发表机构
Pennsylvania State University; University of Ljubljana（宾夕法尼亚州立大学; 卢布尔雅那大学）
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本文证明幅度在 $\ell_1^N$ 的每个有限子集处连续，通过推导立方加厚的权重测度并证明其收敛到有限集的幅度。
AI 中文摘要
幅度是 Leinster 于 2011 年引入的度量空间等距不变量。在有限度量空间的 Gromov--Hausdorff 空间中，幅度处处不连续，然而，如果限制环境空间，确实存在正面的连续性结果。在本文中，我们证明了幅度在 $\ell_1^N$ 的每个有限子集 $F$ 处连续。我们通过首先推导有限个立方体（即 $F$ 中点的立方加厚）的权重测度，然后证明这些加厚收敛到底层有限集的幅度来实现这一点。
英文摘要
Magnitude is an isometric invariant of metric spaces introduced by Leinster in 2011. It is nowhere continuous on the Gromov--Hausdorff space of finite metric spaces, however, positive continuity results do exist if we restrict the ambient space. In this paper, we prove that magnitude is continuous at every finite subset $F$ of $\ell_1^N$. We do this by first deriving the weight measure for a finite union of cubes, i.e.\ cubical thickenings of the points in $F$, and then showing that these thickenings converge to the magnitude of the underlying finite set.
