Expanders Satisfy the Weak Meyniel Conjecture
本文证明有界最大度且等周函数远离零的图序列的警察数有上界，并指出若弱Meyniel猜想为假则存在反直觉图，进而猜想这些图必为扩张图，从而蕴含弱Meyniel猜想。
2024-02-09 math.CO
Meyniel Extremal Families of Abelian Cayley Graphs
我们研究了警察和强盗的博弈，警察试图在图的顶点上抓住一个强盗。Meyniel猜想指出，对于$n$顶点上的每个连通图$G$，$G$的copnumber的上界为$O(\sqrt{n})$，即，$O(\sqrt{n})$足够抓住劫匪了我们提出了几个家庭的交换凯莱图是Meyniel极值，即，编号为$O(\sqrt{n})$的图形。这证明了Bradshaw证明的Cayley图的$O(\sqrt{n})$上界紧到一个乘法常数.特别是，这表明，Meyniel的猜想，如果真的，是紧的乘法常数，即使是阿贝尔凯莱图。为了证明这一结果，我们构造了$n$顶点上的Cayley图，其生成元是无$K_{2,3}$的$Ω(\sqrt{n})$.这表明Kövári，Sós，和Turán定理，说明任何$n$顶点的$K_{2,3}$ -free图最多有$O(n^{3/2})$边，即使是阿贝尔凯莱图也是紧到乘法常数的。
2019-09-06 math.CO
A Basic Elementary Extension of the Duchet-Meyniel Theorem
Hadwiger猜想暗示图的Hadwiger数$h$乘以图的独立数$α$至少等于图的顶点数$n$。在1982年Duchet和Meyniel证明了不等式的一个弱版本，用$2α-1$代替独立数$α$，即$$(2α-1)\cdot h \geq n.$$在2005年Kawarabayashi，Plummer和第二作者发表了定理的改进，当$α$至少为3时，用$2α- 3/2$代替$2α- 1$。从那时起，Kawarabayashi和Song得到了进一步的改进，当$α$至少为3时，用$2α- 2$代替$2α- 1$。本文给出了Duchet和Meyniel定理的一个基本初等推广。这可能有助于在寻求更实质性的改进时避免处理基本情况。主要未解决的问题（由于西摩）是改善，即使只是轻微的，杜歇和迈尼尔定理的情况下，独立数$α$等于2。Hadwiger猜想的$α= 2$是由Mader首先指出的一个有趣的特例。
2008-10-05 math.CO
Erratum : MCColor is not optimal on Meyniel graphs
Meyniel图是一个图，其中每个长度至少为5的奇数圈都有两个弦。在手稿“着色Meyniel图在线性时间”中，我们声称我们的算法MCColor为每个Meyniel图产生最佳着色。但后来我们发现了证明中的一个错误和最优性的一个反例，我们在这里提出。MCColor仍然可以用来找到一个稳定的集，相交的所有最大团的Meyniel图在线性时间。因此，它可以用于在时间O（nm）内找到最佳着色，并且同样适用于算法MCS+Color。这是解释的手稿“一个线性算法找到一个强大的稳定集的Meyniel图”，但这是相当于赫兹的算法。目前最好的Meyniel图的着色算法是O（n^2）算法LexColor，这是由Reisel和Rusu提出的。寻找一个线性时间算法来着色Meyniel图的问题仍然是开放的。
2006-01-09 cs.DM math.CO
Clique immersions in graphs of independence number two with certain forbidden subgraphs
本文研究独立数为2的图中的Lescure-Meyniel猜想，证明无特定长度洞的图及无某些小禁用子图的图均满足该浸入猜想。
2021-02-22 math.CO
Ehrhart clutters: Regularity and Max-Flow Min-Cut
如果C是具有n个顶点和q条边的杂波，其杂波矩阵具有列向量V={v1，.，vq}，我们称C为Ehrhart杂波，如果{（v1，1），.，(vq，1）}是希尔伯特基。设A（P）是P=conv（V）的Ehrhart环，我们能够证明：如果A是均匀、非混合MFMC杂波C的杂波矩阵，则C是Ehrhart杂波，并且在这种情况下，我们给出了A（P）的Castelnuovo-Mumford正则性的精确界。受Conforti-Cornuejols关于填充问题的猜想的启发，我们猜想：如果C既是理想图又是完美图的团簇，则C具有MFMC性质.通过证明Meyniel图的团杂波是Ehrhart杂波，证明了Meyniel图的团杂波是Ehrhart杂波.本着同样的精神，我们提供了一个简单的证明我们的猜想时，C是一个完美的图的均匀团杂波。我们关闭一个概括的Ehrhart杂波，因为它涉及到总的对偶完整性。
2010-04-04 math.AC math.CO
On a recolouring version of Hadwiger's conjecture
本文构造不含 K_t 子式但存在对 Kempe 变换冻结的 (3/2−ε)t 着色的图，从而否定 Las Vergnas 与 Meyniel 在1981年提出的三个相关猜想。
2025-03-13 cs.DM math.CO
The Abu-Khzam$\unicode{x2013}$Langston Conjecture for Graphs with $α(G) = 2$
Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文证明了 Abu-Khzam–Langston 猜想对于独立数为 2 的图类成立，并引入了图的环匹配着色概念，证明了在此设定下 Vizing 定理的一个加强形式。
2026-05-27 math.CO
Immersions and Albertson's conjecture
本文证明了Lescure-Meyniel关于弱浸入的猜想在顶点数至多$(1.64-o(1))k$的图上成立，并由此推进了Albertson猜想，即色数为k的图其交叉数至少为$cr(K_k)$。
2025-10-07 math.CO
Graphs with Large Girth and Small Cop Number
本文研究大围长或短圈少的图的警察数，证明其界限并推广Frankl工作，进而验证Meyniel猜想及弱Meyniel猜想在稠密图上的成立。
2024-07-19 math.CO
Cops and robbers in random graphs
我们考虑有限的，连通的，无向图称为警察和强盗的追求和规避对策。Meyniel指出，对于每个n个顶点的图，有足够多的警察可以赢得比赛。我们证明，这举行了一个log（n）的随机图G（n，p）的因素，如果p不是很小，这是接近紧，除非图是非常密集的。我们分析了区域防御策略（Aigner在可平面图的情况下使用），并给出了它不能太有效的例子。
2008-05-18 math.CO
A new bound for the cops and robbers problem
在这篇短文中，我们研究了在某个固定图$G$的顶点上进行的警匪博弈。警察和强盗被允许沿着$G$的边缘移动，警察的目标是抓住强盗。$G$的警察号码$c(G)$是赢得游戏所需的最低警察人数。Meyniel很久以前就证明了，对于$n$顶点上的任何连接的$G$，$O(\sqrt{n})$ cop就足够了。改进了已有的几个结果，证明了$n$ -顶点图的copnumber至多为$n 2^{-(1+o(1))\sqrt{\log n}}$ .
2010-04-12 math.CO
Lower Bounds for the Cop Number When the Robber is Fast
我们考虑了一个变形的警察和强盗的游戏，其中强盗可以移动t边的时间，并表明，在这个变形中，d-正则图的周长大于2 t +2的警察数是Ω（d^t）。通过已知的笼阶的上界，这意味着当t>1时，连通n-顶点图的cop数可以大到Omega（n^{2/3}），当t>3时，可以大到Omega（n^{4/5}）。当1<t<7时，这改进了Frieze、Krivelevich和Loh（Variations on Cops and Robbers，J.图论，2011）的Omega（n^{（t-3）/（t-2）}）下界。我们还猜想了这个变体中的cop数的一般上界O（n^{t/t+1}），推广了Meyniel猜想.
2011-05-10 math.CO
On the minimum order of k-cop-win graphs
本文研究了给定copnumber的最小阶图。证明了圈数为3的连通图的最小阶数为10，并证明了Petersen图是唯一具有此性质的图的同构类型.我们提供的计算搜索的结果的所有图的COP数，并包括10阶。给出了具有cop数的图的最小阶数$k$与Meyniel关于连通图的cop数的渐进最大值的猜想之间的关系。
2013-08-13 math.CO
Clique immersion in graphs without fixed bipartite graph
图$G$包含$H$作为\emph{immersion}，如果存在内射映射$ϕ: V(H)\rightarrow V(G)$，使得对于每个边$uv\in E(H)$，在$G$中存在连接顶点$ϕ(u)$和$ϕ(v)$的路径$P_{uv}$，并且所有路径$P_{uv}$，$uv\in E(H)$，是成对边不相交的。Lescure和Meyniel以及Abu-Khzam和Langston独立地提出的Hadwiger猜想的一个类似物表明，每个图$G$都包含$K_{χ(G)}$作为浸入。证明了对任意常数$\varepsilon>0$和整数$s,t\ge2$，存在$d_0=d_0(\varepsilon,s,t)$使得每个具有$d(G)\ge d_0$的无$K_{s,t}$图$G$包含一个阶为$(1-\varepsilon)d(G)$的团浸入.这意味着上述猜想对于没有固定的完全二部图的图是渐近成立的。
2022-07-31 math.CO
Catching a robber on a random $k$-uniform hypergraph
本文研究超图上的Cops and Robber游戏，证明了随机$k$-一致超图警察数的上界为$O(\sqrt{n/k}\log n)$，并猜想连通$k$-一致超图的警察数为$O(\sqrt{n/k})$。
2024-04-11 math.CO
The bunkbed conjecture holds in the $p\uparrow 1$ limit
设$G=(V,E)$是可数图。$G$的双层图是乘积图$G \times K_2$，其具有顶点集$V\times \{0,1\}$，该顶点集具有从$G$继承的“水平”边和连接每个$w \in V$的$(w,0)$和$(w,1)$的附加“垂直”边。Kasteleyn的双层床猜想指出，对于每个$u,v \in V$和$p\in [0,1]$，顶点$(u,0)$在双层床图上的伯努利- $p$键渗流下至少与$(v,0)$和$(v,1)$一样可能连接。证明了该猜想在$p \uparrow 1$极限下成立，即对每个有限图$G$都存在$\varepsilon(G)>0$，使得双层床猜想对$p \geqslant 1-\varepsilon(G)$成立.
2021-10-01 math.CO math.PR
Cops and robber in graphs with bounded vertex cover number
Carleton University（卡尔顿大学）；G-SCOP, CNRS, Université Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）
本文提出了一个基于顶点覆盖数的cop数上界，证明了具有有限顶点覆盖数的连通图的cop数为sublinear级别。
2026-02-07 cs.DM math.CO
Constructing graphs with no immersion of large complete graphs
在1989年，Lescure和Meyniel证明了，对于$d=5, 6$，每个$d$ -色图包含$K_d$的浸入，并且在2003年，Abu-Khzam和Langston证明了这对所有$d$都成立。2010年，DeVos、Kawarabayashi、Mohar和Okamura证明了$d = 7$的猜想。在每一个证明中，$d$ -色性假设都没有被充分利用，因为证明只使用了$d$ -临界图的最小度至少为$d - 1$的事实。DeVos、Dvotheiák、Fox、McDonald、Mohar和Scheide证明了一个更强的猜想，即一个具有最小度$d-1$的图对$d=10$和$d\geq 12$都有$K_d$的浸入，对于每个$d$值都有有限个例子，并且相对于$d$有小的色数，但证明了$200d$的最小度确实保证了$K_d$的浸入。本文证明了强猜想对$d=8,9,11$是假的，并给出了具有最小度$d-1$和色数$d-3$或$d-2$的不含$K_d$浸入的无穷多个例子.我们的例子可以达到$(d-2)$ -边连接。我们表明，使用Hajós的建设，有一个无限类的非$(d-1)$ -着色图，包含一个浸入的$K_d$。最后，我们提出了一些开放性问题，并猜想一个图$G$具有最小度$d - 1$和多于$\frac{|V(G)|}{1+m(d+1)}$度至少为$md$的顶点，它有$K_d$的浸入。
2012-06-07 math.CO
The bunkbed conjecture still holds for cactus graphs and for graphs with certain biconnected components
本文区分铺位床猜想的强弱版本，证明图满足猜想当且仅当其所有双连通分量满足，并据此确认仙人掌图等图类成立，还给出强版本反例的 minor 必要条件。
2025-06-10 math.CO math.PR
Independence number in triangle-free graphs avoiding a minor
著名的Hadwiger猜想指出，如果一个图不包含$K_{t+1}$子图，那么它是$t$ -列图。如果为真，则特别意味着每个$n$ -顶点$K_{t+1}$ -无子图具有大小至少为$n/t$的独立集。在1982年，Duchet和Meyniel证明了这个界在一个因子$2$内成立。他们的界限已经得到了改善;最值得注意的是福克斯的绝对因子，后来Balogh和Kostochka改进了它。在这里，我们考虑同样的问题，三角形的自由图。根据Shearer和Kostochka及Kesarason的结果，得出了任何不含$K_t$子图的无三角形图都有一个独立的大小为$Ω(\tfrac{\sqrt{\log{t}}}{t}n)$的集.我们发现，存在一个更大的独立集;对于所有足够大的$t$的$n$顶点没有$K_t$ -未成年人的每一个三角形自由图有一个独立的集的大小$ \tfrac{n}{t^{1-\varepsilon}}$。这回答了谢尔盖·诺林的一个问题。
2019-07-30 math.CO
On the cop number of graphs of high girth
我们建立了高围长图的cop数的一个下界，它是关于最小度的，更一般地说，是关于一定的增长条件的。特别地，我们证明了具有围长$g$和最小度$δ$的图的copnumber至少为$\tfrac{1}{g}(δ- 1)^{\lfloor \frac{g-1}{4}\rfloor}$ .对于有向图，我们也得到了类似的结果。虽然暴露了几个理由来证明在这个下界中的指数$\tfrac{1}{4}g$不能改进到$(\tfrac{1}{4}+\varepsilon)g$，但我们也能够证明它不能增加到超过$\frac{3}{8}g$。这是通过考虑某个Ramanujan图族而建立的。在我们的证明这个界限，我们还表明，“弱”Meyniel猜想持有有界度的扩展图家庭。
2020-05-21 cs.DM math.CO
Cops and robbers pebbling in graphs
Acadia University（阿卡迪亚大学）；Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）
本文提出警卫与强盗推石游戏，研究其推石数及图类中的上界、下界和精确值，并探讨相关猜想与新问题。
2026-08-13 cs.DM math.CO
The "Most informative boolean function" conjecture holds for high noise
对于高噪声$ε\ge 1/2 - δ$，证明了Courtade和Kumar的“信息量最大的布尔函数”猜想，其中$δ> 0$是一个绝对常数$δ> 0$ .也就是说，如果$X$均匀分布在$\{0,1\}^n$中，并且$Y$是通过以概率$ε$独立地翻转$X$的每个坐标而获得的，那么，对于任何布尔函数$ε\ge 1/2 - δ$，如果$ε\ge 1/2 - δ$成立，则$I(f(X);Y) \le 1 - H(ε)$成立。这个猜想以前只适用于平衡函数。
2015-10-29 cs.IT math.CO math.IT
The Merino-Welsh Conjecture holds for Series-Parallel Graphs
Merino-Welsh猜想认为，图的生成树的个数不大于该图的全循环定向和非循环定向的个数中的最大值.我们证明了这个猜想的系列平行图类。
2013-03-26 math.CO
Borodin-Kostochka Conjecture holds for odd-hole-free graphs
本文证明了Borodin-Kostochka猜想在无奇洞图上成立，即当最大度至少为9时，色数不超过最大度减1与团数的较大者。
2023-10-11 math.CO
Brouwer's conjecture holds asymptotically almost surely
我们证明了，对于随机图序列，当顶点数趋于无穷大时，Brouwer猜想的概率趋于1。令人惊讶的是，发现类似的陈述也适用于可能具有负权重的加权图。对于顶点数固定的图，这个结果意味着存在常数$C>0$和$n_{0}$，使得如果$n\geq n_{0}$，则在所有顶点数为$n$的$2^{n \choose 2}$图中，至少有$\left(1-\exp\left(-Cn\right)\right)2^{n \choose 2}$图满足Brouwer猜想.
2019-06-12 math.CO
The 1-2-3 Conjecture almost holds for regular graphs
著名的1-2-3猜想断言，每个没有孤立边的图的边都可以用$1$、$2$和$3$加权，使得邻顶点的加权度不同。这通常是开放的，而从权重集$\{1,2,3,4,5\}$已知是可能的。我们证明了对于正则图，使用权值$1$，$2$，$3$，$4$是足够的。此外，我们还证明了对于每一个具有$d\geq 10^8$的$d$ -正则图，这个猜想都成立.
2019-12-18 math.CO
Union-closed Sets Conjecture Holds for Height No More Than 3 and Height No Less Than N-1
对于任意给定的n元m集并闭族F，利用格论中的一个自然参数UC族的高数，讨论了并闭集猜想.本文称之为F（n，m）的高度数，记为H（F）.证明了对任意给定的并闭族F，若其高数H（F）不大于3或不小于小于n-1，则并闭集猜想成立.由于高度数H（F）是界于1至n之间的正整数。作为一种尝试性的方法和框架，如果我们能证明并闭集猜想对H（F）的所有可能值都成立，那么并闭集猜想就是真的。
2022-04-09 math.CO
The Merrifield-Simmons conjecture holds for bipartite graphs
设$G = (V, E)$是一个图，$σ(G)$是$G$中独立顶点集的个数.然后Merrifield-Simmons猜想指出，项$σ(G_{-u}) \cdot σ(G_{-v}) - σ(G) \cdot σ(G_{-u-v})$的符号仅取决于$G$中的顶点$u, v \in V$的距离的奇偶性。我们证明了猜想成立的二部图考虑一个推广的术语，其中顶点子集，而不是顶点被删除。
2010-09-24 math.CO
Dejean's conjecture holds for n >= 30
我们扩展了Carpi的结果，证明了Dejean猜想对n >= 30成立。
2009-01-06 cs.FL math.CO
Rota's Basis Conjecture holds asymptotically
罗塔基猜想是拟阵理论中的一个著名问题，它指出对于秩$n$拟阵中的任何$n$基的集合，可以将所有元素分解为$n$不相交的彩虹基。这里证明了这一点的渐近版本。我们表明，它是可能的，以找到$n-o(n)$不相交的彩虹独立集的大小$n-o(n)$。
2020-08-13 math.CO
Dejean's conjecture holds for n>=27
我们证明了当n>=27时，Dejean猜想成立。这使得最终的解决方案的猜想的Moulin Ollagnier的方法在计算上可行的范围内。
2009-07-09 cs.FL math.CO
The CLLC conjecture holds for cyclic outer permutations
最近，Gross等人对图的亏格分布的局部对数分布提出了LLC猜想，并对某些置换合成的生成函数计数循环的对数分布提出了一个等价的组合形式CLLC猜想。本文借助于Hultman数和第一类Stirling数的生成函数的Hermite-Biehler定理，证明了关于轮换的CLLC猜想.这导致了进一步的猜想，每个局部亏格多项式是实根的。
2015-11-10 math.CO
Proving Norine's Conjecture holds for $n=7$ via SAT solvers
针对 $n$ 维立方体图对跖红/蓝边着色中是否必有对跖顶点由单色路径相连的问题，本文使用 SAT 求解器将 Norine 猜想的成立范围从 $n\le 6$ 推进到 $n=7$。
2024-08-05 math.CO
The Gamma-Theta Conjecture holds for planar graphs
本文证明了Gamma-Theta猜想对平面图成立，即当平面图的支配数等于永恒支配数时，它也等于团覆盖数。
2025-06-28 math.CO
A note on Reed's conjecture
在\cite{reed97}中，Reed证明了不等式$χ(G) \leq \left \lceil \textstyle {1/2} (ω(G) + Δ(G) + 1) \right \rceil$对任何图$G$都成立。我们证明了这对图$G$成立，如果$\bar{G}$是不连通的。由此推论，猜想对具有$χ(G) > \left \lceil \frac{|G|}{2} \right \rceil$的图成立。此外，该猜想对具有$Δ(G) \geq |G| - \sqrt{|G| + 2α(G) + 1}$的图也成立.特别地，里德猜想对具有$Δ(G) \geq |G| - \sqrt{|G| + 7}$的图成立。利用这些结果，我们继续表明，如果$|G|$是一个偶数阶反例里德猜想，那么$\bar{G}$有一个1-因子。因此，对于任何偶数阶图$G$，如果$χ(G) > \textstyle {1/2}(ω(G) + Δ(G) + 1) + 1$，则$\bar{G}$被匹配覆盖。
2006-04-24 math.CO
The union-closed sets conjecture almost holds for almost all random bipartite graphs
弗兰克尔的并闭集猜想指出，在每一个集合的有限并闭集中，有一个元素包含在至少一半的成员集中（假设至少有两个成员）。这个猜想在图的方面有一个等价的公式：在每个至少有一条边的二部图中，两个色类都包含一个至多属于一半的最大稳定集的顶点。证明了对任意固定的边概率，几乎任意的随机二部图几乎满足Frankl猜想。
2013-02-28 math.CO
The Buratti-Horak-Rosa Conjecture Holds for Some Underlying Sets of Size Three
Buratti-Horak-Rosa猜想是关于点标号为$0, 1, \ldots, {v-1}$的完全图中Hamilton路在特定的诱导边标号下可能的边标号多集的猜想。当多重集的基础集的大小至多为~2，是$\{1,2,3,4\}$或$\{1,2,3,5\}$的子集，或者是$\{1,2,6\}$，$\{1,2,8\}$或$\{1,4,5\}$，以及许多其他基础集的部分结果时，该猜想成立。我们使用的方法的增长实现表明，该猜想持有的每个底层集$U = \{ x,y,z \}$时，$\max(U) \leq 7$或$xyz \leq 24$，与可能的例外$U = \{1,2,11\}$。我们还表明，对于任何甚至$x$的有效性的猜想的基础集$\{ 1,2,x \}$如下的有效性的猜想的多个多重与这个基础集。
2022-02-15 math.CO
The perfect 1-factorisation conjecture holds asymptotically
Universität Passau（帕绍大学）
研究Anton Kotzig关于完全图Kn的完美1-因子分解猜想，通过证明Kn可分解为n - 1个完美匹配，其中(1 - o(1))n个匹配中任意一对都能形成哈密顿圈，得出该猜想渐近成立的结论。
2026-07-13 math.CO
Proof of Brouwers Conjecture (BC) for all graphs with number of vertices n > n_0 assuming that BC holds for n< n_0 for some n_0
在假设小图满足Brouwers猜想的前提下，证明了所有顶点数大于某个固定阈值n_0的图也满足该猜想。
2025-04-22 math.CO
Hadwiger's conjecture holds for strongly monotypic polytopes
LIRMM, Université de Montpellier（蒙彼利埃大学 LIRMM 实验室）
本文证明了强单型多面体满足哈迪格猜想，核心方法是利用多面体的结构特性，主要贡献是扩展了猜想的应用范围。
2024-03-28 math.CO math.MG
A generalisation of Seymour's second neighbourhood conjecture
本文将Seymour的第二邻域猜想推广到顶点集上的两个有向图。我们证明，这种泛化的情况下，比赛，我们表明，自然加强这一猜想不成立。
2020-01-20 math.CO
The lonely runner conjecture holds for nine runners
LIRMM, Univ Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学国家科学研究中心信息、语言与媒体实验室）
本文证明了九名跑者情况下孤独跑者猜想成立，通过改进原有方法实现了证明。
2026-01-27 cs.DM math.CO math.NT
The Merrifield-Simmons conjecture also holds for parity graphs
Merrifield-Simmons图描述了单图$G$中顶点的距离与顶点删除子图中独立集的个数（记为$σ(G)$）之间的关系.即，项$σ(G_{-u}) \cdot σ(G_{-v}) - σ(G) \cdot σ(G_{-u-v})$的符号仅取决于$G$中$u$和$v$的距离的奇偶性。我们证明了这一说法的情况下，奇偶图，并给出了一些证据，这一结果可能不会进一步推广到其他类别的图。
2014-01-08 math.CO
Enomoto and Ota's conjecture holds for large graphs
在2000年，Enomoto和Ota证明了：如果图$G$满足$σ_{2}(G) \geq n + k - 1$，则对于任何$k$顶点集$v_{1}, \dots, v_{k}$和任何正整数$\sum n_{i} = |G|$，存在$V(G)$到$k$路径$P_{1}, \dots, P_{k}$的划分，使得$v_{i}$是$P_{i}$的一个端点，并且对于所有$i$，存在$|P_{i}| = n_{i}$.当$|G|$较大时，我们证明了这个猜想.我们的证明使用正则引理以及几个极值引理，最后用一个吸收参数来检索行为不端的顶点。
2014-08-02 math.CO
The Fuglede Conjecture holds in \(\F_p^3\) for p=5,7
对于p = 5，7，我们证明了一个子集\(E \subset \F_p^3\)是谱的当且仅当E通过平移而平铺\(\F_p^3\).此外，我们给出了另一个证明，该猜想成立的p = 3。
2019-06-10 math.CA math.CO
Bollobás-Nikiforov conjecture holds asymptotically almost surely
该研究针对Bollobás-Nikiforov提出的图邻接矩阵特征值与边数、团数关系的猜想，证明了在随机图序列中，当顶点数趋于无穷时，该猜想成立的概率趋于1，即猜想渐近几乎必然成立。
2025-01-13 math.CO
The Komlos Conjecture Holds for Vector Colorings
差异理论中的Komlos猜想指出，对于某个常数K和任何列位于单位球中的m × n矩阵A，存在+/- 1向量x，使得Ax的无穷范数上界于K。这个猜想也蕴涵了关于有界度超图的差异性的Beck-Fiala猜想。在这里，我们证明了一个自然放松的科姆洛斯猜想：如果列A被分配单位实向量，而不是+/- 1，那么科姆洛斯猜想与K=1。我们的结果排除了基于半定规划的猜想的反例的可能性。它也开辟了一条道路，证明更紧密有效的（多项式时间可计算）上界的猜想使用半定规划技术。
2013-08-01 cs.DM math.CO
The Total Coloring Conjecture holds for planar graphs without three special subgraphs
本文证明全染色猜想对最大度为六且不含蘑菇、帐篷和锥体三种子结构的平面图成立，从而推广了此前关于禁止4-扇的结果。
2025-07-17 math.CO
Vizing's edge-recoloring conjecture holds
1964年Vizing证明了从图G的任意k-边染色出发，仅用Kempe交换就可以得到G的（$Δ$ + 1）-边染色，其中$Δ$是G的最大度。一年后，他证明了如果存在G的一个边，那么也可以得到G的一个$Δ$ -边染色。Bonamy et. al证明了该猜想对于无三角形图的情形是成立的。在本文中，我们证明了所有图的猜想。
2023-02-24 cs.DM math.CO
Rota's basis conjecture holds for random bases of vector spaces
在1989年，Rota证明了，给定$n$基$B_1,\dots,B_n$的向量空间$\mathbb{F}^n$在某个域$\mathbb{F}$上，人们总是可以将多集$B_1\cup \dots \cup B_n$分解成横截基。这个猜想仍然是开放的，尽管有很多的关注。本文考虑随机基$B_1,\dots,B_n$的设置。更具体地说，我们的第一个结果表明，罗塔的基础猜想成立概率$1-o(1)$作为$n\to \infty$，如果基$B_1,\dots,B_n$是独立均匀随机选择的所有基地之间的$\mathbb{F}_q^n$为一些有限域$\mathbb{F}_q$（类似的结果是平凡的真正的一个无限域$\mathbb{F}$）。换句话说，这个猜想对几乎所有基$B_1,\dots,B_n\subseteq \mathbb{F}_q^n$的选择都成立。我们的第二个更一般的结果涉及给定有限子集$S\subseteq \mathbb{F}$的随机基$B_1,\dots,B_n\subseteq S^n$（换句话说，所有向量都在$S$中有条目的基$B_1,\dots,B_n$）。我们表明，当选择基地$B_1,\dots,B_n\subseteq S^n$独立均匀随机所有基地的子集$S^n$，然后再次罗塔的基础猜想举行概率$1-o(1)$为$n\to \infty$。
2022-03-31 math.CO
Fuglede's conjecture holds in $\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p^{n}}$
Fuglede猜想指出，对于局部紧阿贝尔群$G$的一个子集$Ω$，它具有正的和有限的Haar测度，存在$G$的对偶群的一个子集，它是$L^{2}(Ω)$的一个正交基当且仅当它通过平移平铺群。本文证明了$\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p^{n}}$中集合的一个整除性质。然后利用整除性和等分布性证明了Fuglede猜想在群$\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p^{n}}$中成立。
2021-10-01 math.CA math.CO
Lexicographic shellability, matroids and pure order ideals
在1977年Stanley证明了拟阵独立复形的$h$ -向量是纯$O$ -序列。在本文中，我们使用字典序壳拟阵激发组合加强斯坦利猜想。这表明纯的$O$ -序列可以由脱壳产生的组合数据构建。然后，我们证明，我们的猜想持有拟阵的秩最多为4，解决排名四的情况下斯坦利的猜想。在一般情况下，我们证明，如果我们的猜想成立的所有秩$d$拟阵上最多$2d$元素，那么它成立的所有拟阵。
2014-06-08 math.CO
