The Oriented Chromatic Number of the Hexagonal Grid is 6
本文证明了六边形网格的有向色数下界为6，从而填补了Bielak（2006）留下的上下界差距，确定其有向色数确切为6。
2023-07-28 math.CO
(l,k)-Routing on Plane Grids
分组路由问题在通信网络中起着至关重要的作用。它涉及如何在合理的时间内将数据从某些来源传输到某些目的地。在$(\ell,k)$ -路由问题中，每个节点可以发送最多$\ell$分组和接收最多$k$分组。排列路由是$\ell=k=1$的特殊情况。在$r$ -中心路由问题中，距离固定节点$v$最多$r$的所有节点都希望向$v$发送分组。本文研究了平面网格（正方形网格、三角形网格和六边形网格）上的置换布线、$r$ -中心布线和一般的$(\ell,k)$ -布线问题。我们使用的\emph{store-and-forward} $Δ$端口模型，我们认为全双工和半双工网络。我们首先调查现有的结果在文献中的数据包路由，特别强调$(\ell,k)$ -平面网格上的路由。我们的主要贡献如下：1.全双工六边形网格、半双工三角形网格和六边形网格上的紧排列路由算法。2.紧$r$ -三角形和六边形网格上的中心路由算法。3.紧$(k,k)$ -在正方形、三角形和六边形网格上的路由算法。4. $(\ell,k)$的良好近似算法（在运行时间方面）-在正方形，三角形和六边形网格上布线，以及使用最短路径布线的任何算法的运行时间的新下限。这些算法都是完全分布式的，即，可以在每个节点独立实现。最后，我们也将$(\ell,k)$ -路由问题表示为二部图上的\textsc{Weighted Edge Coloring}问题。
2009-11-23 math.CO
Stones, Bones, and Snakes: Tilability of the hexagonal grid via the double dimer model
本文针对六边形网格的有限区域，利用SL₂(C)矩阵提出了一种新的符号铺砌必要条件，该条件源于双二聚体模型研究，用于判断区域能否被石头、骨头和蛇瓦片铺砌。
2025-09-25 math.CO
Independence Complexes of Hexagonal Grid Graphs
Indian Institute of Technology Bhilai（印度理工学院比莱分校）
本文研究了六边形网格图的独立复形拓扑结构，确定了不同参数下的同伦类型，并给出了递归描述。
2025-12-24 math.AT math.CO
New Bounds on the Minimum Density of a Vertex Identifying Code for the Infinite Hexagonal Grid
对于图$G$和顶点$v \in V(G)$，设$N[v]$是与$v$相邻并包括$v$的顶点的集合。如果对于任何两个不同的顶点$v_1, v_2 \in V(G)$，顶点集合$N[v_1] \cap D$和$N[v_2] \cap D$是不同的且非空的，则集合$D \subseteq V(G)$是顶点标识码。本文研究了无限六边形网格顶点识别码的最小密度问题。在2000年，Cohen等人构造了两个密度为$3/7 \approx 0.428571$的码，这仍然是最著名的上限。到目前为止，最著名的下界是$12/29 \approx 0.413793$，由Cranston和Yu在2009年证明。我们提出了三个密度为3/7的新码，并将其下界改进为$5/12 \approx 0.416667$。
2011-10-05 math.CO
A full Halin grid theorem
本研究强化了Halin网格定理，证明顶点传递且局部有限的图要么与树拟等距（无粗端），要么包含完整六边形网格的细分图，完善了相关图论结论。
2024-03-09 math.CO
A New Lower Bound on the Density of Vertex Identifying Codes for the Infinite Hexagonal Grid
给定图$G$，标识码$C \subseteq V(G)$是顶点集，使得对于任何两个不同的顶点$v_1,v_2\in V(G)$，集合$N[v_1]\cap C$和$N[v_2]\cap C$是不同的且非空的（这里$N[v]$表示顶点$v$及其邻居）。我们研究的情况下，当$G$是无限六边形网格$H$。Cohen等人构造了密度为$3/7$的两个$H$识别码，并证明了任何$H$识别码的密度至少为$16/39\approx0.410256$。它们的上界和下界都是迄今为止最为人所知的。这里我们证明了$12/29\approx0.413793$的一个下界。
2010-06-18 cs.DS math.CO
An improved lower bound for (1,<=2)-identifying codes in the king grid
如果对于所有大小至多为$\ell$的顶点子集$X$，其集合$\{c\in C |\exists u \in X, d(u,c)\leq 1\}$是不同的，则称图$G$的顶点子集$C$为$(1,\leq \ell)$ -标识码.识别码的概念是由Karpovsky，Chakrabarty和Levitin在1998年提出的。识别码已经在各种网格中进行了研究。特别地，已经表明，在密度为3/7的主网格中存在$(1,\leq 2)$识别码，并且不存在密度小于5/12的这种识别码。使用一个合适的框架和放电过程，我们通过显示任何$(1,\leq 2)$识别码的国王网格的密度至少为47/111，提高了下界。
2011-11-10 cs.DM math.CO
New lower bound for 2-identifying code in the square grid
图$G = (V,E)$中的$r$标识码是子集$C \subseteq V$，使得对于每个$u \in V$，$C$与以$u$为中心的半径为$r$的球的交集是非空且唯一的。以前，$r$ -识别码已经在各种网格中进行了研究。特别地，已经表明，在具有密度$5/29 \approx 0.172$的正方形网格中存在2-识别码，并且不存在密度小于$3/20 = 0.15$的2-识别码。最近，下界已经由Martin和Stanton（2010）改进为$6/37 \approx 0.162$。本文进一步改进了这个下界，证明了在密度小于$6/35 \approx 0.171$的正方形网格中不存在2-识别码。
2012-10-22 cs.DM math.CO
Firefighting on the Hexagonal Grid and on Infinite Trees
无限图$G$上的$k$消防员问题是一个迭代图过程，定义如下：假设火灾发生在第1轮的给定顶点$v\in V(G)$。在随后的每个偶数回合中，$k$消防员会保护未着火的$k$顶点，而在随后的每个奇数回合中，着火的任何顶点都会将火势蔓延到所有相邻的未受保护的顶点。消防队员的目标是最终阻止火势蔓延。如果存在一个策略让$k$消防员最终阻止火势蔓延，那么我们说$G$是$k$可控制的。我们考虑六角网格上的消防员问题，这是一个图的顶点和边正是一个正六边形平铺的平面的顶点和边。尚不清楚六边形网格是否可包含$1$。在arXiv：1305.7076 [math.CO]中，研究表明，如果消防员每回合有一名消防员，两回合有一名额外的消防员，消防员可以控制火势。我们改进了这个结果，表明即使只有一个额外的消防队员在一个回合，消防队员仍然可以控制火灾。此外，我们探讨了出生序列树的$k$ -可包含性，出生序列树是无限的有根树，具有相同级别的每个顶点具有相同的度的属性。出生序列森林是一个无限森林，其每个组成部分是一棵出生序列树。对于出生序列树和森林，火总是从每棵树的根开始。我们提供了一个伪多项式时间算法来决定是否所有的顶点在一个固定的水平可以保护或没有。
2021-06-06 math.CO
Optimal and quasi-optimal locating-dominating densities in the infinite hexagonal grid with a finite number of rows
Institute of Mathematics, Statistics and Computer Science - University of São Paulo（圣保罗大学数学、统计和计算机科学学院）
本文针对有限行无限六边形网格H_k，提出精确指数算法求k≤5的最优解，通过整数线性规划结合H_3最优解得到k≥6的准最优解，偏差不超1.3%，所有解描述极短。
2026-08-04 math.CO
Firefighting on square, hexagonal, and triangular grids
在本文中，我们考虑的\emph{firefighter problem}上的图$G=(V,E)$是有限的或无限的。假设在给定顶点$v \in V$发生火灾。在随后的每个时间单元中，消防员保护一个尚未着火的顶点，然后火灾蔓延到所有未受保护的着火顶点的邻居。消防员的目标是保存尽可能多的顶点（如果$G$是有限的）或阻止火势蔓延（对于无限的情况）。有限图$G$的存活率$ρ(G)$定义为当火灾发生在均匀随机选择的$G$的一个顶点上时，可以保存的顶点的期望百分比。对于一个有限的正方形网格$P_n \square P_n$，我们表明，$5/8 + o(1) \le ρ(P_n \square P_n) \le 67243/105300 + o(1)$（离开间隙小于0.014）和猜测，生存率是渐近的5/8。本文定义了无限图的生存率，并证明了它是1/4的无限正方形网格，即使在许多初始火灾的情况下。对于无限的六边形网格，我们提供了一个获胜的策略，如果两个额外的顶点可以在任何一点的过程中得到保护，我们推测，消防员没有策略来阻止火灾没有额外的帮助。我们还展示了如何通过一个常数因子来降低火灾蔓延的速度。
2014-06-18 math.CO
An optimal algorithm for geodesic mutual visibility on hexagonal grids
本文针对六边形网格上的机器人群体，提出最优算法解决测地线相互可见性问题，通过确定最大相互可见顶点数，实现无碰撞最短路径通信，兼顾机密性与效率。
2024-05-29 cs.DC math.CO
Independence Complexes of Cylinders Constructed from Square and Hexagonal Grid Graphs
Fendley，Schoutens和van Eerten [Fendley等人，J. Phys. A：Math. Gen.，38（2005），pp. 315-322]研究了负活性下的硬正方形模型。他们找到了分析和数值证据，证明具有周期性边界的传递矩阵的特征值都是单位根。他们还证明，对于一个m × n的正方形网格，具有双周期边界，当m和n是互素时，分拆函数等于1。这些结构后来由Jonsson [Jonsson，Electronic J. Combin.，13（1）（2006），R67]。在那里，人们还注意到，圆柱形的情况下，似乎有有趣的性质时，圆柱体的周长是奇数。特别地，当3是圆柱体的周长和宽度的除数减1时，分拆函数是-2。否则，它等于1。本文利用拓扑和组合的方法研究了活动为-1的硬正方形和硬六边形模型，具有单周期边界，即圆柱形识别。我们计算相关的独立复杂的小尺寸的同调群，并建议匹配，我们相信，与进一步的分析，可以帮助解决这个猜想。
2008-12-05 math.CO
On Shellability of 3-Cut Complexes of Hexagonal Grid Graphs
Department of Mathematics, Indian Institute of Technology Bhilai（印度理工学院比亚利学院数学系）
本文证明了六边形网格图的3-割复形对于所有m,n≥1都是壳性的，并给出了壳序构造及球面数量的计数公式。
2026-02-04 math.CO
The Exact End-Degree Threshold for Finite-Width Directed Hexagonal Grids
School of Mathematical Sciences, Shenzhen University（深圳大学数学科学学院）；School of Science, Shenyang Aerospace University（沈阳航空航天大学理学院）
该研究解决了Hamann和Heuer提出的问题，确定了有限宽度有向六角网格的精确端度阈值k(n)，并得出对偶极值参数W(d)的表达式。
2026-08-25 math.CO
A pentagonal number theorem for tribone tilings
本文研究六边形网格中双参数近似六边形区域的 tribones 平铺问题，证明平铺存在当且仅当两个参数为成对五边形数。
2023-07-07 math.CO
Optimal local identifying and local locating-dominating codes
University of Turku（图尔库大学）
本文研究了图中新的覆盖码类，提出局部1-识别码和局部1-定位-支配码，并给出了其最优大小的渐近紧界，同时探讨了在不同网格中的密度。
2024-07-04 cs.DM math.CO
Lower bounds for identifying codes in some infinite grids
图$G$上的$r$ -标识码是一个集合$C\subset V(G)$，使得对于$V(G)$中的每个顶点，半径- $r$闭邻域与$C$的交集非空且唯一.在有限图上，码的密度是$|C|/|V(G)|$，它自然地扩展到某些局部有限的无限图中的密度定义。我们提出了新的下界的代码的密度为一些小的值$r$在正方形和六边形网格。
2010-04-19 math.CO
On Vertex Identifying Codes For Infinite Lattices
博士论文--“若干无限网格中识别码的下界”、“六角网格中r-识别码的改进界”、“n维格点识别码”等论文汇编
2011-02-13 math.CO
Improved Bounds for $r$-Identifying Codes of the Hex Grid
对任意正整数$r$，图$G$上的$r$ -标识码是一个集合$C\subset V(G)$，使得对$V(G)$中的每个顶点，半径- $r$闭邻域与$C$的交是非空的且两两不同.对于有限图，码的密度是$|C|/|V(G)|$，它自然地扩展到某些局部有限的无限图中的密度定义。我们找到了一个密度小于$5/(6r)$的码，它比密度近似为$8/(9r)$的先验最佳构造更稀疏。
2010-04-08 math.CO
Finding codes on infinite grids automatically
University of Turku（图尔库大学）
利用自动机理论和Karp算法，研究编码理论中的最小密度问题，发现无限六边形网格识别码的最小密度新上限为53/126≈0.4206，优于之前的3/7≈0.4286。
2024-07-09 cs.DM cs.FL math.CO
Two-Dimensional Patterns with Distinct Differences -- Constructions, Bounds, and Maximal Anticodes
如果连接两个点的任何两条线的长度或斜率不同，则二维网格称为\emph{configuration with distinct differences}。已知这些配置具有许多应用，诸如雷达、声纳、物理对准和时间-位置同步。而不是限制点躺在一个正方形或矩形，如前所述，我们限制的配置点之间的最大距离，这样做的动机是一个新的应用程序，这样的配置在无线传感器网络中的密钥分配。我们认为配置在六边形网格以及在传统的正方形网格中，与测量的距离都在欧几里德度量，并在曼哈顿或六边形度量。我们注意到，这些配置被限制在相应的网格中的最大反码。我们在每个网格中的每个直径分类最大的反码。我们提出了上界的点的数量在这些最大的反码中所包含的具有明显差异的模式。我们的边界解决（在消极的）一个问题的Golomb和泰勒的存在的蜂窝阵列的任意大的尺寸。我们目前的建设和下界上的点的数量在配置中包含在各种二维形状（如反码）的不同差异，考虑周期性的配置，在正方形网格中的不同差异。
2009-10-08 math.CO
On Iiro Honkala's contributions to identifying codes
Télécom Paris（巴黎电信学院）；University of Turku（图尔库大学）；CNRS Université Paris-Saclay（法国国家科学研究中心巴黎萨克雷大学）
本文综述了伊罗·洪卡拉在识别码研究中的多方面贡献，包括计算复杂性、二进制汉明空间的组合学、无限网格、识别码与常规图参数的关系、允许识别码的图结构特性以及最优识别码数量。
2024-07-04 cs.DM math.CO
Progress on Self Identifying Codes
本文研究自识别码，证明任意图最小自识别码基数的确定是NP完全的，并探讨了三次图和无限网格中的最小自识别码。
2025-04-19 cs.DM math.CO
Improved Bounds on the Span of $L(1,2)$-edge Labeling of Some Infinite Regular Grids
对于两个给定的非负整数$h$和$k$，图$G$的$L(h,k)$ -边标号是指给图的边分配标号$\{0,1, \cdots, n\}$，使得具有公共顶点的两条边至少用$h$的差标号，而没有公共顶点但有公共边连接它们的两条边至少用$k$的差标号.跨度$λ'_{h,k}{(G)}$是$G$允许$L(h,k)$ -边标记的最小$n$。在这里，我们的主要重点是寻找$L(1,2)$的$λ'_{1,2}{(G)}$-无限正六边形（$T_3$），正方形（$T_4$），三角形（$T_6$）和八边形（$T_8$）网格的边缘标记。已知$7 \leq λ'_{1,2}{(T_3)} \leq 8$、$10 \leq λ'_{1,2}{(T_4)} \leq 11$、$16 \leq λ'_{1,2}{(T_6)} \leq 20$和$25 \leq λ'_{1,2}{(T_8)} \leq 28$。在这里，我们解决了两个长期存在的开放问题，即$λ'_{1,2}{(T_3)}$和$λ'_{1,2}{(T_4)}$。我们显示$λ'_{1,2}{(T_3)} =7$、$λ'_{1,2}{(T_4)}= 11$。我们还改进了$T_6$和$T_8$的界，证明了$λ'_{1,2}{(T_6)} \geq 18$，$ λ'_{1,2}{(T_8)} \geq 26$ .
2022-01-18 cs.DM math.CO
Optimal Error-detection system for Identifying Codes
假设图$G$为具有可能的"入侵者”的设施或具有可能的故障处理器的多处理器网络的检测系统建模。我们考虑在$G$中的顶点子集上放置检测器以确定入侵者的位置（如果存在）的问题。许多类型的检测系统已被定义为不同的传感器功能，特别是，我们专注于识别代码，其中每个检测器可以确定是否有一个入侵者在其封闭的邻居。在这项研究中，我们探讨了一个容错的变种，识别代码适用于现实世界的系统。具体地，错误检测识别码允许来自任何单个检测器的假阴性传输。我们研究了几类图中的最小尺寸检错识别码，包括三次图和无限网格，并证明了在任意图中确定所述最小尺寸的问题是NP-完全的。
2022-08-11 cs.DM math.CO
Optimal open-locating-dominating sets in infinite triangular grids
开定位支配集（OLD-set）是图的顶点子集，使得图中的每个顶点在集合中至少有一个邻居，并且图中没有两个顶点在集合中有相同的邻居集。这是一个类似的充分研究的识别码在文献中。本文证明了无限三角形网格上OLD-集的最优密度为$4/13$。
2014-03-27 math.CO
Optimal bounds on codes for location in circulant graphs
近年来，$C_n(1,2,3,\dots, r)$型循环图的识别和定位控制码得到了广泛的研究。在2013年，Ghebleh和Niepel研究了$d=3$循环图$C_n(1,d)$中的位置控制码和识别码，并提出了$d > 3$的情况作为一个开放问题。本文研究了图$C_n(1,d)$、$C_n(1,d-1,d)$和$C_n(1,d-1,d,d+1)$中的可识别码、定位控制码和自识别码。我们给出了一种新的方法来研究这三个代码在循环图中使用适当的网格的下界。此外，我们表明，这些边界达到无穷多个参数$n$和$d$。此外，还提出了新的方法，给出了$C_n(1,3)$和$C_n(1,4).$中最佳自识别码的精确值
2018-02-05 cs.DM math.CO
On minimum identifying codes in some Cartesian product graphs
图中的标识码是支配集，支配集还具有图中每个顶点的闭邻域与集合具有不同的交集的性质。图$G$中的标识码或ID码的最小基数称为$G$的ID码号，并表示为$\gid(G)$。本文给出了图的棱柱的ID码数的上、下界，即$G\Box K_2$。特别是，我们表明，$\gid(G \Box K_2) \ge \gid(G)$，我们表明，这个界限是尖锐的。给出了格图ID码数的上、下界和$\gid(G\Box K_2)$的一般上界。
2016-02-12 math.CO
Optimal Sensor Placement in Power Grids: Power Domination, Set Covering, and the Neighborhoods of Zero Forcing Forts
为了监控整个电网的电气活动并减少停电，可以安装称为相量测量单元的传感器。由于实施成本的原因，期望在确保可以有效地监测电网的同时最小化部署的传感器的数量。这个优化问题激发了图论的幂支配集问题。在本文中，我们提出了一个新的整数规划识别最小功率控制集，制定了一个集覆盖问题。这个问题的约束对应于迫零的邻域;我们研究了它们的结构特性，并表明它们可以分离，从而可以通过行生成来解决所提出的模型。在几个计算实验中，所提出的方法始终表现出一个数量级的改善，在运行时的性能的建议和现有的方法进行了比较。
2020-06-04 cs.DM cs.DS math.CO
