On radii of spheres determined by subsets of Euclidean space
本文考虑了$E\subset\R^d$的Hausdorff维数需要多大才能保证由$E$确定的$(d-1)$维球面的半径集具有正的Lebesgue测度.我们还研究了一个给定半径的邻域重复的频率。我们得到两个结果。首先，通过应用\cite{mul}研究Falconer型问题的一般机制，我们证明了一个给定半径的邻域不能重复比统计界更频繁，如果$\dH(E)>d-1+\frac{1}{d}$;在$\R^2$，尺寸阈值是尖锐的。其次，通过证明一个交定理，证明了对于a.ePDMATHABMS，中心由$a\in\R^d$确定的PDMATHAMN-球面的半径集必有正的Lebesgue测度，如果$\dH(E)>d-1$，这是该问题的一个严格界.
2013-04-19 math.CA
On three point configurations determined by subsets of the Euclidean plane, the associated bilinear operator and applications to discrete geometry
证明了：如果紧集$E \subset {\Bbb R}^2$的Hausdorff维数大于7/4，则{由$E \subset {\Bbb R}^2$确定的\ag三点构形集有正的三维测度}.我们建立这表明，{\ag a}自然措施的一组{\ag这样的配置}有{\ag Radon-Nikodym衍生物}在$L^{\infty}$，如果$\dH(E)> 7/4$，和指数7/4在这最后的结果不能，在一般情况下，提高。这个问题自然会导致研究的双线性卷积算子，$$ B(f,g)(x)=\int \int f(x-u) g(x-v)\, dK(u,v),$$ $K$是表面上的一组$ \{(u, v) \in\R^2 \times \R^2: |u|=|v|=|u-v|=1\}$措施，我们证明了规模的估计，包括$B:L^2_{-1/2}({\Bbb R}^2) \times L^2({\Bbb R}^2) \to L^1({\Bbb R}^2)$的正函数。作为我们的主要结果的应用，它遵循{\ag为基数$n$的有限集，属于一个自然类的离散集在平面上}，一个给定的三点配置出现的最大次数是$O(n^{9/7+ε})$（直到同余），提高了已知的界$O(n^{4/3})$在这种情况下。
2011-11-01 math.CA math.CO
On directional Whitney inequality
本文研究了紧域$Ω\subset {\mathbb{R}}^d$上的一个新的Whitney型不等式，它的形式为$$\inf_{Q\in Π_{r-1}^d({\mathcal{E}})} \|f-Q\|_p \leq C(p,r,Ω) ω_{\mathcal{E}}^r(f,{\rm diam}(Ω))_p,\ \ r\in {\mathbb{N}},\ \ 0<p\leq \infty,$$，其中$ω_{\mathcal{E}}^r(f, t)_p$表示$f\in L^p(Ω)$沿有限方向集${\mathcal{E}}\subset {\mathbb{S}^{d-1}}$的$r$阶方向光滑模，使得${\rm span}({\mathcal{E}})={\mathbb{R}}^d$，$Π_{r-1}^d({\mathcal{E}}):=\{g\in C(Ω):\ ω^r_{\mathcal{E}} (g, {\rm diam} (Ω))_p=0\}$ .我们证明了不存在一个通用的有限方向集${\mathcal{E}}$，这个不等式在每个凸体$Ω\subset {\mathbb{R}}^d$上成立，但对于每个连接的$C^2$ -域$Ω\subset {\mathbb{R}}^d$，可以选择${\mathcal{E}}$是一个任意的$d$独立方向集。我们还研究了最小数${\mathca…
2021-01-12 cs.NA math.CA math.NA
Subgaussianity is hereditarily determined
令$n$为正整数，令$\boldsymbol{X}=(X_1,\dots,X_n)$为$\mathbb{R}^n$中具有有界条目的随机向量，令$(θ_1,\dots,θ_n)$为$\mathbb{R}^n$中的向量。我们表明，次高斯行为的随机变量$θ_1 X_1+\dots +θ_n X_n$基本上是由次高斯行为的随机变量$\sum_{i\in H} θ_i X_i$ $H$是一个随机子集的$\{1,\dots,n\}$。
2021-01-28 math.CA math.CO math.PR
Both directions of Fuglede's conjecture fail in dimension two
Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与 interdisciplinary 科学学院）
研究富格莱德猜想在二维空间的情况，通过在二阶有限阿贝尔群中构造特定子集，利用有限到无限转移原理得到\(\R^2\)中有界子集，证明该猜想在二维空间中两个方向都不成立。
2026-07-20 math.CA math.CO
On volume vectors determined by hypergraphs in thin subsets of Euclidean space
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）；The Australian National University（澳大利亚国立大学）
本文针对Falconer距离问题的三点变体，研究三角形面积和单形体体积，提出了雅可比方法和基于Shmerkin-Yavicoli工作的精细方法，在高维和平面情形下分别获得了体积向量的非平凡维数阈值。
2026-07-02 math.CA
Equivalences between different forms of the Kakeya conjecture and duality of Hausdorff and packing dimensions for additive complements
本文证明 Kakeya 猜想在紧/Borel/任意集、线段/直线及大方向集等表述下等价，并通过加性补集建立 Hausdorff 维数与 packing 维数的对偶公式。
2023-07-17 math.CA math.MG math.NT
Rubio de Francia Littlewood Paley Inequalities and Directional Maximal Functions
在$R^d$中，定义一个在方向$v\in \directions\subset\{x \mid \abs x=1\}$上由$$ M^\directions f(x)=\sup_{v\in\directions} \sup_{\zve} \int_{-\ze}^\ze \abs{f(x-vy)} dy. $$表示的极大函数对于$\ZR^d$上的函数$f$，让$S_\zw f$表示$f$到区域$\zw$的傅立叶限制。我们特别感兴趣的是将\zw作为$R^d$的一个扇区，基点在原点。扇区是间隔$(0,\infty)$相对于（非正交）基的选择的乘积。最重要的是基础是$\directions$的子集。考虑如上所述的成对不相交扇区$\zw$的集合$\zW$。假设对于某些$1<p<\zI $，$M^\directions $将$L^p$映射到$L^p$。然后我们有以下Littlewood-Paley不等式$$ \NORm \Bigl[\sum_{\zw\in\zW}\abs{S_\zw f}^2\Bigr]^{1/2}.q.\lesssim{}\norm f.q., \qquad 2\le q<2 \frac p{p-1}. $$这个不等式的一维模拟是由于Rubio de Francia。结论时的一组向量是一个固定的基础是已知的，是由于Journé。我们的证明方法依赖于相平面分析。我们引入了适应于…
2004-04-02 math.CA
Two-point patterns determined by curves
本文利用调和分析中的“泛函类型”概念，证明了对于原点处为有限类型的任意曲线，Hausdorff维数足够大的Borel集合必然包含由该曲线确定的两点模式，并揭示了集合维数与两点模式类型间的对应关系。
2023-04-06 math.CA
Curly Kakeya: The Hausdorff dimension of sets containing circles or line segments in many directions
Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）；ICMAT（数学联合研究所）
研究包含多个方向圆的集合的豪斯多夫维度下界，通过分析球面极点和经线的结构，证明该集合的维度至少为n-1。
2026-07-23 math.CA math.MG
Kakeya-type sets over Cantor sets of directions in $\mathbb{R}^{d+1}$
给定一个康托型子集$Ω$的平滑曲线在$\mathbb R^{d+1}$，我们构造的例子集，包含单位线段的方向从$Ω$和表现出类似的分析功能的经典Kakeya集的任意小$(d+1)$维勒贝格测度。该结构是基于概率的方法依赖于树结构的$Ω$，并扩展到更高的维度的一个类似的平面贝特曼和卡茨的结果。特别地，这样的集合的存在意味着与方向集合$Ω$相关联的方向极大算子对于所有$1\leq p<\infty$在$L^p(\mathbb{R}^{d+1})$上是无界的。
2014-04-24 math.CA
A geometric second-order-rectifiable stratification for closed subsets of Euclidean space
定义$n$维欧几里得空间的闭子集的第$m$层由那些点组成，在这些点处，它可以被球从至少$n-m$线性无关的方向触及，我们建立了$m$层是维度$m$和博雷尔集的二阶可求长的。这是已知的凸集，但即使是新的集的积极的影响。其结果是基于一个新的标准二阶整流。
2017-04-09 math.CA math.DG
Restricting directions for Kakeya sets
证明了Kakeya极大猜想与$Ω$ -Kakeya极大猜想等价.这完成了最近在[2]中的一个结果，其中Keleti和Math{é}证明了Kakeya猜想等价于$Ω$ -Kakeya猜想.此外，我们改进了$Ω$-Kakeya集的Hausdorff维数的具体界：对于Sn-1中的任意Bore集$Ω$，我们证明了：如果X $\subset$ Rn对任意e $\in$包含一个沿e定向的单位段，则有dX $\ge$ 6 11 d $Ω$ + 1其中dE表示集合E的豪斯多夫维数.
2022-04-04 math.CA math.MG
