An improved lower bound for (1,<=2)-identifying codes in the king grid
如果对于所有大小至多为$\ell$的顶点子集$X$，其集合$\{c\in C |\exists u \in X, d(u,c)\leq 1\}$是不同的，则称图$G$的顶点子集$C$为$(1,\leq \ell)$ -标识码.识别码的概念是由Karpovsky，Chakrabarty和Levitin在1998年提出的。识别码已经在各种网格中进行了研究。特别地，已经表明，在密度为3/7的主网格中存在$(1,\leq 2)$识别码，并且不存在密度小于5/12的这种识别码。使用一个合适的框架和放电过程，我们通过显示任何$(1,\leq 2)$识别码的国王网格的密度至少为47/111，提高了下界。
2011-11-10 cs.DM math.CO
New lower bound for 2-identifying code in the square grid
图$G = (V,E)$中的$r$标识码是子集$C \subseteq V$，使得对于每个$u \in V$，$C$与以$u$为中心的半径为$r$的球的交集是非空且唯一的。以前，$r$ -识别码已经在各种网格中进行了研究。特别地，已经表明，在具有密度$5/29 \approx 0.172$的正方形网格中存在2-识别码，并且不存在密度小于$3/20 = 0.15$的2-识别码。最近，下界已经由Martin和Stanton（2010）改进为$6/37 \approx 0.162$。本文进一步改进了这个下界，证明了在密度小于$6/35 \approx 0.171$的正方形网格中不存在2-识别码。
2012-10-22 cs.DM math.CO
Optimal local identifying and local locating-dominating codes
University of Turku（图尔库大学）
本文研究了图中新的覆盖码类，提出局部1-识别码和局部1-定位-支配码，并给出了其最优大小的渐近紧界，同时探讨了在不同网格中的密度。
2024-07-04 cs.DM math.CO
Fault-tolerant Identifying Codes in Special Classes of Graphs
在图中建模的检测系统由位于顶点子集的“检测器”组成，以便在任何顶点处唯一地定位"入侵者”。\emph{Identifying codes}使用的探测器可以感知距离1内是否存在入侵者。我们引入了一个容错识别码称为\emph{redundant identifying code}，它允许最多一个检测器离线或被删除，而不会中断检测系统。在实际应用中，这将是一个必要的功能，因为它允许在不禁用整个系统的情况下维护单个组件。具体地说，我们证明了确定任意图的识别码的最低基数的问题是NP-完全的，我们确定了特殊类的图，包括树，圆柱和立方图的最低基数的界限。
2021-12-03 cs.DM math.CO
Watching Systems in graphs: an extension of Identifying Codes
我们引入了观察系统的概念，这是一个推广的识别码。我们给出了观察系统的一些基本性质，观察系统的最小尺寸的上界，以及实现这个界的图的结果;我们还研究了路径和循环的情况，并给出复杂性结果。
2010-05-05 cs.DM math.CO
Identifying codes in line graphs
图的标识码是图的顶点的子集，使得图的每个顶点都由其在码内的邻居的集合唯一地标识。研究了边识别码问题，即线图中的识别码问题。如果$\ID(G)$表示可识别图$G$的最小识别码的大小，我们证明了通常的界$\ID(G)\ge \lceil\log_2(n+1)\rceil$，其中$n$表示$G$的阶，在线图类中可以改进为$Θ(\sqrt{n})$.而且，这个界限很紧。我们还证明了上界$\ID(\mathcal{L}(G))\leq 2|V(G)|-5$，其中$\mathcal{L}(G)$是线图的$G$，持有（有两个例外）。这意味着R. Klasing，A. Kosowski，A. Raspaud和第一作者对于线图的一个子类成立。最后，我们证明了边识别码问题是NP-完全的，即使对于最大度~3和任意大围长的平面二部图也是如此。
2012-09-21 cs.DM math.CO
Optimal Error-detection system for Identifying Codes
假设图$G$为具有可能的"入侵者”的设施或具有可能的故障处理器的多处理器网络的检测系统建模。我们考虑在$G$中的顶点子集上放置检测器以确定入侵者的位置（如果存在）的问题。许多类型的检测系统已被定义为不同的传感器功能，特别是，我们专注于识别代码，其中每个检测器可以确定是否有一个入侵者在其封闭的邻居。在这项研究中，我们探讨了一个容错的变种，识别代码适用于现实世界的系统。具体地，错误检测识别码允许来自任何单个检测器的假阴性传输。我们研究了几类图中的最小尺寸检错识别码，包括三次图和无限网格，并证明了在任意图中确定所述最小尺寸的问题是NP-完全的。
2022-08-11 cs.DM math.CO
Error-correcting Identifying Codes
假设一个图$G$为一个可能有“入侵者”的设施或一个可能有故障处理器的多处理器网络的检测系统建模。我们考虑的问题放置（最小数量）检测器在$G$的顶点的子集，以自动确定是否有入侵者，如果是这样，它的精确位置。在这项研究中，我们探索了一种容错的识别码，称为纠错识别码，它允许一个假阳性或阴性，并适用于现实世界的系统。给出了任意图的最小尺寸问题的NP-完全性证明，并确定了三次图中参数的界。
2022-04-24 cs.DM math.CO
Locating-dominating sets and identifying codes in graphs of girth at least 5
定位控制集和识别码是分离系统领域中两个密切相关的概念。粗略地说，它们存在于图的控制集中，使得每个顶点在控制集中由其邻域唯一标识。本文研究了围长至少为5的给定最小度图的最小定位控制集或识别码的大小。我们使用顶点不相交路径的技术来提供这样的集合的最小尺寸的上界，并构造接近满足这些界限的图。
2015-11-24 cs.DM math.CO
Bounds for identifying codes in terms of degree parameters
标识码是图的顶点的子集，使得每个顶点由其在标识码内的邻域唯一地确定。如果$\M(G)$表示图$G$的标识码的最小长度，则它由F表示。富科河Klasing，A. Kosowski和A. Raspaud证明了存在一个常数$c$，使得如果一个具有$n$顶点和最大度$d$的连通图$G$允许一个标识码，则有$\M(G)\leq n-\tfrac{n}{d}+c$ .我们使用概率工具表明，对于任何$d\geq 3$，$\M(G)\leq n-\tfrac{n}{Θ(d)}$持有的一个大类的图，其中包括所有的定期图和所有的图有界团数。这解决了猜想（常数），这些类的图。在一般情况下，我们证明了$\M(G)\leq n-\tfrac{n}{Θ(d^{3})}$。在第二部分中，我们证明了在任何最小度为$δ$且围长至少为5的图$G$中，$\M(G)\leq(1+o_δ(1))\tfrac{3\logδ}{2δ}n$。利用前面的结果，我们给出了随机$d$ -正则图的最小可识别码的大小的精确估计，它约为$\tfrac{\log d}{d}n$。
2012-09-21 cs.DM math.CO
Identifying codes in vertex-transitive graphs and strongly regular graphs
本文研究了图的识别码的计算问题及其分数松弛问题。最优整数解和分数解的大小之比在1和2 ln（|V|）+1之间，其中V是图的顶点集。我们专注于点传递图，我们可以计算精确的分数解。有已知的顶点传递图的例子，达到两个界限。我们给出了具有整数和分数阶识别码的点传递图的无穷族，其中|V| ^a的a在{1/4，1/3，2/5}中.这些族是广义四边形（基于有限几何的强正则图）。并给出了图的度量维数的例子。
2016-07-06 cs.DM math.CO
On the size of identifying codes in triangle-free graphs
在无向图$G$中，一个子集$C\subseteq V(G)$，使得$C$是$G$的支配集，并且$V(G)$中的每个顶点都被来自$C$的一个不同的顶点子集支配，称为$G$的标识码。识别码的概念是由Karpovsky，Chakrabarty和Levitin在1998年提出的。对于给定的可识别图$G$，令$\M(G)$是$G$中的识别码的最小基数。本文证明了：对于任意连通可识别无三角形图$G$，$n$上的顶点具有最大度$Δ\geq 3$，$\M(G)\le n-\tfrac{n}{Δ+o(Δ)}$ .这个界限是渐近紧的常数，由于各种类别的图，包括$(Δ-1)$ -ary树，这是已知的有其最小识别码的大小$n-\tfrac{n}{Δ-1+o(1)}$。我们还提供了改进的限制性的无三角形图的子族的界限，并猜想存在一些常数$c$，使得界$\M(G)\le n-\tfrac{n}Δ+c$保持任何非平凡的连接可识别图$G$。
2012-06-29 cs.DM math.CO
Identifying codes in hereditary classes of graphs and VC-dimension
图的标识码是图的顶点的子集，使得图的每个顶点都由其在码内的邻居的集合唯一地标识。我们证明了在诱导子图下闭图类中最小识别码的大小的二分法。我们的二分法是从所考虑的类C的VC维数导出的，即C的元素的闭邻域所形成的超图上的最大VC维数。我们发现，具有无限VC-维的遗传类有无穷多个图的识别码的大小对数的顶点数，而有限VC-维类有一个多项式下界。然后我们转向近似算法。我们证明了对于任意VC维无穷大的遗传类，在给定的图中从某个类中找到最小识别码的问题是log-APX-困难的。对于VC维数有限的遗传类，已知的唯一结果表明，在某些特殊的遗传类中，如线图、平面图和单位区间图，我们可以在一个常数因子内逼近识别码问题。我们证明了它可以近似在一个因子6的区间图。与此相反，我们证明了在C_4-free偶图（一类有限VC-维数）上，对于某些c>0，它不能被近似到c.log（|V|）的因子内。
2017-04-14 cs.DM math.CO
On identifying codes on oriented graphs
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Indian Institute of Technology Dharwad（达瓦尔印度理工学院）
本文从计算复杂性视角研究有向图上的识别码，针对d-正则图族的F-Id Code问题，证明当d≤1时该问题多项式时间可解，d≥2时为NP完全问题，建立了该问题的完全二分性。
2026-08-28 cs.DM math.CO
Locating and Identifying Codes in Circulant Networks
一个图G的顶点集S称为G的控制集，如果G的每个顶点u要么在S中，要么在S中有一个邻点。换句话说，S是支配的，如果集合S \cap N[u]，其中u \in V（G）和N[u]表示u在G中的闭邻域，都是非空的。一个集合S \subseteq V（G）称为G中的定位码，如果集合S \cap N[u]，其中u \in V（G）\setminus S都是非空且不同的.一个集合S \subseteq V（G）称为G中的一个识别码，如果集合S \cap N[u]，其中u \in V（G）都是非空且不同的.研究了循环网络C_n（1，3）中码的定位和识别问题.对于n>6，图C_n（1，3）有顶点集Z_n和边xy，其中x，y \in Z_n和|X-Y| \in {1，3}。证明了C_n（1，3）中的最小定位码的大小为\lceil n/3 \rceil + c，其中c \in {0，1}; C_n（1，3）中的最小识别码的大小为\lceil 4 n/11 \rceil + c '，其中c' \in {0，1}.
2012-07-19 cs.DM math.CO
Optimal bounds on codes for location in circulant graphs
近年来，$C_n(1,2,3,\dots, r)$型循环图的识别和定位控制码得到了广泛的研究。在2013年，Ghebleh和Niepel研究了$d=3$循环图$C_n(1,d)$中的位置控制码和识别码，并提出了$d > 3$的情况作为一个开放问题。本文研究了图$C_n(1,d)$、$C_n(1,d-1,d)$和$C_n(1,d-1,d,d+1)$中的可识别码、定位控制码和自识别码。我们给出了一种新的方法来研究这三个代码在循环图中使用适当的网格的下界。此外，我们表明，这些边界达到无穷多个参数$n$和$d$。此外，还提出了新的方法，给出了$C_n(1,3)$和$C_n(1,4).$中最佳自识别码的精确值
2018-02-05 cs.DM math.CO
On the Vertices That Belong to All Minimum Identifying Codes
本文研究图中属于所有最小标识码的顶点，区分始终强制与最小强制顶点，证明真最小强制顶点数量的上界为2n/3，构造达到该界减一的图族，并证明相关判定问题是co-NP难的。
2026-09-10 cs.DM math.CO
Random subgraphs make identification affordable
一个图的标识码是一个控制集，它通过所有顶点在码内的邻域唯一地确定所有顶点。而具有大的最小度的图具有小的控制数，这不是识别码数（最小识别码的大小）的情况，它甚至不是图包含的单调参数。我们证明了对于某个常数$c>0$，每个顶点数为$n$，最大度为$Δ=ω(1)$，最小度为$δ\geq c\logΔ$的图$G$都包含一个大生成子图，该图允许一个识别码的大小为$O\left(\frac{n\logΔ}δ\right)$ .特别地，如果$δ=Θ(n)$，则$G$具有带有标识码$O\left(\log n\right)$的稠密生成子图，即具有渐近最优大小。我们构建的子图是使用概率方法创建的，我们使用各种随机方法的相互作用来分析它。此外，我们表明，无论是在删除边的数量和识别码的大小方面，结果基本上是最好的。
2013-06-04 cs.DM math.CO
On two variations of identifying codes
识别码在1998年被引入到多处理器系统的故障检测模型中。在本文中，我们介绍了两种不同的识别码：弱码和轻码。它们对应于连续轮的故障检测。我们给出了这两个定义的确切界限的家庭的周期。
2011-06-17 cs.DM cs.IT math.CO
Periodicity of identifying codes in strips
图中的标识码是与每个顶点的闭邻域具有非空且不同的交集的顶点子集。证明了$S_k$（正方形网格中的无限长$k$行）中任意识别码的下确界密度都可以由模式长度至多为$2^{4k}$的周期性识别码得到.借助于Karp最小循环均值算法的计算机程序，我们在$S_4$中找到了一个具有最小密度$11/28$的周期识别码，在$S_5$中找到了一个具有最小密度$19/50$的周期识别码.
2016-10-17 cs.DM
Lexicographic identifying codes
图中的标识码是与顶点邻域对之间的所有对称差相交的顶点集合。并不是所有的图都有识别码;有识别码的图被称为无孪生图。在本文中，我们设计了一个算法，在O（n^3）二元运算中找到一个在n个顶点上的无孪生图中的标识码，并且如果图不是无孪生图则返回失败。我们还确定了一个替代稀疏图的运行时间为O（n^2d log n）二元运算，其中d是最大程度。我们还证明了这些算法可以返回任何识别码的基数最小，只要顶点是正确排序。
2013-04-09 cs.DM cs.IT math.CO
Identifying Codes of Degree 4 Cayley Graphs over Abelian Groups
本文给出了一类建立在有限阿贝尔群上的四度正则Cayley图的识别码。这个结构中的一些代码也是完美的。所考虑的图包括一些著名的图，如环面，扭曲环面和两个圈的Kronecker积。因此，代码可用于这些图中的识别。最后，这些代码可以应用于自适应识别这些图的一个例子。
2014-12-18 cs.DM cs.IT math.CO
Discriminating and Identifying Codes in the Binary Hamming Space
令$F^n$是二进制$n$ -立方体，或维度为$n$的二进制汉明空间，赋予汉明距离，并且${\cal E}^n$（分别为${\cal O}^n$）是具有偶（分别为奇）权重的向量的集合。对于$r\geq 1$和$x\in F^n$，我们用$B_r(x)$表示半径为$r$和中心为$x$的球。代码$C\subseteq F^n$被称为$r$ -标识集合$B_r(x) \cap C$、$x\in F^n$是否都是非空且不同的。如果集合$B_r(x) \cap C$、$x\in {\cal O}^n$都是非空且不同的，则称代码$C\subseteq {\cal E}^n$是$r$ -判别的。我们证明了这两个定义，这是给一般的图，在汉明空间的情况下是等价的，在以下意义上：对于任何奇数$r$，有一个双射之间的一组$r$ -识别码在$F^n$和一组$r$ -歧视码在$F^{n+1}$。然后，我们扩展了以前的研究在汉明空间中的识别码的最小基数的建设性上界。
2007-03-14 cs.DM
Tolerant identification with Euclidean balls
识别码的概念是由Karpovsky，Chakrabarty和Levitin在1998年提出的。识别码可以应用于例如传感器网络。在本文中，我们将集合Z^2视为传感器，其中一个传感器可以在欧几里得距离r内检查其邻居。我们构建宽容的识别码在这个网络中，对每个传感器监测的邻居的一些变化是强大的。我们给出了一个宽容的识别代码的一般值的r和Delta的最小密度的界限。我们还提供了无限的家庭的价值观（r，德尔塔）与最佳的这样的代码和研究的情况下，小值的r。
2012-03-01 cs.DM cs.IT math.CO
Probabilistic Existence Results for Parent-Identifying Schemes
父母识别方案为一些信息系统（如数字指纹和组测试）提供了一种从结果中识别原因的方法。在本文中，我们考虑组合结构的父母识别计划。首先，我们建立了双亲识别方案和禁止配置之间的等价关系。基于这种关系，我们推导出两个相关的组合结构，即$t$ -父母识别集系统（$t$ -IPPS）和$t$ -多媒体父母识别码（$t$ -MIPPC），这分别用于广播加密和多媒体指纹的概率存在下界。$t$的最大尺寸的概率下界在许多情况下具有渐近最优数量级，并且$t$-MIPPC的概率下界在$t=2$时提供渐近最优码率，并且在$t\geq 3$时提供最佳已知渐近码率。此外，我们分析了$2$ -IPPS的结构，并证明了某些情况下的一些界限。
2019-06-03 cs.DM cs.IT math.CO
