通过仿射变换在欧氏空间中的集合填充
Packing sets in Euclidean space by affine transformations
AI总结：
本文研究欧氏空间中 Borel 集在刚体运动、膨胀平移及相似变换下的并集的测度与 Hausdorff 维数，给出了精确的维数阈值，推广了针对光滑对象的已有结果。
摘要：
对于 Borel 子集 $Θ\subset O(d)\times \mathbb{R}^d$（所有刚体运动的集合）以及 $E\subset \mathbb{R}^d$，我们定义 \begin{align*} Θ(E):=\bigcup_{(g,z)\in Θ}(gE+z). \end{align*} 本文在 $Θ$ 具有乘积形式时，给定 Borel 集 $E$ 和 $Θ$ 的维数，研究 $Θ(E)$ 的 Lebesgue 测度和 Hausdorff 维数。我们还通过用膨胀和平移类以及相似变换替代刚体运动来研究这一问题。维数阈值是精确的。当 $E$ 被限制为光滑对象（如球面、$k$-平面和曲面）时，我们的结果是文献中一些先前已知结果的变体。
英文摘要：
For Borel subsets $Θ\subset O(d)\times \mathbb{R}^d$ (the set of all rigid motions) and $E\subset \mathbb{R}^d$, we define \begin{align*} Θ(E):=\bigcup_{(g,z)\in Θ}(gE+z). \end{align*} In this paper, we investigate the Lebesgue measure and Hausdorff dimension of $Θ(E)$ given the dimensions of the Borel sets $E$ and $Θ$, when $Θ$ has product form. We also study this question by replacing rigid motions with the class of dilations and translations; and similarity transformations. The dimensional thresholds are sharp. Our results are variants of some previously known results in the literature when $E$ is restricted to smooth objects such as spheres, $k$-planes, and surfaces.
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