发表机构
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明任意群的不含单位元的子集存在大小为 |S|-o(|S|) 的可重排子集，通过建立 d-正则适当着色有向图含长度 d-o(d) 彩虹路径的渐近结果实现。
AI 中文摘要
组合群论中的一个经典问题问：给定一个群 $\Gamma$ 和子集 $S \subseteq \Gamma$，何时存在 $S$ 的元素的一个排序 $s_1, \cdots, s_k$，使得部分乘积 $\prod_{i = 1}^j s_i$（$1 \leq j \leq k$）都互不相同。如果存在这样的排序，我们称 $S$ 是可重排的。关于可重排子集有许多猜想，最一般的猜想是：对于每个群，每个不包含单位元的子集都是可重排的。我们证明了这个猜想的渐近版本：对于任意群 $\Gamma$ 和任意子集 $S \subseteq \Gamma$，存在一个可重排集合 $S' \subseteq S$ 使得 $|S'| = |S| - o(|S|)$。为此，我们基于 Bucić、Frederickson、Müyesser、Pokrovskiy 和 Yepremyan 的工作，关注图论中以下具有独立意义的问题：如果 $G$ 是一个 $d$-正则的适当着色有向图，是否存在长度为 $d - 1$ 的彩虹路径？我们建立了这个问题的渐近版本，证明 $G$ 包含长度为 $d - o(d)$ 的彩虹路径。这解决了 Bucić、Frederickson 等人提出的两个问题，并通过考虑 $\Gamma$ 的以 $S$（不一定是生成集）为边集的凯莱图，证明了上述关于群的可重排子集的结果。
英文摘要
An old problem in combinatorial group theory asks, given a group $Γ$ and a subset $S \subseteq Γ$, when does there exist an ordering $s_1, \cdots, s_k$ of the elements of $S$ such that the partial products $\prod_{i = 1}^j s_i$, $1 \leq j \leq k$, are all distinct. If such an ordering exists, we call $S$ rearrangeable. There have been many conjectures about rearrangeable subsets, the most general being that for every group, every subset not containing the identity element is rearrangeable. We prove an asymptotic version of this: For any Group $Γ$ and any subset $S \subseteq Γ$, there exists a rearrangeable set $S' \subseteq S$ such that $|S'| = |S| - o(|S|)$. To do this we build upon the work of Bucić, Frederickson, Müyesser, Pokrovskiy, and Yepremyan focusing on the following problem of independent interest in Graph Theory. If $G$ is a d-regular properly colored directed graph does there exist a rainbow path of length $d - 1$? We establish an asymptotic version of this, proving that $G$ contains a rainbow path of length $d - o(d)$. This solves two problems given by Bucić, Frederickson, et al. and proves the above result on rearrangeable subsets of groups by considering the Cayley graph of $Γ$ with (not necessarily generating) set $S$.
