mirror $ M_1$.这些点聚集在一起构成（特殊的）拉格朗日簇。
Homological mirror symmetry and Fourier-Mukai transform
通过构造弯曲的A_ \infty代数的层，将辛几何解释为某种层理论，在某种意义上，该层起着辛流形的“结构层”的作用.这个“结构层”的一个有趣的特征是辛形式本身是它的曲率项的一部分。使用这种解释，同调镜像对称可以通过数学中著名的对偶理论来理解：Koszul对偶或傅立叶-向井变换。在本文中，我们执行上述结构的一个小的开子集内的光滑轨迹的拉格朗日环面纤维化。在随后的工作中，我们将使用派生几何的语言来获得整个光滑轨迹的整体理论。然而，我们不知道如何将这种构造推广到奇异轨迹。作为局部理论的应用，我们证明了复曲面辛流形与其Landau-Ginzburg镜像之间的同调镜像对称性。
Open FJRW Theory and Mirror Symmetry
该研究为特定LG模型构建开放枚举理论，通过定义不变量生成函数得到镜像LG模型及泛变分，证明二维LG/LG开放镜像对称定理，指出开放不变量依赖边界条件且有壁穿越现象，还描述了壁穿越群。
From Special Lagrangian to Hermitian-Yang-Mills via Fourier-Mukai Transform
我们给出了一个变换，把Calabi-Yau的特殊拉格朗日子流形和局部系统一起变换成镜像流形上的向量丛，其连接服从变形的Hermitian-Yang-Mills方程。也就是说，变换涉及超对称A-圈和B-圈。在本文中，我们假设镜像对是具有平坦环面的对偶环面纤维化，并且A-圈是一个截面。我们还表明，这种变换保持（全纯）陈-西蒙斯功能的所有连接。进而，在超对称圈的模空间上，证明了分次切空间和全纯m-形式。特别是，我们验证了Vafa的镜像猜想与束在这种特殊情况下。
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