Balanced complexes and complexes without large missing faces
研究了维数大于$i$的无缺面单纯复形的面数.结果表明，在所有这类具有非零顶同调的$(d-1)$维复形中，某个多面体球面具有分量最小$f$ -向量;而且，在所有这类2-Cohen-Macaulay（2-CM）复形中，同一球面具有分量最小$h$ -向量.证明了标志$(d-1)$ -维2-CM复合体的$l$ -骨架是$2(d-l)$ -CM，而标志PL $(d-1)$ -球的$l$ -骨架是$2(d-l)$ -同伦CM.此外，还建立了2-CM平衡复形的面数在维数和顶点数方面的紧下界。
2009-07-09 math.CO
Betti Numbers of Prodsimplicial Complexes for Directed Graphs with Applications to Word Reductions
本文提出乘积单纯复形分析有向图，研究贝蒂数与同调环，应用于双出现词约化及DNA重组过程，探讨词运算对同调的影响。
2023-05-10 math.CO math.GT
Vertex decomposable complexes of directed forests, conflict graphs and chordality
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
本文研究了有向森林的顶点可分解复形，通过构造冲突图并应用独立复形理论，得出了保证复形顶点可分解、壳性和序列Cohen-Macaulay性质的图论准则，并给出了相关多重有向图的分类。
2026-02-16 math.CO
Multi-directed graph complexes and quasi-isomorphisms between them II: Sourced graphs
证明了从定向图复形到至少有一个源的图复形的包含是一个拟同构，表明“源”图复形的同调也等于标准Kontsevich图复形的同调.这一结果可应用于度至少为1的多向量场$T_{\rm poly}^{\geq 1}$的理论，以及计算长结点空间的有理同伦的有毛图复形。将所得结果推广到多有向图复形，证明了此类复形都是拟同构的。这些复合体在Sergei Merkulov最近发明的多方向支柱变形理论中起着关键作用。我们还开发了一个理论的图复杂的任意边缘类型。
2018-02-13 math.CO math.QA
Homologies of path complexes and digraphs
在本文中，我们引入了一个路径复形，可以看作是一个单纯复形的概念的推广。考虑路径复形的主要动机来自于有向图（有向图）。给出了有向图的路同调和上同调的一个新概念。
2013-05-11 math.AT math.CO
A combinatorial-topological shape category for polygraphs
我们引入了可构造的定向复形，这是一种受偏序集拓扑中可构造复形启发的高阶范畴的组合表示。具有最大元素（称为原子）的可构造有向复形包含常见的高阶胞腔形状，包括球形、立方体、定向单形和一个大的opetopes子类，并且在松散的Gray积和连接下是封闭的。我们将可构造的多道图定义为一类原子和包含体上的预层，并将其推广到幺半群结构上。我们表明，可构造的定向复合物是一个良好的行为子类施泰纳的定向复合物，我们用它来定义一个实现函子从可构造的测谎仪的欧米茄类别。我们证明，实现一个可构造的测谎仪是一个测谎仪在限制的情况下，并在所有情况下有条件的猜想。最后，我们定义了一个可构造的测谎仪的几何实现，并证明了它是一个CW复杂的一个细胞，其每个元素。
2019-09-17 math.AT math.CO math.CT
Spectral gaps of simplicial complexes without large missing faces
令$X$是$n$顶点上的单纯复形，且没有缺失维数大于$d$的面。令$L_{j}$表示作用在$X$的实$j$ -上链上的$j$ -拉普拉斯算子，$μ_{j}(X)$表示其最小特征值.我们研究了$k\geq d$和$μ_{d-1}(X)$的光谱间隙$μ_{k}(X)$之间的联系。特别地，我们建立了以下消失结果：如果$μ_{d-1}(X)>(1-\binom{k+1}{d}^{-1})n$，则对于所有$d-1\leq j \leq k$，$\tilde{H}^{j}(X;\mathbb{R})=0$。作为应用，我们证明了Holmsen，Martínez-Sandoval和Montejano关于拟阵中一般位置集的Hall型定理的分数阶推广.
2017-06-01 math.CO
Torsion of digraphs and path complexes
利用作者在\cite{Grigoryan-Lin-Muranov-Yau2013, Grigoryan-Lin-Muranov-Yau2014, Grigoryan-Lin-Muranov-Yau2015, Grigoryan-Lin-Muranov-Yau2020}中引入的路同调论，定义了有向图的Reidemeister挠和解析挠的概念.本文证明了两个挠率概念的同一性，并给出了有向图的笛卡儿积和并的挠率公式。
2020-12-14 math.AT math.CO
Remarks on missing faces and generalized lower bounds on face numbers
我们考虑单纯多面体，和更一般的单纯复形，没有丢失的面以上的固定尺寸。尖锐的类似物McMullen的广义下界，和Barnette的下界，这些家庭的复杂性。本文给出了这两种结构的部分结果。
2009-04-24 math.CO
Representability and boxicity of simplicial complexes
设$X$是顶点集$V$上的单纯复形.如果$X$同构于$\mathbb{R}^d$中的一个凸集族的神经，则称$X$是$d$ -可表示的.我们定义$X$的$d$ -盒性为最小$k$，使得$X$可以写成$k$-可表示的单纯复形的交集.这推广了由Roberts定义的图的盒性的概念。$X$的缺失面是一组$τ\subset V$，使得$τ\notin X$但对于任何$σ\subsetneq τ$的$σ\in X$。本文证明了在$n$顶点上的单纯复形的$d$盒性至多为$\left\lfloor\frac{1}{d+1}\binom{n}{d}\right\rfloor$ .边界是尖锐的：一个单复形的$d$ -盒性，其缺失面的集合形成一个Steiner $(d,d+1,n)$ -系统，该单复形的$d$-盒性正好是$\frac{1}{d+1}\binom{n}{d}$。
2020-08-23 math.CO
Vertex decomposability of complexes associated to forests
在这篇文章中，我们讨论了三个研究得很好的单纯复形森林的顶点可分解性。特别地，我们证明了森林的有界度复形和多重森林的有向树复形是顶点可分解的。然后，我们证明了森林的非覆盖复形是可收缩的或同伦等价于一个球体。最后，我们提供了一个完整的表征森林的非覆盖复形是顶点可分解的。
2021-01-14 math.CO
Dowker Complexes and filtrations on self-relations
给定$ X \times Y $上的一个关系，我们可以构造两个抽象的单纯复形，称为Dowker复形。这些单纯复形的几何实现是同伦等价的。我们证明了如果两个关系是共轭的，那么它们有同伦等价的Dowker复形。从$ X $上的一个自关系出发，这是一个有向图，我们利用Dowker复形来研究它们的性质。我们证明了，如果两个关系是移位等价的，那么，在某些权力的关系，他们的Dowker复同伦等价。最后，我们定义了一个新的过滤Dowker复合物的基础上，不同的权力的关系。
2023-01-10 cs.DM math.CO
Spectral gaps, missing faces and minimal degrees
设$X$是具有$n$顶点的单纯复形。$X$的缺失面是单形$σ\notin X$，使得对于任何$τ\subsetneq σ$，$τ\in X$。对于$X$中的一个$k$维单形$σ$，它在$X$中的次数是包含它的$X$中的$(k+1)$维单形的个数.令$δ_k$表示$X$中一个$k$维单形的最小次数.令$L_k$表示作用在$X$的实$k$ -上链上的$k$ -拉普拉斯算子，$μ_k(X)$表示其最小特征值.我们证明了下面的下限的光谱间隙$μ_k(X)$，为复合物$X$没有丢失的面的尺寸大于$d$：\[ μ_k(X)\geq (d+1)(δ_k+k+1)-d n. \]作为一个结果，我们得到了一个新的证明消失的结果的同源性没有大的缺失面的单纯复合物。我们提出了一个家庭的例子，实现平等的所有方面，表明绑定是紧的。对于$d=1$，我们刻画了等式的情况。
2018-07-04 math.CO
MCMC Sampling of Directed Flag Complexes with Fixed Undirected Graphs
本文提出一种基于 MCMC 的有向图零模型采样算法，在保留底层无向图的前提下保持单纯形数量，并应用于神经科学连接组拓扑数据分析，首次统计证实微尺度连接组中高 Betti 数具有显著统计意义。
2023-09-06 cs.DM math.CO math.ST
Simplicial $q$-connectivity of directed graphs with applications to network analysis
有向图是一种普遍存在的网络模型，它所产生的拓扑空间，如有向旗复合体，已成为应用拓扑学中的有用对象。单形由有向团构成。我们将Atkin的$q$ -连通性理论推广到有向单形的情形。这导致了一个前序，其中单形由共享$q$ -面的单形序列相关，所述面相对于由所选面映射指定的方向。我们利用Alexandroff等价的前序和拓扑空间引入一类新的拓扑空间的有向图，使分配新的同伦类型不同的有向旗复合体所看到的单纯同调。我们进一步介绍了简单路径分析，使连接前序。作为一个应用程序，我们通过计算它们的最长单纯路径来识别各种大脑网络之间的结构差异。
2022-02-15 math.AT math.CO q-bio.QM
Directed rooted forests in higher dimension
对于图G，根森林的生成函数，由连通分量的数量计数，可以用图拉普拉斯算子的特征值表示。我们将这个结果从图推广到任意维数的胞腔复形。这就需要将有根森林的概念推广到更高的维度。我们还介绍了高维有根树和森林的定向。这些方向是离散的向量场，这导致了关于组合表达同调量的公开问题。
2016-11-18 math.CO
The weak categorical quiver minor theorem and its applications: matchings, multipaths, and magnitude cohomology
本文将弱范畴次型定理从无向图扩展至箭图，研究其对多路复形同调的影响，证明多路与匹配复形在无环有向图上的函子交换性，并据此计算特定二部图的匹配复形同伦类型及分析量级上同调。
2024-01-02 math.AT math.CO math.CT
Simplicial Complex Emergence on Directed Hypergraphs
研究有向超图上高阶网络的单纯复形涌现条件，通过张量分解和范数分析提出稳定性判定方法，并展示同调工具在适应性系统中的应用
2025-11-15 math.AT math.CO
Poincare Hopf for vector fields on graphs
本文将Poincare-Hopf定理sum_vi（v）= X（G）推广到具有Whitney复形G的有限单图（V，E）上的向量场.为了做到这一点，我们定义一个有向单纯复形为一个有限的抽象单纯复形，配备一个丛映射F：G到V，告诉x中的哪个顶点T（x）支配单纯形x。顶点v的指数i（v）定义为X（F^-1（v）），其中X是欧拉示性数。我们通过将截面图F：V添加到G来得到流。G上的映射T是紧致流形上微分方程x '= F（x）的离散模型。有向复形的例子是由局部内射函数定义的有限单图上没有循环三角形或梯度场的有向图定义的惠特尼复形。结果扩展到单纯复形配备了一个能量函数H：G到Z，实现了一个除数。指数和就是总能量。
2019-11-11 cs.DM math.CO math.DS
Cellular resolutions of cointerval ideals
构造了余区间超图边理想的最小胞腔分解。这类d-一致超图与区间图的补图相一致（对于d=2的情况），并且严格包含对应于纯移位单纯复形的“强稳定”超图类。支持分解的多面体复形被描述为某些有向图同态空间，并被实现为单形Minkowski和的混合细分的子复形.更一般的超图的分解是通过考虑分解成余区间超图得到的。
2010-04-20 math.AC math.CO
The Vietoris-Rips complexes of a circle
给定一个度量空间X和一个距离阈值r>0，Vietoris-Rips单纯复形有X的直径小于r的有限子集作为它的单纯形。Jean-Claude Hausmann的一个定理指出，如果X是一个黎曼流形且r足够小，则Vietoris-Rips复形同伦等价于原始流形。关于Vietoris-Rips复合物在较大r值下的行为知之甚少，即使这些复合物在使用持久同源性的应用中自然出现。我们证明了随着r的增加，圆的Vietoris-Rips复形得到圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，...，直到最后它可以收缩。作为我们的主要工具，我们引入了一个有向图不变量，缠绕分数，这在某种意义上是对偶的循环色数。使用缠绕分数，我们分类的同伦类型的Vietoris-Rips复杂的任意（可能是无限的）子集的圆，我们研究的预期同伦类型的Vietoris-Rips复杂的均匀随机样本从圆。此外，我们还证明了随着距离参数的增加，圆的环境Cech复形也得到了圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，.直到最后它可以收缩。
2017-02-05 cs.CG math.AT math.CO
Simplex Closing Probabilities in Directed Graphs
最近的工作在数学神经科学计算有向单纯复形复杂的大脑稀疏邻接图，即所谓的连接体的有向图同源。这些生物连接体在所有可行的维度上都显示出丰富的高维有向单纯形和贝蒂数--与具有可比大小和密度的埃尔德什-雷尼图形成对比。对综合训练的连接体的分析揭示了类似的发现，提出了关于图的可比性和单纯形起源的性质的问题。我们提出了一种新的方法，能够提供洞察到单纯形的出现，从而单纯的丰度。我们的方法可以很容易地区分不同起源的单纯形丰富的连接体。该方法依赖于一个新的概念，几乎d-单纯形，也就是说，一个单纯形丢失正好一个边缘，因此几乎d-单纯形关闭概率的尺寸。我们还描述了一个快速算法来确定一个给定的图几乎d-单纯形。将这种方法应用于生物和人工数据，使我们能够确定一种机制，负责单出现，并建议这种机制是负责的小鼠初级视觉皮层的统计重建的兴奋性子网络的单签名。我们为这种新方法高度优化的代码是公开的。
2022-05-13 cs.DM math.AT math.CO
Graph-theoretic autofill
想象一下，一个网站要求用户填写一个网络表单，并根据输入的值得出一个相关的数字，例如期望工资、医疗诊断或房子的市场价值。如何在运行时处理丢失的输入值？除了使用固定的默认值之外，一种更复杂的方法是使用不同字段之间的预定义依赖关系（逻辑或相关），以迭代的方式自动填充缺失值。有向无环图（其中允许循环）是形式化这些依赖关系的理想数学模型。我们提出了两种新的图论方法来填补缺失值在运行时。
2015-12-10 cs.HC math.CO
Completing and extending shellings of vertex decomposable complexes
本文证明顶点可分解复形满足 Simon 猜想中的剥壳可补全性质，并给出通过按反字典序添加缺失子集保持顶点可分解性的构造方法，同时探讨其在拟阵、移位复形及小顶点数情形下的应用与等价关系。
2023-08-09 math.AC math.CO
Monotonically Decreasing the Number of Directed 3-Cycles via Edge-Flips?
本文通过引入FBD-图概念，构造反例证明关于有向图边翻转单调减少有向3-圈数量的猜想一般不成立，并指出完全图等特殊情形下猜想仍成立。
2025-10-26 cs.DM math.CO
Proof of Lew's conjecture on the spectral gaps of simplicial complexes
本文研究了单纯复形的组合拉普拉斯算子谱隙问题，确定了达到Lew所提谱隙下界的唯一单纯复形，从而证明了Lew猜想。
2024-07-29 math.CO
Affine Dual Braid Monoids: Finite Cores, Exceptional Cluster Complexes, and Koszul Resolutions
School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）
本研究针对有限秩晶体学仿射Coxeter系统，构造了平凡模的极小线性分次自由分解，证明仿射对偶辫群代数是Koszul的，揭示了例外丛复形的拓扑性质与同调意义。
2026-08-19 math.CO math.GR math.RT
Compositional Algorithms on Compositional Data: Deciding Sheaves on Presheaves
本研究采用范畴论视角，将图上动态规划直觉推广到广义数学结构，证明结构化分解定义Grothendieck拓扑，层表示的问题在有界分解输入上可线性时间判定，并在AlgebraicJulia中实现。
2023-10-03 cs.CC math.CO math.CT
