(l,k)-Routing on Plane Grids
分组路由问题在通信网络中起着至关重要的作用。它涉及如何在合理的时间内将数据从某些来源传输到某些目的地。在$(\ell,k)$ -路由问题中，每个节点可以发送最多$\ell$分组和接收最多$k$分组。排列路由是$\ell=k=1$的特殊情况。在$r$ -中心路由问题中，距离固定节点$v$最多$r$的所有节点都希望向$v$发送分组。本文研究了平面网格（正方形网格、三角形网格和六边形网格）上的置换布线、$r$ -中心布线和一般的$(\ell,k)$ -布线问题。我们使用的\emph{store-and-forward} $Δ$端口模型，我们认为全双工和半双工网络。我们首先调查现有的结果在文献中的数据包路由，特别强调$(\ell,k)$ -平面网格上的路由。我们的主要贡献如下：1.全双工六边形网格、半双工三角形网格和六边形网格上的紧排列路由算法。2.紧$r$ -三角形和六边形网格上的中心路由算法。3.紧$(k,k)$ -在正方形、三角形和六边形网格上的路由算法。4. $(\ell,k)$的良好近似算法（在运行时间方面）-在正方形，三角形和六边形网格上布线，以及使用最短路径布线的任何算法的运行时间的新下限。这些算法都是完全分布式的，即，可以在每个节点独立实现。最后，我们也将$(\ell,k)$ -路由问题表示为二部图上的\textsc{Weighted Edge Coloring}问题。
2009-11-23 math.CO
Stones, Bones, and Snakes: Tilability of the hexagonal grid via the double dimer model
本文针对六边形网格的有限区域，利用SL₂(C)矩阵提出了一种新的符号铺砌必要条件，该条件源于双二聚体模型研究，用于判断区域能否被石头、骨头和蛇瓦片铺砌。
2025-09-25 math.CO
Independence Complexes of Hexagonal Grid Graphs
Indian Institute of Technology Bhilai（印度理工学院比莱分校）
本文研究了六边形网格图的独立复形拓扑结构，确定了不同参数下的同伦类型，并给出了递归描述。
2025-12-24 math.AT math.CO
On the chromatic numbers of signed triangular and hexagonal grids
符号图是具有两种边的单图。切换有符号图的顶点$v$对应于将每个边的类型改变为$v$。从符号图$G$到另一符号图$H$的同态是映射$φ: V(G) \rightarrow V(H)$，使得在切换$G$的任意数量的顶点之后，$φ$将$G$的每条边映射到$H$中相同类型的边。符号图$G$的色数$χ_s(G)$是最小符号图$H$的阶，使得存在从$G$到$H$的同态。我们证明了符号三角形网格的色数至多为10，符号六边形网格的色数至多为4。
2020-12-17 cs.DM math.CO
A full Halin grid theorem
本研究强化了Halin网格定理，证明顶点传递且局部有限的图要么与树拟等距（无粗端），要么包含完整六边形网格的细分图，完善了相关图论结论。
2024-03-09 math.CO
Firefighting on the Hexagonal Grid and on Infinite Trees
无限图$G$上的$k$消防员问题是一个迭代图过程，定义如下：假设火灾发生在第1轮的给定顶点$v\in V(G)$。在随后的每个偶数回合中，$k$消防员会保护未着火的$k$顶点，而在随后的每个奇数回合中，着火的任何顶点都会将火势蔓延到所有相邻的未受保护的顶点。消防队员的目标是最终阻止火势蔓延。如果存在一个策略让$k$消防员最终阻止火势蔓延，那么我们说$G$是$k$可控制的。我们考虑六角网格上的消防员问题，这是一个图的顶点和边正是一个正六边形平铺的平面的顶点和边。尚不清楚六边形网格是否可包含$1$。在arXiv：1305.7076 [math.CO]中，研究表明，如果消防员每回合有一名消防员，两回合有一名额外的消防员，消防员可以控制火势。我们改进了这个结果，表明即使只有一个额外的消防队员在一个回合，消防队员仍然可以控制火灾。此外，我们探讨了出生序列树的$k$ -可包含性，出生序列树是无限的有根树，具有相同级别的每个顶点具有相同的度的属性。出生序列森林是一个无限森林，其每个组成部分是一棵出生序列树。对于出生序列树和森林，火总是从每棵树的根开始。我们提供了一个伪多项式时间算法来决定是否所有的顶点在一个固定的水平可以保护或没有。
2021-06-06 math.CO
Optimal and quasi-optimal locating-dominating densities in the infinite hexagonal grid with a finite number of rows
Institute of Mathematics, Statistics and Computer Science - University of São Paulo（圣保罗大学数学、统计和计算机科学学院）
本文针对有限行无限六边形网格H_k，提出精确指数算法求k≤5的最优解，通过整数线性规划结合H_3最优解得到k≥6的准最优解，偏差不超1.3%，所有解描述极短。
2026-08-04 math.CO
Firefighting on square, hexagonal, and triangular grids
在本文中，我们考虑的\emph{firefighter problem}上的图$G=(V,E)$是有限的或无限的。假设在给定顶点$v \in V$发生火灾。在随后的每个时间单元中，消防员保护一个尚未着火的顶点，然后火灾蔓延到所有未受保护的着火顶点的邻居。消防员的目标是保存尽可能多的顶点（如果$G$是有限的）或阻止火势蔓延（对于无限的情况）。有限图$G$的存活率$ρ(G)$定义为当火灾发生在均匀随机选择的$G$的一个顶点上时，可以保存的顶点的期望百分比。对于一个有限的正方形网格$P_n \square P_n$，我们表明，$5/8 + o(1) \le ρ(P_n \square P_n) \le 67243/105300 + o(1)$（离开间隙小于0.014）和猜测，生存率是渐近的5/8。本文定义了无限图的生存率，并证明了它是1/4的无限正方形网格，即使在许多初始火灾的情况下。对于无限的六边形网格，我们提供了一个获胜的策略，如果两个额外的顶点可以在任何一点的过程中得到保护，我们推测，消防员没有策略来阻止火灾没有额外的帮助。我们还展示了如何通过一个常数因子来降低火灾蔓延的速度。
2014-06-18 math.CO
An optimal algorithm for geodesic mutual visibility on hexagonal grids
本文针对六边形网格上的机器人群体，提出最优算法解决测地线相互可见性问题，通过确定最大相互可见顶点数，实现无碰撞最短路径通信，兼顾机密性与效率。
2024-05-29 cs.DC math.CO
Automated Discharging Arguments for Density Problems in Grids
放电参数显示了局部结构和全球平均值之间的联系。这使得它成为证明无限网格中特殊集密度下界的有效工具。然而，六边形网格中的识别码的最小密度保持开放，上限为$\frac{3}{7} \approx 0.428571$，下限为$\frac{5}{12}\approx 0.416666$。我们提出了一个新的实验框架，使用算法产生放电参数。该算法取代了冗长的情况下分析的人写放电参数与线性规划，产生最好的可能的下限使用指定的放电规则集。我们使用这个框架提出了一个下界的$\frac{23}{55} \approx 0.418181$的密度识别代码在六边形网格，也发现了几个尖锐的下界的变化识别代码在六边形，正方形和三角形网格。
2014-09-20 cs.DM math.CO
Independence Complexes of Cylinders Constructed from Square and Hexagonal Grid Graphs
Fendley，Schoutens和van Eerten [Fendley等人，J. Phys. A：Math. Gen.，38（2005），pp. 315-322]研究了负活性下的硬正方形模型。他们找到了分析和数值证据，证明具有周期性边界的传递矩阵的特征值都是单位根。他们还证明，对于一个m × n的正方形网格，具有双周期边界，当m和n是互素时，分拆函数等于1。这些结构后来由Jonsson [Jonsson，Electronic J. Combin.，13（1）（2006），R67]。在那里，人们还注意到，圆柱形的情况下，似乎有有趣的性质时，圆柱体的周长是奇数。特别地，当3是圆柱体的周长和宽度的除数减1时，分拆函数是-2。否则，它等于1。本文利用拓扑和组合的方法研究了活动为-1的硬正方形和硬六边形模型，具有单周期边界，即圆柱形识别。我们计算相关的独立复杂的小尺寸的同调群，并建议匹配，我们相信，与进一步的分析，可以帮助解决这个猜想。
2008-12-05 math.CO
Lions and contamination, triangular grids, and Cheeger constants
假设图的每个顶点最初都被污染占据，除了那些被狮子占据的顶点。当狮子在图上徘徊时，它们会清除所访问的每个顶点的污染。然而，污染同时扩散到任何相邻的顶点没有被狮子占据。需要多少头狮子才能清除污染图？我们给出了一个下界的狮子的数量方面的Cheeger常数的图。此外，Brass等人和Berger等人已经在正方形网格图上详细研究了狮子和污染问题，并将这一分析扩展到三角网格图的设置。
2021-07-03 cs.DS math.CO
On Shellability of 3-Cut Complexes of Hexagonal Grid Graphs
Department of Mathematics, Indian Institute of Technology Bhilai（印度理工学院比亚利学院数学系）
本文证明了六边形网格图的3-割复形对于所有m,n≥1都是壳性的，并给出了壳序构造及球面数量的计数公式。
2026-02-04 math.CO
The Exact End-Degree Threshold for Finite-Width Directed Hexagonal Grids
School of Mathematical Sciences, Shenzhen University（深圳大学数学科学学院）；School of Science, Shenyang Aerospace University（沈阳航空航天大学理学院）
该研究解决了Hamann和Heuer提出的问题，确定了有限宽度有向六角网格的精确端度阈值k(n)，并得出对偶极值参数W(d)的表达式。
2026-08-25 math.CO
The grid theorem for vertex-minors
证明了对于每个圈图$H$，每个秩宽度足够大的图都包含一个同构于$H$的顶点子图.
2020-12-16 math.CO
Polyhedra with hexagonal and triangular faces and three faces around each vertex
本文研究了由六边形和三角形组成且每个顶点有三个面的3-正则平面图（trihexes），通过signature标记法建立了其与等价类的双射，并据此限制了给定顶点数下的trihexes数量及证明了无六边形“belts”的猜想。
2023-06-27 math.CO math.GT
On the Span of $l$ Distance Coloring of Infinite Hexagonal Grid
对于图$G(V,E)$和$l \in \mathbb{N}$，$l$距离着色是$V$的着色$f: V \to \{1, 2, \cdots, n\}$，使得当$d(u,v) \leq l$时$\forall u,\;v \in V,\; u\neq v,\; f(u)\neq f(v)$。这里，$d(u,v)$是$u$和$v$之间的距离，并且等于$G$中连接$u$和$v$的边的最小数目。$G$的$l$距离染色的跨度$λ^{l}(G)$是$G$的所有$l$距离染色中的最小$n$。蜂窝网络中的一类信道分配问题可以表示为规则网格图中的距离图着色问题。蜂窝网络通常被建模为无限六边形网格$T_H$，因此从实际的观点来看，确定$λ^{l}(T_H)$具有相关性。Jacko和Jendrol [Discussiones Mathematicae Graph Theory，$2005$ ]确定了$λ^{l}(T_H)$对于任何奇数$l$和偶数$l \geq 8$的精确值，证明了$λ^{l}(T_H) = \left[ \dfrac{3}{8} \left( \, l+\dfrac{4}{3} \right) ^2 \right]$（其中$[x]$是整数）、$x\in \mathbb{R}$和$x-\dfrac{1}{2} < [x] \leq x+\dfrac{1}{2}$。对于$l=8$，该猜想已…
2022-06-20 cs.DM math.CO
Enumerating independent vertex sets in grid graphs
一个图中的一组顶点称为独立的，如果该组中没有两个顶点由边连接。在本文中，我们使用的状态矩阵递归算法，开发的哦，枚举独立的顶点集在一个网格图，甚至进一步提供的生成函数的顶点数。我们还列举了在一个网格图的二部独立的顶点集。给出了它们的增长率的渐近行为。
2016-09-02 math.CO
A pentagonal number theorem for tribone tilings
本文研究六边形网格中双参数近似六边形区域的 tribones 平铺问题，证明平铺存在当且仅当两个参数为成对五边形数。
2023-07-07 math.CO
Connected domination in grid graphs
给定一个无向单图，如果该图的一个顶点子集中的每个顶点都与该子集中的至少一个顶点相邻，则该子集是{ \em控制集}。图的顶点的子集是{ \em连通控制集}，如果该子集是控制集，并且由该子集导出的子图是连通的。本文确定了$m \times n$格图的连通控制集的最小基数，称为{ \em连通控制数}，它是任意$m$和$n$的连通控制集.
2021-09-29 cs.DS math.CO
Vertex intersection graphs of paths on a grid: characterization within block graphs
我们研究的图，可以表示为一个网格中的水平和垂直路径的顶点交点，所谓的$B_0$ -VPG图。识别这个类是一个NP完全问题。虽然，存在用于识别弦$B_0$ -VPG图的多项式时间算法。本文给出了限制在块图上的$B_0$ -VPG图的最小禁止诱导子图的刻画。作为一个副产品，证明的主要定理提供了一个替代的证明识别和表示算法的$B_0$ -VPG图的类块图。
2015-10-30 math.CO
A strengthening of Halin's grid theorem
证明了对于图$G$中不相交的等价射线的每一个无限集合$\mathcal{R}$，$G$中的六边形半网格都有一个细分，使得它的所有垂直射线都属于$\mathcal{R}$ .这个结果加强了哈林的网格定理，因为它控制了使用哪一组特定的射线，而它的证明明显更短。
2021-04-21 math.CO
The zero blocking numbers of grid graphs
本文研究了零强迫过程中的零阻塞集与零阻塞数，给出了网格图零阻塞数的精确值。
2025-08-13 math.CO
Equitable List Vertex Colourability and Arboricity of Grids
一个图$G$是公平$k$ -列表可分树的，如果对于任何$k$ -均匀列表分配$L$，存在$G$的公平$L$ -着色，其每个色类诱导一个无圈图.允许这种着色的最小数$k$被称为公平列表顶点荫度，记为$ρ_l^=(G)$。Zhang在2016年提出了一个猜想，如果$k \geq \lceil (Δ(G)+1)/2 \rceil$，那么$G$是公平的$k$ -list arborable。我们给出了一些新的工具，有助于确定值的$k$，一般图是公平的$k$ -列表arborable。我们利用它们证明了$d$ -维网格的张猜想，其中$d \in \{2,3,4\}$和$ρ_l^=(G)$给出了新的界限$ρ_l^=(G)$一般图和$d$ -维网格与$d\geq 5$。
2018-09-21 math.CO
On Vertex Identifying Codes For Infinite Lattices
博士论文--“若干无限网格中识别码的下界”、“六角网格中r-识别码的改进界”、“n维格点识别码”等论文汇编
2011-02-13 math.CO
Optimal pebbling number of the square grid
图上的鹅卵石移动从一个顶点移除两个鹅卵石，并将一个鹅卵石添加到相邻的顶点。如果可以使用pebbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。最优卵石数$π_{opt}$是保证m个卵石的卵石分布所需的最小数m，从该卵石分布可以到达任何顶点。关于正方形网格图$P_n\square P_m$的最优pebbling数，已有多篇文献进行了研究.在本文中，我们提出了一个新的方法，利用最近的一些想法，给一个下界的$π_{opt}$。我们应用这种技术来证明，$π_{opt}(P_n\square P_m)\geq \frac{2}{13}nm$。我们的方法也给了$π_{opt}(P_n)=π_{opt}(C_n)=\left\lceil\frac{2n}{3}\right\rceil$一个新的证明。
2020-02-24 math.CO
Distance domatic numbers for grid graphs
我们说一个图的顶点染色是一个真k-距离染色，如果对于每一种颜色，每个顶点都在距离接收该颜色的顶点k之内。存在这种着色的最大颜色数称为图的k-距离拓扑数。确定k-距离域数的问题是由多智能体网络的问题，包括传感器和机器人的安排。在这里，我们发现的确切的k-距离domatic数的所有网格图形成的笛卡儿积的两个足够长的道路。
2019-11-29 math.CO
Optimal $(1,\le \ell)$-locating-dominating codes in infinite triangular grid
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；University of Turku（图尔库大学）；Indian Institute of Technology Dharwad（达瓦德印度理工学院）
本文研究无限三角网格中允许同时定位多达 $\ell$ 个顶点的定位控制码变体，并针对每个 $\ell$ 值确定了这些集合的精确最小密度。
2026-10-05 math.CO
On H-Irregularity Strength of Grid Graphs
本文讨论了与图覆盖有关的三个图的特征（分别是顶点、边和全）。允许H-覆盖的图G的H-不规则强度。它们是使得G具有H-不规则（顶点、边和全）的正整数k的最小值。k-标记对于允许网格覆盖的网格图，确定了这三个特征的精确值
2021-10-21 math.CO
Balanced Districting on Grid Graphs with Provable Compactness and Contiguity
给定一个图$G = (V,E)$，其顶点权值为$w(v)$，且部分个数为$k$，图划分问题的目标是将顶点集V划分为部分$V_1,\ldots,V_k$。对各部分$V_i$的紧凑性、邻接性和平衡性的研究是常见的目标，许多现有文献关注紧凑性和平衡性。回顾一个老的方法被称为条带，我们给出了第一个多项式时间算法，保证邻接和可证明的双准则近似的紧凑性和平衡的平面网格图。我们考虑了几种类型的图划分，包括顶点权重平滑变化或随机变化时，反映了在各种现实世界的情况下的关注。我们在实验中显示出显着的改进，平衡消防部门的工作量，减少过度警务使用911呼叫数据从南富尔顿，GA。
2021-02-09 cs.DS math.CO math.OC
Lattice Grids and Prisms are Antimagic
具有$m$边和$n$顶点的有限无向简单图的\emph{antimagic labeling}是从边集到整数$1,...,m$的双射，使得所有$n$顶点和是两两不同的，其中顶点和是与同一顶点关联的所有边的标号之和.如果一个图有一个反魔法标记，则它被称为\emph{antimagic}。1990年，Hartsfield和Ringel证明了除了$K_2$之外的所有连通图都是反魔图。2004年，N. Alon等人证明了这个猜想对具有最小度$Ω(\log n)$的$n$ -顶点图是成立的.他们还证明了完全部图（不同于$K_2$）和最大度至少为$n-2$的$n$ -顶点图是反幻的.最近，Wang证明了环形网格（两个或多个循环的笛卡儿积）是反幻的。在王的论文中，有两个未解决的问题是关于格格图和棱柱图的反魔性，这两个图分别是两条路的笛卡儿积和一个圈与一条路的笛卡尔积。在这篇文章中，我们证明了这两类图是反魔，通过构造这样的反魔标号。
2006-03-04 math.CO
Lower bounds for identifying codes in some infinite grids
图$G$上的$r$ -标识码是一个集合$C\subset V(G)$，使得对于$V(G)$中的每个顶点，半径- $r$闭邻域与$C$的交集非空且唯一.在有限图上，码的密度是$|C|/|V(G)|$，它自然地扩展到某些局部有限的无限图中的密度定义。我们提出了新的下界的代码的密度为一些小的值$r$在正方形和六边形网格。
2010-04-19 math.CO
Computing upper bounds for optimal density of $(t,r)$ broadcasts on the infinite grid
有限图$G$的顶点集$V$的控制数是最小集$S\subseteq V$的基数，使得对于每个顶点$v\in V$，$v\in S$或$v$与$S$中的一个顶点相邻。满足这些条件的集合称为支配集。在2015年，Blessing、Insko、Johnson和Mauretour引入了$(t,r)$广播支配，这是由非负整数$t$和$r$参数化的图支配的推广。在此设置中，我们说顶点$v\in V$从位于顶点$T$处的强度塔$t$接收的信号由$sig(v,T)=max(t-dist(v,T),0)$定义。则$G$上的$(t,r)$广播支配集是集合$S\subseteq V$，使得在每个顶点$v \in V$处接收的所有信号的总和至少为$r$。在本文中，我们认为$(t,r)$广播的无限网格，并提出了一个Python程序计算上界的最小密度的$(t,r)$广播的无限网格。这些上界允许我们构造Blessing等人的猜想的反例，即只要$t,r\geq 1$，$(t,r)$和$(t+1, r+2)$广播就相等。
2017-12-01 math.CO
Maximum percolation time in two-dimensional bootstrap percolation
我们考虑一个经典的模型称为自举渗流的$n \times n$正方形网格。我们为网格的每个顶点分配一个初态，感染或健康，然后在连续的几轮中，我们感染每个健康的顶点，这些顶点至少有$2$已经感染的邻居。如果整个网格最终都被感染了，我们就说渗透发生了。在本文中，最近在这一领域的一系列极端的结果，我们证明了引导渗流过程可以采取最终感染整个顶点集的网格的最大时间是$13n^2/18+O(n)$。
2014-11-05 math.CO
A new lower bound on the pebbling number of the grid
图上的pebbling移动由从顶点移除$2$ pebbles和将$1$ pebbles添加到相邻顶点之一组成。一个顶点被称为可达的，如果我们可以把$1$卵石后，一系列的移动。一个图的最优卵石数是使得存在一个$m$卵石分布使得每个顶点可达的最小数$m$。对于正方形网格$n \times m$的情况，Gyamari，Katona和Papp最近表明，其最佳卵石数至少为$\frac{2}{13}nm \approx 0.1538nm$，至多为$\frac{2}{7}nm +O(n+m) \approx 0.2857nm$。我们改进的下界$\frac{5092}{28593}nm +O(m+n) \approx 0.1781nm$。
2021-11-25 math.CO
Two-Dimensional Patterns with Distinct Differences -- Constructions, Bounds, and Maximal Anticodes
如果连接两个点的任何两条线的长度或斜率不同，则二维网格称为\emph{configuration with distinct differences}。已知这些配置具有许多应用，诸如雷达、声纳、物理对准和时间-位置同步。而不是限制点躺在一个正方形或矩形，如前所述，我们限制的配置点之间的最大距离，这样做的动机是一个新的应用程序，这样的配置在无线传感器网络中的密钥分配。我们认为配置在六边形网格以及在传统的正方形网格中，与测量的距离都在欧几里德度量，并在曼哈顿或六边形度量。我们注意到，这些配置被限制在相应的网格中的最大反码。我们在每个网格中的每个直径分类最大的反码。我们提出了上界的点的数量在这些最大的反码中所包含的具有明显差异的模式。我们的边界解决（在消极的）一个问题的Golomb和泰勒的存在的蜂窝阵列的任意大的尺寸。我们目前的建设和下界上的点的数量在配置中包含在各种二维形状（如反码）的不同差异，考虑周期性的配置，在正方形网格中的不同差异。
2009-10-08 math.CO
Impartial removing games on grid graphs
College of Saint Benedict and Saint John’s University（圣本笃学院与圣约翰大学）；Northern Arizona University（北亚利桑那大学）；Lewis University（路易斯大学）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文研究网格图上的两种无偏移除博弈（达成与回避），利用延迟博弈图等工具确定了其尼姆值，并给出格图的部分结果。
2026-09-15 math.CO
Lattice models, differential forms, and the Yang-Baxter equation
介绍了描述统计力学六顶点和八顶点格点模型容许态的新方法。对于六顶点模型，我们将容许态看作是网格图上的微分形式。这产生了一个新的证明之间的对应关系的容许状态和3-着色的矩形网格。对于八顶点模型，我们将容许状态集解释为$\mathbb{F}_2$ -向量空间。这个观点让我们列举出容许状态的集合。最后，我们找到了一般八顶点模型下杨-巴克斯特方程成立的必要条件。
2022-07-27 math.CO
On the Rank Number of Grid Graphs
顶点k-排序是用从1到k的整数对图的顶点进行标记，因此连接具有相同标记的两个顶点的任何路径将通过具有更大标记的顶点。图的秩数被定义为该图存在k-秩的最小可能k。对于m × n格图，仅当m<4时才找到秩数。本文确定了m=4时的上界，并改进了一般网格下的上界上界。此外，我们改进了正方形和三角形网格图的秩数的下界，从对数到线性。这些新的下界是关键，以表征一般网格的秩数，我们的研究结果在优化VLSI电路设计和并行处理，搜索和调度的应用。
2013-01-15 math.CO
Vertex degrees in grid graphs associated with 213-avoiding permutations
Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga（圣克里斯托瓦尔·德瓦曼加国立大学）
研究避免213排列的网格图顶点度数统计，推导出闭式表达式并分析渐进行为。
2026-01-26 math.CO
Grid Minors and Products
本文研究图乘积中网格子式的存在性，证明任意两个连通 n 顶点图的笛卡尔积必含 Ω(√n)×Ω(√n) 网格子式，并借助星形图与树的字典序乘积证明该界是紧的。
2025-05-09 cs.DM math.CO
Optimal Locating-Paired-Dominating Sets in King Grids
本文继续研究McCoy和Henning提出的图的定位配对支配集（Locating-Pairing-Dominican Set，简称LPDS）。给定一个有限或无限图$G=(V,E)$，如果诱导子图$G[S]$有完美匹配，且$V$中的每个顶点都与$S$中的一个顶点相邻，则集合$S\subset V$是成对控制的. LPDS的另一个条件要求对于任何不同的顶点$u,v \in V\backslash S$，我们有$N(u)\cap S\neq N(v)\cap S$。受Kinawi，Hussain和Niepel猜想的启发，我们证明了LPDS在王格中的最小密度介于$8/37$和$2/9$之间，并且发现了无数个密度为$2/9$的LPDS.这些结果部分解决了他们的猜想。
2022-10-21 math.CO
How many zombies are needed to catch the survivor on toroidal grids?
在Zombies and Survivors中，一组僵尸试图在给定的图形上吃掉一个孤独的幸存者。僵尸随机选择它们的初始位置，并在游戏过程中直接向幸存者移动。在每一轮，他们移动到邻近的顶点，最小化到幸存者的距离;如果有一个以上的这样的顶点，那么他们随机选择一个。幸存者试图通过移动到邻近的顶点或留在他当前的顶点来逃离僵尸。如果最终有一个僵尸落在它们的顶点上吃掉了幸存者，僵尸就赢了;否则，幸存者就赢了。图中的僵尸数是游戏所需的僵尸的最小数量，使得它们获胜的概率至少为1/2。这个游戏的变体最近被研究了几个图形家族，如循环，超立方体，射影平面的关联图，和网格$P_n \square P_n$。然而，不幸的是，对于环形网格$C_n \square C_n$仍然知之甚少：$C_n \square C_n$的僵尸数至少是$\sqrt n/(ω\log n)$，其中$ω= ω(n)$是作为$n \to \infty$走向无穷大的任何函数，并且除了$O(n^2 \log n)$的平凡界之外，没有上界是已知的。在这篇文章中，我们提供了一种方法，给出了一个令人尴尬的$O(n^2)$的界限，但有可能（更仔细，确定性，参数）它实际上可能给出一个$O(n^{3/2})$的界限。另一方面，通过分析幸存者的特定策略，似乎可以稍微改进$\sqrt n/ω$的下限。无论如何，我们离理解这个有趣的问题还很远。我们需要您的…
2017-03-28 math.CO
Finding codes on infinite grids automatically
University of Turku（图尔库大学）
利用自动机理论和Karp算法，研究编码理论中的最小密度问题，发现无限六边形网格识别码的最小密度新上限为53/126≈0.4206，优于之前的3/7≈0.4286。
2024-07-09 cs.DM cs.FL math.CO
Minimum Weight Resolving Sets of Grid Graphs
对于一个简单的图$G=(V,E)$和一对顶点$u,v \in V$，我们说一个顶点$w \in V$解析$u$和$v$，如果从$w$到$u$的最短路径的长度不同于从$w$到$v$的最短路径的长度。一个顶点集${R \subseteq V}$是一个分解集，如果对于$G$中的每一对顶点$u$和$v$，都存在一个顶点$w \in R$来分解$u$和$v$。最小权分解集问题是为加权图$G$寻找一个分解集$M$，使得$\sum_{v \in M} w(v)$最小，其中$w(v)$是顶点$v$的权.在本文中，我们探讨了网格图$P_n \square P_m$，其中$3\leq n \leq m$这个问题的可能的解决方案。我们给出了基数为2或3的解的完整刻画，并证明了解的最大基数为$2n-2$。我们还提供了一类极小值的特征，其基数范围从$4$到$2n-2$。
2014-09-16 math.CO
Perfect domination in rectangular grid graphs
一个图$G$中的控制集$S$称为完美的，如果$G$的每个不在$S$中的顶点都只与$S$的一个顶点相邻。给定$m\times n$格图$G$的边$P_m$的顶点子集$S'$，通过运行时的穷举算法$Θ$ $O(2^{m+n})$，可以确定具有$S'=S\cap V(P_m)$的$G$中的完美控制集$S$.将$Θ$扩展到宽度为$m-1$的无限网格图，周期性使得$Θ$的二叉决策树可被打印成有限线索树，其闭行走产生所有这样的集合$S$ .这些集合$S$的补集所诱导的图可以通过$Θ$由正整数的有序对的阵列编码，对于其生长和确定，存在更快的%贪婪算法。%及其周期结构，进一步研究。最近的一个特征的网格图具有完全完美的代码$S$（只有1-立方体作为诱导组件），由于Klostermeyer和Goldwasser，在$Θ$方面，它允许显示，这些集$S$的限制只有一个完全代码$S_1$的整数格图$Λ$的$\R^2$。此外，补$Λ-S_1$产生非周期性平铺，如彭罗斯平铺。相反，$Λ$中的平行、水平、完全完美码与双无限$\{0,1\}$ -序列1-1对应。
2007-11-27 math.CO
Search for the end of a path in the d-dimensional grid and in other graphs
我们考虑最坏情况下的查询复杂性的某些\cl{PPAD} -完全搜索问题的一些变种。假设我们给定一个图$G$和一个顶点$s \in V(G)$。我们用$G'$表示从$G$通过在两个方向上引导所有边而获得的有向图。$D$是$G'$的一个有向子图，它由顶点不相交的有向路和圈组成，并且其中一条路起源于$s$ .我们的目标是通过尽可能少的查询找到路径的一个端点。查询指定顶点$v\in V(G)$，并且答案是与$v$关联的$D$的边的集合以及它们的方向。当$D$由一条路径组成时，我们也给出了它的下界。最后，我们考虑的情况下，当图$G$是一个网格图。在这种情况下，使用与分离器的连接，我们给出了渐近紧界作为网格的大小的函数，如果网格的尺寸被认为是固定的。为了做到这一点，我们证明了一个关于网格图的分离定理，这是有趣的本身。
2016-09-01 cs.DM math.CO
Root cubes and two-vertex deletions from daisy grids
School of Mathematics and Information Sciences, Yantai University（烟台大学数学与信息科学学院）
本文证明了有限偏立方体是雏菊立方体当且仅当每个Djoković-Winkler $\Theta$-类是外围的，并给出了最小禁止偏立方体-minors的精确刻画。
2026-08-19 math.CO
A method for eternally dominating strong grids
在永恒控制博弈中，攻击者每回合攻击一个顶点，一队守卫必须移动一名守卫到被攻击的顶点进行防御，守卫只能移动到相邻的顶点，并且一个顶点只能有一名守卫占据。我们的目标是确定一个图的永恒控制数，这是保护图免受无限序列的攻击所需的最小数量的警卫。在本文中，我们继续研究强网格上的永恒控制对策。笛卡尔网格已经被广泛地研究，具有用于小网格（例如$2\times n$、$3\times n$、$4\times n$和$5\times n$网格）的紧边界，并且最近在[Lamprou等人，CIAC 2017，393 - 404]，这些网格的永恒控制数通常在它们的控制数的$O(m+n)$内，其下界了永恒控制数。最近，Finbow等人证明了强网格的永恒控制数是由$\frac{mn}{6}+O(m+n)$定义的上界.我们采用[Lamprou et al.，CIAC 2017，393 - 404]证明了强网格的永恒控制数是由$\frac{mn}{7}+O(m+n)$定义的上界。虽然这在一般情况下并没有改进最近宣布的$\lceil\frac{m}{3}\rceil \lceil\frac{n}{3}\rceil+O(m\sqrt{n})$的界[Mc Inerney，Nisse，Pérennes，CIAC 2019]，但我们证明了我们的界在两个维度中较小的一个至多是$6179$的情况下是一个改进。
2020-03-03 cs.DM math.CO
On the disjunctive domination numbers of the torus grid graphs
Sichuan Normal University（四川师范大学）；Anhui University of Finance & Economics（安徽财经大学）
本文研究环面网格图 $C_m\Box C_n$ 的析取支配数，给出其上下界，并确定了 $C_3\Box C_n$、$C_4\Box C_n$ 和 $C_8\Box C_{4n}$ 的精确值。
2026-05-28 math.CO
Asymptotically Optimal Bounds for (t,2) Broadcast Domination on Finite Grids
设$G=(V,E)$是一个图，$t,r$是正整数.信号强度$t$的塔顶点$T$提供给顶点$v$的\emph{signal}被定义为$sig(T,v)=max(t-dist(T,v),0),$，其中$dist(T,v)$表示顶点$v$和$T$之间的距离。在2015年，Blessing、Insko、Johnson和Mauretour在$G$上定义了一个\emph{$(t,r)$ broadcast dominating set}，或简称为\emph{$(t,r)$ broadcast}，作为一个集合$\mathbb{T}\subseteq V$，使得在每个顶点$v \in V$处从塔集合$\mathbb{T}$接收到的所有信号之和至少为$r$。有限图$G$的$(t,r)$广播控制数，记作$γ_{t,r}(G)$，是$G$在所有$(t,r)$广播上的最小基数。最近的研究集中在界定$m \times n$网格图$G_{m,n}$的$(t,r)$广播支配数。在2014年，Grez和Farina界定了网格图的$k$ -距离控制数，等价于界定$γ_{t,1}(G_{m,n})$。2015年，Blessing等人建立了$γ_{2,2}(G_{m,n})$、$γ_{3,2}(G_{m,n})$和$γ_{3,3}(G_{m,n})$的界限。在本文中，我们采取下一步，并提供了一个紧上界的$γ_{t,2}…
2018-12-08 math.CO
Optimal open-locating-dominating sets in infinite triangular grids
开定位支配集（OLD-set）是图的顶点子集，使得图中的每个顶点在集合中至少有一个邻居，并且图中没有两个顶点在集合中有相同的邻居集。这是一个类似的充分研究的识别码在文献中。本文证明了无限三角形网格上OLD-集的最优密度为$4/13$。
2014-03-27 math.CO
Fault-Tolerant Detection Systems on the King's Grid
在图中建模的检测系统使用顶点子集上的“检测器”来唯一地识别任何顶点处的“入侵者”。我们考虑两种类型的检测系统：开放定位支配（OLD）集和识别码（IC）。一个OLD集给每个顶点一个唯一的，非空的开放邻域的检测器，而一个IC提供一个唯一的，非空的封闭邻域的检测器。我们探索它们的容错变体：冗余OLD（RED：OLD）集和冗余IC（RED：IC），它们确保删除/禁用最多一个检测器即可分别保证OLD集和IC的属性。在无限King网格上构造最优RED：OLD集和RED：IC，并证明了它们的最小密度的界：RED：OLD集为[3/10，1/3]，RED：IC为[3/11，1/3].
2022-11-27 cs.DM math.CO
$2\times n$ Grids have Unbounded Anagram-Free Chromatic Number
我们表明，Anagram自由顶点着色$2\times n$正方形网格需要一些颜色，增加与$n$。这回答了威尔逊的论文中的一个悬而未决的问题，并表明，即使是图的路径宽度$2$不具有任意色数的颜色。
2021-05-05 cs.DM math.CO
