On side lengths of corners in positive density subsets of the Euclidean space
我们将Cook，Magyar和Pramanik [3]关于$\mathbb{R}^d$子集中的三项算术级数的结果推广到$\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d$子集中的角点。更准确地说，如果$1<p<\infty$，$p\neq 2$，$d$是足够大的，我们表明，一个任意的可测集$A\subseteq\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d$的正上Banach密度包含角落$(x,y)$，$(x+s,y)$，$(x,y+s)$，使$\ell^p$ -范数的侧$s$达到所有足够大的实际值。尽管我们严格遵循[3]的基本步骤，但证明在依赖调和分析的部分存在分歧。我们需要应用[5]中多线性估计的高维变体，我们使用[5]和[6]中的技术建立。
2017-03-26 math.CA math.CO
On volumes determined by subsets of Euclidean space
给定$E \subset {\Bbb R}^d$，定义$E$的\emph{volume set}，${\mathcal V}(E)= \{det(x^1, x^2, ... x^d): x^j \in E\}$。在$\R^3$中，我们证明了如果$E\subset \Bbb R^3$的Hausdorff维数大于13/5，或者$E$是$E=B_1\times B_2\times B_3$与$B_j\subset\R,\, dim_{\mathcal H}(B_j)>2/3,\, j=1,2,3$的乘积集，则${\mathcal V}(E)$有正的Lebesgue测度.我们发现，同样的结论适用于$\V(E)$的Salem子集$E\subset\R^d$与$\hde>d-1$，并给出应用程序的离散组合几何。
2011-10-31 math.CA math.CO math.MG
A Bilinear Kakeya Inequality in the Heisenberg Group
University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文在Heisenberg群中证明了双线性Kakeya不等式，并通过结合Pramanik、Yang和Zahl等人的技术，以及Zahl的工作引入新的广度假设，解决了欧几里得弯曲管中的尖锐估计问题。
2026-04-03 math.CA math.MG
On angles determined by fractal subsets of the Euclidean space via Sobolev bounds for bi-linear operators
证明了如果${\mathbb R}^d$的紧子集的Hausdorff维数大于$\frac{d+1}{2}$，则由该集合的点的三重集所确定的角的集合具有正的Lebesgue测度.广义Radon变换的双线性类似物的Sobolev界和固定相位的稳定相位法起着关键作用。这些结果补充了V.Harangi，T.凯莱蒂，G. Kiss，P. Maga，P. Mattila and B. Stenner在（\cite{HKKMMS10}）。我们还获得了新的上界的次数之间的角度可以发生在$N$点在${\mathbb R}^d$，$d \ge 4$，Apfelbaum和Sharir（\cite{AS05}）和Pach和Sharir（\cite{PS92}）的结果的动机。然后，我们使用该结果来建立连续设置中的锐度结果。另一个清晰度结果依赖于更高维度中大球体上晶格点的分布。
2011-10-31 math.CA math.CO
Sobolev smoothing estimates for bilinear maximal operators with fractal dilation sets
本文研究超曲面上双线性平均算子及其极大版本，利用Fourier分析方法在分形伸缩集情形下建立L^2×L^2→L^2的Sobolev光滑性估计，并由此推导L^p改进界、稀疏界及加权推论，同时推广到三角形平均与双参数平均算子。
2023-11-29 math.CA
Simplices in thin subsets of Euclidean spaces
本文研究欧几里得空间中高维薄子集包含给定非退化单形相似副本的维数阈值问题，证明了当 Hausdorff 维数不低于某个小于 $k$ 的 $s_k$ 时必然存在该副本。
2020-09-09 math.CA math.CO math.MG
Bilinear embedding for Schrödinger-type operators with complex coefficients
我们证明了一个变种的所谓的双线性嵌入定理的运营商的散度型与复杂的系数和非负的局部可积的潜力，受混合边界条件，并采取行动的任意开子集的$\mathbb{R}^{d}$。
2023-02-24 math.AP math.CA math.FA
Real-Variable Characterizations of Local Orlicz-Slice Hardy Spaces with Application to Bilinear Decompositions
最近，双线性分解$h^1(\mathbb{R}^n)\times \mathrm{\,bmo}(\mathbb{R}^n) \subset L^1 (\mathbb{R}^n)+h_\ast^Φ(\mathbb{R}^n)$和$h^1(\mathbb{R}^n) \times \mathrm{bmo}(\mathbb{R}^n) \subset L^1 (\mathbb{R}^n) + h^{\log}(\mathbb{R}^n)$被建立。本文从某种意义上证明了前者是尖锐的，而后者不是。为此，首先引入局部Orlicz片Hardy空间，它包含A. Bonami和J.Feuto作为一个特例，通过原子、有限原子和各种极大函数建立了它的特征，得到了它的对偶空间，这些特征对于$h_\ast^Φ(\mathbb R^n)$也是新的.还阐明了$h_\ast^Φ(\mathbb{R}^n) \subsetneqq h^{\log}(\mathbb{R}^n)$之间的关系。
2020-07-05 math.AP math.CA math.FA
Improvement on $2$-chains inside thin subsets of Euclidean spaces
证明了若$E\subset\mathbb{R}^d$，$d\geq 2$的Hausdorff维数大于$\frac{d}{2}+\frac{1}{3}$，则$E$，$$Δ_2(E)=\{(|x-y|, |y-z|): x, y, z\in E \}\subset\mathbb{R}^2$$中$2$ -链的间隙集具有正的Lebesgue测度.推广了Wolff-Erdogan关于距离的结果，改进了Bennett，Iosevich和Taylor关于有限链的一个结果.我们还考虑了$2$ -链的相似类，$$S_2(E)=\left\{\frac{t_1}{t_2}:(t_1,t_2)\inΔ_2(E)\right\}=\left\{\frac{|x-y|}{|y-z|}: x, y, z\in E \right\}\subset\mathbb{R},$$，并证明了当$|S_2(E)|>0$.
2017-10-25 math.CA math.CO math.MG
Large subsets of Euclidean space avoiding infinite arithmetic progressions
针对正测度集合必含任意长有限等差数列的结论，本文构造了在每个单位区间内测度至少为任意给定 $λ<1$、却不含任何无限等差数列的实数子集。
2023-04-20 math.CA
Cone and paraboloid points of arbitrary subsets of Euclidean space
本文给出了欧几里得空间中任意子集的锥点。给定$E \subset \mathbb{R}^n$，$x \in E$是$E$的锥点当且仅当\begin{align*} \int_{0}^1 β_{E}^{d,2}(B(x,r))^2 \frac{dr}{r} < \infty, \end{align*}直到一个零$d$-测度集。系数$β_E^{d,2}$是琼斯系数的变化。这是一个高维对应定理的主教和琼斯从1994年。我们还证明了类似的结果$α$抛物面点，这是$C^{1,α}$可求直对应锥点：$x \in E$是$α$抛物面点当且仅当\begin{align*} \int_0^1 \frac{\overlineβ_{E}^{d,2}(B(x,r))^2}{r^{2α}} \, \frac{dr}{r} < \infty \end{align*}的零$d$-措施。这里，$\overlineβ^{d,2}_E$是由Azzam和Schul引入的琼斯系数的另一种变体。
2021-03-19 math.CA
On the asymptotic magnitude of subsets of Euclidean space
幅是有限度量空间的一个标准不变量，它起源于范畴论;它类似于有限集合的基数。本文通过用有限子集逼近欧几里得空间的某些紧子集，定义并计算了线段、圆和康托集的大小。据观察，这些渐近满足容斥原理，将它们与多凸集的内在体积。
2012-08-06 math.CA math.CT math.MG
A geometric second-order-rectifiable stratification for closed subsets of Euclidean space
定义$n$维欧几里得空间的闭子集的第$m$层由那些点组成，在这些点处，它可以被球从至少$n-m$线性无关的方向触及，我们建立了$m$层是维度$m$和博雷尔集的二阶可求长的。这是已知的凸集，但即使是新的集的积极的影响。其结果是基于一个新的标准二阶整流。
2017-04-09 math.CA math.DG
Bilinear spherical maximal function with fractal dilations
National Center for Theoretical Sciences National Taiwan University（台湾大学国家理论科学中心）；Department of Mathematics National Taiwan University（台湾大学数学系）；Department of Mathematics Indian Institute of Science Education and Research Bhopal（印度博帕尔科学教育研究 institute 数学系）
本文研究了与一般集合E⊂R_+相关的双线性球极最大函数的L^p有界性，通过上Minkowski维度量化了有界范围，解决了分形情况下双线性球极最大函数在p_1=1或p_2=1时的有界性问题。
2026-09-01 math.CA
Bilinear embedding for divergence-form operators with first-order terms and negative potentials
Università degli Studi di Genova（热那亚大学）
本文研究了具有复系数的二阶散度型算子的双线性嵌入，发展了Carbonaro和Dragičević的理论，并统一了 generalized p-椭圆性条件，证明了H^∞-微分算子在L^p上的有界性和L^p-maximal正则性。
2026-11-13 math.AP math.CA math.FA
On radii of spheres determined by subsets of Euclidean space
本文考虑了$E\subset\R^d$的Hausdorff维数需要多大才能保证由$E$确定的$(d-1)$维球面的半径集具有正的Lebesgue测度.我们还研究了一个给定半径的邻域重复的频率。我们得到两个结果。首先，通过应用\cite{mul}研究Falconer型问题的一般机制，我们证明了一个给定半径的邻域不能重复比统计界更频繁，如果$\dH(E)>d-1+\frac{1}{d}$;在$\R^2$，尺寸阈值是尖锐的。其次，通过证明一个交定理，证明了对于a.ePDMATHABMS，中心由$a\in\R^d$确定的PDMATHAMN-球面的半径集必有正的Lebesgue测度，如果$\dH(E)>d-1$，这是该问题的一个严格界.
2013-04-19 math.CA
Bilinear fractional integral operators on Morrey spaces
本文证明了双线性分数次积分算子的Adams型有界性，其形式为$$B_α(f,g)(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{f(x-y)g(x+y)}{|y|^{n-α}}dy,\qquad 0<α<n.$$对于$1<t\leq s<\infty$，我们通过已知的Adams型结果证明了非加权情形.并证明了Adams型的结果是最优的。对于$0<t\leq s<\infty$和$0<t\leq1$，如果两个权$(v,\vec{w})$满足$$ [v,\vec{w}]_{t,\vec{q}/{a}}^{r,as}=\mathop{\sup_{Q,Q^{\prime}\in\mathscr{D}}}_{Q\subset Q^{\prime}}\left(\frac{|Q|}{|Q^{\prime}|}\right)^{\frac{1-s}{as}}|Q^{\prime}|^{\frac{1}{r}}\left(\fint_{Q}v^{\frac{t}{1-t}}\right)^{\frac{1-t}{t}}\prod_{i=1}^{2}\left(\fint_{Q^{\prime}}w_{i}^{-(q_{i}/a)^{\prime}}\right)^{\frac{1}{(q_{i}/a)^{\prime}}}<\infty,\,\,\, 0<t<s<1 $$和$$ [v…
2019-05-27 math.CA
A bilinear estimate in $\mathbb{F}_p$
本文通过精心选取变量应用柯西-施瓦茨不等式，改进了有限域上某双线性算子的 $L^2\times L^2\to L^2$ 估计，并由此证明密度 $\gtrsim p^{-1/8}$ 的子集必含非零 $y$ 的二次级数 $x,x+y,x+y^2$。
2024-01-15 math.CA math.NT
A bilinear approach to the finite field restriction problem, II
本文通过双线性方法与点线关联估计，证明三维抛物面P3的傅里叶扩展算子从L^2到L^r（r>176/51）的有界性，并得到六维抛物面P6的L^2到L^{8/3}的端点估计。
2026-09-30 math.CA math.NT
Multi-parameter projection theorems with applications to sums-products and finite point configurations in the Euclidean setting
本文研究了分形集的多参数投影定理。在这些估计的帮助下，我们恢复结果的大小$A \cdot A+...+A \cdot A$，其中$A$是一个子集的实数线的一个给定的豪斯多夫维数，$A+A=\{a+a': a,a' \in A \}$和$A \cdot A=\{a \cdot a': a,a' \in A\}$。我们还使用投影结果和归纳参数表明，如果一个子集的${\Bbb R}^d$的豪斯多夫维数是足够大的，那么${k+1 \choose 2}$维勒贝格测度的集合的$k$ -单形由这个集合是积极的。这些结果的锐度和连接数论估计进行了讨论。
2011-06-28 math.CA math.CO math.MG
Generalized Hausdorff dimension distortion in Euclidean spaces under Sobolev mappings
研究了定义在$\mathbb{R}^n$开子集上的Orlicz-Sobolev映射的导数的可积性对豪斯多夫维数小于$n$的集的象的大小的影响.我们测量的图像集的大小在广义Hausdorff措施。
2010-07-13 math.CA
A polynomial Roth theorem for corners in $\mathbb{R}^2$ and a related bilinear singular integral operator
本文证明了 $\mathbb{R}^2$ 中多项式角点的定量 Roth 型定理及双线性奇异积分算子的有界性，通过建立多项式光滑不等式和子层集估计，扩展了 Christ、Durcik 和 Roos 的早期工作。
2023-07-01 math.CA
Packing sets in Euclidean space by affine transformations
本文研究欧氏空间中 Borel 集在刚体运动、膨胀平移及相似变换下的并集的测度与 Hausdorff 维数，给出了精确的维数阈值，推广了针对光滑对象的已有结果。
2024-05-06 math.CA
Bilinear embedding for divergence-form operators with negative potentials
Università degli Studi di Genova（热那亚大学）
本文研究了具有负势的散度型算子的双线性不等式扩展，引入了新的系数条件，从而在非负势情况下恢复标准p-椭圆性，并证明了抛物型问题解在L^p(Ω)上的最大正则性。
2026-05-12 math.AP math.CA math.FA
