Magnitude homology equivalence of Euclidean sets
University of Edinburgh（爱丁堡大学）
本文研究了欧几里得集在幅度同调意义上的等价条件，引入了内边界和核心的概念，并加强了Carathéodory定理。
2026-02-20 math.AT math.CT math.MG
On the magnitudes of compact sets in Euclidean spaces
度量空间的大小的概念是由Leinster在[8]中引入的，并在[10]，[9]，[11]和[16]中得到发展，但是欧几里得空间中熟悉的集合的大小只在相对较少的情况下被理解。本文研究了欧几里得空间中紧集的大小。我们首先描述的渐近的大小，这样的集在小规模和大规模的制度。然后，我们考虑了奇数维欧几里得空间中内部非空的紧凸集的大小，并将它们与某些自然相关的高阶椭圆边值问题在外部区域的解的边界行为联系起来。我们进行计算，导致一个算法的显式评估的大小的球，这建立了凸大小猜想Leinster和Willerton [9]在特殊情况下的球在三维。在一般情况下，我们证明了奇数维球的大小是它的半径的有理函数。除了傅立叶分析和偏微分方程技术，参数还涉及一些组合的考虑。
2016-07-13 math.MG
Improvement on $2$-chains inside thin subsets of Euclidean spaces
证明了若$E\subset\mathbb{R}^d$，$d\geq 2$的Hausdorff维数大于$\frac{d}{2}+\frac{1}{3}$，则$E$，$$Δ_2(E)=\{(|x-y|, |y-z|): x, y, z\in E \}\subset\mathbb{R}^2$$中$2$ -链的间隙集具有正的Lebesgue测度.推广了Wolff-Erdogan关于距离的结果，改进了Bennett，Iosevich和Taylor关于有限链的一个结果.我们还考虑了$2$ -链的相似类，$$S_2(E)=\left\{\frac{t_1}{t_2}:(t_1,t_2)\inΔ_2(E)\right\}=\left\{\frac{|x-y|}{|y-z|}: x, y, z\in E \right\}\subset\mathbb{R},$$，并证明了当$|S_2(E)|>0$.
2017-10-25 math.CA math.CO math.MG
Simplex--center configurations in dense subsets of Euclidean spaces and the integer lattice
该研究针对欧几里得空间及整数格的稠密子集，证明了含单形及其重心的构型的密度拉姆齐定理，在特定条件下推广了相关度量下的等距副本存在性结果。
2026-08-21 math.CO math.MG math.NT
Undistorted fillings in subsets of metric spaces
证明了若度量空间$Y$的拟凸子集$X$具有有限Nagata维数，且是Lipschitz $k$ -连通的，或对某个$k$允许直到维数$k$的欧氏等周不等式，则$X$在直到维数$k+1$的$Y$中是等周无畸变的.这推广和加强了第三命名的作者最近的结果，并有几个后果和应用。例如，在有限Nagata维数的空间中，Lipschitz连通性蕴含欧氏等周不等式，欧氏等周不等式蕴含锥不等式。它还允许我们证明一个模拟的Federerer-Fleming变形定理在有限的Nagata维空间承认欧几里德等周不等式。
2021-12-22 math.DG math.MG
Fractal tube formulas and a Minkowski measurability criterion for compact subsets of Euclidean spaces
我们建立了任意维欧氏空间的一大类紧子集的点态和分布分形管公式。这些公式被表示为在所考虑的紧集的复维数上的合适的亚纯函数的剩余之和（即，在其分形zeta函数的极点上）。我们的结果推广到更高的维度（并在一个显着的方式）相应的第一作者和范Frankenhuijsen先前获得的分形字符串。通过几个例子说明了它们，并应用于产生一个新的Minkowski可测性准则。
2017-05-10 math-ph math.CV math.MG
Euclidean embedding, randomized clustering, and Lipschitz extension for finite and doubling subsets of $L_p$ when $p>2$
Princeton University（普林斯顿大学）
论文证明了L_p空间中n点集的欧几里得扭曲为O(p^3(logn)^{1/2+o(1)})，并展示了双倍集的分离模和扩展性质。
2026-03-21 math.FA math.MG
On the magnitude function of domains in Euclidean space
本文研究了紧度量空间的Leinster幅度概念。对于一个光滑的，紧凑的域$X\subset \mathbb{R}^{2m-1}$，我们发现几何意义的功能$\mathcal{M}_X(R) = \mathrm{mag}(R\cdot X)$。函数$\mathcal{M}_X$从正半直线延伸到复平面中的亚纯函数。它的极点是广义散射共振。在半经典极限$R \to \infty$中，$\mathcal{M}_X$允许渐近展开。$R=+\infty$处的$\mathcal{M}_X$的三个前导项与体积、表面积和中曲率的积分成比例。特别是，对于凸$X$的领先条款是成比例的内在体积，我们得到了一个渐进的变化的凸幅度猜想Leinster和Willerton，校正系数。
2020-03-17 math.AP math.CA math.MG
Euclidean distortion and the Sparsest Cut
我们证明了每一个$n$ -点度量空间的负型（特别是，每一个$n$ -点子集的$L_1$）嵌入到一个欧几里得空间的失真$O(\sqrt{\log n} \cdot\log \log n)$，这是紧的结果，以重对数因子。因此，我们得到了最好的已知的多项式时间近似算法的稀疏割问题的一般要求。也就是说，如果在大小为$k$的子集上支持需求，则我们实现$O(\sqrt{\log k}\cdot \log \log k)$的近似比。
2005-08-08 math.MG
On the magnitude of odd balls via potential functions
大小是度量空间的一个度量，它起源于范畴论。特别是，幅度是定义为紧凑的子集欧几里德空间，并在arXiv：1507.02502，Carbery和Carbery给出了一个程序计算幅度球在奇数维欧几里得空间。在本文中，他们的方法是修改以各种方式：这导致了一个明确的行列式公式的大小奇数球，并导致一个简单的公式在汉克尔决定因素。后一个公式在arXiv：1708.03227中使用了一种相当不同的方法来证明，但本文提供了导致公式被证明的推理。最后，推测了一个经过经验检验的大小导数的汉克尔行列式公式。
2018-04-06 math.CA math.MG
A note on subsets of positive reach
给出了欧几里得空间和黎曼流形中正可达集的新的结构结果。
2023-02-10 math.DG math.MG
On homotopy types of Euclidean Rips complexes
度量空间中一组点X的尺度为r的Rips复形是抽象的单纯复形，其面由X的有限个直径小于r的子集确定。我们证明了，对于欧氏空间R^3中的X，从X的Rips复形到它在R^3中的阴影的自然投影映射诱导在基本群上的满射。这部分回答了钱伯斯、德·席尔瓦、埃里克森和格里斯特提出的一个问题，他们研究了R^2的子集的这种投影。我们进一步证明了R^n的有限子集的Rips复形是普适的，因为它们模拟了所有PL-可嵌入R^n的单纯复形的同伦类型。作为一个应用，我们得到了任意R^4的有限子集的Rips复形的基本群。我们进一步证明了如果R^2中一个有限点集的Rips复形是一个维数至少为2的正规伪流形，那么它一定是一个交叉多面体的边界。
2016-02-12 math.AT math.MG
Dimension of a snowflake of a finite Euclidean subspace
设$X$是欧几里得空间的$n$ -点子集，而$0 < a < 1$ . Schoenberg的经典定理表明雪花空间$X^a$可以等距嵌入到欧几里得空间中。在本文中，我们证明了这样的嵌入的图像中的点总是在一般的位置。作为应用，我们证明了Schoenberg关于欧几里得空间的同分元的结果在有限群上的类似.
2017-07-12 math.MG
Multi-parameter projection theorems with applications to sums-products and finite point configurations in the Euclidean setting
本文研究了分形集的多参数投影定理。在这些估计的帮助下，我们恢复结果的大小$A \cdot A+...+A \cdot A$，其中$A$是一个子集的实数线的一个给定的豪斯多夫维数，$A+A=\{a+a': a,a' \in A \}$和$A \cdot A=\{a \cdot a': a,a' \in A\}$。我们还使用投影结果和归纳参数表明，如果一个子集的${\Bbb R}^d$的豪斯多夫维数是足够大的，那么${k+1 \choose 2}$维勒贝格测度的集合的$k$ -单形由这个集合是积极的。这些结果的锐度和连接数论估计进行了讨论。
2011-06-28 math.CA math.CO math.MG
A Finitary Approach to Coarse Separation of Euclidean spaces
University of Bristol（布里斯托大学）
用奇异同调/上同调及代数拓扑标准事实，将欧几里得空间粗分离子集族问题简化为有限版本，证其渐近维数至少为d - 1，还得出相关空间结论及对粗嵌入的阻碍。
2026-07-07 math.AT math.MG
Polygons with prescribed Gauss map in Hadamard spaces and Euclidean buildings
证明了在局部紧Hadamard空间的渐近边界上，给定一个稳定的加权配置，若该配置稳定，则存在一个由给定的加权配置指定的具有Gauss映射的多边形.此外，同样的结果适用于半稳定配置任意欧几里德建筑。我们还研究了射线如何投影到Hadamard空间的闭凸子集。
2004-12-02 math.MG
Bi-Lipschitz embeddings of Heisenberg submanifolds into Euclidean spaces
海森堡群$\mathbb{H}$配备了一个亚黎曼度量是一个最有名的例子之一，加倍度量空间，不允许一个双Lipschitz嵌入到任何欧几里得空间。本文研究$\mathbb{H}$双Lipschitz中的\textit{subsets}嵌入到欧几里得空间中的问题。我们证明了存在一个普适常数$L>0$，使得线$L$ -bi-Lipschitz嵌入$\mathbb{R}^3$，平面$L$ -bi-Lipschitz嵌入$\mathbb{R}^4$ .此外，$C^{1,1}$ $2$ -流形没有特征点以及所有$C^{1,1}$ $1$ -流形局部$L$ -bi-Lipschitz嵌入到$\mathbb{R}^4$中，其中常数$L$又是普适的。我们还考虑了几个例子，紧凑的表面与特征点，我们证明，例如，Korányi球双Lipschitz嵌入到$\mathbb{R}^4$的一个统一的常数。最后，我们证明了$\mathbb{H}$存在一个紧的，多孔的子集，它不允许双Lipschitz嵌入到任何欧氏空间。
2018-12-18 math.MG
Continuity of Magnitude at Skew Finite Subsets of $\ell_1^N$
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
本文研究了$\ell_1^N$中skew有限子集上幅度的连续性，通过分析立方体加厚并推导出权重测度的显式公式，证明了这些加厚的幅度收敛于其底层有限集的幅度。
2026-03-19 math.GN math.MG
When the Gromov-Hausdorff distance between finite-dimensional space and its subset is finite?
本文刻画了有限维欧几里得空间中子集与全空间Gromov-Hausdorff距离有限的条件，即子集为某ε-网，并指出该结论在无穷维情形不成立。
2024-11-20 math.MG
A converse bound for dGH vs. dH for Euclidean space and Riemannian manifolds
Karlsruher Institut für Technologie（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文证明欧几里得空间及黎曼流形上，任意稠密子集的 Gromov-Hausdorff 距离与 Hausdorff 距离之比可达到下界 $\sqrt{(n+1)/(2n)}$，从而验证该下界的紧性。
2026-09-14 math.MG
Uniqueness of maximum three-distance sets in the three-dimensional Euclidean space
$d$维欧几里得空间中的子集$X$称为$k$距离集，如果在$X$中的两个不同点之间恰好存在$k$距离. Einhorn和Schoenberg证明了正二十面体的顶点是$\mathbb{R}^3$中直到同构的唯一的12点三距离集。本文证明了$\mathbb{R}^3$中12点三距离集的唯一性。
2013-09-09 math.CO math.MG
Convergence of magnitude of finite positive definite metric spaces
Department of Mathematical Sciences, Seoul National University（首尔大学数学科学系）
本文研究了有限正定度量空间的度量度在Gromov-Hausdorff距离下的连续性，通过外接圆半径的几何解释提出了一种新的分析方法。
2026-01-29 math.MG
Characterizing rectifiability via biLipschitz pieces of Lipschitz mappings on the space
本文给出了可求长度量空间的新刻画：通过Lipschitz映射的biLipschitz片段及完全biLipschitz分解，并利用独立Alberti表示构造方法，将不可求长空间刻画为存在与低维映射定量横截的曲线片段上$\cH^1$-零测集的空间。
2025-10-15 math.CA math.MG
Continuity of Magnitude at Finite Subsets of $\ell_1^N$
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
本文证明幅度在 $\ell_1^N$ 的每个有限子集处连续，通过推导立方加厚的权重测度并证明其收敛到有限集的幅度。
2026-09-23 math.GN math.MG
Weak metrics on Euclidean domains
集合上的弱度量是满足度量公理（除了对称性和分离性公理）的函数。本文在欧几里得空间的任何有界或无界子集上引入了一个弱度量，称之为Apollonian弱度量。然后，我们将这个弱度量与一些熟悉的度量，如Poincare度量，Klein-Hilbert度量，Funk度量和部分度量，这些度量在经典和最近的几何函数论工作中发挥了重要作用。
2006-09-08 math.MG
Euclidean quotients of finite metric spaces
本文主要研究有限度量空间的等价性。基本类型的问题，我们问的是：给定一个有限的度量空间M，什么是最大的商（一个子集）M，以及嵌入到希尔伯特空间。我们得到这些问题的渐近紧界，并证明它们表现出相变。我们还研究了嵌入到l_p中的类似问题，以及超立方体的特殊情况。
2004-06-17 math.MG
Local convexity in CAT(κ)-spaces
Heinrich Tietze证明了欧几里得空间的闭连通子集是凸的是一个局部性质。我们将其推广到CAT（0）-空间和局部紧CAT（κ）空间。作为应用，我们给出了欧氏建筑物中某些凸集的构造。
2014-09-23 math.MG
Bi-Lipschitz embedding of projective metrics
本文给出了欧几里得空间子集上的射影度量允许双Lipschitz嵌入到同维数的欧几里得空间中的一个充分条件.
2014-03-19 math.CV math.MG
Inverse semigroups of metrics on doubles related to certain subsets
本文定义了一个与度量空间X的等距子空间族相关的、更易计算的逆子半群，并研究了欧氏空间和树中与测地射线族相关的特例。
2022-12-04 math.MG
Approximating Gromov-Hausdorff Distance in Euclidean Space
本文证明在欧几里得空间中，对于一维紧致子集，Gromov-Hausdorff距离可由等距下Hausdorff距离以5/4因子近似，并给出O(n log n)时间算法。
2022-06-07 cs.CG math.MG
Almost bi--Lipschitz embeddings using covers of balls centred at the origin
2010年，Olson \& Robinson [Transactions of the American Mathematical Society，362（1），145-168]引入了几乎齐次度量空间的概念，并证明了如果$X$是希尔伯特空间的子集，使得$X-X$几乎齐次，则$X$允许几乎双Lipschitz嵌入到欧几里得空间中。在本文中，我们推广了这个结果，我们表明，如果$X$是一个子集的巴拿赫空间，使$X-X$是几乎齐次在原点，那么$X$可以嵌入在一个欧几里得空间在几乎双Lipschitz的方式。
2020-01-08 math.FA math.MG
Chromatic numbers of spheres
欧几里得空间的子集的色数是指能够使该子集中所有点着色的最小颜色数，使得距离为1的任意两点具有不同的颜色。给出了球面的色数的新的上界。
2018-11-09 math.CO math.MG
Asymptotic dimension and small subsets in locally compact topological groups
我们证明了，对于一个粗糙的空间$X$的理想$S(X)$的小子集的$X$符合理想$D_<(X)$的子集$A\subset X$的渐近维数$asdim(A)<asdim(X)$的$X$是粗略等价于一个欧几里得空间$R^n$。证明了对于局部紧阿贝尔群$X$，等式$S(X)=D_<(X)$成立当且仅当该群$X$是紧生成的.
2012-10-25 math.GN math.GR math.GT
On the local structure and the homology of CAT$(κ)$ spaces and euclidean buildings
证明了欧氏建筑物的每个开子集都是有限维绝对邻域收缩核。这特别意味着这样的集合具有有限维单纯复形的同伦类型。我们还包括一个证明的刚性同胚的欧几里德建筑。在我们的方法，这个结果的一个关键步骤是：一个CAT $(κ)$空间$X$的方向$Σ_oX$同伦等价于一个小穿孔磁盘$B_\eps(X,o)\setminus o$。第二个成分是$X$的局部同调层。在此过程中，我们证明了CAT $(κ)$ -空间的局部结构的一些结果，这可能是独立的利益。
2010-10-22 math.GT math.MG
On the density of sets of the Euclidean plane avoiding distance 1
本文研究欧几里得平面中避开距离1的可测集合的上密度上确界，证明其上界为0.25647，并得到平面分数色数至少为3.8991。
2022-05-27 cs.DM math.CO math.MG
Coverings of planar and three-dimensional sets with subsets of smaller diameter
考虑了与将欧几里得空间中的集合分裂为较小直径子集的经典Borsuk问题相关的定量估计。对于给定的$k$，存在子集的最小直径，在该最小直径处存在由任何单位直径的平面集合的$k$子集构成的覆盖。为了找到最小直径的上估计，我们提出了一个算法，找到次优分区。在$10 \leqslant k \leqslant 17$的情况下，改进了最小直径的一些上估计和下估计。另一个结果是单位直径的任何集合$M \subset \mathbb{R}^3$可以被划分成直径不大于$0.966$的四个子集。
2022-10-22 math.MG
Diffraction of weighted lattice subsets
格上支持的具有有界复权重的欧几里得空间中的点测度的狄拉克梳继承了格结构的某些一般性质。特别地，它的自相关函数可以分解为一个连续函数和均匀格点狄拉克梳，它的衍射测度是周期的，其对偶格是周期格点.这一陈述在局部紧阿贝尔群也是$σ$ -紧的情况下仍然成立。
2002-02-13 math-ph math.MG math.MP
Regular points of extremal subsets in Alexandrov spaces
定义了Alexandrov空间中极值子集的正则点，并研究了它们的基本性质.证明了极值子集中正则点的邻域几乎等距于欧几里得空间中的开子集，极值子集中的正则点的集合具有满测度且在其中稠密，这些结果实际上对极值子集中的应变点也成立.其应用包括极值子集在Alexandrov空间的非塌缩收敛下的体积收敛，以及极值子集的正则部分的度量邻域的锥纤维化结构的存在性。在附录中，构造了一般极值子集的度量邻域的形变收缩。
2021-06-17 math.DG math.MG
Tube formulas for self-similar fractals
管公式（我们指的是合适的度量空间的子集的$ε$ -邻域的体积的显式公式）在许多情况下被用来研究子集的性质。对于欧几里得空间的光滑子流形，这包括Weyl关于谱渐近性的著名结果，以及曲率与谱之间的关系。此外，管公式包含有关粗糙集的维数和可测性的信息。在凸几何中，欧几里得空间的凸子集的管公式允许定义某些曲率测度。这些措施描述的曲率集是不是太不规则，以支持衍生物。在这篇综述论文中，我们描述了自相似分形的管公式发展的一些最新进展，以及它们的应用和与这里提到的其他主题的联系。
2007-11-01 math-ph math.DS math.MG
