关于欧几里得空间与黎曼流形上 dGH 与 dH 的一个逆向界
A converse bound for dGH vs. dH for Euclidean space and Riemannian manifolds
- Karlsruher Institut für Technologie（卡尔斯鲁厄理工学院）
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AI总结：
本文证明欧几里得空间及黎曼流形上，任意稠密子集的 Gromov-Hausdorff 距离与 Hausdorff 距离之比可达到下界 $\sqrt{(n+1)/(2n)}$，从而验证该下界的紧性。
AI中文摘要：
我们证明，对于欧几里得空间 $\left(\mathbb{R}^n, \\|.\\|_2\right)$，存在子集 $A^n \subseteq \mathbb{R}^n$，使得 $d_H(\mathbb{R}^n, A^n)$ 任意小，同时满足 $d_{GH}(\mathbb{R}^n, A^n) = \sqrt{\frac{n+1}{2n}}d_{H}(\mathbb{R}^n, A^n)$，这表明 arXiv:2607.18447 中证明的下界 $d_{GH}(\mathbb{R}^n, A^n) \geq \sqrt{\frac{n+1}{2n}}d_H(\mathbb{R}^n, A^n)$ 对于在周围空间中任意稠密的集合是紧的。我们还对黎曼流形和足够稠密的子集证明了类似结论，作为 arXiv:2309.16648 的逆向结果。
英文摘要：
We prove for the Euclidean space $\left(\mathbb{R}^n, \|.\|_2\right)$ the existence of subsets $A^n \subseteq \mathbb{R}^n$ with $d_H(\mathbb{R}^n, A^n)$ arbitrarily small, such that $d_{GH}(\mathbb{R}^n, A^n) = \sqrt{\frac{n+1}{2n}}d_{H}(\mathbb{R}^n, A^n)$, showing that the lower bound $d_{GH}(\mathbb{R}^n, A^n) \geq \sqrt{\frac{n+1}{2n}}d_H(\mathbb{R}^n, A^n)$ proved in arXiv:2607.18447 is tight for sets that are arbitrarily dense in the surrounding space. We also prove a similar statement for Riemannian manifolds and sufficiently dense subsets as a converse to arXiv:2309.16648.
