On sets of vectors of a finite vector space in which every subset of basis size is a basis II
本文给出了$k \leq 2p-2$的MDS猜想的一个证明。也就是说，如果$S$是${\mathbb F}_q^k$的向量集合，其中大小为$k$的$S$的每个子集都是基，其中$q=p^h$，$p$是素数，$q$不是素数，并且$k \leq 2p-2$，则$|S| \leq q+1$。它还包含一个简短的证明，证明了$k\leq p$和所有$q$的相同事实。
2012-01-28 math.CO
On the largest subsets avoiding the diameter of $(0,\pm 1)$-vectors
令$L_{mkl}\subset \mathbb{R}^{m+k+l}$是具有条目$-1$的$m$、条目$0$的$k$和条目$1$的$l$的向量集合。本文研究了直径小于$L_{mkl}$的$L_{mkl}$的最大子集。将对$m=1$、$l=2$和任何$k$的最大子集进行分类。从这个结果，我们可以分类的最大$4$距离集包含的约翰逊计划$J(9,4)$的欧几里德表示。这是Bannai，Sato，and Shigezumi（2012）的一个公开问题。
2015-11-15 math.CO
Directed lattice paths avoiding periodic subset of points on "time"-axis
本文计算了避开“时间”轴上周期性偶点的有向格路集合的生成函数，并以此证明了 P. Hajnal 和 G.V. Nagy 提出的一条组合恒等式。
2025-10-13 math.CO
Independent subsets of powers of paths, and Fibonacci cubes
我们提供了一个公式的边缘的哈塞图的独立子集的第h次幂的路径有序的包含的数量。对于h=1，这样的值是斐波那契立方体的边数。我们表明，在一般情况下，图的边缘数是通过卷积的Fibonacci序列本身。
2012-11-09 cs.DM math.CO
Threshold functions for substructures in random subsets of finite vector spaces
随机对象的子结构的研究有着悠久的历史，始于Erdans和Rényi对随机图的子图的研究。研究了有限域上向量空间随机子集中某些子结构的存在性。首先，我们提供了一个一般的框架，可以应用于建立粗糙的阈值结果，并证明了一个限制泊松分布在阈值尺度。为了说明我们的框架，我们将我们的结果$k$长期等差数列，总和，直角三角形，平行四边形和仿射平面。我们还发现粗阈值的属性，一个有限的向量空间的随机子集是无和，或者是西顿集。
2020-04-01 math.CO
An area-bounce exchanging bijection on a large subset of Dyck paths
本文针对Dyck路径上交换面积与弹跳统计量的长期开放问题，在指数大的子集上构造了显式双射，并证明其自然性，同时给出存在性等价及和值计数结果。
2025-10-08 math.CO
Note on Existence and Non-Existence of Large Subsets of Binary Vectors with Similar Distances
我们考虑来自$\{0,1\}^n$的向量。这样的向量$v$的权重是$v$的坐标之和。矢量集合$L$的距离比是${\rm dr}(L):=\max \{ρ(x,y):\ x,y \in L\}/ \min \{ρ(x,y):\ x,y \in L,\ x\neq y\},$，其中$ρ(x,y)$是$x$和$y$之间的汉明距离。我们证明了：（a）对于每个常数$λ>1$，不存在正的常数$α$和$C$，使得至少具有权$p$的$λ^p$向量的每个集合$K$包含具有$|K'|\ge |K|^α$和${\rm dr}(K')\le C$的子集$K'$，甚至当$|K|\ge λ$时，（b）对于具有权$p$和常数$C>2$的向量的集合$K$，存在$K'\subseteq K$，使得${\rm dr}(K')\le C$和$|K'| \ge |K|^α$，其中$α= 1/ \lceil \log(p/2)/\log(C/2) \rceil$。
2012-12-01 cs.DM math.CO
Finding a subset of nonnegative vectors with a coordinatewise large sum
给定有理$a=p/q$和$N$非负$d$维实向量$u_1$，.，$u_N$，我们表明，它总是可以选择它们的$(d-1)+\lceil (pN-d+1)/q\rceil$，使它们的总和（分量）至少是$(p/q)(u_1+...+u_N)$。对于固定的$d$和$a$，如果$N$足够大，则该界限是尖锐的。证明方法采用了线性规划中的Carathéodory定理。
2013-01-04 math.CO
On the independent subsets of powers of paths and cycles
在这项工作的第一部分中，我们提供了一个公式的边缘数的Hasse图的独立子集的h次幂的路径有序的包含。对于h=1，这样的值是斐波那契立方体的边数。我们表明，在一般情况下，图的边缘数是通过卷积的Fibonacci序列本身。在第二部分中，我们考虑循环的情况。我们评估的边缘的哈斯图的独立子集的第h次幂的一个周期有序包含的数量。当h=1，且n>1时，这个值就是卢卡斯立方体的边数。
2012-10-19 cs.DM math.CO
Size of dot product sets determined by pairs of subsets of vector spaces over finite fields
本文研究了有限域上两个向量空间子集生成的点积集的基数。我们注意到，一个集合的点积问题的结果可以简单地推广到两个集合。设E和F是有限域F_q上的d维向量空间F_q^d的子集。作为一个新的结果，我们证明了：如果E和F是抛物面的子集，且|E| |F| \geq C q^d对某个大的C>1，则|（英、法）|\geq c q，其中0<c<1。特别地，我们发现了点积集的大小与通过给定集合E中的原点和非零点的线的数目之间的联系。作为这一观察的应用，我们得到了广义点积集问题的更尖锐的结果。离散的傅里叶分析和几何观察在证明我们的结果中起着至关重要的作用。
2014-01-27 math.CO
Gallai's Path Decomposition of Levi Graph
本文针对一阶Levi图L₁(m,k)研究Gallai路径分解猜想，证明该猜想对所有m≥2、2≤k≤m的L₁(m,k)成立，并确定了所有m对应的L₁(m,2)的路径数。
2025-08-02 math.CO
Ramsey subsets of the space of infinite block sequences of vectors
Universidad de Los Andes（洛斯安第斯大学）；University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）
研究无限块序列的Ramsey性质，分析其在选择性或半选择性余理想中的局部特性，揭示稳定有序并集超滤子与Matet充分族在Ramsey空间中的位置。
2018-10-23 math.CO
Admissible subsets and Littelmann paths in affine Kazhdan-Lusztig theory
已知扩展仿射Hecke代数的中心同构于与基础有限外尔群$W\_0$相关联的对称函数环。Weyl字符集${\sf s}\_\la$形成中心的基础，Lusztig在[Lus 15]中表明，这些字符充当Kazhdan-Lusztig基础元素$C\_{w\_0}$的翻译，其中$w\_0$是$W\_0$的最长元素，即我们有$C\_{w\_0}{\sf s}\_\la =C\_{w\_0t\_\la}$。因此，在Kazhdan-Lusztig基中分解~ $C\_{w\_0t\_{\la}}{\sf s}\_τ$时出现的系数是具有外尔群$W\_0$的李代数的张量重数。本文的目的是解释如何容许子集和Littelmann路径，这是模型来计算这样的多重性，自然出现时，制定了这种分解。
2018-08-16 math.CO math.RT
Orthogonal systems in vector spaces over finite fields
证明了如果有限域上的d维向量空间的子集足够大，则它包含许多相互正交的k元组。
2008-07-03 math.CO math.NT
Lattice paths, vector continued fractions, and resolvents of banded Hessenberg operators
本研究给出p+1阶带状Hessenberg算子预解函数向量经Jacobi-Perron算法所得向量连分式的组合解释，关联三类格点路径的生成幂级数，还讨论了部分p-Dyck路径子类及相关算子矩。
2023-05-08 math.CA math.CO
Zero subsums in vector spaces over finite fields
Olson常数$\mathcal{O}L(\mathbb{F}_{p}^{d})$表示最小正整数$t$，具有如下性质：基数$t$的每个子集$A\subset \mathbb{F}_{p}^{d}$包含具有零和的非空子集。估计$\mathcal{O}L(\mathbb{F}_{p}^{d})$的问题是加法组合学中最古老的问题之一，即使对于$d=1$的情况也有着悠久而有趣的历史。本文证明了对任何固定的$d \geq 2$和$ε> 0$，$\mathbb{F}_{p}^{d}$的Olson常数对所有充分大的素数$p$都满足不等式$$\mathcal{O}L(\mathbb{F}_{p}^{d}) \leq (d-1+ε)p$$.这就解决了Hoi Nguyen和Van Vu的一个猜想。
2021-03-09 math.CO math.NT
Friendly paths for finite subsets of plane integer lattice. I
本文研究了平面整数格上有限点集的友好路径，证明了不存在友好路径的不可分离点集的存在性，并解决了《美国数学月刊》中的问题 11484(b)*。
2024-02-05 math.CO
Density of monochromatic infinite paths
对于任何子集$A \subseteq \mathbb{N}$，我们定义其上密度为$\limsup_{ n \rightarrow \infty } |A \cap \{ 1, \dotsc, n \}| / n$。证明了$\mathbb{N}$上完全图的每一个$2$边着色都含有一条单色无限路，且其顶点集的上密度至少为$(9 + \sqrt{17})/16 \approx 0.82019$ .这改进了Erdés和Galvin以及DeBiasio和McKenney的结果。
2018-10-22 math.CO
Erdős-Pósa property of $A$-paths in unoriented group-labelled graphs
Hanyang University（汉阳大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；University of Alaska Fairbanks（阿拉斯加大学费尔班克斯分校）
本文研究无向群标记图中A路径的埃罗什-波萨性质，证明了特定条件下该性质的半积分和完整形式。
2026-01-19 math.CO
Almost spanning distance trees in subsets of finite vector spaces
该研究针对有限域向量空间的距离图问题，证明大子集包含各距离下度数有界的几乎生成距离树，定量改进了此前距离路径和距离树的相关结果，关键方法是得到Haxell扩张图有界度树经典结果的彩色推广。
2024-01-04 math.CO
Rota's basis conjecture holds for random bases of vector spaces
在1989年，Rota证明了，给定$n$基$B_1,\dots,B_n$的向量空间$\mathbb{F}^n$在某个域$\mathbb{F}$上，人们总是可以将多集$B_1\cup \dots \cup B_n$分解成横截基。这个猜想仍然是开放的，尽管有很多的关注。本文考虑随机基$B_1,\dots,B_n$的设置。更具体地说，我们的第一个结果表明，罗塔的基础猜想成立概率$1-o(1)$作为$n\to \infty$，如果基$B_1,\dots,B_n$是独立均匀随机选择的所有基地之间的$\mathbb{F}_q^n$为一些有限域$\mathbb{F}_q$（类似的结果是平凡的真正的一个无限域$\mathbb{F}$）。换句话说，这个猜想对几乎所有基$B_1,\dots,B_n\subseteq \mathbb{F}_q^n$的选择都成立。我们的第二个更一般的结果涉及给定有限子集$S\subseteq \mathbb{F}$的随机基$B_1,\dots,B_n\subseteq S^n$（换句话说，所有向量都在$S$中有条目的基$B_1,\dots,B_n$）。我们表明，当选择基地$B_1,\dots,B_n\subseteq S^n$独立均匀随机所有基地的子集$S^n$，然后再次罗塔的基础猜想举行概率$1-o(1)$为$n\to \infty$。
2022-03-31 math.CO
Rainbow paths in directed graphs
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文证明任意群的不含单位元的子集存在大小为 |S|-o(|S|) 的可重排子集，通过建立 d-正则适当着色有向图含长度 d-o(d) 彩虹路径的渐近结果实现。
2026-09-21 math.CO
The $δ$-vectors of reflexive polytopes and of the dual polytopes
设$δ(\mathcal{P})$是维数为$d$的自反多面体$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^d$的$δ$ -向量，$δ(\mathcal{P} ^\vee)$是对偶多面体$\mathcal{P}^\vee \subset \mathbb{R}^d$的$δ$ -向量.一般情况下，$δ(\mathcal{P})=δ(\mathcal{P}^\vee)$不成立。本文给出了自反多胞形的一个高维构造，其$δ$ -向量等于对偶多胞形的$δ$ -向量.特别地，我们考虑了自反多面体和对偶多面体是单模等价的情况。
2016-05-19 math.CO
Number of paths in a graph
简单无向图的邻接矩阵的$k$次幂表示节点对之间长度为$k$的遍历数。作为没有节点重复的遍历，路径是每个节点只被访问一次的遍历。路径集合构成所有可能行走的相对小的子集。我们介绍了三种类型的散步，代表所有可能的散步的子集。所考虑的行走类型允许以矩阵形式导出节点对之间的一定长度的路径的数量的分析解。根据路径长度，不同的方法具有最低的计算复杂性。我们还提出了一个递归算法，用于确定图中的所有路径，它可以推广到有向（非）加权网络。
2022-09-19 math.CO
Investigating independent subsets of graphs, with Mathematica
通过这项工作，我们的目标是展示Mathematica如何成为一个有用的工具来研究组合结构的性质。具体来说，我们将面临枚举问题的独立子集的权力的道路和循环，试图突出的对应关系与其他组合对象具有相同的基数。然后，我们将研究通过对适当独立的路和圈的子集进行排序而得到的结构。我们将处理由此产生的偏序集上的一些枚举问题，证明与Fibonacci和Lucas立方体结构的对应关系。
2013-07-04 cs.DM cs.MS math.CO
Improved bounds for embedding certain configurations in subsets of vector spaces over finite fields
本文针对有限域向量空间子集内的图距离构型嵌入问题，指出最大度并非总是恰当的复杂性度量，并给出优于 Iosevich-Parshall 指数的新界。
2023-08-18 math.CO
Path-factors involving paths of order seven and nine
本文证明了以下两个定理（这里$c_{i}(G-X)$是具有$|V(C)|=i$的$G-X$的分支数$C$）：（i）如果图$G$对所有$X\subseteq V(G)$都满足$c_{1}(G-X)+\frac{1}{3}c_{3}(G-X)+\frac{1}{3}c_{5}(G-X)\leq \frac{2}{3}|X|$，则$G$有一个$\{P_{2},P_{7}\}$ -因子。(ii)~如果图$G$对所有$X\subseteq V(G)$都满足$c_{1}(G-X)+c_{3}(G-X)+\frac{2}{3}c_{5}(G-X)+\frac{1}{3}c_{7}(G-X)\leq \frac{2}{3}|X|$，则$G$有一个$\{P_{2},P_{9}\}$ -因子。
2015-07-25 math.CO
Controllable Subsets in Graphs
设$X$是一个图，它的顶点是$v$，邻接矩阵是$A$，$S$是它的顶点的子集，特征向量是$z$。如果$r=1,\ldots,v-1$的向量$A^rz$跨越$\mathbb{R}^v$，我们说对$(X,S)$是可控的。我们主要关注的是$S=V(X)$或$S$是单个顶点的情况。本文发展了可控偶的基本理论。我们将看到，如果$(X,S)$是可控的，那么唯一将$S$固定为集合的$X$的自同构是恒等式。如果$(X,S)$对于某个子集$S$是可控的，则$A$的特征值都是单的。
2010-10-15 math.CO
Sets of unit vectors with small subset sums
我们说Banach空间中的向量族${x_i|i\in[m]}$满足$k$ -塌缩条件，如果对所有$k$ -元子集$I\subseteq{1,2,...,m}$有$|\sum_{i\in I}x_i|\leq 1$.令$C(k,d)$表示$d$ \dimensional Banach空间中的单位向量的$k$ -塌缩族的最大基数，其中最大值取于所有$d$维空间。类似地，如果我们还需要$\sum_{i=1}^m x_i=o$，则让$CB(k,d)$表示最大基数。Füredi、Lagarias和Morgan（1991年）研究了$k=2$案例。这些条件起源于Lawlor和Morgan（1994）关于光滑有限维Banach空间中几何最短网络的定理。我们表明，$CB(k,d)=\max{k+1,2d}$的所有$k,d\geq 2$。$C(k,d)$的行为并不那么简单，我们推导出$k$和$d$的各种范围的各种上限和下限。在某些情况下，这些值包括精确值$C(k,d)=\max{k+1,2d}$。我们使用各种工具，从图论，凸性和线性代数的证明：特别是Hajnal-Szemerédi定理，Brunn-Minkowski不等式，和下界的秩扰动的单位矩阵。
2014-02-09 math.CO math.FA math.MG
On Uniform f-vectors of Cutsets in the Truncated Boolean Lattice
设$[n] = \{1, 2, \ldots, n\}$和$2^{[n]}$是按包含排序的$[n]$的所有子集的集合。如果${\cal C} \subseteq 2^{[n]}$满足$2^{[n]}$中的每个最大链，则它是{ \em割集}，并且${\cal C} \subseteq 2^{[n]}$的{ \em宽度}是${\cal C}$的链分解中的最小链数。修复$0 \leq m \leq l \leq n$。$k$的最小值是多少，使得存在仅由$m$和$l$之间的大小的子集组成的割集，并且使得对于每个$m \leq i \leq l$，它精确地包含大小为$i$的$k$子集？我们用$g_n(m,l)$表示的答案给出了$2^{[n]}$中$m$和$l$级别之间的割集宽度的较低估计。在利用Kruskal-Katona定理给出割集的元素个数和大小的一般刻画后，我们找到了$g_n(m,l)$的上下界（以及一些精确值）.
2015-12-09 math.CO
Enumerating the Digitally Convex Sets of Powers of Cycles and Cartesian Products of Paths and Complete Graphs
给定一个有限集合$V$，凸性$\mathscr{C}$是$V$的子集的集合，它包含空集和集合$V$，并且在交集下是封闭的。$\mathscr{C}$的元素称为凸集。数字凸性，最初提出作为处理数字图像的工具，定义如下：一个子集$S\subseteq V(G)$是数字凸的，如果对于每个$v\in V(G)$，我们有$N[v]\subseteq N[S]$意味着$v\in S$。对于$k\geq 2$，将块长度至少为$k$的循环二进制串的个数表示为线性递归关系。在这些循环二进制串和循环的$(k-1)^{th}$幂的数字凸集之间建立双射。给出了两个完全图的笛卡尔积的数字凸集个数的一个封闭公式。在两条路径的笛卡尔积的数字凸集$P_n \square P_m$和某些类型的$n \times m$二进制阵列之间建立双射。
2020-08-06 math.CO
The path-missing and path-free complexes of a directed graph
Drexel University（德雷塞尔大学）；Goethe-University Frankfurt（法兰克福歌德大学）；George Washington University（乔治华盛顿大学）
研究有向图中两个单纯复形：路径自由复形及其Alexander对偶路径缺失复形，利用离散Morse理论证明它们要么可缩，要么同伦等价于球面。
2026-06-23 math.AT math.CO
Symmetries on vector parking functions via bounded lattice paths
Univ Gustave Eiffel（巴黎-夏尔·戴高乐大学）；Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Shandong University（山东大学数学与交叉科学研究院）
通过在有界格路径上构造对合，建立了组合运行与广义返回统计量间的对称性，解决了有理Dyck路径的开放问题，并给出了$(a,b)$-停车函数的新生成函数。
2026-10-06 math.CO
Escaping from the corner of a grid by edge disjoint paths
设$Q$是平面上整数格$G$的有限子图，$T$是$G$中不同顶点对的集合，称为“终端对”。从$Q$逃逸子集$X\subset T\cap Q$意味着找到从$X$中的终端到$Q$的边界中的集合$L$的不同顶点的边不相交路径。这里我们证明了几个引理的情况下，$Q$是一个$3\times 3$网格，$L$是一个垂直和水平的边界线的$Q$的并集，此外，$T$是一个集的四个终端对在$G$，使$|T\cap Q|\geq 5$。这些引理在[4]中得到了应用，并完成了两条（单向）无限路的笛卡儿积具有路对数4的证明。
2017-08-17 math.CO
Vertically constrained Motzkin-like paths inspired by bobbin lace
受一种新的梭心花边数学模型的启发，本文考虑了由一组台阶矢量$\mathfrak{A}=$ $\{\rightarrow,$ $\nearrow,$ $\searrow,$ $\uparrow,$ $\downarrow\}$构成的有限格点路径，并限制垂直台阶$(\uparrow, \downarrow)$不能连续.集合$\mathfrak{A}$是公知的Motzkin阶跃向量$\mathfrak{M}=$ $\{\rightarrow,$ $\nearrow,$ $\searrow\}$与垂直阶跃$\{\uparrow, \downarrow\}$的并集。给出了由$\mathfrak{A}$形成的垂直约束路径的穷举集与由$\mathfrak{M}$生成的路径的二等分之间的显式双射$ϕ$。以类似的方式，检查具有阶跃矢量$\mathfrak{B}=$ $\{\nearrow,$ $\searrow,$ $\uparrow,$ $\downarrow\}$的路径，该阶跃矢量是Dyck阶跃矢量和受约束的垂直阶跃的并集。我们表明，使用相同的$ϕ$映射，有一个双射垂直约束的$\mathfrak{B}$路径和Motzkin路径的子集，避免水平的步骤，甚至指数之间。生成函数推导出枚举这些垂直约束，部分定向路径时，限制到一半和四分之一平面。最后，我们以类似的方式扩展了Schröder和Delanno…
2019-04-15 math.CO
On the Universal Near Shortest Simple Paths Problem
本文利用Turner和Hamacher在2011年提出的通用最短路问题的概念，推广了Byers和Waterman在1984年提出的近最短路问题。通过引入一个通用的权向量，推广到了各种最短路问题。我们将这个概念应用到近最短路径问题的方式，我们能够枚举所有通用的近最短简单路径。我们提出了两个递归算法来计算两个预先指定的顶点之间的通用近最短简单路径的集合，并评估每个路径的运行时间复杂度枚举相对于不同的值的通用权向量。进一步，我们研究了极小完备集关于不同泛权向量值的基数。
2019-08-23 cs.DM math.CO
Branching proofs of infeasibility in low density subset sum problems
我们证明了子集和问题有一个多项式时间的可计算证书的不可行性的密度最多$1/(2n)$和几乎所有的整数右手边的所有$a$权重向量。该证书是分支上的超平面，即通过一种方法的双重一个探索由Lagarias和Odlyzko;弗里兹;弗斯特和Kannan;和Coster等。证明有两个要素。我们首先证明了一个矢量是接近平行于$a$是一个合适的分支方向，无论密度。然后，我们表明，对于一个低密度$a$这样一个近平行的矢量可以计算使用丢番图近似，通过弗兰克和Tardos介绍的方法。我们还表明，有一个小数目的长区间，其不相交的工会涵盖了整数的右手边，其中的不可行性证明了上述超平面上的分支。
2008-07-31 cs.CC cs.CR math.CO
