Maximum Number of Minimum Dominating and Minimum Total Dominating Sets
给定一个控制（或全控制）数γ>=2的连通图，我们求出控制集和全控制集的最大个数m_γ和m_{γ,T}.当γ= 2时给出了一个精确的答案，当γ>=3时给出了下界.
2013-08-14 math.CO
On the number of minimum dominating sets and total dominating sets in forests
本文研究森林中最小支配集与全支配集的数量，证明支配数为γ的森林最多有√5^γ个最小支配集，并构造下界接近该值的树，同时否定 Henning 等人关于最小全支配集数量的猜想。
2022-06-27 math.CO
Independent sets versus 4-dominating sets in outerplanar graphs
本研究针对外平面图的集合计数问题，证明了外平面图中独立集的数量大于其4-控制集的数量，为图论中两类集合的规模关系提供了结论。
2023-05-02 math.CO
Unique paired vs edge-vertex minimum dominating sets in trees
本文证明了树中唯一最小边顶支配集与唯一最小配对支配集的等价性。
2025-11-28 math.CO
New results on metric-locating-dominating sets of graphs
一个图的控制集$S$是一个度量定位控制集，如果图的每个顶点与$S$中元素的距离是唯一可区分的，这样一个控制集的最小基数称为度量定位控制数。在本文中，我们进行了一项研究，在一般图和特定族中，将度量定位控制集与其他特殊集：分解集、控制集、定位控制集和双重分解集联系起来。我们首先根据树的度量-位置-控制数与度量维数和控制数之间的关系刻画了树类。然后，我们给出了度量定位控制集到定位控制集和双可解集的不同转化方法。我们的方法产生新的界限上的最小基数的所有这些集，其中一些涉及的参数还没有相关到目前为止。
2016-04-13 math.CO
On the maximum number of minimum dominating sets in forests
Hedetniemi，Hedetniemi，Hutson问是否每棵树的控制数$γ$有最多$2^γ$最小控制集。Bien给出了一个反例，它允许构造具有控制数$γ$和$2.0598^γ$最小控制集的森林.证明了每一个具有控制数$γ$的森林最多有$2.4606^γ$最小控制集，每一个具有独立数$α$的树最多有$2^{α-1}+1$最大独立集.
2018-04-11 math.CO
Locating-Dominating sets in Hypergraphs
超图是图的一种推广，其中边可以连接任何数量的顶点。本文将定位控制集的研究推广到超图。在一些基本结果的基础上，研究了超图的位置控制数在一般情况下的精确界和在特定条件下的精确界。此外，还发现了某些特殊超图的位置控制集。
2014-09-02 math.CO
Locating-Dominating Sets and Identifying Codes of a Graph Associated to a Finite Vector Space
本文研究了Das \cite{Das}在有限向量空间中引入的图的顶点覆盖问题，使得我们可以通过检查覆盖它的顶点来唯一地识别任何顶点，我们使用了与此密切相关的定位控制集和识别码.这些集合由图的一个控制集组成，使得每个顶点在控制集中由其邻域唯一标识。给出了图的位置控制数和识别数，并研究了图的位置控制集和识别码的交换性质。
2017-01-30 math.CO
Dominating sets in projective planes
通过建立有限射影平面的关联图的小控制集的稳定性结果，证明了控制集与块集和覆盖集之间的强相关性.我们的主要结果表明，如果$q>81$阶射影平面中的控制集小于$2q+2[\sqrt{q}]+2$（即，Baer子平面大小的两倍），则它包含一条直线的所有点，但可能只有一个点，或者包含通过一个点的所有线，但可能只有一条线。此外，我们完全刻画了大小至多为$2q+\sqrt{q}+1$的控制集。在Despermesian平面上，我们可以依靠关于阻塞集的强稳定性结果来证明，如果一个控制集足够小于3q，那么它由一个阻塞集和一个覆盖集的并集组成，除了几个点和线。
2016-03-09 math.CO
Enumeration of accurate dominating sets
设$G=(V,E)$是一个单图. $G$的支配集是子集$D\subseteq V$，使得不在$D$中的每个顶点与$D$中的至少一个顶点相邻。$G$的最小控制集的基数，记为$γ(G)$，是$G$的控制数。控制集$D$是$G$的精确控制集，如果没有$V\setminus D$的$|D|$ -元子集是$G$的控制集.精确控制数$γ_a(G)$是最小精确控制集$D$的基数。本文在给出图的精确控制集的概念后，计算了某些特殊图的精确控制集的个数。
2021-01-22 math.CO
Nonexistence of Efficient Dominating Sets in the Cayley Graphs Generated by Transposition Trees of Diameter 3
设$d,n$是正整数，使得$d<n$，并且设$X^d_n$是由直径为$d$的转置树生成的Cayley图。已知每个具有$d<3$的$X^d_n$分裂成有效控制集。本文的主要结果是$X^3_n$不存在有效控制集。
2021-09-24 math.CO
The Average Order of Dominating Sets of a Graph
本文主要研究图的控制集的平均阶。我们找到了所有图在$n$顶点上的最大值和最小值的极图，而对于树，我们证明了星最小化控制集的平均阶。证明了无孤立点图的控制集的平均阶至多为$3n/4$，但给出了实际上界为$2n/3$的证据.最后，我们表明，规范化的平均，而密集的$[1/2,1]$，往往$\frac{1}{2}$几乎所有的图。
2020-08-14 math.CO
On the local average order of dominating sets
Guangdong University of Technology（广东工业大学）；Guangdong Polytechnic Normal University（广东技术师范大学）；West Virginia University（西弗吉尼亚大学）
本文研究图的控制集局部平均阶，证明其下界为$\frac{n+1}{2}$、无孤立顶点图的上界为$\frac{5n-1}{6}$，还给出度数为$n-2$时的精确公式及l-茎顶点的上界。
2026-10-09 math.CO
On the semitotal dominating sets of graphs
无孤立点图$G$中的顶点集$D$是$G$的一个完全控制集，如果$D$是$G$的一个控制集，且$D$中的每个顶点到$D$的另一个顶点的距离都在$2$之内. $G$的完全控制数是$G$的一个完全控制集的最小基数，记为$γ_{t2}(G)$ .本文在计算了特定图的全控制数之后，对某些图的任意大小的全控制集的个数进行了统计。
2021-07-03 math.CO
On the number of isolate dominating sets of certain graphs
设$G=(V,E)$是一个单图. $G$的支配集是子集$S\subseteq V$，使得不在$S$中的每个顶点与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的最小控制集的基数，记为$γ(G)$，是$G$的控制数。如果诱导子图$G[S]$至少有一个孤立点，则称$S$是$G$的孤立控制集.孤立控制数$γ_0(G)$是$G$的孤立控制集的最小基数。本文对几类特殊图的孤立控制集的个数进行了统计。
2021-01-12 math.CO
Connected Dominating Sets in Graphs With Stability Number Three
在图G的独立数a（G）=3且无诱导无弦圈C7的特殊情况下，证明了存在顶点数n（D）≤ 4的连通控制集D.利用连通控制集的概念，定义了一个新的不变量h（G），它不超过Hadwiger数.对于所考虑的图，证明了h（G）>=n（G）/4.
2017-03-20 math.CO
Perfect dominating sets in the Cartesian products of prime cycles
研究了$C_{2n+1}^n$的最小控制集的结构，$C_{2n+1}^n$是大小为$2n+1$的循环的$n$拷贝的笛卡儿积，其中$2n+1$是素数.
2009-03-14 math.CO
Counting the number of weakly connected dominating sets of graphs
设$G=(V(G),E(G))$是一个单图.一个非空集$S\subseteq V (G)$是$G$中的弱连通控制集，如果从$G$中去掉连接$V (G)\setminus S$中任意两个顶点的所有边得到的子图是连通的.本文考虑了一些图，研究了它们的弱连通控制集的个数。
2017-03-03 math.CO
On the number of fair dominating sets of graphs
设$G=(V,E)$是一个简单图。$G$的控制集是一个子集$D\subseteq V$，使得不在$D$中的每个顶点都与$D$中的至少一个顶点相邻。$G$的最小控制集的基数，用$γ(G)$表示，是$G$的控制数。对于$k \geq 1$，$k$ -公平控制集在$G$中，（$kFD$ -集）是控制集$S$，使得对于每个顶点$ v \in V\setminus D$，$|N(v) \cap D|=k$。公平控制集，是某个整数$G$的一个$kFD$ -集.本文在给出了图的定义之后，计算了某些特殊图的公平控制集的个数.
2021-07-21 math.CO
Vertices in all minimum paired-dominating sets of block graphs
设$G=(V,E)$是一个无孤立点的单图.一个集合$S\subseteq V$是一个成对控制集，如果$V-S$中的每个顶点在$S$中至少有一个近邻，并且由$S$导出的子图包含完美匹配.本文给出了一个判定块图中给定顶点是否包含在其所有最小成对控制集中的线性时间算法。
2009-08-20 math.CO
On the number of k-dominating independent sets
研究了某些图族中$k$ -控制独立集的存在性和个数。虽然情况$k=1$即情况下的最大独立集-这是起源于埃尔德什和莫泽-被广泛研究，更少的是已知的一般。本文解决了树的问题，证明了当$k\geq 2$为$n$ -顶点图时，$k$ -控制独立集的最大数目介于$c_k\cdot\sqrt[2k]{2}^n$和$c_k'\cdot\sqrt[k+1]{2}^n$之间，并且$n$ -顶点图中$2$ -控制独立集的最大数目介于$c\cdot 1.22^n$和$c'\cdot1.246^n$之间.含有大量$k$ -支配独立集的图的构造来自于乘积图、完全二部图和有限几何图。乘积图的构造与某些MDS码的数目相关联。
2015-05-07 math.CO
Dominating Sets in Plane Triangulations
在1996年，Matheson和Tarjan证明了任何n-顶点三角剖分，如果n足够大，则其控制集的大小不超过n/4。我们证明了这一点的最大度6图。
2010-06-07 math.CO
The number of dominating $k$-sets of paths, cycles and wheels
本文给出了控制多项式$γ(P_{n},t)$和具有$n$顶点的路的控制$k$ -集的个数$γ_{k}(P_{n})$的递推关系的一个较短的证明。对每一个正整数$n$和$k,$数$γ_{k}(P_{n})$，通过求解S. 2015年的《CID》中的阿利哈尼。此外，还计算了以$n$为顶点的圈的控制$k$ -集$γ_{k}(C_{n})$和轮的控制$γ_{k}(W_{n})$ $γ_{k}(W_{n})$的个数.
2016-01-06 math.CO
Properties of Partial Dominating Sets of Graphs
一个集合$S\subseteq V$是$G$的控制集，如果$V - S$中的每个顶点都与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的控制数$γ(G)$等于控制集$S$在$G$中的最小基数;我们说这样的集$S$是$γ$ -集。对此的概括是Case、Hedetniemi、Laskar和Lipman于2017年提出的部分支配[3，2]。在部分控制中，一个集合$S$是$p$ -控制集，如果它控制$V$中的一部分$p$顶点。p-控制数$γ_{p}(G)$是$G$中$p$ -控制集的最小基数。本文研究了部分控制集的进一步性质，特别是与图的乘积和部分控制集的定位有关的性质。我们还引入了一个$p$ -影响集的概念，作为所有$p$ -支配集的联合，为一个固定的$p$，并研究了它的一些性质。
2019-06-01 math.CO
Bounding the number of $(σ,ρ)$-dominating sets in trees, forests and graphs of bounded pathwidth
$(σ,ρ)$ -控制集的概念推广了控制集、诱导匹配、完美码和独立集等概念。对于不同的$σ$和$ρ$以及不同的图类，建立了这种（最大，最小）集的最大数目的界。特别地，Rote证明了$n$阶树的最小控制集的个数至多为$95^{\frac{n}{13}}$，Golovach等人计算了所有$σ$和$ρ$的路的$(σ,ρ)$ -控制集的个数的渐近性。在这里，我们提出了一种方法来计算的$(σ,ρ)$ -支配集的数量在图或有界路宽，树和森林的条件下，$σ$和$ρ$是（可能是无限的）等差数列的有限并。这种方法似乎并不总是有效，但在实际中，我们可以直接应用这种方法给出许多尖锐的界限。此外，在有界路径宽度的图形的情况下，我们推导出存在的算法，可以输出abritrarily良好的近似的增长率。
2019-04-05 math.CO
Bounds on the Maximum Number of Minimum Dominating Sets
我们用概率方法求控制数为γ的图中控制集的最大个数的下界。我们发现我们可以随机生成一个图，是由几乎所有大小为γ的集合支配的。同时，我们利用一个修正的邻接矩阵，得到了给定大小的集合在n个顶点上不支配图的个数的下界
2013-08-14 math.CO
End Super Dominating Sets in Graphs
设$G=(V,E)$是一个单图. $G$的支配集是子集$S\subseteq V$，使得不在$S$中的每个顶点与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的最小控制集的基数，记为$γ(G)$，是$G$的控制数。如果两个顶点相邻，则它们是邻居。超控制集是一个控制集$S$，它具有一个附加的性质，即$V \setminus S$中的每个顶点在$S$中都有一个邻居，该邻居不与$V \setminus S$中的其他顶点相邻。如果$V \setminus S$中的每个顶点的度至少为~ $2$，则$S$是一个端超控制集.端点超控制数是端点超控制集的最小基数。给出了端超控制集作为网络的主服务器和临时服务器的应用。我们确定了特定类图的端超控制数的精确值，并计算了这些图的端超控制集的个数。通过点（边）的去除和收缩对图进行修改，建立了图的端超控制数的紧上界。
2022-11-14 math.CO
Counting Dominating Sets of Graphs
图$G$的控制集计数与图$G$的邻域复形密切相关。利用这一关系证明了图的控制集$d(G)$的个数取决于它的补图的完全二部子图的个数。更确切地说，我们声明如下。设$G$是阶为$n$的单图，使得它的补图恰好有与$K_{2p,2q}$同构的$a(G)$子图和与$K_{2p+1,2q+1}$同构的$b(G)$子图.然后是$d(G) = 2^n -1 + 2[a(G)-b(G)]$。我们还证明了图的控制多项式与邻域多项式之间的一些新的关系。
2017-01-12 math.CO
Every cubic graph has four total dominating sets covering each vertex at most twice
Seoul National University（首尔大学）；University of Tsukuba（筑波大学）
本文证明了Goddard和Henning2018年提出的关于立方图总支配集的猜想，同时肯定回答了对应的3-均匀3-正则超图横截问题。
2026-10-15 math.CO
Counting dominating sets and related structures in graphs
本文研究了正则图的最大（强）控制集个数问题，以及它们的加权类似问题。我们的主要工具是希勒熵引理。这些技术扩展到一个相当广泛的一类图参数枚举顶点着色满足条件的多集的颜色出现在（封闭）的街区。我们还进一步推广到计数问题，我们称之为存在同态。在这里，我们的结果基本上不那么完整，尽管我们确实解决了一些自然问题。
2015-03-03 math.CO
Reconfiguration of Colourings and Dominating Sets in Graphs: a Survey
本文综述了图的着色和控制集的重构结果。图$G$的$k$ -着色图$\mathcal{C}_{k}(G)$的顶点对应于图$G$的真$k$ -着色，当两个$k$ -着色的颜色恰好有一个顶点不同时，它们是相邻的.类似地，$g$的$k$ -边着色图$\mathcal{EC}_{k}(G)$的顶点是$G$的真$k$ -边着色，其中如果两个$k$ -边着色中的一个可以通过沿边肯普链切换两种颜色而从另一个获得，则两个$k$ -边着色是相邻的，即，最大的双色交替路径或边的循环。$k$ -支配图$\mathcal{D}_{k}(G)$的顶点是基数为$k$或更小的$G$的（不一定是最小的）支配集，如果一个支配集可以通过添加或删除一个顶点从另一个支配集获得，则两个支配集在$\mathcal{D}_{k}(G)$中相邻。另一方面，当我们限制控制集为最小控制集时，例如，我们得到不同类型的控制重构图，这取决于顶点是否沿着边交换。我们认为这些和相关类型的着色和控制重构图。猜想、问题和未决问题在相关章节中陈述。
2020-03-12 math.CO
Counting perfect edge dominating sets: extremal results and linear-time algorithms
Universidad Nacional de General Sarmiento（圣马丁国立大学）；Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas（国家科学研究委员会）；Instituto de Cálculo and Departamento de Computación, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学计算系与计算研究所）；Instituto de Cálculo and Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学数学系与计算研究所）
研究树、森林和弦图类中关于完美边支配集数量的极值图，推导广义串并联图和弦图中计数完美边支配集及支配诱导匹配的线性时间算法。
2026-07-07 math.CO
Perfect Edge Domination in $P_6$-free Graphs and in Graphs Without Efficient Edge Dominating Sets
Universidad Nacional de General Sarmiento（圣马丁国立大学）；Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas（国家科学研究委员会）；Instituto de Cálculo and Departamento de Computación, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学计算研究所与计算机科学系）；Instituto de Cálculo and Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学计算研究所与数学系）
本文研究了在$P_6$-free图及无高效边支配集图中的完美边支配问题，证明了相关决策问题的NP难性，并提出了一种三次时间算法用于求解最小完美支配集。
2026-03-05 math.CO
Reconfiguring dominating sets in minor-closed graph classes
对于图$G$，$G$中的两个控制集$D$和$D'$，以及一个非负整数$k$，如果存在$G$中的控制集序列$D_0,\ldots,D_\ell$，使得对于每个$i\in \{ 0,1,\ldots,\ell\}$都有$D=D_0$，$D'=D_\ell$，$|D_i|\leq k$，并且$D_i$是通过对每个$i\in \{ 1,\ldots,\ell\}$增加或删除一个顶点而从$D_{i-1}$产生的，则称集合$D$为$k$ -transform to $D'$.证明了存在正常数$c$，存在任意大阶$n$的环面图$G$，以及$G$中的两个最小控制集$D$和$D'$，使得$D$ $k$ -变换为$D'$的条件是$k\geq \max\{ |D|,|D'|\}+c\sqrt{n}$ .相反，对于每一个遗传类${\cal G}$，有平衡的隔离符的顺序$n\mapsto n^α$的一些$α<1$，我们证明，有一些正常数$C$，使，如果$G$是一个图在${\cal G}$的顺序$n$，和$D$和$D'$是两个控制集在$G$，然后$D$ $k$ -转换到$D'$的$k=\max\{ |D|,|D'|\}+\lfloor Cn^α\rfloor$。
2020-05-28 math.CO
Optimal open-locating-dominating sets in infinite triangular grids
开定位支配集（OLD-set）是图的顶点子集，使得图中的每个顶点在集合中至少有一个邻居，并且图中没有两个顶点在集合中有相同的邻居集。这是一个类似的充分研究的识别码在文献中。本文证明了无限三角形网格上OLD-集的最优密度为$4/13$。
2014-03-27 math.CO
Identifying codes and locating-dominating sets on paths and cycles
设$G=(V,E)$是一个图，$r\ge 1$是一个整数。对于集合$D \subseteq V$，定义$N_r[x] = \{y \in V: d(x, y) \leq r\}$和$D_r(x) = N_r[x] \cap D$，其中$d(x,y)$表示$x$和$y$之间任何最短路径中的边数。如果对于所有顶点$x\in V$（分别为$x \in V\backslash D$），$D_r(x)$都非空且不同，则$D$称为$r$ -标识码（分别为$r$ -定位-支配集）.本文给出了路和奇圈中PDMATHAMV-可识别码的完整结果，也给出了圈中2-定位-控制集的完整结果。
2009-08-19 math.CO
Dominating sets and Domination polynomials of Cycles
设G=（V，E）是一个单图.一个集合S \subset V是G的一个控制集，如果V§中的每个顶点都至少与S中的一个顶点相邻.设{ \mathcal C}_n^i是基数为i的圈C_n的控制集族，d（C_n，i）=|{ \mathcal C}_n^i.本文构造了{ \mathcal C}_n^i，得到了d（C_n，i）的一个递归公式.利用这个递推公式，我们考虑了多项式D（C_n，x）= \sum_{i=1}^n d（C_n，i）x^i，我们称之为圈的控制多项式，并得到了该多项式的一些性质.
2009-05-20 math.CO
The $k$-Dominating Graph
给定一个图$G$，定义$G$的$k$ -控制图$D_k(G)$为：其顶点对应于$G$的基数至多为$k$的控制集的图. $D_k(G)$中的两个顶点相邻当且仅当$G$的相应控制集通过增加或删除一个顶点而不同。图$D_k(G)$有助于研究控制集的重构问题。特别地，一个控制集可以通过一系列的单顶点添加和删除被重新配置为另一个，使得当且仅当它们在$D_k(G)$的相同连通分量中时，每个步骤的中间顶点集是控制集。本文给出了$D_k(G)$连通的条件。
2013-03-01 math.CO
Super dominating sets in graphs
设$G=(V,E)$是一个图。$V(G)$的子集$D$称为超控制集，如果对于每个$v \in V(G)-D$，存在$v$关于$V(G)-D.$的外部私有邻居。超控制集的最小基数称为$G$的超控制数，记为$γ_{sp}(G)$。本文得到了关于超控制数的一些结果。我们证明了如果$T$是一个至少有三个顶点的树，那么$\frac{n}{2}\leqγ_{sp}(T)\leq n-s,$，其中$s$是在$T$的支持顶点的数目，我们刻画了极值树。
2013-09-05 math.CO
On the number of outer connected dominating sets of graphs
本文研究图的外连通支配集，引入系数为该集合数目的多项式，得出其性质并计算了特定图的多项式。
2024-02-16 math.CO
Locating-Dominating Sets of Functigraphs
图$G$的定位控制集是$G$的控制集，使得$G$在控制集外的每个顶点由其在控制集内的邻域唯一标识。$G$的位置控制数是$G$中位置控制集的最小基数。设$G_{1}$和$G_{2}$是图$G$和$f:V(G_{1})\rightarrow V(G_{2})$的不相交的副本.函数图$F^f_{G}$由顶点集$V(G_{1})\cup V(G_{2})$和边集$E(G_{1})\cup E(G_{2})\cup \{uv:v=f(u)\}$组成。本文研究了从$G$到$F^f_{G}$的位置控制数的变化，得到了位置控制数的精确上下界.对于函数$f$的所有可能的定义，我们还研究了完全图的函数图的位置控制数。我们还得到了一类完全图的生成子图的函数图的位置控制数。
2017-09-15 math.CO
On k-Total Dominating Graphs
对于图G，k-全控制图D_{k} ^{t}（G）是其顶点对应于G的基数至多为k的全控制集的图; D_{k} ^{t}（G）的两个顶点相邻当且仅当G的相应全控制集通过增加或删除一个顶点而不同。利用图D_{k} ^{t}（G）研究了全控制集的重构问题：一个全控制集可以通过一系列的单点增删而重构为另一个全控制集，使得每一步的中间点集都是全控制集，当且仅当它们在D_{k} ^{t}（G）的同一个分支中.设d_{0}（G）是最小整数r，使得对于所有大于或等于r的k，D_{k} ^{t}（G）连通.研究了图作为全控制图的可实现性。设k为上全控制数Γ_{t}（G），我们证明了：任何不含孤立点的图都是图G的诱导子图，使得D_{k} ^{t}（G）是连通的.证明了对于任意阶至少为3的连通图G，d_{0}（G）位于Γ_{t}（G）和n（含）之间，刻画了实现任一界的图，并确定了d_{0}（C_{n}）和d_{0}（P_{n}）.
2017-11-15 math.CO
On dominating graph of graphs, median graphs and partial cubes, and graphs in which complement of every minimal dominating set is minimal dominating
图G的控制图是这样的图，其顶点对应于图G的控制集，并且当两个顶点对应的控制集恰好有一个顶点不同时，两个顶点相邻。研究控制图的性质已成为控制论中一个日益有趣的课题。另一方面，中值图和部分立方体是图论中的两个基本图类。在本文中，我们将控制论与中位图和部分立方体理论联系起来。作为主要结果，我们证明了以下条件对每个没有孤立点的图$G \not \simeq C_4$都是等价的，特别是简单的第三个条件完全刻画了前两个条件，其中涉及到控制图、中值图和极小控制集的补的三个概念：- G的控制图是一个中值图，-G的每一个极小控制集的补是一个极小控制集，-G的每一个顶点都是1度的或与1度的顶点相邻。作为另一个结果，我们证明了每个图的控制图是一个部分立方体，并给出了一些例子来说明不是所有的部分立方体或中位数图同构于图的控制图。上述结果是本文的另一个亮点，为中值图和部分立方体的例子提供了新的无限来源。
2022-12-08 math.CO
Optimal Locating-Paired-Dominating Sets in King Grids
本文继续研究McCoy和Henning提出的图的定位配对支配集（Locating-Pairing-Dominican Set，简称LPDS）。给定一个有限或无限图$G=(V,E)$，如果诱导子图$G[S]$有完美匹配，且$V$中的每个顶点都与$S$中的一个顶点相邻，则集合$S\subset V$是成对控制的. LPDS的另一个条件要求对于任何不同的顶点$u,v \in V\backslash S$，我们有$N(u)\cap S\neq N(v)\cap S$。受Kinawi，Hussain和Niepel猜想的启发，我们证明了LPDS在王格中的最小密度介于$8/37$和$2/9$之间，并且发现了无数个密度为$2/9$的LPDS.这些结果部分解决了他们的猜想。
2022-10-21 math.CO
Independent Locating-Dominating Sets in Pseudotrees
Universidad de Almería（阿尔梅里亚大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
研究伪树中独立定位支配集的存在性，证明girth为4的图可能无ILD集，且在树和单环图中提供ILD集的存在条件及算法。
2026-05-14 math.CO
Zero Forcing sets and Power Dominating sets of cardinality at most 2
设$S$是图$G$的顶点集。假设$cl(S)$是通过迭代地应用以下传播规则从$S$构建的顶点集：如果顶点及其所有邻居（除了恰好一个）都在$cl(S)$中，则剩余的邻居也在$cl(S)$中。如果$cl(S)=V(G)$，则集合$S$称为$G$的迫零集合。$G$的迫零数$Z(G)$是迫零集合的最小基数。令$cl(N[S])$为通过迭代地应用先前的传播规则从$S$的闭合邻域$N[S]$构建的顶点集。一个集合$S$称为$G$的幂控制集，如果$cl(N[S])=V(G)$。$G$的幂控制数$\gp(G)$是幂控制集的最小基数。本文刻画了所有图$G$的集合，其中$Z(G)=2$。另一方面，我们提出了各种充分和/或必要条件的图$G$满足$1 \le \gp(G) \le 2$。
2019-08-08 math.CO
Hamilton Paths in Dominating Graphs of Trees and Cycles
图$H$的控制图以$H$的所有控制集作为它的顶点，如果通过增加或删除$H$的单个顶点可以从两个控制集中获得一个控制集，则在两个控制集之间存在一条边。本文证明了任意树的控制图都有Hamilton路，并给出了二元串的一个结果，证明了$n$顶点上的圈的控制图有Hamilton路当且仅当$n\not\equiv 0 \pmod 4$ .
2022-02-05 math.CO
An improvement on the maximum number of $k$-Dominating Independent Sets
Erdés和Moser提出了一个问题，确定最大团的最大数目，或者等价地，确定图中$n$顶点上的最大独立集的最大数目。从那时起，沿着这条路线进行了大量的研究。一个$k$ -支配独立集是一个独立集$D$，使得每个不包含在$D$中的顶点在$D$中至少有$k$邻居。设$mi_k(n)$表示图中$n$顶点上$k$ -控制独立集的最大个数，设$ζ_k:=\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{mi_k(n)}$ . Nagy发起了$mi_k(n)$的研究。本文证明了Nagy的一个猜想是错误的，并证明了对于任何偶数$k$，我们都有$$1.489 \approx \sqrt[9]{36} \le ζ^k_k.$$。我们还证明了对于任何$k \ge 3$，我们都有$$ζ_k^{k} \le 2.053^{\frac{1}{1.053+1/k}}< 1.98,$$改进Nagy的上界。
2017-09-14 math.CO
Majority out-dominating sets in digraphs
图中多数支配的概念至少有两种不同的定义：作为函数和作为集合。在这项工作中，我们扩展了后者的概念，有向图，而前者是在另一篇论文中扩展。给定一个有向图$D=(V,A),$，一个集合$S\subseteq V$是$D$的一个\textit{majority out-dominating set}（MODS），如果$|N^+[S]|\geq \frac {n}{2}.$ $D$中的一个MODS的最小基数是$D.$的{ \it集多数外支配数} $γ^+_{m}(D)$本文引入了这些概念，并证明了有关它们的一些结果，其中包括极小MODS的刻画.
2013-11-03 math.CO
A note on locating-dominating sets in twin-free graphs
本文证明无孪生图存在大小不超过 $\lceil\frac{5}{8}n\rceil$ 的定位支配集，改进先前 $\lfloor\frac{2}{3}n\rfloor$ 的界，推进相关猜想研究。
2024-11-06 math.CO
The Disjoint Domination Game
我们引入并研究了一个Maker-Breaker型博弈，其中的问题是在没有孤立顶点的图中创建或避免两个不相交的控制集。我们证明了在所有的连通图上，如果博弈由断路器开始，制造者都有获胜策略。这意味着同样的在$(2:1)$偏见的游戏，也在庄家开始游戏。它仍然开放的庄家开始无偏见的游戏，并分析$(a:b)$偏见的游戏$(a:b)\neq (2:1)$的庄家赢图的特点。对于一个更严格的变种的无偏博弈，我们证明了制造商可以赢得任何图没有孤立的顶点。
2014-11-19 math.CO
On the maximum number of minimum total dominating sets in forests
本文提出关于树的最小全控制集数量的猜想，并证明森林中该数量的上界，包含指数和多项式形式的界。
2019-01-17 math.CO
On k-coalition partitions of graphs
Princeton University（普林斯顿大学）
本文研究图的k-联盟划分，计算若干图族的k-联盟数，给出不交并和图的联运算下的界，证明其大小构成区间，且每个图都是k-联盟图。
2026-08-07 math.CO
Packing and domination parameters in digraphs
给定一个有向图$D=(V,A)$，如果$B$的顶点之间没有弧连接，并且对于任意两个顶点$x,y\in B$，$x$和$y$的内邻集是不相交的，则集合$B\subset V$是$D$中的填充集。集合$S$是$D$中的控制集（开控制集），如果不在$S$中（在$V$中）的每个顶点在$S$中都有内邻。此外，如果由$S$导出的子图没有孤立点，则称控制集$S$为全控制集.本文研究了有向图的最大势填充集和最小势（全开）控制集。证明了有向树的填充和控制的两个最优集达到相同的值，并给出了它的一些应用，给出了所有连通反功能有向图的类似等式，刻画了所有满足这些等式的有向图$D$.此外，对有向图分别给出了填充集和控制集的最大和最小基数的精确界。最后，我们提出了两个开放的问题的解决方案，涉及总的和开放的最小基数控制集，指出在[澳大利亚。J. Combin。39（2007），283- 292]。
2018-05-10 math.CO
