A Proof of the Göttsche-Yau-Zaslow Formula
设S是复光滑射影曲面，L是S上的线丛. Göttsche证明了对任意整数r，当L充分充裕时，|L|中的r-节点曲线的个数是四个拓扑数的泛多项式.利用曲面上线丛的代数配边群和点的Hilbert概型的退化证明了Göttsche猜想.此外，我们还证明了用拟模形式和两个未知级数来表示节线数的母函数的Göttsche-Yau-Zaslow公式。
2010-11-01 math.AG
Lagrangian torus fibrations and homological mirror symmetry for the conifold
本文从Strominger-Yau-Zaslow猜想的角度讨论了锥的同调镜像对称性。
2016-01-07 math.AG math.SG
Remarks on mirror symmetry of Donaldson-Thomas theory for Calabi-Yau 4-folds
受Strominger-Yau-Zaslow的镜像对称假设和Kontsevich的同调镜像对称猜想的启发，我们研究了Donaldson-Thomas理论中关于Calabi-Yau 4-折叠的某些结果的镜像现象（在A模型中）.
2015-06-13 math-ph math.AG math.DG
On the structure of supersymmetric T3 fibrations
我们对Calabi-Yau三重超对称T3纤维化的存在性和结构进行了精确的描述，并描述了这些超对称纤维化是如何产生Strominger-Yau-Zaslow镜像对称的。
2010-04-05 math.AG
Topological Mirror Symmetry
本文主要讨论Strominger-Yau-Zaslow镜像对称猜想的一个拓扑形式。粗略地说，SYZ猜想表明，卡-丘流形的镜像对通过对偶特殊拉格朗日环面纤维化的存在而联系起来。我们探讨这个猜想没有参考特殊的拉格朗日条件。在这种情况下，自然的问题包括：是否存在一个很好的T^3纤维化类，可以为它构造对偶纤维化？这样的纤维化是否存在于五次三重流形上？如果是这样的话，双纤维化是镜子吗？我们肯定地回答这些问题。我们引入了一类拓扑T^3-纤维化，它可以被构造出包含奇异纤维的拓扑T^3-纤维化。然后，我们构建这样的纤维化的五次三倍，并表明，通过应用这个一般的对偶结构，这个特殊的情况下，得到镜像五次。因此，我们构造了镜像五次拓扑没有先验知识的镜子。这表明，在非简并（和代表性）的情况下，斯特罗明格-丘-扎斯洛猜想正确地解释了镜像对称。
1999-11-03 math.AG math.DG
Fibrations by Lagrangian tori for maximal Calabi-Yau degenerations and beyond
IKERBASQUE, Basque Foundation for Science（伊克尔巴斯克，巴斯克科学基金会）；BCAM, Basque Center for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）；UPV/EHU（巴斯克大学）；University of Warsaw, Faculty of Mathematics, Informatics and Mechanics（华沙大学数学、信息学和机械学院）；Jagiellonian University, Faculty of Mathematics and Computer Science（雅盖隆大学数学与计算机科学学院）
介绍在凯勒流形退化中构造拉格朗日环面纤维化的通用技术，该技术利用阿坎波空间边界及辛联络，证明极大卡拉比 - 丘退化附近纤维一般区域有符合期望渐近性质的拉格朗日环面纤维化。
2026-07-13 math.AG math.SG
Homological mirror symmetry of toric Fano surfaces via Morse homotopy
Chiba University（千叶大学）
应用SYZ构造于环面Fano曲面，通过考虑矩多面体的Morse同伦而非Fukaya范畴来讨论同调镜像对称。
2026-05-22 math.AG math.DG math.SG
Special Lagrangian torus fibrations of complete intersection Calabi-Yau manifolds: a geometric conjecture
对于复曲面簇中的完全相交的Calabi-Yau流形，Gross和Haase-Zharkov给出了一个特殊的Lagrange环面纤维化的几何组合描述，Strominger，Yau和Zaslow预言了这种纤维化的存在性。我们提出了一个几何版本的建设，推广了较早的猜想的第一作者。
2015-04-30 hep-th math.AG
SYZ mirror symmetry from Witten-Morse theory
本文综述了对Strominger-Yau-Zaslow（SYZ）镜像对称猜想的理解，特别是量子修正的影响，通过Witten-莫尔斯理论，利用由Shakaya首先描述的程序，得到了微分几何运算（如微分形式的楔积和Kodaira-Spencer复形的Lie括号）与组合结构之间的显式关系，例如莫尔斯$A_\infty$结构和散射图。
2018-11-22 math.AG math.DG math.SG
Lagrangian Tori Fibration of Toric Calabi-Yau manifold III: Symplectic topological SYZ mirror construction for general quintics
本文利用梯度流方法构造了一般五次\cy超曲面在大极限附近的Lagrange环面纤维化及其镜像流形。然后证明了这类\cy流形在辛范畴中的Strominger-Yau-Zaslow镜像猜想。
2004-11-11 math.AG math.DG
Affine manifolds, log structures, and mirror symmetry
这是一个大纲的工作进展有关代数几何形式的斯特罗明格-丘-扎斯洛猜想。我们引入了一种有限类型的退化的卡-丘流形，我们称之为环面退化。对于这些，退化纤维是沿着复曲面地层相遇的复曲面变体的联合。此外，全空间必须在某个奇异集之外看起来是局部环面的。这是阿贝尔簇的Mumford型退化和复曲面簇的Calabi-Yau超曲面退化的推广。从这样的退化，我们构造了一个对偶交图以及一个奇异仿射结构。我们还解释了如何扭转这一过程，使用对数结构。然后，我们使用离散勒让德变换这些仿射流形恢复镜像对称。最后，我们讨论了这种结构和SYZ的更经典的形式之间的关系。这里提出的想法的细节将出现在其他地方。
2003-03-18 math.AG
Recent progress on SYZ mirror symmetry for some non-compact Calabi-Yau surfaces
本文综述了作者近期的工作，并与A。Jacob，on Strominger-Yau-Zaslow mirror symmetry for rational elliptical surfaces and del Pezzo surfaces.我们讨论了一些应用，包括$ALH^*$引力瞬子的Torelli定理，并解释了我们的结果如何被用来证明所有的$ALH^*$引力瞬子都可以被紧化为弱的del Pezzo曲面，恢复了Hein-Sun-Viaclovsky-Zhang最近的结果。
2022-08-30 math.AG math.DG
Survey on the metric SYZ conjecture and non-archimedean geometry
我们调查的度量方面的Strominger-Yau-Zaslow猜想存在的特殊拉格朗日纤维化的Calabi-Yau流形附近的大复结构限制。我们将讨论不同的动机，对自然的图片，什么是最好的希望，以及一些微妙之处。调查的大部分内容强调了多能理论的作用，特别是非阿基米德几何学，并列出了一系列悬而未决的问题。
2022-04-24 math.AG math.DG
Special Lagrangian Fibrations II: Geometry
我们继续研究Strominger-Yau-Zaslow镜像对称猜想。粗略地说，这说明如果两个卡-丘流形X和Y是镜像伙伴，那么X和Y有特殊的拉格朗日环面纤维化，它们彼此对偶。关于这个猜想的许多工作必然是投机性质的，因为在3维中，如何构造这样的纤维化仍然是一个非常困难的问题。然而，假设存在这种纤维化，人们可以证明许多事情。本文件涉及若干问题。首先，它应用完全可积的哈密顿系统理论的结果来理解这种纤维化的几何学的某些方面。从这一点，使用合理的正则性假设的纤维化，可以理解如何上同调的对偶纤维化。然后，我们研究的问题是如何，给定一个这样的纤维化，一个将把一个辛和复结构的双重纤维化，推广工作希钦。虽然这一问题在现阶段无法回答，但这些结果应能让我们深入了解问题的本质。我们总结了这些想法在一个完善的版本Strominger-Yau-Zaslow猜想。最后，为了证明这一猜想，我们证明它明确的K3曲面。人们发现一个镜像对称的K3曲面的建设，不需要使用Torelli定理，是更多的微分几何性质比以前的建设。
1999-02-25 math.AG math.DG
Integral affine structures on spheres and torus fibrations of Calabi-Yau toric hypersurfaces I
我们用纯组合的术语描述了球面上的积分仿射结构的对偶对，它们来自于Calabi-Yau复曲面的镜像族的几何度量坍缩。同样的结构出现在一个特殊的拉格朗日环面纤维化的Strominger-Yau-Zaslow猜想的基础上。我们研究了大复结构极限下的拓扑环面纤维化，并证明了它与我们的组合模型是一致的。
2002-05-30 math.AG math.CO
Mirror symmetry on K3 surfaces as a hyperkaehler rotation
我们表明，在Strominger，Yau和Zaslow的论文的假设下，一个镜像合作伙伴的K3表面$X$纤维化在特殊的拉格朗日环面可以通过旋转的复杂结构的$X$在其hyperkähler家庭的复杂结构。同样的假设迫使B场消失。
1998-05-22 hep-th math-ph math.AG
Mirror Symmetry via Logarithmic Degeneration Data I
本文是我们在数学AG/0211094中宣布的项目“仿射流形，对数结构和镜像对称”中的第一篇论文。“我们的目标是通过研究Illusie-Fontaine和Kato关于Calabi-Yau流形退化的对数结构来研究镜像对称。其基本思想是，我们可以将某些类型的退化卡-丘流形与对数卡-丘空间联系起来，对数卡-丘空间是退化纤维上的对数结构。然后许多关于镜像对称的陈述，人们希望是真实的一般纤维应首先证明这个日志CY空间。本文首先讨论具有奇点的仿射流形。给定这样一个仿射流形以及多面体分解，我们将展示如何构建一个计划，包括一个联盟的复曲面品种。在某些非退化的情况下，我们也可以在这些方案上构造对数结构。反之，给定某种退化，可以在退化的对偶交复形上构造具有奇点结构的仿射流形。镜像对称，然后获得这些仿射流形上的离散勒让德变换，从而提供了代数几何的Strominger-丘-Zaslow猜想。本文最深层次的结果表明了log CY空间的log复模与其镜像的log Kahler模之间的同构。
2005-07-20 math.AG math.DG
Examples of Special Lagrangian Fibrations
我们探讨了一些特殊的拉格朗日纤维化的非紧卡-丘流形不变下环面行动的例子。这些包括纤维化的crepant决议的典型复曲面奇点（已经发现的戈尔茨坦），适当的版本，这些纤维化，和纤维化的平坦变形的典型复曲面奇点。我们这样做的目的是为了了解这种纤维化的全球结构和判别位点。本文最后提出了一些关于局部镜像对称性的推测，以及这项工作与W. D. Ruan和D. Joyce.在最后一节中，我们根据我和威尔逊、孔采维奇和索贝尔曼以及乔伊斯最近的一些想法，讨论了斯特罗明格-丘-扎斯洛猜想的哲学。
2001-01-04 math.AG math.DG
Torus fibrations, gerbes, and duality
设X是光滑基B上的光滑椭圆纤维化。在适度的假设下，我们建立了两个对象的导出范畴之间的Fourier-Mukai等价，每个对象都是亏格1纤维化上的O^* gerbe，该纤维化是X的扭曲形式。格贝和扭曲的角色被我们的二元性互换了。我们陈述一个一般的猜想，扩展到允许奇异纤维，我们证明了猜想时，X是一个表面。对偶推广到全模群的作用。这种对偶性与斯特罗明格-丘-扎斯洛镜像对称、扭曲层和非对易几何有关。
2004-11-30 hep-th math.AG math.DG
The enumerative geometry of K3 surfaces and modular forms
本文证明了Yau-Zaslow和Gottsche关于K3曲面上的数曲线的定理。具体地说，设X是一个K3曲面，C是X中的一条全纯曲线，表示一个本原同调类。对任意满足C^2=2g+2n-2的g和n，在线性系统|C|中，计算了通过X中g个类属点的n个节点的几何亏格g的曲线个数.当g=0时，这与Yau和Zaslow研究的计数问题相吻合，他们获得了数字的生成函数。最近，Gottsche将他们的猜想推广到任意g的拟模形式。我们证明这些公式使用Gromov-Witten不变量的家庭，退化参数，和一个障碍束计算。我们的方法也适用于在9点处爆破的P^2，其中我们证明了亏格g约束到g点的普通Gromov-Witten不变量也以拟模形式给出。
1997-11-24 alg-geom hep-th math.AG
Collapsing of abelian fibred Calabi-Yau manifolds
本文研究了当纤维体积趋于零时，投射的卡-丘流形上的Ricci-平坦Kahler度量的坍缩行为。我们发现，远离纤维化的临界轨迹的度量崩溃与局部有界曲率，并沿纤维的重新缩放的度量变得平坦的限制。基上的极限度量减去临界轨迹局部等距于Ricci平坦度量的任何Gromov-Hausdorff极限空间的开稠密子集。然后，我们应用这些结果来研究家庭的极化超kahler流形在大复结构限制的度量退化。在这种情况下，我们证明了一个类似的结果Gross-Wilson的K3曲面，这是由斯特劳明格-丘-Zaslow图片的镜像对称的动机。
2012-07-13 math.AG math.DG
Homological mirror symmetry and torus fibrations
本文讨论了镜像对称中的两个主要猜想：关于环面纤维化的Strominger-Yau-Zaslow猜想和同调镜像猜想（关于Calabi-Yau流形上的Rakaya范畴与对偶Calabi-Yau流形上相干层的导出范畴的等价性）。我们关于环面纤维化起源的观点是基于坍缩黎曼流形的标准微分几何图像以及共形域论的类似考虑。它似乎给出了一个比用D-膜描述的镜像流形透明得多的描述。并尝试用环面纤维化证明同调镜像猜想。在交换阿贝尔簇的情况下，对于一大类拉格朗日子流形，我们得到了Massey乘积在辛和全纯方面的一个鉴别。在证明中使用的工具是一个混合的起源：不那么经典的莫尔斯理论，同调扰动理论和非阿基米德分析。
2001-06-04 hep-th math-ph math.AG
Gross fibrations, SYZ mirror symmetry, and open Gromov-Witten invariants for toric Calabi-Yau orbifolds
对于复曲面Calabi-Yau（CY）orbifold $\mathcal{X}$，其基础复曲面簇是半投射的，我们构造并研究了$\mathcal{X}$上的非复曲面Lagrange环面纤维化，我们称之为Gross纤维化.我们将Strominger-Yau-Zaslow（SYZ）方法应用到$\mathcal{X}$的Gross纤维化中，利用亏格为0的开轨道Gromov-Witten（GW）不变量的瞬子修正来构造它的镜像，GW不变量是$\mathcal{X}$中由Gross纤维化的纤维约束的全纯轨道盘的虚计数.我们明确评估所有这些不变量首先证明一个开放/封闭的平等，然后采用复曲面镜像定理适当的复曲面（部分）紧化$\mathcal{X}$。我们的计算应用于（1）证明了Gross-Siebert关于亏格0开轨道GW不变量与$\mathcal{X}$的镜像映射之间关系的猜想--开镜像定理，它导致镜像映射的计数意义，（2）展示开放性复曲面CY轨道折叠的GW不变量在复曲面可分辨下变化--阮氏可分辨猜想的一个开放模拟。
2015-04-01 math-ph math.AG math.MP
Large Complex Structure Limits of K3 Surfaces
受Strominger、Yau和Zaslow提出的镜像对称图像的启发，我们提出了一个关于Calabi-Yau n重（具有Ricci平坦Kähler度量）的Gromov-Hausdorff极限的猜想，当一个人接近模中的一个大的复杂结构极限点时;类似的猜想由Kontsevich、Soibelman和Todorov独立提出。粗略地说，该猜想说，如果度量被归一化为具有恒定直径，则该极限是与大的复杂结构极限（即n-球）相关联的几何特殊拉格朗日环面纤维化的基础，并且该S ^n上的度量是从标准的（奇异）基上的黎曼度量，度量的奇异性对应于纤维化的判别轨迹。这个猜想是平凡的椭圆曲线，在本文中，我们证明它的情况下，K3曲面。利用K3曲面镜像对称的标准描述和超凯勒旋转技巧，我们将问题简化为研究椭圆K3曲面的凯勒退化问题，凯勒类接近凯勒锥的壁，对应于纤维化和体积归一化为1。在这里，我们能够写出一个非常精确的近似Ricci平坦度规-如果椭圆纤维的面积为$ε>0$，那么对于某个常数$C>0$，误差为$O(e^{-C/ε})$。这个度量是通过将纤维化的光滑部分上的半平坦度量与奇异纤维附近的合适的Ooguri-Vafa度量粘合在一起而获得的。对于小$ε$，这是一个足够好的近似，上面的猜想是一个简单的结果。
2001-04-03 math.AG math.DG
Special Lagrangian Fibrations I: Topology
1996年，Strominger，Yau和Zaslow提出了一个关于两个镜像Calabi-Yau流形之间几何关系的猜想。粗略地说，如果X和Y是这样的流形的镜像对，那么X应该具有一个特殊的拉格朗日环面纤维化$f:X\to B$，使得Y是通过对偶纤维化f得到的。这就留下了大量的工作要做，以核实这种假设。本文采用一种推测的观点，即假定X上存在一种特殊的拉格朗日环面纤维化。我们解决了一些问题的拓扑性质：什么是X的上同调和上同调的对偶纤维化之间的关系？f的勒雷谱序列包含什么信息？f的对偶的拓扑（1，1）耦合与X的（1，n-1）-耦合在大复结构极限下有什么关系？这些问题都有很好的答案，如果一个关键的猜想，monodromy同胚关于一个大的复杂结构的极限点成立。粗略地说，这个猜想说，关于一个大的复杂结构极限点的单值性可以被描述为椭圆曲线的Dehn扭曲的一个非常自然的推广。给出这个猜想，我们证明了X上（1，n-1）耦合的大复半径极限与Y上拓扑（1，1）耦合的大复半径极限一致，并且当dim X=3时，混合Hodge结构的Leray滤子与权滤子一致，这是我和P.M.H. Wilson和D.莫里森
1997-10-06 alg-geom hep-th math.AG
The SYZ mirror symmetry conjecture for del Pezzo surfaces and rational elliptic surfaces
本文证明了 del Pezzo 曲面与有理椭圆曲面在非紧 Calabi-Yau 情形下的 SYZ 镜像对称猜想，通过建立度量存在性、唯一性及特殊拉格朗日纤维化定理，构造了镜像映射并验证了 $T$-对偶性。
2024-06-05 math.AG math.DG
