Dejean's conjecture holds for n>=27
James Currie, Narad Rampersad
我们证明了当n>=27时，Dejean猜想成立。这使得最终的解决方案的猜想的Moulin Ollagnier的方法在计算上可行的范围内。
We show that Dejean's conjecture holds for n>=27. This brings the final resolution of the conjecture by the approach of Moulin Ollagnier within range of the computationally feasible.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A proof of Dejean's conjecture
我们证明了Dejean的猜想。具体地说，我们证明了德让猜想对n的最后一个开放值成立，即15 <= n <= 26。
Dejean's conjecture holds for n >= 30
我们扩展了Carpi的结果，证明了Dejean猜想对n >= 30成立。
On Circular Threshold Words and Other Stronger Versions of Dejean's conjecture
本文提出了一种构造更强阈值词的方法，并改进了德吉安猜想的证明方法。
A Generalization of Repetition Threshold
勃兰登堡和德让（含蓄地）引入了重复阈值的概念：最小的实数α，使得在k个字母表上存在一个无限的单词，避免所有β> α的β幂。我们将这个概念推广到包括避免单词的长度。我们给出了一些由数值证据支持的命题，并证明了其中一个命题。
The Merino-Welsh Conjecture holds for Series-Parallel Graphs
Merino-Welsh猜想认为，图的生成树的个数不大于该图的全循环定向和非循环定向的个数中的最大值.我们证明了这个猜想的系列平行图类。
Borodin-Kostochka Conjecture holds for odd-hole-free graphs
本文证明了Borodin-Kostochka猜想在无奇洞图上成立，即当最大度至少为9时，色数不超过最大度减1与团数的较大者。
Brouwer's conjecture holds asymptotically almost surely
我们证明了，对于随机图序列，当顶点数趋于无穷大时，Brouwer猜想的概率趋于1。令人惊讶的是，发现类似的陈述也适用于可能具有负权重的加权图。对于顶点数固定的图，这个结果意味着存在常数$C>0$和$n_{0}$，使得如果$n\geq n_{0}$，则在所有顶点数为$n$的$2^{n \choose 2}$图中，至少有$\left(1-\exp\left(-Cn\right)\right)2^{n \choose 2}$图满足Brouwer猜想.
Meyniel's conjecture holds for random d-regular graphs
在警察和强盗的游戏中，警察试图抓住一个在图的顶点上移动的强盗。在一个给定的图$G$上获胜所需的最小cop数称为$G$的cop数。Meyniel的猜想是这一领域中最大的公开猜想之一，它断言对于某个绝对常数$C$，每个连通图$G$的cop数至多为$C \sqrt{|V(G)|}$。在另一篇论文中，我们证明了Meyniel猜想对二项随机图渐近几乎必然成立。结果表明，猜想成立的一般类图的一些特定的扩张型性质。本文利用这一确定性结果证明了当$d = d(n) \ge 3$满足时，对于随机$d$ -正则图，猜想渐近几乎必然成立.
The 1-2-3 Conjecture almost holds for regular graphs
著名的1-2-3猜想断言，每个没有孤立边的图的边都可以用$1$、$2$和$3$加权，使得邻顶点的加权度不同。这通常是开放的，而从权重集$\{1,2,3,4,5\}$已知是可能的。我们证明了对于正则图，使用权值$1$，$2$，$3$，$4$是足够的。此外，我们还证明了对于每一个具有$d\geq 10^8$的$d$ -正则图，这个猜想都成立.
Union-closed Sets Conjecture Holds for Height No More Than 3 and Height No Less Than N-1
对于任意给定的n元m集并闭族F，利用格论中的一个自然参数UC族的高数，讨论了并闭集猜想.本文称之为F（n，m）的高度数，记为H（F）.证明了对任意给定的并闭族F，若其高数H（F）不大于3或不小于小于n-1，则并闭集猜想成立.由于高度数H（F）是界于1至n之间的正整数。作为一种尝试性的方法和框架，如果我们能证明并闭集猜想对H（F）的所有可能值都成立，那么并闭集猜想就是真的。
The Merrifield-Simmons conjecture holds for bipartite graphs
设$G = (V, E)$是一个图，$σ(G)$是$G$中独立顶点集的个数.然后Merrifield-Simmons猜想指出，项$σ(G_{-u}) \cdot σ(G_{-v}) - σ(G) \cdot σ(G_{-u-v})$的符号仅取决于$G$中的顶点$u, v \in V$的距离的奇偶性。我们证明了猜想成立的二部图考虑一个推广的术语，其中顶点子集，而不是顶点被删除。
Rota's Basis Conjecture holds asymptotically
罗塔基猜想是拟阵理论中的一个著名问题，它指出对于秩$n$拟阵中的任何$n$基的集合，可以将所有元素分解为$n$不相交的彩虹基。这里证明了这一点的渐近版本。我们表明，它是可能的，以找到$n-o(n)$不相交的彩虹独立集的大小$n-o(n)$。
The CLLC conjecture holds for cyclic outer permutations
最近，Gross等人对图的亏格分布的局部对数分布提出了LLC猜想，并对某些置换合成的生成函数计数循环的对数分布提出了一个等价的组合形式CLLC猜想。本文借助于Hultman数和第一类Stirling数的生成函数的Hermite-Biehler定理，证明了关于轮换的CLLC猜想.这导致了进一步的猜想，每个局部亏格多项式是实根的。
Proving Norine's Conjecture holds for $n=7$ via SAT solvers
针对 $n$ 维立方体图对跖红/蓝边着色中是否必有对跖顶点由单色路径相连的问题，本文使用 SAT 求解器将 Norine 猜想的成立范围从 $n\le 6$ 推进到 $n=7$。
The Gamma-Theta Conjecture holds for planar graphs
本文证明了Gamma-Theta猜想对平面图成立，即当平面图的支配数等于永恒支配数时，它也等于团覆盖数。
A note on Reed's conjecture
在\cite{reed97}中，Reed证明了不等式$χ(G) \leq \left \lceil \textstyle {1/2} (ω(G) + Δ(G) + 1) \right \rceil$对任何图$G$都成立。我们证明了这对图$G$成立，如果$\bar{G}$是不连通的。由此推论，猜想对具有$χ(G) > \left \lceil \frac{|G|}{2} \right \rceil$的图成立。此外，该猜想对具有$Δ(G) \geq |G| - \sqrt{|G| + 2α(G) + 1}$的图也成立.特别地，里德猜想对具有$Δ(G) \geq |G| - \sqrt{|G| + 7}$的图成立。利用这些结果，我们继续表明，如果$|G|$是一个偶数阶反例里德猜想，那么$\bar{G}$有一个1-因子。因此，对于任何偶数阶图$G$，如果$χ(G) > \textstyle {1/2}(ω(G) + Δ(G) + 1) + 1$，则$\bar{G}$被匹配覆盖。
The union-closed sets conjecture almost holds for almost all random bipartite graphs
弗兰克尔的并闭集猜想指出，在每一个集合的有限并闭集中，有一个元素包含在至少一半的成员集中（假设至少有两个成员）。这个猜想在图的方面有一个等价的公式：在每个至少有一条边的二部图中，两个色类都包含一个至多属于一半的最大稳定集的顶点。证明了对任意固定的边概率，几乎任意的随机二部图几乎满足Frankl猜想。
The Buratti-Horak-Rosa Conjecture Holds for Some Underlying Sets of Size Three
Buratti-Horak-Rosa猜想是关于点标号为$0, 1, \ldots, {v-1}$的完全图中Hamilton路在特定的诱导边标号下可能的边标号多集的猜想。当多重集的基础集的大小至多为~2，是$\{1,2,3,4\}$或$\{1,2,3,5\}$的子集，或者是$\{1,2,6\}$，$\{1,2,8\}$或$\{1,4,5\}$，以及许多其他基础集的部分结果时，该猜想成立。我们使用的方法的增长实现表明，该猜想持有的每个底层集$U = \{ x,y,z \}$时，$\max(U) \leq 7$或$xyz \leq 24$，与可能的例外$U = \{1,2,11\}$。我们还表明，对于任何甚至$x$的有效性的猜想的基础集$\{ 1,2,x \}$如下的有效性的猜想的多个多重与这个基础集。
The perfect 1-factorisation conjecture holds asymptotically
研究Anton Kotzig关于完全图Kn的完美1-因子分解猜想，通过证明Kn可分解为n - 1个完美匹配，其中(1 - o(1))n个匹配中任意一对都能形成哈密顿圈，得出该猜想渐近成立的结论。
Proof of Brouwers Conjecture (BC) for all graphs with number of vertices n > n_0 assuming that BC holds for n< n_0 for some n_0
在假设小图满足Brouwers猜想的前提下，证明了所有顶点数大于某个固定阈值n_0的图也满足该猜想。
A generalisation of Seymour's second neighbourhood conjecture
本文将Seymour的第二邻域猜想推广到顶点集上的两个有向图。我们证明，这种泛化的情况下，比赛，我们表明，自然加强这一猜想不成立。
The Merrifield-Simmons conjecture also holds for parity graphs
Merrifield-Simmons图描述了单图$G$中顶点的距离与顶点删除子图中独立集的个数（记为$σ(G)$）之间的关系.即，项$σ(G_{-u}) \cdot σ(G_{-v}) - σ(G) \cdot σ(G_{-u-v})$的符号仅取决于$G$中$u$和$v$的距离的奇偶性。我们证明了这一说法的情况下，奇偶图，并给出了一些证据，这一结果可能不会进一步推广到其他类别的图。
Enomoto and Ota's conjecture holds for large graphs
在2000年，Enomoto和Ota证明了：如果图$G$满足$σ_{2}(G) \geq n + k - 1$，则对于任何$k$顶点集$v_{1}, \dots, v_{k}$和任何正整数$\sum n_{i} = |G|$，存在$V(G)$到$k$路径$P_{1}, \dots, P_{k}$的划分，使得$v_{i}$是$P_{i}$的一个端点，并且对于所有$i$，存在$|P_{i}| = n_{i}$.当$|G|$较大时，我们证明了这个猜想.我们的证明使用正则引理以及几个极值引理，最后用一个吸收参数来检索行为不端的顶点。
Hadwiger's conjecture holds for strongly monotypic polytopes
本文证明了强单型多面体满足哈迪格猜想，核心方法是利用多面体的结构特性，主要贡献是扩展了猜想的应用范围。
Bollobás-Nikiforov conjecture holds asymptotically almost surely
该研究针对Bollobás-Nikiforov提出的图邻接矩阵特征值与边数、团数关系的猜想，证明了在随机图序列中，当顶点数趋于无穷时，该猜想成立的概率趋于1，即猜想渐近几乎必然成立。
The lonely runner conjecture holds for nine runners
本文证明了九名跑者情况下孤独跑者猜想成立，通过改进原有方法实现了证明。
The Fuglede Conjecture holds in \(\F_p^3\) for p=5,7
对于p = 5，7，我们证明了一个子集\(E \subset \F_p^3\)是谱的当且仅当E通过平移而平铺\(\F_p^3\).此外，我们给出了另一个证明，该猜想成立的p = 3。
The Total Coloring Conjecture holds for planar graphs without three special subgraphs
本文证明全染色猜想对最大度为六且不含蘑菇、帐篷和锥体三种子结构的平面图成立，从而推广了此前关于禁止4-扇的结果。
The Komlos Conjecture Holds for Vector Colorings
差异理论中的Komlos猜想指出，对于某个常数K和任何列位于单位球中的m × n矩阵A，存在+/- 1向量x，使得Ax的无穷范数上界于K。这个猜想也蕴涵了关于有界度超图的差异性的Beck-Fiala猜想。在这里，我们证明了一个自然放松的科姆洛斯猜想：如果列A被分配单位实向量，而不是+/- 1，那么科姆洛斯猜想与K=1。我们的结果排除了基于半定规划的猜想的反例的可能性。它也开辟了一条道路，证明更紧密有效的（多项式时间可计算）上界的猜想使用半定规划技术。
Rota's basis conjecture holds for random bases of vector spaces
在1989年，Rota证明了，给定$n$基$B_1,\dots,B_n$的向量空间$\mathbb{F}^n$在某个域$\mathbb{F}$上，人们总是可以将多集$B_1\cup \dots \cup B_n$分解成横截基。这个猜想仍然是开放的，尽管有很多的关注。本文考虑随机基$B_1,\dots,B_n$的设置。更具体地说，我们的第一个结果表明，罗塔的基础猜想成立概率$1-o(1)$作为$n\to \infty$，如果基$B_1,\dots,B_n$是独立均匀随机选择的所有基地之间的$\mathbb{F}_q^n$为一些有限域$\mathbb{F}_q$（类似的结果是平凡的真正的一个无限域$\mathbb{F}$）。换句话说，这个猜想对几乎所有基$B_1,\dots,B_n\subseteq \mathbb{F}_q^n$的选择都成立。我们的第二个更一般的结果涉及给定有限子集$S\subseteq \mathbb{F}$的随机基$B_1,\dots,B_n\subseteq S^n$（换句话说，所有向量都在$S$中有条目的基$B_1,\dots,B_n$）。我们表明，当选择基地$B_1,\dots,B_n\subseteq S^n$独立均匀随机所有基地的子集$S^n$，然后再次罗塔的基础猜想举行概率$1-o(1)$为$n\to \infty$。
Meyniel's conjecture holds for random graphs
在警察和强盗的游戏中，警察试图抓住一个在图的顶点上移动的强盗。在一个给定的图$G$上获胜所需的最小cop数称为$G$的cop数。Meyniel的猜想是这一领域中最大的公开猜想之一，它断言对于某个绝对常数$C$，每个连通图$G$的cop数至多为$C \sqrt{|V(G)|}$。本文证明了Meyniel猜想对二项随机图渐近几乎必然成立。我们这样做，首先表明，猜想持有的一般类图与一些特定的扩展型属性。这也将被用于一个单独的文件随机$d$ -正则图，在那里我们表明，猜想几乎肯定渐近时，$d = d(n) \ge 3$。
Vizing's edge-recoloring conjecture holds
1964年Vizing证明了从图G的任意k-边染色出发，仅用Kempe交换就可以得到G的（$Δ$ + 1）-边染色，其中$Δ$是G的最大度。一年后，他证明了如果存在G的一个边，那么也可以得到G的一个$Δ$ -边染色。Bonamy et. al证明了该猜想对于无三角形图的情形是成立的。在本文中，我们证明了所有图的猜想。
Lexicographic shellability, matroids and pure order ideals
在1977年Stanley证明了拟阵独立复形的$h$ -向量是纯$O$ -序列。在本文中，我们使用字典序壳拟阵激发组合加强斯坦利猜想。这表明纯的$O$ -序列可以由脱壳产生的组合数据构建。然后，我们证明，我们的猜想持有拟阵的秩最多为4，解决排名四的情况下斯坦利的猜想。在一般情况下，我们证明，如果我们的猜想成立的所有秩$d$拟阵上最多$2d$元素，那么它成立的所有拟阵。
Fuglede's conjecture holds in $\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p^{n}}$
Fuglede猜想指出，对于局部紧阿贝尔群$G$的一个子集$Ω$，它具有正的和有限的Haar测度，存在$G$的对偶群的一个子集，它是$L^{2}(Ω)$的一个正交基当且仅当它通过平移平铺群。本文证明了$\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p^{n}}$中集合的一个整除性质。然后利用整除性和等分布性证明了Fuglede猜想在群$\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p^{n}}$中成立。
The bunkbed conjecture holds in the $p\uparrow 1$ limit
设$G=(V,E)$是可数图。$G$的双层图是乘积图$G \times K_2$，其具有顶点集$V\times \{0,1\}$，该顶点集具有从$G$继承的“水平”边和连接每个$w \in V$的$(w,0)$和$(w,1)$的附加“垂直”边。Kasteleyn的双层床猜想指出，对于每个$u,v \in V$和$p\in [0,1]$，顶点$(u,0)$在双层床图上的伯努利- $p$键渗流下至少与$(v,0)$和$(v,1)$一样可能连接。证明了该猜想在$p \uparrow 1$极限下成立，即对每个有限图$G$都存在$\varepsilon(G)>0$，使得双层床猜想对$p \geqslant 1-\varepsilon(G)$成立.
Catlin's conjecture and maximum eulerian subgraph
一个图$G=(V(G), E(G))$是超欧拉的，如果它有一个生成欧拉子图.设$\ell(G)$是超欧拉图$G$的生成欧拉子图的最大边数.在$1996$中，Catlin证明了如果$G$是超欧莱雅图，则$\ell(G)\ge \frac{2}{3}|E(G)|$。但在$2004$中，发现了无穷多个反例，证明了当$r\neq 5$时，这个猜想对$r$正则图成立。本文证明了Catlin猜想对没有$3$度顶点的图成立，对$5$正则图也成立。此外，如果$G$是一个没有度为$3$的顶点的图，则当$v_2(G)$是度为$2$的顶点数时，有$\ell(G)\ge \frac{2}{3}|E(G)|+ v_2(G)$。
The burning number conjecture holds for trees of order $n$ with at most $\left\lfloor \sqrt{n-1}\right\rfloor$ degree-2 vertices
本文围绕图的燃烧数猜想展开，推导得出含$n_2$个2度顶点的$n$阶树的燃烧数上界公式，进而证实该猜想对2度顶点数不超过$\lfloor\sqrt{n-1}\rfloor$的$n$阶树成立。
The Fuglede conjecture holds in $\mathbb{Z}^3_5$
Fuglede猜想指出一个集合是谱的当且仅当它通过平移而平铺。这个猜想被T.通过在$\mathbb{Z}_3^5$中给出一个反例，证明了5维及更高维的Tao.我们提出了一个计算机程序，确定Fuglede猜想持有$\mathbb{Z}_5^3$通过耗尽搜索空间。A. Iosevich，A. Mayeli和J. Pakianathan证明了当维数不超过2时，Fuglede猜想在素域上成立。Aten等人先前针对$p=3$解决了维度3的问题。在本文中，我们建立在他们的工作结果，让计算机进行冗长的计算。
Seymour and Woodall's conjecture holds for graphs with independence number two
本文针对独立数为二的图，证明其在 $2\ell\leqχ(G)$ 时包含 $K^{\ell}_{\ell,χ(G)-\ell}$-minor，从而验证 Seymour–Woodall 猜想在该图类中成立。
An Improved Bound for the Linear Arboricity Conjecture
1980年，Akiyama，Exoo和Harary提出了线性荫度猜想，即任何最大度为$Δ$的图$G$最多可以分解为$\left\lceil \fracΔ{2}\right\rceil$线性森林。（如果森林的所有组成部分都是路径，则该森林是线性的。）1988年，阿隆证明了这个猜想的渐近成立性。目前的最佳界限是由Ferber、Fox和Jain在2020年提出的，他们证明了$\fracΔ{2}+ O(Δ^{.661})$足以满足足够大的$Δ$。在这里，我们表明，$G$承认分解到最多$\fracΔ{2}+ 3\sqrtΔ \log^4 Δ$线性森林提供$Δ$是足够大的。此外，我们的结果也适用于更一般的列表设置，其中边缘具有（可能不同的）允许的线性森林集合。因此，我们的界限也适用于列表线性荫度猜想，这是最近才证明，持有渐近金和第二作者。事实上，我们的证明方法将线性荫度猜想和著名的列表着色猜想联系在一起;因此，我们的线性荫度猜想的误差项与Molloy和Reed在2000年提出的列表着色猜想的最著名的误差项相匹配。这是因为我们对每种颜色做了两个副本，然后寻找一个合适的边缘着色，避免了颜色和副本之间的双色循环;我们通过巧妙地修改nibble方法来实现这一点。
The Hirsch conjecture holds for normal flag complexes
利用度量几何的直觉，我们证明了任何旗形和正规单纯复形复形都满足不可重访路猜想。因此，它的面-脊图的直径小于顶点数减去维数，如赫希猜想。这证明了赫希猜想对所有旗多面体，更一般地说，对所有（连通）旗同调流形。
On Fan's conjecture about $4$-flow
本文证明了Fan关于无桥图中4-流与回路覆盖的猜想在回路长度不超过35时成立，推广了先前结果。
The "Most informative boolean function" conjecture holds for high noise
对于高噪声$ε\ge 1/2 - δ$，证明了Courtade和Kumar的“信息量最大的布尔函数”猜想，其中$δ> 0$是一个绝对常数$δ> 0$ .也就是说，如果$X$均匀分布在$\{0,1\}^n$中，并且$Y$是通过以概率$ε$独立地翻转$X$的每个坐标而获得的，那么，对于任何布尔函数$ε\ge 1/2 - δ$，如果$ε\ge 1/2 - δ$成立，则$I(f(X);Y) \le 1 - H(ε)$成立。这个猜想以前只适用于平衡函数。
The lonely runner conjecture holds for eight runners
本文通过计算机验证与最小反例规模界，证明了孤独跑者猜想对八名跑者成立，并指出方法可推广至更多跑者。
The Tu--Deng Conjecture holds almost surely
Tu-Deng猜想涉及$n$的$w(n)$在基$2$（$n$的二进制展开式的汉明重量）中的位数和，并陈述如下：假定$k$是正整数，并且$1\leq t<2^k-1$。然后证明了Tu-Deng猜想在以下意义下几乎必然成立：使得上述不等式成立的$t\in[1,2^k-2]$的比例逼近$1$为$k\rightarrow\infty$。此外，我们还证明了Tu-Deng猜想蕴含着一个由T.~ W.~ Cusick关于$n$和$n+t$的位数之和。
Metric dimensions vs. cyclomatic number of graphs with minimum degree at least two
顶点（resp.边）度量维数;记为dim（G）（分别edim（G））定义为V（G）中区分所有顶点对的最小集合S的大小。在G中：dim（G）<= L（G）+2c（G）和edim（G）<= L（G）+2c（G），其中c（G）是G的圈数，L（G）依赖于G的叶数，已知对仙人掌成立，对一般图也成立.在无叶图中，L（G）= 0成立，因此对于这样的图，限制的上界变为2c（G）。本文证明了无叶仙人掌不能达到2c（G）的上界，从而使无叶仙人掌的上界降为2c（G）-1，并刻画了所有极值无叶仙人掌的降界.我们猜想，降低的界限保持所有的无叶图，即最小度至少为2的图。我们证明了这个猜想对所有最小度至少为3的图都成立，证明它对所有2-连通图都成立是足够的，并且我们还证明了这个猜想对小阶图也成立.
Novák's conjecture on cyclic Steiner triple systems and its generalization
Novák在1974年证明了对于任何$v$与$v\equiv 1\pmod{6}$的循环Steiner三元系，总是可以从每个块轨道中选择一个块，使得所选择的块是成对不相交的。我们考虑将这个猜想推广到具有$1 \leq λ\leq k-1$的循环$(v,k,λ)$ -设计.循环对称设计的多个副本的叠加表明，一般化不能保持所有$v$，但我们推测，只要$v$是足够大的$k$相比，它持有。我们确认，当$v$是素数和$λ=1$，也当$λ\leq (k-1)/2$和$v$是足够大的相比，$k$的猜想成立的推广。作为一个推论，我们表明，对于任何$k \geq 3$，与可能的例外，许多复合订单$v$，每一个循环$(v,k,1)$ -设计没有短轨道是由一个$(v,k,1)$ -不相交的差异家庭。
The 1-2-3 Conjecture holds for graphs with large enough minimum degree
一个简单图通常包含度数相等的邻顶点。这特别适用于规则图中的所有邻居对，而在许多随机模型中可以预期很多这样的对。是否存在一个普适常数$K$，比如说$K=3$，使得人们总是可以从任何给定的至少有三个顶点的连通图中通过将其选定的边吹成至多$K$平行边来处理这样的对？这个问题最早是由Karoblski、Karuczak和Karamason在2004年提出的，他们提出了一个等价的问题，即是否可以给每个这样的图的边分配权重$1,2,3$，使得邻顶点得到不同的加权度--它们的关联权重之和。这个基本问题现在通常被称为1-2-3猜想，并且已经在多篇论文中得到了解决。到目前为止，已知权重$1,2,3,4,5$是足够的[J. Combin.理论系列B 100（2010）347-349]。证明了当图的最小度$δ$足够大时，即当图的最大度为$δ= Ω(\logΔ)$时，这个猜想成立，其中$Δ$表示图的最大度.我们的概率证明背后的原则思想依赖于关联随机变量与一个特殊的和精心设计的分布到大多数的顶点的一个给定的图，然后选择权重的主要部分的边缘取决于这些变量的值在一个确定性或随机的方式。
Conjecture $\mathcal{O}$ holds for the odd symplectic Grassmannian
设$\mathrm{IG}(k, 2n+1)$是奇辛格拉斯曼算子。性质$\mathcal{O}$，由Galkin，Golyshev和Iritani对任意复Fano流形$X$引入，是关于通过$X$的反正则类的量子乘法获得的线性算子的本征值的陈述。证明了当$X= \mathrm{IG}(k, 2n+1)$是奇辛格拉斯曼算子时，性质$\mathcal{O}$成立.证明使用最近发现的量子Chevalley公式的组合学$\mathrm{IG}(k, 2n+1)$，连同非负矩阵的Perron Frobenius理论。
The Burning Number Conjecture Holds Asymptotically
本文证明了燃烧数猜想渐近成立，即对于任意$n$个顶点的图$G$，其燃烧数$b(G)$不超过$(1+o(1))\sqrt n$，从而在渐近意义上解决了该猜想。
A $q$-analog of the Markoff injectivity conjecture holds
该研究证明Markoff单射猜想的$q$-模拟在Christoffel词上成立，基于$q=\text{exp}(iπ/3)$赋值完成证明，还将问题推广至任意词并给出不满足单射性的词对族。
The PFR Conjecture Holds for Two Opposing Special Cases
设$A \subseteq F_2^n$是具有$|2A| = K|A|$的集合。我们证明了如果（1）对于所有$s \in 2A$的至少一个分数$1-K^{-9}$，集合$(A+s) \cap A$的大小至多为$L\cdot|A|/K$，或者（2）对于所有$s \in 2A$的至少一个分数$K^{-L}$，集合$(A+s) \cap A$的大小至少为$|A|\cdot(1- K^{-1/L})$，则存在大小为$|A|/K^{O_L(1)}$的子集$B \subseteq A$使得$\mathrm{span}(B) \leq K^{O_L(1)}\cdot|A|$ .
Lagrangians of hypergraphs: The Frankl-Füredi conjecture holds almost everywhere
Frankl和Füredi在1989年证明了所有$m$-一致超图的最大拉格朗日量是由共线序的初始段实现的。特别是，在主要情况下$m=\binom{t}{r}$他们的猜想指出，每个$H\subseteq \mathbb{N}^{(r)}$的大小$\binom{t}{r}$满足\begin{align*} \max \{\sum_{A \in H}\prod_{i\in A} y_i \ \colon \ y_1,y_2,\ldots \geq 0; \sum_{i\in \mathbb{N}} y_i=1 \}&\leq \frac{1}{t^r}\binom{t}{r}. \end{align*}我们证明了上述声明的所有$r\geq 4$和大值的$t$（$r=3$的情况下解决了塔尔博特在2002年）。更一般地说，我们表明，任何$r\geq 4$的弗兰克尔-富雷迪猜想成立时，$\binom{t-1}{r} \leq m \leq \binom{t}{r}- γ_r t^{r-2}$为一个常数$γ_r>0$，从而验证了它的“大多数”$m\in \mathbb{N}$。对于$r=3$，我们改进了Talbot~ \cite{Tb}和Tang，Peng，Zhang，Zhao~ \cite{TPZZ}的结果.
Voronoi's Conjecture for extensions of Voronoi parallelohedra
设$I$是$d$维欧几里得空间$\mathbb E^d$中的一段.令$P$和$P+I$是$\mathbb E^d$中的平行面体，其中“+”表示Minkowski和。证明了Voronoi猜想对$P+I$成立，即对$\mathbb E^d$中的某个欧氏度量，$P+I$是Voronoi平行面体，如果Voronoi猜想对$P$成立.
The Lovász conjecture holds for moderately dense Cayley graphs
研究证明了大连接Cayley图存在哈密顿回路，推进了Lovász猜想，并改进了之前的结果。
Nivat's conjecture holds for sums of two periodic configurations
Nivat猜想是一个长期存在的开放组合问题。它涉及二维配置，即映射$\mathbb Z^2 \rightarrow \mathcal A$，其中$\mathcal A$是符号的有限集合。这样的配置通常被理解为二维正方形网格的着色。令$P_c(m,n)$表示在配置$c$中出现的不同$m \times n$块模式的数目。对于某些$m,n \in \mathbb N$，满足$P_c(m,n) \leq mn$的矩阵被认为具有低矩形复杂度。尼瓦特解释说，这样的结构必然是周期性的。最近，Kari和作者表明，低复杂性的配置可以分解为周期性配置的总和。在本文中，我们表明，如果有最多两个组件，Nivat猜想成立。作为推论，我们得到了Cyr和Kra的一个结果的另一种证明：如果存在$m,n \in \mathbb N$使得$P_c(m,n) \leq mn/2$，则$c$是周期的.在本文中使用的技术相结合的代数方法卡里和作者的平衡集Cyr和Kra。
Aharoni's rainbow cycle conjecture holds up to an additive constant
本研究针对Aharoni提出的彩虹圈猜想，证明对于固定r，该猜想在相差一个O(r^5 log²r)阶加性常数的意义下成立，推进了边着色图中彩虹圈存在性问题的研究。
Wilf's conjecture in fixed multiplicity
给出了判定Wilf猜想对所有具有给定重数$m$的数值半群是否成立的算法，并利用该算法证明了Wilf猜想对任何给定重数$m \le 18$都成立.我们的算法利用技术从多面体几何，并包括一个可并行化的算法，用于枚举的任何多面体锥的轨道的自同构群的面。我们还介绍了一种新的方法来验证威尔夫猜想通过一个组合风味的游戏上的元素，一定的有限偏序集。
Equitable vertex arboricity conjecture holds for graphs with low degeneracy
公平树着色可以将通信网络上的结构分解问题公式化，同时考虑到安全性。图的均匀树- $k$ -着色是指图的顶点使用$k$不同的颜色着色，使得每个颜色类都诱导出一个森林，并且任意两个颜色类的大小相差至多1.本文证明了图的公平树着色的一些理论结果，证明了对于任意整数$k\geq (Δ+1)/2$，最大度至多为$Δ$的$d$ -退化图都是公平树- $k$ -可着色的，只要$Δ\geq 9.818d$满足，从而证实了低退化度图的公平点荫度猜想.
The Fuglede Conjecture holds in ${\Bbb Z}_p \times {\Bbb Z}_p$
本文研究了${\Bbb Z}_p^d$的子集$E$，使得任何函数$f: E \to {\Bbb C}$都可以写成关于$E$正交的字符的线性组合.我们将把这样的集合称为谱集合。在这种情况下，我们证明了Fuglede猜想在${\Bbb Z}_p^2$说，$E \subset {\Bbb Z}_p^2$是谱的当且仅当$E$瓷砖${\Bbb Z}_p^2$的平移。有限域傅里叶变换的算术性质、初等伽罗瓦论和方向集的组合几何性质在证明中起着关键作用。
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