del Pezzo 曲面与有理椭圆曲面的 SYZ 镜像对称猜想
The SYZ mirror symmetry conjecture for del Pezzo surfaces and rational elliptic surfaces
AI总结：
本文证明了 del Pezzo 曲面与有理椭圆曲面在非紧 Calabi-Yau 情形下的 SYZ 镜像对称猜想，通过建立度量存在性、唯一性及特殊拉格朗日纤维化定理，构造了镜像映射并验证了 $T$-对偶性。
摘要：
我们证明了 Strominger-Yau-Zaslow 镜像对称猜想的一个版本，适用于非紧 Calabi-Yau 曲面，该曲面一方面源于 del Pezzo 曲面 $\check{Y}$ 与作为光滑反典范除子的 $\check{D}$ 组成的对 $(\check{Y},\check{D})$，另一方面源于有理椭圆曲面 $Y$ 与作为 Kodaira 类型 $I_k$ 奇异纤维的 $D$ 组成的对 $(Y,D)$。关于后者 $(Y,D)$，确立了三个主要结果。首先，借鉴 Hein 的工作，我们证明了在 $Y\setminus D$ 上存在一个完备的 Calabi-Yau 度量，在每个 Kähler 类中渐近于一个（通常是非标准的）半平坦度量。其次，我们证明了一个唯一性定理，即模自同构，$Y\setminus D$ 上的每个 Kähler 类都允许唯一的渐近半平坦 Calabi-Yau 度量。该结果产生了一个有限维的 $Y\setminus D$ 上 Calabi-Yau 度量的 Kähler 模空间。此外，该结果在此设定下回答了 Tian-Yau 和 Yau 的问题。第三，基于作者先前的工作，我们证明了配备渐近半平坦 Calabi-Yau 度量 $ω_{CY}$ 的 $Y\setminus D$，只要 $ω_{CY}$ 的 de Rham 上同调类不受拓扑阻碍，就允许特殊拉格朗日纤维化。结合这些结果，我们定义了一个从 del Pezzo 对 $(\check{Y}, \check{D})$ 的模空间到 $(Y,D)$ 的复化 Kähler 模的镜像映射，并证明了 $(Y,D)$ 上的特殊拉格朗日纤维化 $T$-对偶于作者先前构造的 $(\check{Y}, \check{D})$ 上的特殊拉格朗日纤维化。我们给出了这些结果的一些应用，包括对固定反典范除子的 del Pezzo 曲面自同构的研究。
英文摘要：
We prove a version of the Strominger-Yau-Zaslow mirror symmetry conjecture for non-compact Calabi-Yau surfaces arising from, on the one hand, pairs $(\check{Y},\check{D})$ of a del Pezzo surface $\check{Y}$ and $\check{D}$ a smooth anti-canonical divisor and, on the other hand, pairs $(Y,D)$ of a rational elliptic surface $Y$, and $D$ a singular fiber of Kodaira type $I_k$. Three main results are established concerning the latter pairs $(Y,D)$. First, adapting work of Hein \cite{Hein}, we prove the existence of a complete Calabi-Yau metric on $Y\setminus D$ asymptotic to a (generically non-standard) semi-flat metric in every Kähler class. Secondly, we prove a uniqueness theorem to the effect that, modulo automorphisms, every Kähler class on $Y\setminus D$ admits a unique asymptotically semi-flat Calabi-Yau metric. This result yields a finite dimensional Kähler moduli space of Calabi-Yau metrics on $Y\setminus D$. Further, this result answers, in this setting, questions of Tian-Yau and Yau. Thirdly, building on the authors' previous work, we prove that $Y\setminus D$ equipped with an asymptotically semi-flat Calabi-Yau metric $ω_{CY}$ admits a special Lagrangian fibration whenever the de Rham cohomology class of $ω_{CY}$ is not topologically obstructed. Combining these results we define a mirror map from the moduli space of del Pezzo pairs $(\check{Y}, \check{D})$ to the complexified Kähler moduli of $(Y,D)$ and prove that the special Lagrangian fibration on $(Y,D)$ is $T$-dual to the special Lagrangian fibration on $(\check{Y}, \check{D})$ previously constructed by the authors. We give some applications of these results, including to the study of automorphisms of del Pezzo surfaces fixing an anti-canonical divisor.
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