Large matchings in bipartite graphs have a rainbow matching
令$g(n)$为使得二部图中的每个$n$匹配集合（每个的大小至少为$g(n)$）具有全彩虹匹配的最小数。Aharoni和Berger \cite{AhBer}证明了每个$n>1$的$g(n)=n+1$。这概括了Ryser，Brualdi和Stein的着名作品。最近，Aharoni，Charbit和Howard \cite{ACH}证明了$g(n)\le\lfloor\frac{7}{4}n\rfloor$。我们证明了$g(n)\le\lfloor\frac{5}{3} n\rfloor$ .
2013-10-21 math.CO
Short proofs of rainbow matching results
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到欧拉关于拉丁方的工作，并一直是广泛研究的焦点。这方面的许多著作大致说，“某种类型的每一个边着色图都包含一个使用每一种颜色匹配的彩虹”。在本文中，我们介绍了一个通用的“抽样技巧”，它使我们能够获得简短的证明旧的结果，以及解决渐近一些众所周知的programmures。- 我们给出了Pokrovskiy的渐近版本的Aharoni-Berger猜想的一个简单的证明，大大改善了误差项。- 我们给出了“非二分”Aharoni-Berger猜想的第一个渐近证明，解决了Aharoni，Berger，Chudnovsky和Zerbib的两个猜想。- 我们给一个很短的渐近证明格林布拉特猜想（首先获得克莱门斯，Eschermüller，和Pokrovskiy）。此外，我们还得到了Grinblat问题的一个新的渐近紧界作为相应的重图的边重数的函数。- 我们给第一个渐近证明的一个30岁的猜想Alspach。
2021-09-02 math.CO
Further approximations for Aharoni's rainbow generalization of the Caccetta-Häggkvist conjecture
本文研究 Aharoni 对 Caccetta-Häggkvist 猜想的彩虹推广，将每个颜色类大小的下界从 Ω(k log k) 改进为 Ω(k)，证明此时仍存在长度至多 ⌈n/k⌉ 的彩虹环，并进一步讨论了颜色数量条件放宽后的情形。
2023-08-10 math.CO
Improved bounds for the triangle case of Aharoni's rainbow generalization of the Caccetta-Häggkvist conjecture
本文改进了Aharoni关于Caccetta-Häggkvist猜想彩虹推广的三角形式界，证明了(1.1077,1/3)、(1,0.3988)及(1.3481,1/4)等参数对是三角的。
2023-09-11 math.CO
Counterexamples on matchings in hypergraphs and full rainbow matchings in graphs
如果存在一个匹配的$M$，它恰好包含每种颜色的一条边，则边被着色（不一定正确）的图$G$包含全彩虹匹配。我们驳斥了Aharoni和Berger等人关于超图中的匹配和图中的全彩虹匹配的几个论点。
2017-10-13 math.CO
Rainbow matchings in properly-coloured multigraphs
Aharoni和Berger指出，在任何被$n$颜色正确边着色的二部多重图中，每种颜色至少有$n + 1$边，必须有一个匹配，它只使用每种颜色一次。在本文中，我们考虑同样的问题，没有二分性假设。我们证明了在任何边重$o(n)$是正确的边着色的$n$颜色与至少$n + o(n)$边缘的每种颜色，必须有一个匹配的大小$n-O(1)$，使用每种颜色最多一次。
2017-10-09 cs.DM math.CO
Full rainbow matchings in graphs and hypergraphs
设$G$是一个单图，它的边用$m$颜色着色，$\M=\{M_1,\ldots, M_m\}$是由$G$中的颜色诱导的$m$匹配的集合。假设$m\le n-n^{c}$（其中$c>9/10$）和$\M$中的每个匹配的大小为$n$。则$G$包含完整的彩虹匹配，即\对于每个$1\le i\le m$，包含来自$M_i$的恰好一个边缘的匹配。这回答了Pokrovskiy的一个公开问题，并对Aharoni和Berger猜想的特殊情况的概括给出了肯定的回答。相关的结果也被发现与边的有界重，超图。最后，我们提供了反例的几个完整的彩虹匹配Aharoni和Berger。
2018-06-22 math.CO
Rainbow matchings and rainbow connectedness
Aharoni和Berger证明了每个由n个大小为n + 1的匹配组成的二部图都包含一个大小为n的彩虹匹配。这个猜想是Ryser、Brualdi和Stein关于拉丁方中横截的几个老猜想的推广。最近关于Aharoni-Berger猜想有许多部分结果。在匹配比n + 1大得多的情况下，最佳界目前是由克莱门斯和埃塞尔米勒证明的，当匹配的大小至少为3 n/2 + o（n）时，他们证明了这个猜想。当匹配都是边不相交和完美的，那么最好的结果来自Häggkvist和Johansson的定理，该定理暗示了当匹配的大小至少为n + o（n）时的猜想。在本文中，我们证明了该猜想是正确的，当匹配的大小为n + o（n），都是边不相交（但不一定完美）。当匹配的大小至少为$ϕn + o(n)$时，我们也给出了另一个证明该猜想的论证，其中$ϕ\approx 1.618$是黄金分割比。我们的证明涉及到研究有色的，有向图的连通性。我们引入的连通性概念是新的，也许是独立的兴趣。
2015-04-21 math.CO
Short rainbow cycles in edge-colored graphs
本文扩展了Guo关于Aharoni彩虹圈猜想的研究，证明了当边着色图中超过半数的颜色类为大小为2的匹配或三角形时，必然存在长度为 $O(\log n)$ 的短彩虹圈，并验证了该对数界的数量级正确性。
2023-11-21 math.CO math.PR
Short rainbow cycles for families of small edge sets
本文扩展相关结果，证明小比例非星型颜色类即可保证图的对数级彩虹围长，还确定了彩虹围长从线性过渡到对数级的颜色类类型阈值比例。
2025-07-06 cs.DM math.CO
Rainbow even cycles
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Peking University（北京大学）
研究证明了对于固定n顶点集中的偶环族，存在彩虹偶环，解决了Aharoni等人提出的问题，且结果对所有正整数n最优。
2024-02-01 math.CO
A better bound on the size of rainbow matchings
Aharoni和Howard证明了，对于正整数$n,k,t$与$n\ge k$和$n\ge t$，如果$F_1,\ldots, F_t\subseteq {[n]\choose k}$使得$|F_i|>{n\choose k}-{n-t+1\choose k}$对于$i\in [t]$，则存在$e_i\in F_i$对于$i\in [t]$使得$e_1,\ldots,e_t$是成对不相交的。Huang、Loh和Sudakov为$t<n/(3k^2)$证明了这个猜想。在本文中，我们证明了这个猜想成立的$t\le n/(2k)$和$n$足够大。
2021-02-19 math.CO
How many colors guarantee a rainbow matching?
给定多重超图的边的着色，彩虹t-匹配是t个不相交的边的集合，每个边具有不同的颜色。本文研究了在边着色为f色的r-部r-一致多重超图中寻找彩虹$t$ -匹配的问题，使得每个色类都是一个大小为t的匹配.这个问题是由Aharoni和Berger提出的，他们要求确定保证彩虹匹配的最小颜色数量。我们改进了已知的上界为这个问题的所有值的参数。特别地，对于每个固定的r，我们给出了一个关于t的多项式的上界，改进了Alon的超指数估计.我们的证明也适用于不要求超图是r-部的情况。
2012-11-05 math.CO
Rainbow independent sets on dense graph classes
给定图中的独立集族$\mathcal{I}$，彩虹独立集是独立集$I$，使得存在注入$ϕ\colon I\to \mathcal{I}$，其中对于每个$v\in I$，$v$包含在$ϕ(v)$中。Aharoni、Briggs、J. Kim和M.某些图类中的Kim [Rainbow]独立集。arXiv：1909.13143]针对各种图类$\mathcal{C}$确定$\mathcal{C}$是否满足以下性质：对于每个$n$，存在$N=N(\mathcal{C},n)$，使得$\mathcal{C}$中的图中的大小为$n$的$N$独立集的每个族包含大小为$n$的彩虹独立集。在本文中，我们增加了两个稠密的图类满足这一性质，即有界邻域多样性的图类和有界扩张类中的$r$ -权力的图类。
2021-04-09 math.CO
Rainbow version of the Erd\H os Matching Conjecture via Concentration
我们说$[n]$的$k$元素子集的家族$\mathcal F_1,\ldots, \mathcal F_{s+1}$是交叉依赖的，如果没有成对不相交的集合$F_1,\ldots, F_{s+1}$，其中$F_i\in \mathcal F_i$对于每个$i$。彩虹版本的Erd \H os匹配猜想由于Aharoni和霍华德和独立的黄，Loh和Sudakov国家，$\min_{i} |\mathcal F_i|\le \max\big\{{n\choose k}-{n-s\choose k}, {(s+1)k-1\choose k}\big\}$为$n\ge (s+1)k$。本文对$n>3e(s+1)k$和$s>10^7$证明了这个猜想。证明的主要工具之一是Frankl和作者提出的一个浓度不等式。
2022-05-12 math.CO
Rainbow Pancyclicity in Graph Systems
令$G_1,...,G_n$是在相同顶点集上的图，其大小为$n$，每个图具有最小度$δ(G_i)\ge n/2$。Aharoni最近的一个猜想断言存在一个彩虹Hamilton圈，即边集为$\{e_1,...,e_n\}$的圈，使得对于$1\leq i \leq n$，$e_i\in E(G_i)$。这可以被看作是著名的狄拉克定理的彩虹版本。本文证明了这一猜想的渐近性，证明了对每个$\varepsilon>0$，都存在一个整数$N>0$，使得当$n>N$对任何图$G_1,...,G_n$在与$δ(G_i)\ge (\frac{1}{2}+\varepsilon)n$相同的顶点集上时，都存在一个彩虹Hamilton圈.我们的主要工具是吸收技术。此外，我们证明，与$δ(G_i)\geq \frac{n+1}{2}$为每个$i$，可以找到彩虹周期的长度$3,...,n-1$。
2021-02-20 math.CO
Short rainbow cycles in graphs and matroids
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）；Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Douglas College（道格拉斯学院）；Monash University（莫纳什大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；UNAM campus Juriquilla（墨西哥国立自治大学希奎拉校区）
研究简单\(n\)顶点图\(G\)在特定边着色下的彩虹圈问题，证明存在长度至多为\(\lceil \frac{n}{2} \rceil\)的彩虹圈，解决了相关猜想的特殊情况，且该结果对余图拟阵成立，对二元拟阵不成立。
2026-07-29 cs.DM math.CO
Rainbow fractional matchings
我们证明了在$r$ -均匀超图中，任何一个具有$n$大小的分数匹配的边集合的族$E_1, \ldots , E_{\lceil rn \rceil}$（不一定是不同的）都具有$n$大小的彩虹分数匹配（即，来自不同的$E_i$的支持这种分数匹配的边集合）.当超图是$r$ -partite且$n$是整数时，所需的集合数从$rn$降到$rn-r+1$ .这里解决的问题是一个分数版本的相应问题的彩虹匹配，这是解决了由Drisko和Aharoni和Berger的情况下，二部图，但开放的一般图以及$r$ -部超图与$r>2$。我们的拓扑证明是基于Kalai和Meshulam关于同一顶点集上的单纯复形和拟阵的一个结果。
2019-05-06 math.CO
Short rainbow cycles for families of matchings and triangles
本文研究了边集族中彩虹圈的长度问题，证明了在混合包含大小为2的匹配或三角形的情况下，彩虹圈长度渐近为O(log n)，并确定了引入单边时彩虹周长从线性变为对数的阈值比例。
2024-09-24 cs.DM math.CO
Rainbow variations on a theme by Mantel: extremal problems for Gallai colouring templates
本文完全确定了保证彩虹三角形存在的边密度阈值，解决了Aharoni等人提出的问题，推广了极值Gallai着色模板的先前结果，并证明了Frankl等人的猜想。
2024-02-08 cs.DM math.CO
On a rainbow version of Dirac's theorem
本文证明当图族中每个图的最小度至少为顶点数一半时，存在一个横贯图构成哈密顿圈，并推广到完美匹配，证实了 Aharoni 的猜想。
2023-09-06 math.CO
On the rainbow matching conjecture for 3-uniform hypergraphs
Aharoni和Howard，以及Huang、Loh和Sudakov分别提出了Erdabos匹配猜想的彩虹版本：对于正整数$n,k,m$和$n\ge km$，如果每个$F_1,\ldots, F_m\subseteq {[n]\choose k}$族的大小都大于$\max\{\binom{n}{k} - \binom{n-m+1}{k}, \binom{km-1}{k}\}$，则存在两两不相交的子集$e_1,\dots, e_m$，使得对于所有$i\in [m]$都有$e_i\in F_i$。我们证明了存在一个绝对常数$n_0$，使得这个彩虹版本对$k=3$和$n\geq n_0$成立。我们将彩虹匹配问题转化为一个特殊超图$H$上的匹配问题。然后，我们结合了几个现有的技术匹配均匀超图：找到一个吸收匹配$M$在$H$ ;使用阿隆等人的随机化过程。找到一个几乎正则子图的$H-V(M)$ ;并找到一个几乎完美的匹配在$H-V(M)$。为了完成这个过程，我们还需要证明一个关于3-一致超图中匹配的新结果，这个结果可以被看作是Jumuczak和Mieczkowska的结果的稳定性版本，并且可能是独立的。
2021-09-29 math.CO
Bounded degree graphs and hypergraphs with no full rainbow matchings
Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo（滑铁卢大学组合优化系）；Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）
本文通过构造特定边染色的多超图，证明了全彩虹匹配定理的最优性，并推翻了相关猜想，同时展示了颜色度推广的Galvin定理不成立。
2025-12-18 math.CO
Rainbow Arborescence Conjecture
Department of Mathematical and Computing Science, School of Computing, Institute of Science Tokyo（数学与计算科学系，计算学院，东京科学研究所）
彩虹树猜想研究了由n-1个spanning arborescences组成的图中是否存在一个使用每个弧恰好一次的arborescence，并证明了相关计算问题的NP完全性及在特定情况下的成立性。
2025-12-09 cs.DM cs.DS math.CO
Rainbow independent sets in graphs with maximum degree two
给定一个图$G$，设$f_{G}(n,m)$是使$G$中每个$k$独立的$n$ -集都有彩虹$m$ -集的最小数.设$\mathcal{D}(2)$是所有最大度不超过2的图的族。Aharoni等人（2019）证实了（i）所有图$G\in\mathcal{D}(2)$的$f_G(n,n-1)=n-1$和（ii）$t\ge 2n+1$的$f_{C_t}(n,n)=n$。Lv和Lu（2020）证明了当$t=2n+1$时猜想（ii）成立。在这篇文章中，我们证明了猜想（ii）对$t\ge\frac{1}{3}n^2+\frac{44}{9}n$成立。令$C_t$是长度为$t$的循环，其顶点按顺时针顺序排列。$C_t$上的有序集$I=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$称为$C_t$的$2$ -跳独立$n$ -集，如果对任何$1\le i\le n-1$有$a_{i+1}-a_i=2\pmod{t}$.我们还表明，收集2-跳跃独立的$n$ -集$\mathcal{F}$的$C_t$与$|\mathcal{F}|=n$承认彩虹独立的$n$ -集，即（ii）举行，如果我们限制$\mathcal{F}$的家庭2-跳跃独立的$n$ -集。此外，我们证明了如果猜想（ii）成立，则猜想（i）对所有具有$c_e(G)\le 4$的图$G\in\mathcal{D}(2)$成立，其中$c_e(G)$是$…
2021-08-23 math.CO
Large rainbow matchings in edge-colored graphs
University College London (UCL)（伦敦大学学院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
通过放宽颜色数量、正常着色条件和图类型，证明了在边着色图中存在大彩虹匹配的充分条件，并构造反例反驳了Aharoni和Berger的猜想。
2026-05-27 math.CO
Rainbow Connection Number of Graph Power and Graph Products
一个连通图G的彩虹连通数rc（G）是使G的每对顶点至少有一条路相连，且没有两条边的颜色相同所需的最小颜色数（注意，着色不一定是正确的）。本文研究了关于图的三种重要的积运算（即笛卡儿积、字典序积和强积）和图的乘方运算的彩虹联络数。在这个方向上，我们证明了如果G是一个图，通过对非平凡图应用上述任何运算得到，则rc（G）<= 2 r（G）+c，其中r（G）表示G的半径，c \in {0，1，2}.一般来说，无桥图的彩虹连接数可以高达其半径的平方[Basavaraju et.等人，2010年]。这是一个尝试，以确定一些图类的彩虹连接数非常接近明显的下界的直径（从而半径）。所报告的界限是紧的加法常数。证明是建设性的，因此产生多项式时间（2 + 2/r（G））因子逼近算法。
2011-07-22 cs.DM math.CO
Rainbow Connection Number and Connected Dominating Sets
连通图G的彩虹连通数rc（G）是使G的每对顶点至少有一条路连通，且没有两条边的颜色相同所需的最小颜色数.本文证明了对每个最小度至少为2的连通图G，彩虹连通数的上界为γ c（G）+ 2，其中γ c（G）是G的连通控制数.对于许多特殊的图类，直径（G）\leq rc（G）\leq直径（G）+ c，1 \leq c \leq 4形式的界作为这个结果的简单推论。这包括区间图、无AT图、圆弧图、阈值图和链图，所有这些图的最小度至少为2并且是连通的。我们还证明了每一个无桥弦图G都有rc（G）\leq 3.radius（G）.在大多数情况下，我们还证明了边界的紧密性。将这一思想推广到两步控制集上，证明了对任意n阶最小度为δ的连通图，彩虹连通数的上界为3 n/（δ + 1）+ 3.这解决了Schiermeyer（2009）的一个公开问题，改进了Krivelevich和Yuster（2010）以前最著名的20 n/δ的界限。此外，通过Caro et al.（2008）的构建，该界限被认为是紧到加性因子。
2010-10-12 cs.DM math.CO
The 3-rainbow index and connected dominating sets
边有色图中的树称为彩虹树，如果树的两条边不具有相同的颜色。$G$的边着色称为3-彩虹，如果对于$G$中的任意三个顶点，存在一个连接它们的彩虹树. $G$的3-彩虹指数$rx_3(G)$被定义为$G$的3-彩虹着色中所需的颜色的最小数量。这一概念由Chartrand等人提出，可以被看作是彩虹连接的一种概括。本文利用连通三向控制集和3-控制集研究了3-彩虹指标。我们证明了对于$n$上的每个连通图$G$，其最小度至少为$δ$（$3\leqδ\leq5$），$rx_{3}(G)\leq \frac{3n}{δ+1}+4$，并且其界紧到一个加法常数;而对于$n$上的每个连通图$G$，其最小度至少为$δ$（$δ\geq3$），我们得到$rx_{3}(G)\leq n\frac{ln(δ+1)}{δ+1}(1+o_δ(1))+5$ .此外，我们还对一些特殊的图类，包括阈值图、链图和区间图，得到了3-彩虹指数的一些紧上界。
2014-04-14 math.CO
On the proper rainbow saturation numbers of cliques, paths, and odd cycles
本文研究了图的正常彩虹饱和数，确定了路及 $K_4$ 的该数值，并对更大团、特定树和奇圈的情况给出了界。
2024-10-15 math.CO
On Rainbow Connection Number and Connectivity
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是给它的边着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条路径连接，在这条路径中没有两条边被着色相同。本文研究了彩虹连通数与顶点连通度和边连通度的关系。已经知道，对于具有最小度$δ$的连通图，彩虹连接数的上界为$3n/(δ+ 1) + 3$ [Alberran et al.，2010年]。这直接给出了彩虹连通数的$3n/(λ+ 1) + 3$和$3n/(κ+ 1) + 3$的上界，其中$λ$和$κ$分别表示图的边连通度和点连通度.我们表明，上述边界的边缘连接是紧的加法常数，并表明，在顶点连接的边界可以提高到$(2 + ε)n/κ+ 23/ ε^2$，任何$ε> 0$。我们猜想彩虹连接数是由$n/κ+ O(1)$定义的上界，并证明了对$κ= 2$也是如此.我们还表明，该猜想是真实的弦图和图的围长至少为7。
2011-05-28 math.CO
Leray numbers of complexes of graphs with bounded matching number
给定顶点集$V$上的图$G$，$G$的非匹配复形$\mathsf{NM}_k(G)$是匹配数$ν(G')$严格小于$k$的子图族$G' \subset G$。为了将Linusson，Shareshian和Welker关于$\mathsf{NM}_k(K_n)$和$\mathsf{NM}_k(K_{r,s})$同伦类型的结果推广到任意图PDMATHAMM，我们证明了（i）$\mathsf{NM}_k(G)$是$(3k-3)$，（ii）如果PDMATHAMM是二部图，则$\mathsf{NM}_k(G)$是$(2k-2)$-Leray.这个结果是通过分析复体$\mathsf{NM}_k(G)$的非空面的链的同调得到的，当$G$是二分的时，它在所有维度$d\geq 3k-4$和所有维度$d \geq 2k-3$中消失。作为推论，我们有如下彩虹匹配定理，它推广了Aharoni，Berger，Chudnovsky，Howard和Seymour的结果：设$E_1, \dots, E_{3k-2}$是图的非空边子集，并假设对每个$i\ne j$有$ν(E_i\cup E_j)\geq k$.然后$E=\bigcup E_i$有一个大小为$k$的彩虹匹配。当$E$是二部图的边集时，边集$E_i$的个数可以减少到$2k-1$。
2022-02-03 math.CO
On the rainbow vertex-connection
Krivelevich和Yuster引入了一个顶点着色图，如果任意两个顶点之间有一条路连通，且该路的内部顶点具有不同的颜色，则称该图为{ \it rainbow vertex-connected}。连通图$G$的{ \it rainbow vertex-connection}，记作$rvc(G)$，是为了使$G$ rainbow vertex-connected所需的最小颜色数。Krivelevich和Yuster证明了：如果$G$是一个阶为$n$的图，其最小度为$δ$，则$rvc(G)<11n/δ$ .在本文中，我们表明，$rvc(G)\leq 3n/(δ+1)+5$为$δ\geq \sqrt{n-1}-1$和$n\geq 290$，而$rvc(G)\leq 4n/(δ+1)+5$为$16\leq δ\leq \sqrt{n-1}-2$和$rvc(G)\leq 4n/(δ+1)+C(δ)$为$6\leqδ\leq 15$，其中$C(δ)=e^{\frac{3\log(δ^3+2δ^2+3)-3(\log 3-1)} {δ-3}}-2$。我们还证明了$rvc(G)\leq 3n/4-2$为$δ=3$，$rvc(G)\leq 3n/5-8/5$为$δ=4$和$rvc(G)\leq n/2-2$为$δ=5$。此外，一个例子表明，当$δ\geq \sqrt{n-1}-1$和$δ=3,4,…
2010-12-16 math.CO
Nearly tight bound for rainbow clique subdivisions in properly edge-colored graphs and applications
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文证明了在正确边着色图中存在雨色K_t子图的近似界限，并应用于加性组合学、数论和编码理论。
2026-02-09 math.CO
Restricted subgraphs of edge-colored graphs and applications
本综述介绍了边着色图中寻找彩虹子图等受限结构的历史与核心结果，并展示了其在图分解、加性组合学、理论计算机科学和编码理论等领域的重要应用。
2024-12-18 cs.DM math.CO
Upper bounds involving parameter $σ_2$ for the rainbow connection
对于图$G$，我们定义了$σ_2(G)=min \{d(u)+d(v)| u,v\in V(G), uv\not\in E(G)\}$，或者简单地用$σ_2$表示。一个边着色图是彩虹边连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接，这是由Chartrand等人提出的。连通图$G$的彩虹连通，记作$rc(G)$，是使$G$彩虹边连通所需的最小颜色数。证明了若$G$是$n$阶连通图，则$rc(G)\leq 6\frac{n-2}{σ_2+2}+7$ .此外，通过Caro等人提出的一个构造，可以看出该界对加性因子是紧的。Krivelevich和Yuster最近引入的一个顶点着色图是彩虹顶点连通的，如果任何两个顶点通过一条内部顶点具有不同颜色的路连接。连通图$G$的彩虹顶点连通度，用$rvc(G)$表示，是为了使$G$彩虹顶点连通所需的最小颜色数。证明了若$G$是$n$阶连通图，则$rvc(G)\leq 8\frac{n-2}{σ_2+2}+10 $对于$2\leq σ_2\leq 6, σ_2\geq 28 $，而对于$ 7 \leq σ_2\leq 8, 16\leq σ_2\leq 27$，$ rvc(G)\leq \frac{10n-16}{σ_2+2}+10$，以及对于$9 \leq σ_2\leq 15, rvc(G)\leq \frac{10n-16}{σ_2+2}+A…
2011-01-17 math.CO
Good upper bounds for the total rainbow connection of graphs
全着色图是一个图$G$，使得$G$的所有边和所有顶点都是着色的.全着色图$G$中的一条路是全彩虹路，如果它的边和内部顶点具有不同的颜色。一个全着色图$G$是全彩虹连通的，如果$G$的任意两个顶点由$G$的全彩虹路连通。$G$的总彩虹连接数，用$trc(G)$表示，定义为使$G$全彩虹连接所需的最小颜色数。这些概念是由Liu等人引入的。注意，对于连通图$G$，$2diam(G)-1\leq trc(G)\leq 2n-3$，其中$diam(G)$表示$G$的直径，$n$是$G$的阶。本文证明了，对于$n$阶连通图$G$，若$G$的最小度为$δ$，则$trc(G)\leq6n/{(δ+1)}+28$为$δ\geq\sqrt{n-2}-1$，$n\geq 291$，$trc(G)\leq7n/{(δ+1)}+32$为$16\leqδ\leq\sqrt{n-2}-2$，$trc(G)\leq7n/{(δ+1)}+4C(δ)+12$为$6\leqδ\leq15$，其中$C(δ)=e^{\frac{3\log(δ^3+2δ^2+3)-3(\log3-1)}{δ-3}}-2$ .这意味着当$δ$与$n$成线性时，则总彩虹数$trc(G)$是常数。我们还表明，$trc(G)\leq 7n/4-3$为$δ=3$，$trc(G)\leq8n/5-13/5$为$δ=4$和$trc(G)\leq3n/2-…
2015-01-08 math.CO
Uniqueness of the extreme cases in theorems of Drisko and Erdős-Ginzburg-Ziv
Drisko \cite{drisko}（本质上）证明了二部图中每一个尺寸为$n$的$2n-1$匹配族都具有尺寸为$n$的部分彩虹匹配.在\cite{bgs}中，这被推广如下：二部图中任何大小为$n$的$\lfloor \frac{k+2}{k+1} n \rfloor -(k+1)$匹配都有大小为$n-k$的彩虹匹配。我们将后一结果推广到基数不一定相等的匹配。解决了Drisko的一个猜想，我们刻画了二部图中不具有大小为$n$的彩虹匹配的大小为$n$的$2n-2$匹配族.结合Alon \cite{alon}的思想，我们重新证明了加性数论中著名的Erdens-Ginzburg-Ziv定理的一个极端情形的特征.
2015-11-18 math.CO
Rainbow triangles and the Erdős-Hajnal problem in projective geometries
本文提出Erdős-Hajnal猜想的射影几何版本，解决三角形着色所有情形，并证明彩虹三角形自由着色等价于双色分解。
2025-10-16 math.CO
Essentially tight bounds for rainbow cycles in proper edge-colourings
本研究证明无彩虹圈的正常边着色图最大平均度上界为$(\nlog n)^{1+o(1)}$，本质上解决了Keevash等人2007年提出的问题，并将结果推广到非阿贝尔群。
2025-02-26 math.CO math.GR math.NT
A rainbow partition theorem for trees and connected maximin share allocations of chores
Poznań University of Economics and Business（波兹南经济大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Warsaw University of Technology（华沙理工大学）
本文证明了树上不可分割家务的连通分配存在性，即使成本单调，并给出等价组合定理及k^{O(k)}时间算法。
2026-10-01 cs.DM econ.TH math.CO
Laplacian eigenvalues of independence complexes via additive compound matrices
本文通过加性复合矩阵建立独立复形拉普拉斯特征值与图拉普拉斯特征值的新下界，并由此给出约化同调群消失的充分条件，推广了已有结果。
2024-12-18 math.CO
Separating hash families: A Johnson-type bound and new constructions
分离散列族是一种有用的组合结构，它是组合学、密码学和编码理论中许多研究对象的推广。本文利用图论和加法数论的工具，解决了几个关于分离散列族的界和构造的公开问题和解答。首先，我们发现分离哈希族的基数满足一个Johnson型不等式。结果，我们得到了一个新的上界，这是优于以往的。其次，我们提出了一个无限类的完美哈希家庭的建设。它以编码理论中的Hamming图为基础，推广了以前出现的许多构造。它对Bazrafshan-Trung提出的关于分离散列族的公开问题和Alon-Stav提出的关于双亲识别码的猜想都给出了肯定的回答。第三，令$p_t(N,q)$表示长度为$N$的$t$完美散列族在大小为$q$的字母表上的最大基数。Walker II和Colbourn证实了$p_3(3,q)=o(q^2)$。我们通过证明$q^{2-o(1)}<p_3(3,q)=o(q^2)$来验证这个猜想。我们的证明可以看作是Ruzsa-Szemer{é}di（6，3）-定理的一个应用。我们还证明了$q^{2-o(1)}<p_4(4,q)=o(q^2)$。引入图论和加法数论中的两个新概念，即彩虹圈和$R$ -无和集，证明了这一结果.这两个界限支持了布莱克本、埃锡安、斯丁森和扎韦鲁查的问题。最后，我们在完美散列族和超图Tur{á}n问题之间建立了一座桥梁.这种联系以前没有被注意到。因此，出现了许多新的结果和问题。
2016-10-25 cs.DM cs.IT math.CO
