Homological mirror symmetry of toric Fano surfaces via Morse homotopy
Chiba University（千叶大学）
应用SYZ构造于环面Fano曲面，通过考虑矩多面体的Morse同伦而非Fukaya范畴来讨论同调镜像对称。
2026-05-22 math.AG math.DG math.SG
The Chen-Ruan Cohomology Ring of Mirror Quintic
本文计算了四维射影空间中光滑五次超曲面的Batyrev镜像轨道折叠的Chen-Ruan轨道折叠上同调环。我们通过使用周期的黎曼双线性关系来确定这个例子的障碍丛。我们概述了一个一般的方法来计算的Calabi-Yau超曲面在投射单纯复曲面簇的陈阮环，模猜想，黎曼双线性关系是足够的，以确定任何复杂的orbifold的障碍丛。
2002-10-12 math.AG math.DG
Topological Mirror Symmetry
本文主要讨论Strominger-Yau-Zaslow镜像对称猜想的一个拓扑形式。粗略地说，SYZ猜想表明，卡-丘流形的镜像对通过对偶特殊拉格朗日环面纤维化的存在而联系起来。我们探讨这个猜想没有参考特殊的拉格朗日条件。在这种情况下，自然的问题包括：是否存在一个很好的T^3纤维化类，可以为它构造对偶纤维化？这样的纤维化是否存在于五次三重流形上？如果是这样的话，双纤维化是镜子吗？我们肯定地回答这些问题。我们引入了一类拓扑T^3-纤维化，它可以被构造出包含奇异纤维的拓扑T^3-纤维化。然后，我们构建这样的纤维化的五次三倍，并表明，通过应用这个一般的对偶结构，这个特殊的情况下，得到镜像五次。因此，我们构造了镜像五次拓扑没有先验知识的镜子。这表明，在非简并（和代表性）的情况下，斯特罗明格-丘-扎斯洛猜想正确地解释了镜像对称。
1999-11-03 math.AG math.DG
SYZ Mirror Symmetry for Dirichlet Branes
在这篇论文中，我们研究了复曲面Calabi-Yau流形的一类特殊的拉格朗日子流形，并利用SYZ程序中的一些技巧构造了它们的镜像。本文证明了Aganagic-Vafa [2]中关于D-膜镜像构造的猜想。我们应用Chan-Lau-Leung [8]和Chan [6]中使用的技术，给出了D-膜的SYZ镜像构造。最近，Chan-Lau-Leung [8]给出了复曲面Calabi-Yau流形作为复代数簇的显式镜像构造。受Leung-Yau-Zaslow[29]中D-膜的SYZ变换的启发，Chan[6]定义了更大类拉格朗日子空间的广义镜像构造，这对我们的情况很重要。结果表明，需要对拉格朗日子空间的SYZ变换进行进一步的量子校正，以恢复物理学家在Ooguri-Vafa [34]中对全纯圆盘计数的镜像预测。与物理学家对Aganagic-Vafa镜膜的预言相比，这种朴素的SYZ变换与预言不符。主要原因在于SYZ变换不能捕获A膜的开Gromov-Witten不变量。通过Aganagic-Vafa A-膜的特殊情况，我们能够修改SYZ变换，其中涉及使用A-膜的圆盘计数的进一步量子校正。然而，目前还不知道这种修改的SYZ变换如何构造和工作。我们相信，在这里考虑的特殊情况下的显式公式和计算可以为SYZ程序今后的发展提供一般正确修改的提示。
2016-12-30 math.AG math.DG math.SG
On a noncommutative deformation of holomorphic line bundles on complex tori and the SYZ transform
University of Teacher Education Fukuoka（福冈教育大学）
本文研究复流形上的非交换变形及SYZ变换，扩展了非交换线丛构造并探讨其镜像对偶对象。
2026-03-07 hep-th math.DG
Tropically constructed Lagrangians in mirror quintic threefolds
利用热带曲线和环面退化技术构造了大量的Calabi-Yau三重闭嵌入拉格朗日有理同调球面。我们将这种构造应用于从五次Calabi-Yau三重上的2875条线获得的热带曲线。每一个容许的热带曲线给出了相应的镜像五次三倍和不相交曲线的拉格朗日有理同调球给成对同源，但非哈密顿同位素拉格朗日。我们检查一个例子，$>300$相互不相交的曲线（因此拉格朗日）出现。我们表明，这些拉格朗日方程的权重等于相应的热带曲线的重数。
2020-10-11 math.AG math.DG math.SG
Family Floer mirror space for local SYZ singularities
本文针对带 Gross Lagrangian 纤维化的环面 Calabi-Yau 流形，精确表述并证明含奇异纤维的 SYZ 镜像对应，揭示 Maurer-Cartan 集严格小于对偶奇异纤维。
2024-10-22 math.AG math.DG math.SG
The bijectivity of mirror functors on tori
通过SYZ构造，复环面$X$的镜像对$(X,\check{X})$和复环面$X$的镜像伙伴$\check{X}$被描述为同一底空间$B$上的特殊拉格朗日环面纤维化$X \rightarrow B$和$\check{X} \rightarrow B$.然后，通过SYZ变换，我们可以从$\check{X} \rightarrow B$的每个仿射Lagrange多重截面构造一个简单的$X$上的射影平坦丛，但它的转移函数的选择存在模糊性，这给构造辛几何范畴和复几何范畴之间的函子带来了困难.本文通过解决这个问题，证明了它们的对象的同构类的集合之间存在一个双射。
2020-07-05 hep-th math.DG
Holomorphic Lagrangian fibrations of toric hyperkahler manifolds
由于hyperk{ä}hler SYZ猜想的存在，寻找全纯Lagrange纤维化成为一个重要的问题。复曲面超k {}hler流形是实维$4n$非紧的超k {}hler流形，它是复曲面簇的四元数模拟. $n$维剩余圆作用在它上允许一个超k {ä}hler矩映射.我们利用这个矩映射的复部分构造了一个具有$(\mathbb{C}^*)^n$的泛纤维的全纯拉格朗日纤维化，并研究了奇异纤维。
2011-10-03 math.DG math.SG
SYZ mirror of Hirzebruch surface $\mathbb{F}_k$ and Morse homotopy
Chiba University（千叶大学）
本文利用Strominger-Yau-Zaslow镜像对构造和Morse同伦，将Hirzebruch曲面 $\mathbb{F}_1$ 的同调镜像对称性推广到 $\mathbb{F}_k$。
2026-05-22 math.AG math.DG math.SG
Singularities of special Lagrangian fibrations and the SYZ Conjecture
SYZ猜想解释了镜像Calabi-Yau 3-folds M，M'之间的镜像对称性，即在同一基底B上的特殊拉格朗日纤维f：M -> B和f'：M' -> B，其纤维是对偶3-tori，除了奇异纤维。在证明SYZ猜想（甚至找到正确的陈述）的主要问题之一是，特殊拉格朗日3-折叠和纤维化的奇异性知之甚少。本文研究了特殊拉格朗日纤维化的奇异性。我们的主要严格结果是构造了C^3的开子集上的特殊拉格朗日纤维化的例子。最简单的显式给出，其余的是使用作者的三篇论文math.DG/0111324，math.DG/0111326，math.DG/0204343中关于C^3中U（1）-不变特殊拉格朗日3-折叠的解析存在性结果构造的。然后，我们认为，没有充分的证据，我们的例子中的一些功能也应该持有特殊的拉格朗日纤维化f：M --> B的（几乎）卡-丘3倍，特别是在一般情况下。特别地，f将不是光滑的，而只是分段光滑的，并且f的判别式（奇异纤维的集合）将在B中具有余维1，并且通常由“带”组成。最后给出了SYZ猜想的一些结论，这些结论与SYZ猜想的一些更强的陈述相矛盾。
2003-06-17 hep-th math.AG math.DG
Geometric Aspects of Mirror Symmetry (with SYZ for Rigid CY manifolds)
本文讨论了Calabi-Yau流形中特殊拉格朗日子流形上的平坦丛和复子流形上的变形Hermitian-Yang-Mills丛的模空间几何.这些模空间就像一面镜子，反映了卡-丘几何本身。Strominger，Yau和Zaslow猜想镜像Calabi-Yau流形是这样一个模空间，并证明镜像对称对偶是一个Fourier-Mukai变换。本文回顾了镜像对称猜想的各个方面，讨论了证明镜像对称猜想的几何方法，刚性Calabi-Yau流形的存在性对镜像对称猜想提出了严峻的挑战。它们的镜像伙伴是高维广义Calabi-Yau流形。例如，某个K3曲面的镜像伙伴是一个三次四重曲面，它的Fano线簇对于K3上两点的希尔伯特方案是双有理的。通过考虑奇异的特殊拉格朗日环面，这个超卡勒流形可以被解释为K3的SYZ镜像。我们还比较了一个CY和其相关的广义CY之间的几何形状。特别地，我们给出了一个新的拉格朗日子流形的构造。
2003-03-28 hep-th math.AG math.DG
A gerby deformation of complex tori and the homological mirror symmetry
设$(X,\check{X})$是复环面$X$及其镜像伙伴$\check{X}$的镜像对。利用SYZ构造方法将该镜对描述为在同一基空间$B$上的平凡特殊拉格朗日环面纤维化$X\rightarrow B$和$\check{X}\rightarrow B$。然后，我们可以将一个全纯线丛$E(s,\mathcal{L})\rightarrow X$与$\check{X}\rightarrow B$的拉格朗日截面$s$的一对$(s,\mathcal{L})$以及沿着它的一个么正局部系统$\mathcal{L}$相关联。本文首先由某个平坦几何体$\mathcal{G}$及其镜像伙伴$\check{X}_{\mathcal{G}}$从镜像对$(X,\check{X})$构造出$X$的变形$X_{\mathcal{G}}$，并讨论物体$E(s,\mathcal{L})$和$(s,\mathcal{L})$在变形镜对$(X_{\mathcal{G}},\check{X}_{\mathcal{G}})$上的变形。
2023-02-28 hep-th math.DG
Nakai-Moishezon criteria and the toric Thomas-Yau conjecture
该研究在环面弱法诺流形的镜像Calabi-Yau拉格朗日纤维化框架下，证明了Thomas-Yau猜想的一种形式，将其转化为Nakai-Moishezon判据，并给出了环面弱del Pezzo曲面镜像等情形的应用与推广。
2025-05-21 math.AG math.DG math.SG
Tropical and non-Archimedean Monge-Ampère equations for a class of Calabi-Yau hypersurfaces
本文研究了复射影空间中极大退化Calabi-Yau超曲面族的Berkovich空间及其骨架上的非阿基米德与tropical Monge-Ampère方程，证明了方程解的唯一性及导出关系，并结合Yang Li的工作支持了弱度量SYZ猜想。
2024-01-03 math.AG math.DG
On a B-field transform of generalized complex structures over complex tori
本文通过SYZ变换研究复环上广义复结构的B场变换，将其解释为平坦格尔博形变，并构造相应dg-范畴形变，在对象层面讨论同调镜像对称。
2024-07-22 hep-th math.DG
Riemannian geometry over different normed division algebra
我们发展了一个统一的理论来研究具有不同和乐群的流形的几何。它们可以根据（1）定义的实数、复数、四元数或八元数以及（2）是否特殊来分类。特殊性是关于相应的赋范代数A的定向。例如，特殊的黎曼A-流形分别是定向黎曼流形、Calabi-Yau流形、Hyperkahler流形和G_2-流形。对于这类流形上的向量丛，我们引入了（特殊的）A-联络。它们包括全纯连接、Hermitian Yang-Mills连接、反自对偶连接和Donaldson-Thomas连接。类似地，我们引入（特殊）A/2-拉格朗日子流形作为极大实子流形。它们包括（特殊）拉格朗日，复拉格朗日，凯莱和（共）结合子流形。我们还从这个角度讨论了几何对偶：平坦环面上A-几何的Fourier变换和镜像特殊A-流形上从（特殊）A-几何到（特殊）A/2-Lagrange几何的代数SYZ镜像变换。
2003-03-12 math.AG math.DG math.SG
Moment maps, nonlinear PDE, and stability in mirror symmetry
本文从变分的观点出发，通过一个无限维的GIT问题，研究了变形的Hermitian-Yang-Mills（dHYM）方程，该方程与特殊的Lagrange方程是镜像的。这就产生了无穷维流形$\mathcal{H}$，它是正拉格朗日量的所罗门空间的镜像。在超临界相情形下，我们证明了光滑近似测地线的存在性，以及具有$C^{1,α}$正则性的弱测地线。这是通过证明尖锐的规模估计的拉格朗日相位算子崩溃流形的边界。我们将这些结果应用到变形Hermitian-Yang-Mills的无穷维GIT问题。我们将代数不变式与$X\times Δ$的某些双有理模型相关联，其中$Δ\subset \mathbb{C}$是一个圆盘。利用正则弱测地线的存在性，我们证明了这些不变量对dHYM方程解的存在性产生了障碍。此外，我们表明，这些不变量适合到一个稳定的框架密切相关的Bridgeland稳定。最后，我们使用复曲面Kähler流形上的Fourier-Mukai变换来描述Landau-Ginzburg模型$(Y,W)$的SYZ环面纤维化的拉格朗日截面的退化。我们推测由此产生的代数不变式，并讨论了与Bridgeland稳定性的特殊拉格朗日部分的存在$(Y,W)$的影响。
2018-11-13 math.AG math.DG
