Identifying codes in line digraphs
给定一个整数$\ell\ge 1$，有向图中的$(1,\le \ell)$ -标识码是顶点的支配子集$C$，使得基数至多为$\ell$的所有不同顶点子集在$C$内具有不同的闭内邻域。本文证明了每一个最小入度至少为2的$k$ -迭代有向线图和$k\geq2$，或最小入度至少为3的$k\geq1$，都允许一个$(1,\le \ell)$ -识别码和$\ell\leq2$，并且在任何情况下都不允许一个$(1,\le \ell)$ -识别码和$\ell\geq3$ .此外，我们发现线有向图的识别数是由原有向图的大小减去其阶的下界。此外，这个下界是获得的定向图的最小入度至少为2。
2019-05-17 math.CO
Sufficient conditions for a digraph to admit a $(1,\leq\ell)$-identifying code
有向图$D$中的$(1,\le \ell)$标识码是$D$的顶点的子集$C$，使得基数至多为$\ell$的顶点的所有不同子集在$C$内具有不同的闭内邻域。本文给出了最小入度$δ^-\ge 1$的有向图允许$\ell=δ^-, δ^-+1$的$(1,\le \ell)$ -识别码的若干充分条件。作为推论，我们得到了Laihonen的结果：最小度$δ\ge 2$且围长至少为7的图允许有一个$(1,\le δ)$ -识别码.证明了每个$1$ -非正则有向图都有一个$(1,\le 2)$ -识别码当且仅当其围长至少为5.我们还刻画了所有允许$\ell=2,3$的$(1,\le \ell)$ -标识码的2-正则有向图.
2019-02-13 math.CO
Lexicographic identifying codes
图中的标识码是与顶点邻域对之间的所有对称差相交的顶点集合。并不是所有的图都有识别码;有识别码的图被称为无孪生图。在本文中，我们设计了一个算法，在O（n^3）二元运算中找到一个在n个顶点上的无孪生图中的标识码，并且如果图不是无孪生图则返回失败。我们还确定了一个替代稀疏图的运行时间为O（n^2d log n）二元运算，其中d是最大程度。我们还证明了这些算法可以返回任何识别码的基数最小，只要顶点是正确排序。
2013-04-09 cs.DM cs.IT math.CO
Identifying codes of corona product graphs
对于图$G$的一个顶点$x$，设$N_G[x]$是$x$及其所有邻居在$G$中的集合。如果集合$N_G[x]\cap C$对于所有顶点$x$都是非空且不同的，则顶点集合$C$是$G$的{\em标识码}。如果$G$允许一个识别码，我们说$G$是可识别的，并且用$γ^{ID}(G)$表示$G$的识别码的最小基数。本文研究了图$H$和图$G$的冠积$H\odot G$的识别码.首先给出了可识别的冠积$H\odot G$的一个充要条件，然后用$γ^{ID}(G)$和$H$的（全）控制数表示$γ^{ID}(H\odot G)$.最后，我们计算了一些特殊图$G$的$γ^{ID}(H\odot G)$。
2013-01-18 math.CO
Revisiting and improving upper bounds for identifying codes
图$G$的标识码$C$是$G$的支配集，使得$G$的任何两个不同的顶点在$C$内具有不同的闭邻域。这些代码已被广泛研究了二十多年。我们给出了一个改进的所有最有名的上界，其中一些已经站了20多年，用于识别代码的树，证明了上界的$(n+\ell)/2$，其中$n$是顺序和$\ell$是叶子（悬垂顶点）的图。除了尺寸上的改进，新的上界也是一般性的改进，因为它实际上适用于没有2度或更大的孪生（具有相同闭或开邻域的顶点对）的二分图。我们还表明，绑定是紧的无限类的图，有几个结构不同的家庭的树达到的界限。然后，我们使用我们的界得到了一个紧的上界$2n/3$的twin-free二部图的顺序$n$，和特征的极值的例子，$2$ -冠图的二部图。这是最可能的，因为存在无孪生图和具有孪生的树，它们的任何标识码都需要$n-1$顶点。我们还推广了现有的上界$5n/7$图的顺序$n$和周长至少为5时，没有叶子，上界$\frac{5n+2\ell}{7}$时，叶子是允许的。这对于$7$循环$C_7$和所有恒星来说都是紧的。
2022-11-11 math.CO
Planar lattice subsets with minimal vertex boundary
一个图的顶点子集是最小的，如果在所有相同大小的子集中，它的顶点边界是最小的。我们给出了平面整数格X的极小集的一个完整的几何刻画。我们的特征阐明了所有最小集的结构，我们能够使用它来获得几个应用。我们刻画了X的唯一极小集：与任何其他相同大小的极小集全等的极小集。我们还对X的所有有效集进行了分类：在所有具有固定顶点边界的集中具有最大大小的集。我们定义并研究了图G的最小集，其顶点是同余类的最小集的X和其边缘连接的顶点，可以表示的最小集，不同的正是一个顶点。我们证明了G恰好有一个无穷分支，有无穷多个孤立点，并且有任意大的有界分支。最后，我们证明了所有的极小集，除了一个，是连通的。
2020-09-25 math.CO
Even and odd plane labelled bipartite trees
设$T(n,m)$是所有平面标号二分树的集合，其顶点为$n$白色和$m$黑色。如果顶点数$n+m$是偶数，则集合$T(n,m)$是两个不相交子集的并集--“偶数”树的子集和“奇数”树的子集。这种划分具有明确的几何意义。
2016-11-03 math.CO
New Bounds on the Minimum Density of a Vertex Identifying Code for the Infinite Hexagonal Grid
对于图$G$和顶点$v \in V(G)$，设$N[v]$是与$v$相邻并包括$v$的顶点的集合。如果对于任何两个不同的顶点$v_1, v_2 \in V(G)$，顶点集合$N[v_1] \cap D$和$N[v_2] \cap D$是不同的且非空的，则集合$D \subseteq V(G)$是顶点标识码。本文研究了无限六边形网格顶点识别码的最小密度问题。在2000年，Cohen等人构造了两个密度为$3/7 \approx 0.428571$的码，这仍然是最著名的上限。到目前为止，最著名的下界是$12/29 \approx 0.413793$，由Cranston和Yu在2009年证明。我们提出了三个密度为3/7的新码，并将其下界改进为$5/12 \approx 0.416667$。
2011-10-05 math.CO
Bipartite Kneser graphs are Hamiltonian
对于整数$k\geq 1$和$n\geq 2k+1$，Kneser图$K(n,k)$具有$[n]:=\{1,2,\ldots,n\}$的所有$k$ -元素子集作为顶点，以及不相交的任何两个顶点（=集合）之间的边。二分Kneser图$H(n,k)$的顶点是$[n]$的所有$k$ -元素子集和$(n-k)$ -元素子集，以及任意两个顶点之间的边，其中一个顶点是另一个顶点的子集。除Petersen图$K(5,2)$外，所有Kneser图和二部Kneser图都有Hamilton圈。本文的主要贡献是对二部Kneser图$H(n,k)$证明了这个猜想。我们还建立了当$n=2k+o(k)$时，Kneser图$K(n,k)$中几乎所有顶点都访问的圈的存在性，推广和改进了以前关于这个问题的结果。
2015-10-09 math.CO
Twins and Vertex- Identification on Graphs
最近，引入了几个顶点标识概念（标识着色，盖着色，.），这些概念的灵感来自于识别代码。所有这些算法以及原始的识别码都是基于两个顶点在其闭邻域上的某些条件下的分离。因此，双胞胎无法识别。因此，目前已知的结果大多集中在无孪生图上。在这里，我们展示了如何双胞胎可以修改最优值的顶点识别参数识别着色和局部识别着色。\textbf{Keyword :}识别着色，局部识别着色，孪生，分离。
2017-08-10 math.CO
A Description of the Subgraph Induced at a Labeling of a Graph by the Subset of Vertices with an Interval Spectrum
无向简单有限连通图$G$的顶点集和边集分别记为$V(G)$和$E(G)$。连续整数的任意非空有限子集称为区间。单射映射$φ:E(G)\rightarrow \{1,2,...,|E(G)|\}$称为图$G$的标号。如果$G$是一个图，$x$是它的任意顶点，$φ$是它的任意标号，则集合$S_G(x,φ)\equiv\{φ(e)/ e\in E(G), e \textrm{is incident with} x$\}称为图$G$的顶点$x$在其标号$φ$处的谱。对任意图$G$及其任意标号$φ$，描述了由具有区间谱的$G$的顶点子集导出的$G$的子图的结构.
2014-10-29 cs.DM math.CO
Controllable Subsets in Graphs
设$X$是一个图，它的顶点是$v$，邻接矩阵是$A$，$S$是它的顶点的子集，特征向量是$z$。如果$r=1,\ldots,v-1$的向量$A^rz$跨越$\mathbb{R}^v$，我们说对$(X,S)$是可控的。我们主要关注的是$S=V(X)$或$S$是单个顶点的情况。本文发展了可控偶的基本理论。我们将看到，如果$(X,S)$是可控的，那么唯一将$S$固定为集合的$X$的自同构是恒等式。如果$(X,S)$对于某个子集$S$是可控的，则$A$的特征值都是单的。
2010-10-15 math.CO
Characterizing extremal digraphs for identifying codes and extremal cases of Bondy's theorem on induced subsets
（di）图$G$的标识码是$G$的顶点的支配子集$C$，使得$G$的所有不同顶点在$C$内具有不同的（内）邻域。本文对所有在任一识别码中只允许其整个顶点集的有限有向图进行了分类。我们也分类所有这样的无限定向图。此外，通过将这一概念与A.邦迪集系统，我们分类的极值情况下，这一定理。
2012-02-15 cs.DM math.CO
Identifying Codes on Directed De Bruijn Graphs
对于有向图$G$，$t$标识码是子集$S\subseteq V(G)$，其具有如下性质：对于每个顶点$v\in V(G)$，通过长度至多为$t$的有向路径从$v$可达的$S$的顶点集是非空的且唯一的.如果存在一个$t$标识码，则一个图称为{ \it $t$-identifiable}.本文证明了de~Bruijn图$\vec{\mathcal{B}}(d,n)$是$t$ -可识别的当且仅当$n \geq 2t-1$ .证明了$t$-可识别de~Bruijn图的$t$-可识别码必须至少包含$d^{n-1}(d-1)$顶点，并给出了该下界可达到的构造$n \geq 2t$ .此外，当$n=2t-1$ .此外，对于$\vec{\mathcal{B}}(d,n)$，我们提供了最小\textit{$t$-dominating set}大小的上限和下限（具有每个顶点与子集的距离至多为\textit{directed resolving set}的属性的子集），即\textit{directed resolving set}的最小大小（具有图的每个顶点可以通过其到$S$的顶点的有向距离来区分的性质的子集）是$d^{n-1}(d-1)$，并且如果$d>n$，{ \it确定集}（具有固定$S$的唯一自同构是平凡自同构的性质的子集$S$）的最小大小是$\left\lceil \frac{d-1}{n}…
2017-06-22 math.CO
On Iiro Honkala's contributions to identifying codes
Télécom Paris（巴黎电信学院）；University of Turku（图尔库大学）；CNRS Université Paris-Saclay（法国国家科学研究中心巴黎萨克雷大学）
本文综述了伊罗·洪卡拉在识别码研究中的多方面贡献，包括计算复杂性、二进制汉明空间的组合学、无限网格、识别码与常规图参数的关系、允许识别码的图结构特性以及最优识别码数量。
2024-07-04 cs.DM math.CO
A note on 2-subset-regular self-complementary 3-uniform hypergraphs
证明了顶点为$n$的2-子集正则自补3-一致超图存在的充要条件是$n\ge 6$和$n$与2模4同余.
2008-04-22 math.CO
The minimum number of vertices in uniform hypergraphs with given domination number
超图$\mathcal{H}=(V(\mathcal{H}),E(\mathcal{H})$的\textit{domination number} $γ(\mathcal{H})$是顶点子集$D\subset V(\mathcal{H}$的最小尺寸，使得对于每个$v\in V(\mathcal{H})\setminus D$，存在顶点$d \in D$和具有$v,d\in H$的边$H\in E(\mathcal{H})$。研究了当$γ(\mathcal{H})\ge γ$和$\mathcal{H}$不含孤立点时，求$k$ -均匀超图$\mathcal{H}$所能具有的最小顶点数$n(k,γ)$的问题.我们证明了$$n(k,γ)=k+Θ(k^{1-1/γ})$$，并考虑了$s$ -wise支配和距离- $l$支配问题.特别地，我们证明了具有距离- $l$控制数$γ$的连通$k$ -一致超图所能拥有的最小顶点数$n_{dc}(k,γ, l)$大致为$\frac{kγl}{2}$
2016-07-16 math.CO
The (vertex-)monochromatic index of a graph
边着色图$H$中的树$T$称为\emph{monochromatic tree}，如果$T$的所有边具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的单色树。对于连通图$G$和给定的整数$k$，$G$的\emph{$k$-monochromatic index $mx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)$，存在单色$S$ -树。本文证明了对任意连通图$G$，对每个PDMATHAMT有$mx_k(G)=|E(G)|-|V(G)|+2$，使得$3\leq k\leq |V(G)|$ .顶点着色图$H$中的树$T$称为\emph{vertex-monochromatic tree}，如果$T$的所有内部顶点具有相同的颜色.对于$S\subseteq V(H)$，$H$中的\emph{vertex-monochromatic $S$-tree}是包含$S$的顶点的$H$的顶点单色树。对于连通图$G$和给定的整数$2\leq k\leq |V(G)|$，$G$的\emph{$k$-monochromatic vertex-index $mvx_k(G)$}是所需的最大颜色数，使得对于$k$顶点的每个子集$S\subseteq V(G)…
2016-03-19 math.CO
On the size of identifying codes in binary hypercubes
我们考虑在二进制汉明空间F^n中识别码，即，在二元超立方体中。识别码的概念是由Karpovsky，Chakrabarty和Levitin在1998年提出的。目前，该主题形成了自己的主题，具有几种可能的应用，例如传感器网络。设C是F^n的一个子集。对于F^n的任意子集X，用I_r（X）=I_r（C;X）表示C中距离X中至少一个x为r的元素的集合。如果集合I_r（X）对于所有大小不超过l的子集X都是不同的，则称C为（r，<= l）-标识码。我们估计了在固定l和r/n收敛到（0，1）中某个数ρ的情况下这类码的最小尺寸。我们进一步证明了对于任意固定的l和略小于n/2的r，存在一个大小为O（n^{3/2}）的码，并且对于l=2，给出了一个小码的显式构造，其中r是n/2-1的整数部分（最大可能值）.
2008-04-18 math.CO
An improved lower bound for (1,<=2)-identifying codes in the king grid
如果对于所有大小至多为$\ell$的顶点子集$X$，其集合$\{c\in C |\exists u \in X, d(u,c)\leq 1\}$是不同的，则称图$G$的顶点子集$C$为$(1,\leq \ell)$ -标识码.识别码的概念是由Karpovsky，Chakrabarty和Levitin在1998年提出的。识别码已经在各种网格中进行了研究。特别地，已经表明，在密度为3/7的主网格中存在$(1,\leq 2)$识别码，并且不存在密度小于5/12的这种识别码。使用一个合适的框架和放电过程，我们通过显示任何$(1,\leq 2)$识别码的国王网格的密度至少为47/111，提高了下界。
2011-11-10 cs.DM math.CO
The super-connectivity of Kneser graph KG(n,3)
连通图$G$的顶点割$S$是$G$的顶点子集，其删除使得$G$不连通。连通图$G$的超点割$S$是$G$的一个顶点子集，它的删除使得$G$不连通，并且$G-S$的每个分支中不存在孤立点.图$G$的超连通度是图$G$的最小超顶点割的大小。设$KG(n,k)$是Kneser图，其顶点集是$\{1,\cdots,n\}$的$k$ -子集，其中$k$是$G$中每个顶点的标号数.我们的目的是证明Boruzanli和Gauci \cite{EG19}关于Kneser图$KG(n,k)$的超连通性的猜想在$k=3$ .
2021-03-18 math.CO
Changing and unchanging of the domination number of a graph: Path addition numbers
给定一个图$G = (V,E)$和它的两个不同的顶点$u$和$v$。$G$的$(u,v)$ - $P_k$ -{ \em加法图}是通过识别顶点$u$和$x_0$，以及识别顶点$v$和$x_{k-1}$，从$G$和路径$P_k: x_0,x_1,..,x_{k-1}$的不交并集$k \geq 2$获得的图$G_{u,v,k-2}$。我们证明了（a）对于所有的$k \geq 1$都有$ γ(G)-1 \leq γ(G_{u,v,k})$，（b）当$k \geq 5$时有$γ(G_{u,v,k}) > γ(G)$.我们还提供了等式$γ(G_{u,v,k}) = γ(G)$对每对$u,v \in V(G)$有效的充分必要条件。对$u,v \in V(G)$。
2018-01-15 math.CO
Forbidden vertices
在这项工作中，我们介绍和研究禁止顶点问题。给定一个多胞形P及其顶点子集X，研究了P的不包含在X中的顶点子集上的线性最优化的复杂性。这个问题与寻找线性问题的k-最佳基本解密切相关。我们表明，问题的复杂性变化显着取决于P和X的编码。我们提供额外的易处理性结果和扩展配方时，P只有二进制顶点。讨论了整多面体的一些应用和推广。
2014-03-01 math.CO math.OC
Searching for dense subsets in a graph via the partition function
对于图$G$的顶点集$S$，我们定义它的密度$0 \leq σ(S) \leq 1$为$S$的顶点所跨越的$G$的边数与${|S| \choose 2}$的边数之比.我们发现，给定一个图$G$与$n$顶点和一个整数$m$，分拆函数$\sum_S \exp\{ γm σ(S) \}$，其中的总和是采取在所有$m$ -子集$S$的顶点和$0 < γ<1$是固定的，可以近似在相对误差$0 < ε< 1$准多项式$n^{O(\ln m - \ln ε)}$时间。我们讨论了数值实验，并观察到，对于随机图$G(n, 1/2)$可以提供一个更大的$γ$，提供的比例$n/m$是足够大的。
2018-07-05 cs.DS math.CO
Progress on Self Identifying Codes
本文研究自识别码，证明任意图最小自识别码基数的确定是NP完全的，并探讨了三次图和无限网格中的最小自识别码。
2025-04-19 cs.DM math.CO
Vertex Structure of Master Corner Polyhedra
本文重点研究了主角多面体$P(G,g_0),$的顶点，它是整数线性规划群论方法的核心。我们介绍了两个组合操作，转换每个顶点的$P(G,g_0)$相邻的。这意味着对于任何$P(G,g_0),$，存在基本顶点的子集，我们称它们为支持顶点，所有其他顶点都可以从它们构建。证明了支撑点类在$G,$的自同构群下是不变的，从而该基可进一步约化为两两不等价的支撑点子集.在其他结果中，我们的特点是不可约点的主角多面体，建立一个整数点之间的关系，并通过它的非平凡方面，构造完全子图的图形$P(G,g_0),$，并表明这些多面体的直径为2。
2011-04-23 math.CO
Vertices in all minimum paired-dominating sets of block graphs
设$G=(V,E)$是一个无孤立点的单图.一个集合$S\subseteq V$是一个成对控制集，如果$V-S$中的每个顶点在$S$中至少有一个近邻，并且由$S$导出的子图包含完美匹配.本文给出了一个判定块图中给定顶点是否包含在其所有最小成对控制集中的线性时间算法。
2009-08-20 math.CO
Some lower bounds for the $L$-intersection number of graphs
对于一组非负整数$L$，图的$L$ -相交数是最小数$l$，对于该最小数$l$，在顶点上存在子集$A_v \subseteq \{1,\dots, l\}$的赋值，使得每两个顶点$u,v$相邻当且仅当$|A_u \cap A_v|\in L$ .当只考虑不同部分的顶点的条件时，类似地定义了二分$L$ -相交数。本文利用图的最小秩给出了各种类型$L$图的（二部）$L$ -相交数的一些下界。
2013-08-21 math.CO
Identifying open codes in trees and 4-cycle-free graphs of given maximum degree
Centrale Méditerranée（地中海中央理工学院）；Laboratoire d’Informatique et de Systèmes, UMR 7020（信息与系统实验室，联合研究单位7020）
本研究针对最大度不超过固定值Δ≥3的无4-环无开放孪生点连通图，给出了识别开放码最小规模的上界公式，指出唯一例外图类，并构造紧例证明上界最优。
2026-10-05 math.CO
On the metric representation of the vertices of a graph
本文研究了图顶点度量表示的反向问题，刻画了可实现为图关于resolving set的度量表示向量集合的有限整数子集，并探讨了路的强积作用及$n=2$时的唯一可实现性。
2024-10-14 math.CO
Sufficient conditions for closed-trailable in digraphs
该研究提出有向图顶点子集闭迹可达的两个充分条件，分别基于度数和与最小半度、匹配数的关系，推广了已有超欧拉性相关定理。
2024-06-20 math.CO
T-joins in infinite graphs as edge-disjoint system of paths matching the vertices in $ T $
我们刻画了一类无限连通图$ G $，对于它，对于任意一个无限$ T \subseteq V(G) $的选择，都存在一个$ T $ -连接。我们还证明了下面这个众所周知的事实在无限情形下仍然成立。如果$ G $是连通的，并且不包含$ T $ -join，那么如果我们从$ T $中删除任意顶点或向$ T $中添加任何新顶点，它就会包含。
2017-04-24 math.CO
Identifying codes and locating-dominating sets on paths and cycles
设$G=(V,E)$是一个图，$r\ge 1$是一个整数。对于集合$D \subseteq V$，定义$N_r[x] = \{y \in V: d(x, y) \leq r\}$和$D_r(x) = N_r[x] \cap D$，其中$d(x,y)$表示$x$和$y$之间任何最短路径中的边数。如果对于所有顶点$x\in V$（分别为$x \in V\backslash D$），$D_r(x)$都非空且不同，则$D$称为$r$ -标识码（分别为$r$ -定位-支配集）.本文给出了路和奇圈中PDMATHAMV-可识别码的完整结果，也给出了圈中2-定位-控制集的完整结果。
2009-08-19 math.CO
Metric dimension for random graphs
图$G$的度量维数是$G$的顶点集的子集$S$中的顶点的最小数目，使得所有其他顶点由它们到$S$中的顶点的距离唯一地确定。本文研究了随机图$G(n,p)$的度量维数，给出了概率$p=p(n)$在很宽范围内的度量维数.
2014-06-11 math.CO
Hadwiger's conjecture for the complements of Kneser graphs
Hadwiger猜想断言，每一个色数为$t$的图都包含一个$t$阶的完全子图.给定整数$n \ge 2k+1 \ge 5$，Kneser图$K(n, k)$是顶点为$n$ -集的$k$ -子集的图，使得两个顶点相邻当且仅当相应的$k$ -子集不相交.我们证明了Hadwiger猜想对Kneser图的补图成立。
2015-11-28 math.CO
Connected domination in grid graphs
给定一个无向单图，如果该图的一个顶点子集中的每个顶点都与该子集中的至少一个顶点相邻，则该子集是{ \em控制集}。图的顶点的子集是{ \em连通控制集}，如果该子集是控制集，并且由该子集导出的子图是连通的。本文确定了$m \times n$格图的连通控制集的最小基数，称为{ \em连通控制数}，它是任意$m$和$n$的连通控制集.
2021-09-29 cs.DS math.CO
Metric Dimension of Amalgamation of Regular Graphs
一个顶点集$S$分解一个图$G$，如果每个顶点都由它到$S$中顶点的距离向量唯一确定。$G$的度量维数是$G$的分解集的最小基数。设$\{G_1, G_2, \ldots, G_n\}$是一个有限图集，每个$G_i$有一个固定的顶点$v_{0_i}$或固定的边$e_{0_i}$，分别称为终端顶点或终端边. $G_1, G_2, \ldots, G_n$的顶点融合，记作$Vertex-Amal\{G_i;v_{0_i}\}$，是通过取所有的$G_i$并确定它们的终端顶点而形成的。类似地，$G_1, G_2, \ldots, G_n$的边合并（由$Edge-Amal\{G_i;e_{0_i}\}$表示）通过获取所有的$G_i$并识别它们的终端边来形成。本文研究了有限个正则图集合：完全图和棱柱图的点合并和边合并的度量维数。
2014-01-21 math.CO
Minimal resolving sets for the hypercube
对于给定的无向图$G$，如果图的顶点可通过它们到$S$中的顶点的距离向量区分，则顶点的\emph{ordered}子集$S = {s_1,s_2,...,s_k} \subseteq V$是图的分解集。虽然任何分解集的超集总是一个分解集，但分解集的真子集不一定是一个分解集，我们感兴趣的是确定最小或最小（最小基数）的分解集。用$Q^n$表示顶点集为${0,1}^n$的$n$维超立方体.在Erdös和Renyi（Erdos & Renyi，1963）中，证明了一组特定的$n$顶点形成了超立方体的解析集。本文的主要目的是证明$n-1$大小的集合的真子集也是所有$n \ge 5$的超立方体的分解集，并且这个真子集是最小分解集。
2012-01-16 cs.DM math.CO
Peaks on Graphs
给定一个图$G$，它的顶点是$n$，顶点的双射标号是整数$1,2,\ldots, n$，如果$v$的度大于或等于2，并且$v$上的标号大于它所有邻居的标号，我们称$G$在顶点$v$有一个顶点.将$G$的顶点枚举固定为$v_1,v_2,\ldots, v_{n}$，并固定一个集合$S\subset V(G)$。我们想要确定$G$的顶点的不同双射标号的数目，使得$S$中的顶点恰好是$G$的峰。集合$S$被称为\emph{peak set of the graph} $G$，并且具有峰集合$S$的所有标记的集合由$\PSG$表示。这个定义推广了置换的峰值集的研究，因为该工作是$G$是$n$顶点上的路径图的特殊情况。在本文中，我们提出了一个算法，用于构造所有的双射标号的$\PSG$的任何$S\subseteq V(G)$。我们还探讨在某些家庭的图形，包括循环图和连接的图形的峰值集。
2017-08-28 math.CO
Long paths in the distance graph over large subsets of vector spaces over finite fields
设$E \subset {\Bbb F}_q^d$，有限域上的$d$维向量空间具有$q$元素.设$E$的顶点为$E$的元素，若$||x-y||={(x_1-y_1)}^2+\dots+{(x_d-y_d)}^2=1$为$E$，则用一条边连接对应于向量$x,y \in E$的一对顶点，构造一个图，称为$E$的距离图。我们将证明，如果$E$的大小是足够大的，那么距离图的$E$包含长的非重叠路径和顶点的高度。
2014-05-31 math.CA math.CO math.NT
The infinite Fibonacci cube and its generalizations
本文研究无限 Fibonacci 立方体 $Γ_\infty$，并借助局部有限超图上的推广 $Γ_G$，证明其各连通分支均不对称且两两不同构。
2023-12-08 math.CO
On the limiting distribution of the metric dimension for random forests
一个图G的度量维数是G的顶点子集S的最小尺寸，使得所有其他顶点都由它们到S中顶点的距离唯一确定。在本文中，我们研究了两种不同的随机森林模型的度量维数，在每种情况下，获得正常的极限分布，这个参数。
2014-12-08 math.CO
Vertex identifying codes for the n-dimensional lattice
图$G$上的$r$标识码是一个集合$C\subset V(G)$，使得对于$V(G)$中的每个顶点，半径- $r$闭邻域与$C$的交集非空且不同.在这里，我们提供了一个概述代码的$n$ -维晶格，讨论的情况下，1-识别码，构造一个稀疏码的4-维晶格以及显示，对于固定的$n$，最小密度的$r$ -识别码是$Θ(1/r^{n-1})$。
2011-08-29 math.CO
Point- and arc-reaching sets of vertices in a digraph
在有向图$D = (X, \mathcal{U})$中，不一定是有限的，如果存在源自$u$并包含$(x, y)$的有向行走$W$，则弧$(x, y) \in \mathcal{U}$是从顶点$u$可达的。子集$S \subseteq X$是$D$的弧到达集合，如果对于每个弧$(x, y)$，存在起源于顶点$u \in S$并且包含$(x, y)$的双行走$W$。最小弧可达集是弧基。$S$是一个可达点集，如果对于每个顶点$v$，都存在一个从$W$到$v$的双向行走，该双向行走起源于顶点$u \in S$。最小可达点集是点基。我们将Harary，Norman和Cartwright关于有限有向图中点基的结果推广到无限有向图中的点基和弧基。
2010-01-24 math.CO
Identifying domatic partitions via graph dynamical systems
Yeditepe University（耶迪特佩大学）
本文通过构造图动力系统，将图的支配集与动力系统作用映射的像一一对应，并从周期轨道中提取domatic-2-划分，进而扩展至自由半群作用以确定独立支配集和idomatic划分。
2026-09-15 math.CO
The domination number of the graph defined by two levels of the $n$-cube, II
将一个$n$-元集的所有$k$ -元子集和$\ell$ -元子集$(k>\ell )$看作二分图的顶点.如果相应的$\ell$元素集是相应的$k$元素集的子集，则两个顶点相邻。令$G_{k,\ell}$表示该图。$G_{k,1}$的控制数由Badakhshian，Katona和Tuza精确确定.在那里还提出了一个关于$G_{k,2}$的控制数的渐近值（$n$趋于无穷大）的猜想。在这里，我们证明了猜想，确定控制数$γ(G_{k,2})={k+3\over 2(k-1)(k+1)}n^2+o(n^2)$的渐近值。
2020-02-01 math.CO
Metric Dimension of Villarceau Grids
本文研究了网络科学中两种新型网格（Villarceau 网格 Type I 和 Type II）的度量维数，并分别求出了其精确的度量维数。
2024-10-11 math.CO
Independence and Matchings in $σ$-hypergraphs
设$σ$是正整数$r$的一个划分。$σ$ -超图$H=H(n,r,q|σ)$是$nq$顶点上的$r$ -一致超图，这些顶点被划分为$n$类$V_1, V_2, \ldots, V_n$，每个类包含$q$顶点.如果由非零基数$|K\cap V_i|, 1\leq i \leq n,$形成的$r$的划分是$σ$，则顶点的$r$ -子集$K$是超图的边.在早期的作品中，我们已经考虑了着色的顶点$H$的约束，使任何边缘至少有$α$和最$β$顶点相同的颜色，我们已经表明，有趣的结果可以通过改变$α, β$和$H$的参数适当。在本文中，我们继续研究的通用性$σ$ -超图考虑两个经典的问题：独立性和匹配。我们首先证明了一个有趣的链接之间的约束着色和$k$ -独立数的超图，也就是说，最大的基数的顶点子集的超图不包含$k+1$顶点在同一条边。我们还给出了$σ$ -超图$H$的$k$ -独立数的精确计算.然后，我们提出的结果最大，有时完美，匹配$H$。这些结果往往取决于$H$的参数之间的可分性关系和$σ$的部分的最高公因子。
2014-05-01 math.CO
A Note on the Asymptotic Value of the Isoperimetric Number of $J(n,2)$
本文研究 Johnson 图 $J(n,2)$ 的等周数，并证明其随 $n$ 增长的渐近值为 $(2-\sqrt{2})n$。
2023-12-05 math.CO
Self-identifying codes in direct products of complete graphs with paths and cycles
College of Mathematics and Physics, Wenzhou University（温州大学数学与物理学院）；School of Mathematical Sciences, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数学科学学院）
研究直接积K_m×P_n和K_m×C_n中的自识别码最小规模，得出线性上界，且渐近紧致，接近同图识别码大小。
2026-05-08 math.CO
An algorithm for the weighted metric dimension of two-dimensional grids
二维的【形】网格由形式为（i，j）的顶点组成，对于1 \leq i \leq m和1 \leq j \leq n，对于固定的m，n > 1。如果两个顶点的向量之间的\ell_1距离等于1，则这两个顶点是相邻的。界标集是顶点L \subseteq V的子集，使得对于任何不同的顶点对u，v \in V，存在L的顶点，其到u和v的距离不相等。我们设计了一个有效的算法，找到一个最小的里程碑集的总成本在一个网格图与非负的成本上定义的顶点。
2016-02-18 cs.DS math.CO
Disjoint cycles covering specified vertices in bipartite graphs with partial degrees
令$k$为正整数。设$G$是一个具有二分图$(X, Y)$的$2n$阶平衡二部图，$S$是$X$的子集.设每对不相邻的顶点$(x,y)$和$x\in S, y\in Y$满足$d(x)+d(y)\geq n+1$ .证明了如果$|S|\geq 2k+2$，则$G$包含覆盖$S$的$k$不相交圈，使得每个$k$圈至少包含$S$的两个顶点.这里，度条件和$|S|$的下界都是最佳可能的。并且证明了如果$|S|=2k+1$，则$G$包含$k$不交圈，使得每个$k$圈至少包含$S$的两个顶点.
2020-11-21 math.CO
Graphs with disjoint 2-dominating sets
一个子集$D\subseteq V_G$是$G$的一个控制集，如果$V_G\setminus D$中的每个顶点在$D$中都有一个邻居，而$D$是$G$的一个2-控制集，如果属于$V_G\setminus D$的每个顶点都至少有两条边与$D$中的一个或多个顶点相连。一个图$G$是$(2,2)$ -控制图，如果它有一对$(D,D')$，这对$G$的不相交的$2$ -控制顶点集.本文给出了极小$(2,2)$ -控制图的两个刻画.
2021-08-21 math.CO
A note on some variations of the $γ$-graph
对于图$G$，$G$的$γ$ -图，$G(γ)$，是其顶点对应于$G$的最小控制集的图，并且其中$G(γ)$的两个顶点相邻当且仅当它们在$G$中对应的控制集恰好相差两个邻顶点。本文给出了$γ$ -图的几种变形，包括使用标识码、位置控制、全控制、成对控制和上控制数的变形.对于每一个，我们表明，对于任何图$H$，存在无穷多个图的$γ$ -图变体是同构的$H$。
2017-07-07 math.CO
