Comparison of Morava E-theories
Takeshi Torii
本文证明了有限谱的n阶Morava稳定群作用下的n阶Morava E-上同调群可以从n +1阶Morava稳定群作用下的n +1阶Morava E-上同调群恢复.
In this note we show that the n-th Morava E-cohomology group of a finite spectrum with action of the n-th Morava stabilizer group can be recovered from the (n+1)-st Morava E-cohomology group with action of the (n+1)-st Morava stabilizer group.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Infinitesimal thickenings of Morava K-theories
A.贝克构建了某些序列的上同调理论之间的约翰逊威尔逊和摩拉瓦K理论。我们将谱的表示序列实现为MU-代数的序列。从代表约翰逊-威尔逊和摩拉瓦K-理论的谱承认这样的结构的事实开始，我们通过归纳形成奇异扩展来构造序列。我们的方法也适用于其他的MU-代数对。
Definitions and examples of algeebraic Morava K-theories
本文比较了代数 Morava K-理论的两种定义：Sechin、Vishik 等人的代数配边商定义与作者提出的二度上同调理论定义，并给出例子。
Rings of power operations for Morava E-theories are Koszul
我们证明了任何Morava E-理论的幂运算环是Koszul。
Hecke operators in Morava $E$-theories of different heights
一类Hecke代数$\mathcal{H}_n$在$n$ th Morava $E$ -空间理论上有一个自然作用.我们在$n$ th和$(n+1)$ st Morava $E$ -理论的融合上同调理论中构造Hecke算子.这些运算是Hecke算子在$(n+1)$ st Morava $E$ -理论中的自然扩张，它们导出了Hecke代数$\mathcal{H}_{n+1}$在$n$ th Morava $E$ -空间理论上的作用.本文研究了Hecke代数$\mathcal{H}_n$和$\mathcal{H}_{n+1}$在$n$的$E$ -理论上的作用之间的关系，证明了$\mathcal{H}_{n+1}$ -模结构是由$\mathcal{H}_n$ -模结构通过从$\mathcal{H}_{n+1}$到$\mathcal{H}_n$的代数同态的限制得到的.
The Morava E-theories of finite general linear groups
通过研究某个无限$p$ -群的表示论，并利用Hopkins，Kuhn和Ravenel的广义特征，我们找到了理解有限域上一般线性群的分类空间的有理$E$ -理论的有用途径.利用形式群定律的理论，我们在Tanabe的相关工作的基础上，完整地建立了更精细的结果。特别是，我们详细研究的情况下，该组的维数小于或等于总理$p$的$E$理论是本地化的。
There aren't that many Morava E-theories
设$k$是特征$p$的完满域。与$k$上的有限高$n$的任何（1维，交换）形式群律相关联，有一个复定向上同调理论，由表示为$E(n)$的谱表示，通常称为Morava $E$ -理论。已知这些光谱允许$E_\infty$ -结构，并且已经很好地研究了$E_\infty$ -结构对形式群定律选择的依赖性（参见\ [GH]，[R]，[L]，第5节，[PV]）。本文证明了$E(n)$的同伦类型与形式群律的选择无关。
$\mathbb{E}_\infty$ automorphisms of motivic Morava $E$-theories
本文应用Goerss-Hopkins运动谱的阻塞理论研究了Morava运动$E$ -理论。我们发现，他们总是承认$\mathbb{E}_\infty$结构，但这些可能承认“异国情调”的$\mathbb{E}_\infty$自同构不是来自通常的摩拉瓦稳定剂组。
Picard groups and duality for Real Morava $E$-theories
证明了在素数2处，$E_n^{hC_2}$上可逆模的Picard群是循环的.这里，$E_n$是高度$n$ Lubin-Tate谱，其$C_2$作用量是从其相关的形式群定律的形式逆导出的。进一步证明了$E_n^{hC_2}$是Gros-Hopkins自对偶的，并确定了精确的位移.我们的结果推广了当$n = 1$ .
The Morava K-theory of BO(q) and MO(q)
我们给出了BO（q）和MO（q）的Morava K-理论是偶数阶的简单证明。虽然这是一个已知的结果，但它是从BP^*（BO（q））是Landweber平坦的困难证明中得出的。Landweber平坦性是由均匀Morava K理论推导出来的。我们进一步计算了K（n）_*（BO（q））和K（n）_*（MO（q））的一个显式描述，并将其与Landweber平坦性的纯代数结构相协调。
Semistable models for modular curves and power operations for Morava E-theories of height 2
我们构造了完备Noether局部环上的Lubin-Tate曲线的一个积分模型，它是形式变形的有限子群的模.它们是模曲线X_0（p）在mod-p超奇异点处的p-adic补。我们的模型是半稳定的，因为它的特殊纤维的唯一奇点是正规交叉。给出了这个模型，我们得到了Morava E-理论的Dyer-Lashof代数在高度为2的椭圆上同调幂运算的局部模的统一表示。
An Unstable Change of Rings for Morava E-Theory
Bousfield-Kan（或不稳定Adams）谱序列可以为各种同调理论构建，例如Brown-Peterson同调理论BP、Johnson-Wilson理论$E(n)$或Morava $E$ -理论$E_n$。对于好空间，$E_2$ -项由Ext在一类不稳定余模中给出。建立了$\text{Ext}_{\mathcal{U}_{Γ_B}}(B,M)$与$\text{Ext}_{\mathcal{U}_{E_{n*}E_n}/I_{n}}(E_{n*}/I_{n},E_{n*}\otimes_{BP_*} M)$之间的不稳定Morava环变换同构，其中$(B,Γ_B)$表示Hopf代数体$(v_n^{-1}BP_*/I_{n}, v_n^{-1}BP_*BP/I_{n} )$ .我们表明，后者的群体可以被解释为$\text{Ext}$在连续模的范畴内的profinite幺半群的本田正式群法的自同态。通过与Morava稳定群的上同调比较，我们得到了当$p-1 \nmid n$ .
Isotropic and numerical equivalence for Chow groups and Morava K-theories
本文证明了在柔性域上各向同性Chow群与数值Chow群（具有${\Bbb{F}}_p$ -系数）重合的猜想.这表明各向同性Chow动机与数值Chow动机一致。特别地，这些对象之间的距离是有限群，并且$\otimes$没有零因子。它为Voevodsky motivic类别的Balmer谱提供了大量的新点。我们还证明了上述结果的Morava K-理论版本，它允许构造Morel-Voevodsky ${\Bbb{A}}^1$ -稳定同伦范畴的Balmer谱的大量新的点.这大大提高了我们对上述光谱的理解，其描述是一个主要的开放问题。
Syntomic cohomology of Morava K-theory
我们计算了联结Morava K理论k（n）的所有$\mathbb{E}_1$ -MU-代数形式的基于MU的同调modPDMATHABMM。作为定性的结果，我们推导出Lichtenbaum-Quillen猜想，望远镜猜想和红移猜想的所有$\mathbb{E}_{1}$ -代数形式的$\mathbb{S}$ -周期Morava K理论的代数K理论。值得注意的是，运动谱序列计算$π_*TC(k(n))_p$集中在至多三条线上，与$n$无关。
The Tate spectrum of the higher real $K$-theories at height $n=p-1$
设$E_n$是MoravaPDMATHABMN-理论，$G \subset G_n$是扩展Morava稳定群$G_n$的有限子群.令$E_{n}^{tG}$为Tate谱，定义为范数映射$N:(E_n)_{hG} \to E_n^{hG}$的上纤。本文利用Tate谱序列计算了$G$为极大有限$p$ -子群，$p$为奇素数的$π_*E_{p-1}^{tG}$.证明了$E_{p-1}^{tG} \simeq \ast$，使得范数映射给出同伦不动点与同伦轨道谱的等价性。我们的方法还给出了$π_*E_{p-1}^{hG}$的计算，这是Hopkins和Miller的民间计算。
On the $\mathrm{EO}$-orientability of vector bundles
研究了向量丛相对于一个称为$\mathrm{EO}$ -理论的上同调理论族的可定向性。$\mathrm{EO}$ -理论是真正的$\mathrm{K}$ -理论$\mathrm{KO}$的更高高度的类似物。对于每一个$\mathrm{EO}$ -理论，我们证明了对于某个特定的整数$i$，任何向量丛的$i$拷贝的直和是$\mathrm{EO}$ -可定向的.利用分裂原理，我们将问题归结为$\mathbb{CP}^{\infty}$上的典范线丛的情形。我们的方法涉及了解行动的顺序$p$小组的摩拉瓦稳定剂组的摩拉瓦$\mathrm{E}$ -理论的$\mathbb{CP}^{\infty}$。我们的计算有另一个应用：我们确定的同伦类型的$\mathrm{S}^{1}$ -泰特谱相关的平凡作用$\mathrm{S}^{1}$对所有$\mathrm{EO}$ -理论。
Chromatic defect, Wood's theorem, and higher real $K$-theories
本文利用Ravenel的Thom谱X(n)引入色差概念以衡量谱距离复可定向的程度，计算了多种重要谱的色差，发展了确定色差的阻碍理论，并证明了经典Wood等价类似物的广泛存在性以构造Z指标的Adams--Novikov塔。
The Lubin-Tate stack and Gross-Hopkins duality
摩拉瓦$E$-理论$E$是一个$E_\infty$-环，具有摩拉瓦稳定基团$Γ$的作用。我们研究了派生堆栈$\operatorname{Spf} E/Γ$。下降理论的技巧使我们能够推导出一个关于$K(n)$-局部Picard群的Hopkins-Mahowald-Sadofsky定理，以及Barthel-Beaudry-Stojanoska关于更高实$K$-理论的Anderson群的最近结果。
Quadratic forms classify products on quotient ring spectra
本文构造了双线性型群Bil（I/I^2[1]）在F上的R-乘积集上的自由传递作用，F是E-无限环谱R与F_* \cong R_*/I的正则商.我们证明了这个作用诱导了二次型QF（I/I^2[1]）在F上R-积的等价类集合上的自由传递作用。作者在前一篇文章中引入的F的特征双线性型是F交换性的自然障碍。我们讨论了Morava K-理论K（n）和2-周期Morava K-理论K_n的例子。
Topological automorphic forms
我们应用J. Lurie的一个定理来产生与U（1，n-1）型的某些Shimura簇相关的上同调理论。拓扑自守形式（TAF）的这些上同调理论与志村簇的关系就像是拓扑空间与椭圆曲线的模空间的关系一样。我们研究了这些理论上的上同调运算，并将它们与某些Hecke代数联系起来。我们计算了这些上同调理论的K（n）-局部同伦类型，并确定了K（n）-局部这些谱是Morava E-理论E_n的同伦不动点谱与Morava稳定群的有限子群的有限乘积.本文构造了某些Adele群的紧开子群K的谱Q_U（K），推广了第一作者在模情形下研究的谱Q（1）.我们证明了谱Q_U（K）允许由建筑物理论产生的谱TAF的有限分辨率。证明了谱Q_U（K）的K（n）-局部化是E_n的同伦不动点谱关于Morava稳定群的某些算术子群的有限积，其中N.诺曼（在某些情况下）证明是稠密的。因此，谱Q_U（K）逼近K（n）-局部球的程度与谱Q（1）逼近K（2）-局部球的程度相同。
Dieudonné modules and $p$-divisible groups associated with Morava $K$-theory of Eilenberg-Mac Lane spaces
我们研究了与Morava $K$ -积分Eilenberg-Mac Lane空间理论相关的形式群的结构。主要的结果是，每一个正式的集团在收集$\{K(n)^*K({\mathbb Z}, q), q=2,3,...\}$为一个固定的$n$进入它连同其塞尔对偶，一个模拟的主极化的阿贝尔簇。我们还确定了这些形式群的每一个在一个代数闭域的Islam类。这些结果是借助于双交换霍普夫代数与Dieudonné模之间的Dieudonné对应关系得到的.推广了P. Goerss关于这类霍普夫代数与相应Dieudonné模的双线性积的结果.
Arnold Conjecture and Morava K-theory
证明了特征$p$域上系数闭辛流形的上同调秩小于任何非退化Hamilton流的周期轨道数.在Floer之后，证明依赖于构造与每个这样的流相关联的同调群，并将其与周围辛流形的同调进行比较。这个证明并不是通过构造一个具有特征$p$系数的弗洛尔复形来进行的，而是使用弗洛尔轨迹的模空间的规范（稳定）复方向来构造一个具有摩拉瓦$K$ -理论中系数的弗洛尔同调，因此可以看作是科恩、琼斯和西格尔对弗洛尔同伦理论的实现。Morava K-理论的关键特征是允许进行构造，这一事实是有限群的分类空间的相应同调群和上同调群满足庞加莱对偶。
Stable and Unstable Operations in mod p Cohomology Theories
我们考虑两个乘法，复定向上同调理论之间的操作。在适当的假设下，我们构造了一个从不稳定到稳定操作的映射，它是通常的从稳定到不稳定操作的映射的左逆。在主要的例子中，目标理论是Morava K理论之一，这提供了一个简单而明确的描述，由Bousfield-Kuhn函子引起的分裂
Convergence of the Eilenberg-Moore spectral sequence for generalized cohomology theories
证明了当底空间为$p$ -局部有限Postnikov系统且$(n+1)$ st同伦群为零时，基于Morava-$K$-理论的Eilenberg-Moore谱序列具有良好的收敛性.
Excellent rings in transchromatic homotopy theory
本文的目的是证明transchromatic同伦理论中出现的几个基本环是Noether优良正规整环，从而服从交换代数的标准方法。特别是，我们表明，系数的迭代本地化的摩拉瓦$E$ -理论在摩拉瓦$K$ -理论是正常的域，也是一个固定的组的transchromatic字符映射的系数形成一个正常的域。
$THH$ of the Morava $E$-theory Spectrum $E_{2}$
该研究通过Bökstedt谱序列计算$THH(E_{2})$的$K(i)$-同调并提升生成类，将$THH(E_{2})$描述为连续上纤维序列链的一部分，为利用迹方法研究$E_{n}$的代数$K$-理论提供基础。
Subgroups of p-divisible groups and centralizers in symmetric groups
对于上同调理论密切相关的摩拉瓦E-理论，我们提供了一个代数几何解释的上同调的对称群内的交换元素的元组的中心化出现的群的上同调。给出的解释方面的连通组件的计划，分类子群方案的一个特定的p-可除群。
Quasi-elliptic cohomology and its Spectrum
Ginzburg、Kapranov和Vasserot证明了等变椭圆上同调理论的存在性。本文研究了一个中间理论--拟椭圆上同调理论，给出了这些理论的等变谱的描述。本文提出了一类新的正交G-谱，并在其中明确地构造了一个拟椭圆上同调的正交G-谱，这种构造思想可以应用于一族等变上同调理论，包括Tate K-理论和广义Morava E-理论.此外，这种构造提供了从整体谱范畴到正交G-谱范畴的函子。此外，还得到了整体同伦理论对于构造整体椭圆上同调理论的一些新的认识。
Norm coherence for descent of level structures on formal deformations
给出了水平结构在形式群变形上的下降公式，并研究了下降与范数构造之间的相容性。在这个框架下，我们推广了Ando关于F_p上与Honda形式群律相关联的MoravaE-理论的H-无穷复定向的构造，证明了F_p的代数扩张上与形式群律相关联的MoravaE-理论的H-无穷复定向的存在唯一性，特别是椭圆上同调理论族的H-无穷复定向.这些方向对应的坐标变形的形式群，这是兼容的规范地图沿下降。
Periodicity and finite complexity in higher real $K$-theories
本文研究了高实 $K$-理论中周期性和有限复杂性，通过分析莫拉稳定化群和卢比-泰特理论的周期性晶格，揭示了新的周期性和有限性结果。
On the integral algebraic K-theory of Morava K-theory
该研究计算连通莫拉瓦K理论\(k(n)\)在特定度数下积分代数K理论群的基数，通过轨道过滤等方法，结合对特定形式DGA的分析及动机过滤，得出相关基数结果，还计算了\(W(\overline{\mathbb{F}}_p)/p^n\)代数K理论群基数，其偶数度数下消失。
Higher real K-theories and topological automorphic forms
给定第n个Morava稳定群的极大有限子群G在素数p处，我们讨论了这样一个问题：相关的高实K-理论EO_n是U（1，n-1）型酉相似群的TAF-谱的K（n）-局部化的和项吗？对于{2，3，5，7}中的p和n =（p-1）p^{r-1}，对于包含p^r阶元素的极大有限子群，我们肯定地回答这个问题。我们对所有其他奇初等情形的回答都是否定的。在所有奇初等情形下，给出了群G酉嵌入的具有对合的整体除代数的一个显式表示。
Formal schemes and formal groups
我们建立了一个框架，利用代数几何研究广义上同调环，发生在代数拓扑。这个想法可能是第一次介绍了奎伦和它的基础上，我们的理解复杂的导向上同调理论，例如工作的摩拉瓦。大多数结果在代数几何文献中有相似的和著名的类似物，但有不同的定义或技术假设，这往往是不方便的拓扑应用。我们只是把所有的东西以一种系统和方便的方式放在一起。
Transchromatic generalized character maps
在“Generalized Group Characters and Complex Oriented Cohomology Theories”中，Hopkins、Kuhn和Ravenel发展了一种方法来研究E^*（BG）形式的上同调环。特征映射可以被解释为上同调理论的映射，从高度n的上同调理论E开始，到高度0的上同调理论，其系数的有理代数是由E构造的。本文利用p-可除群的语言将其构造推广到MoravaE-理论，使特征映射可以落在0到n之间的任意高度t上。
I-adic towers in topology
从复协边MU^*（-）出发，通过对某些元素进行局部化或删除MU_* 中的正则序列，得到了大量的上同调理论。我们研究了某些对这样的理论，不同的正则序列之间的关系，通过构建拓扑类似物的代数I-进塔。这就产生了更高的Bockstein谱序列，在适当的意义上，它是Adams谱序列。特别注意的情况下，完成的约翰逊-威尔逊理论E（n）-帽子和Morava K-理论K（n）为一个给定的素数p。
Equivariance of generalized Chern characters
本文从色性的观点讨论了Chern特征标的某些推广。我们构造了从某个高度（n+1）上同调理论E^*（-）到高度n上同调理论K^*（-）\hat{\otimes}_F L的乘性G_{n+1} -等变自然变换Θ，其中K^*（-）本质上是第n个Morava K-理论.作为推论，证明了G_n-模K^*（X）可以从G_{n+1} -模E^*（X）恢复.我们还构造了一个提升Θ到特征零上同调理论之间的自然变换。
$K(2)$-local splittings of finite Galois extensions of $MU\langle6\rangle$ and $MString$
该研究利用Milnor-Moore论证证明素数2处$K(2)$-局部下$MU\langle6\rangle$和$MString$与球面有限伽罗瓦扩张$E^{hF_{3/2}}$张量积后分裂为Morava $E$-理论直和，并细化了$MString$的分裂方式。
Six-dimensional gauge theories and (twisted) generalized cohomology
我们认为全球方面的6维$\mathcal{N}=(1, 0)$理论所产生的耦合的矢量多重张量多重。我们表明，杨米尔斯领域和它的对偶，当两者都是阿贝尔化，结合起来定义一个类扭曲上同调与扭曲所产生的类的$B$ -字段，在对偶对称的方式。然后，我们表明，这电梯自然扭曲（微分）K-理论的一类。或者，在$\mathcal{N}=(1,0)$和$\mathcal{N}=(2,0)$理论中，B场不是扭曲的，而是可逆的，这导致了在无扭曲的色能级2广义上同调理论中的描述，包括椭圆上同调和Morava K理论的形式。
Tate blueshift and vanishing for Real oriented cohomology
我们研究了实方向上同调理论的Tate结构的transchromatic现象。首先，我们表明，适当的完成后，泰特建设相对于一个平凡的$\mathbb{Z}/2$ -行动高度$n$真正的约翰逊-威尔逊理论分裂成一个楔形高度$n-1$真正的约翰逊-威尔逊理论。这是泰特蓝移的第一个例子，在所有的彩色高度以外的复杂的取向设置。其次，我们证明了实Morava K-理论上关于平凡有限群作用的Tate构造为零，改进了Greenlees-Sadofsky的经典Tate消失结果。在证明这些结果的过程中，我们发展了等变色同伦理论中的一些思想（例如，实配边上模谱的完备化，$C_2$ -等变色Bousfield局部化），并应用参数化Tate构造。
Equivariant formality in complex-oriented theories
该研究将有理上同调的等变形式性结果推广至任意复定向上同调理论，借助新的上同调分裂结果完成证明，还建立了相关定理的类似结论并给出其在Morava K-理论中的应用。
Spectral sequences in smooth generalized cohomology
我们考虑光滑广义上同调理论中的谱序列，包括微分广义上同调理论。主要的差分谱序列将是Atiyah-Hirzebruch（AHSS）型的，在这里我们提供了一个过滤的Cech决议的光滑流形。这使得系统的研究扭转微分上同调。我们详细地将其应用到光滑的Deligne上同调，微分拓扑复K-理论，以及我们引入的积分Morava K-理论的光滑扩展。在每种情况下，我们明确地确定相应的谱序列，表现出一个有趣的和系统的相互作用（细化）经典的上同调运算，涉及微分形式的操作，上同调与U（1）系数的操作之间的差异。
Comparison theorems for torus-equivariant elliptic cohomology theories
1994年，Grojnowski给出了复数上椭圆曲线的等变椭圆上同调理论的构造。Grojnowski的建设已经看到了许多应用在代数拓扑和几何表示论，但建设是有点特设，并已显着兴趣的问题，其几何解释。我们表明，有两个全球模型的Grojnowski的理论，揭示了它的几何意义。第一个模型被构造为双自由闭路空间的Borel-等变上同调，并且是Rezk从2016年开始的构造的全纯版本。第二个模型被构造为自由闭路空间的圈群-等变K-理论，并且是Kitchloo在2014年给出的构造的轻微修改，其动机是共形域论中的思想。我们调查每个模型的属性，并表明，每个同构的Grojnowski的理论，对于任何给定的椭圆曲线。
Comparison of cobordism theories
依靠Hopkins-Morel的结果，我们证明了：对于特征为零的域上的拟射影簇$X$，正则映射$Ω_n(X)\to MGL_{2n,n}'(X)$是同构的.这里$Ω_*(X)$是由Levine-Morel定义的代数配边理论，而$MGL_{*,*}'$是通过Morel-Voevodsky动机稳定同伦范畴中的代数Thom复形定义的代数配边理论的Borel-Moore同调版本。
Relative group (co)homology theories with coefficients and the comparison homomorphism
令$G$是一个群，令$H$是$G$的一个子群，令$\Or(G)$是轨道范畴。本文推广了Adamson和Takasu定义的$(G,H)$对的相对群（余）同调论的定义，使其系数在$\Or(G)$ -模中。从Takasu的理论到Adamson的理论，都有一个由Cisneros-Molina和Arciniega-Nevárez定义的规范比较同态。本文给出了子群$H$的比较同态对所有系数同构的一个充要条件。我们还使用Lück-Wiermann构造来引入Adamson（co）同调的长正合序列。最后，我们给出了比较同态的一些显式计算的例子。
A comparison of motivic and classical homotopy theories
设k是特征为零的代数闭域。设SH（k）表示k上T-谱的运动稳定同伦范畴，SH表示经典稳定同伦范畴。设c：SH -> SH（k）是将一个空间送到Sm/k上的常预层空间所诱导的函子。我们证明C是完全忠实的。特别地，对于所有谱E，c诱导同构π_n（E）-> π_{n，0}c（E）.将k嵌入到复数中，并让Re：SH（k）-> SH是相关的Betti实现。证明了运动球谱的切片塔具有强收敛的Betti实现。这给出了一个“motivic origin”的谱序列，它收敛于经典球谱的同伦群; E_2处的这个谱序列与Adams-Novikov谱序列中的E_2项一致。
Comparison of Motivic Homotopy Theories
本文比较了motivic homotopy theories的两种不同范畴，并展示了其在不同条件下的性质。
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