Long rainbow cycles and Hamiltonian cycles using many colors in properly edge-colored complete graphs
本文证明了两个关于适当边有色图中圈的结果。首先，我们对Alon，Pokrovskiy和Sudakov最近的突破性工作做了一个小的改进，证明了$G$在至少$n - O(\log n \sqrt{n})$顶点上有彩虹圈，从而证明了每个在$n$顶点上的适当边着色的完全图$G$在至少$n - O(n^{3/4})$顶点上有彩虹圈.其次，通过修改Hatami和Shor给出的拉丁方部分断面长度的下界，证明了每一个正常着色的完全图都有一个Hamilton圈，其中至少有$n - O((\log n)^2)$不同的颜色出现.对于大的$n$，这是对Andersen的$n - \sqrt{2n}$的先前最佳已知下界的改进。
2017-06-15 math.CO
On lengths of rainbow cycles
证明了边着色完全图和彩虹圈的几个结果，彩虹圈是指没有颜色出现在多条边上的圈。我们解决了一个问题所提出的球，Pultr，和Vojtagchovskovan表明，如果这样的着色不包含彩虹周期的长度$n$，其中$n$是奇数，那么它也不包含彩虹周期的长度$m$的所有$m$大于$2n^2$。此外，我们提出了两个例子，证明了这一结果不成立，甚至$n$。最后，我们提出了几个开放的问题在该领域。
2006-08-18 math.CO
On Odd Rainbow Cycles in Edge-Colored Graphs
设$G = (V, E)$是一个$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了，如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有不同颜色的边相关联，则$G$允许彩虹三角形.我们证明，同样的假设，确保彩虹$\ell$周期$C_{\ell}$每当$n \ge 432 \ell$。这一结果对所有奇数$\ell \geq 3$都是尖锐的，并推广了作者早期的工作，当$\ell$是偶数时.
2021-02-23 math.CO
The minimum color degree and a large rainbow cycle in an edge-colored graph
设$G$是一个顶点数为$n$的边有色图.如果$E(H)$中每对边的颜色不同，则称$G$的子图$H$为$G$的彩虹子图。我们定义$G$的最小颜色度为对于所有$v\in V(G)$，入射到顶点$v$的边的颜色的最小数目。假设$G$不包含长度为4的彩虹循环子图。证明了如果$G$的最小色度至少为$\frac{n+3k-2}{2}$，则$G$包含一个长度至少为$k$的彩虹循环子图，其中$k\geq 5$ .此外，如果$G$的条件被限制为包含长度至少为$\frac{3k}{2}$的彩虹路径的无三角形图，则保证存在长度至少为$k$的彩虹循环子图的$G$的最小色度的下界可以被降低到$\frac{2n+3k-1}{4}$。
2017-09-25 math.CO
Rainbow cycles vs. rainbow paths
边着色图$F$是{ \it rainbow}，如果$F$的每条边都有唯一的颜色.图$F$的{ \it彩虹图兰数} $\mathrm{ex}^*(n,F)$是在没有$F$的彩虹副本的正确边着色的$n$ -顶点图中的最大可能边数。彩虹图兰数的研究是由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte介绍的。Johnson和Rombach引入了以下彩虹版本的广义图兰问题：对于固定图$H$和$F$，令$\mathrm{ex}^*(n,H,F)$表示在没有彩虹副本$F$的$n$ -顶点正确边着色图中$H$的最大彩虹副本数。本文研究了$\mathrm{ex}^*(n,C_\ell,P_\ell)$的情形，给出了$\ell = 3,4,5$的一般上界和精确结果.在此过程中，我们建立了一个新的最佳上界$\mathrm{ex}^*(n,P_5)$。我们的主要动机来自于试图提高$\mathrm{ex}^*(n,P_\ell)$的界限，这一直是最近几个手稿的主题。
2020-08-31 math.CO
Generalized rainbow Turán numbers of odd cycles
给定图$F$和$H$，广义彩虹图兰数$\text{ex}(n,F,\text{rainbow-}H)$是在一个具有适当边染色且不包含$H$彩虹拷贝的$n$ -顶点图中$F$的最大拷贝数. B. Janzer确定了所有$s\geq 4$和$t\geq 3$的$\text{ex}(n,C_s,\text{rainbow-}C_t)$的数量级，以及O. Janzer暗示$\text{ex}(n,C_3,\text{rainbow-}C_{2k})=O(n^{1+1/k})$。我们证明了相应的上限为其余的情况下，表明$\text{ex}(n,C_3,\text{rainbow-}C_{2k+1})=O(n^{1+1/k})$。这与$k$偶数的已知下限相匹配，并且被证明对于$k$奇数是紧的。
2021-09-21 math.CO
Random subgraphs of properly edge-coloured complete graphs and long rainbow cycles
边色完全图的一个子图称为彩虹图，如果它的所有边都有不同的颜色。Hahn在1980年提出了一个猜想，即每一个适当边着色的完全图$K_n$都有一条彩虹Hamilton路，虽然这个猜想被证明是错误的，但人们普遍认为这样的着色总是包含一个长度几乎为$n$的彩虹圈。在本文中，改进了几个早期的结果，我们证实了这一点，证明每一个适当的边色$K_n$有一个彩虹周期的长度$n-O(n^{3/4})$。我们的证明的主要成分之一，这是独立的利益，表明一个随机子图的正确的边着色的$K_n$形成的边缘的随机集的颜色有一个类似的边缘分布作为一个真正的随机图具有相同的边缘密度。特别地，它具有非常好的膨胀性能。
2016-08-25 math.CO
Rainbow even cycles
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Peking University（北京大学）
研究证明了对于固定n顶点集中的偶环族，存在彩虹偶环，解决了Aharoni等人提出的问题，且结果对所有正整数n最优。
2024-02-01 math.CO
Rainbow powers of a Hamilton cycle in G(n,p)
本文研究随机边染色图 $G_{n,p}$ 中 Hamilton 圈幂的彩虹出现阈值，证明其与无染色情形仅差常数因子，且证明需使用最少颜色数的 $(1+\varepsilon)$ 倍。
2023-09-21 math.CO
The generalised rainbow Turán problem for cycles
给定一个边着色图，如果一个子图的所有边都是不同的颜色，我们称它是彩虹图。令$\operatorname{ex}(n,H,$ rainbow- $F)$表示$n$顶点上的适当边着色图所能包含的$H$的最大拷贝数，如果它没有与$F$同构的rainbow子图.我们确定了所有含$s\not =3$的$s,t$的$\operatorname{ex}(n,C_s,$彩虹- $C_t)$的数量级.特别是，我们回答了一个问题的Gerbner，Mészáros，Methuku和帕尔默通过显示，$\operatorname{ex}(n,C_{2k},$彩虹- $C_{2k})$是$Θ(n^{k-1})$，如果$k\geq 3$和$Θ(n^2)$，如果$k=2$。我们还确定了所有$k,\ell\geq 2$的$\operatorname{ex}(n,P_\ell,$彩虹- $C_{2k})$的数量级，其中$P_\ell$表示具有$\ell$边缘的路径。
2020-05-16 math.CO
A rainbow Dirac theorem for loose Hamilton cycles in hypergraphs
University of Birmingham（伯明翰大学）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
该研究证明了在满足特定度数阈值的k-均匀超图中，任何全局有界的着色都包含一个彩虹松散哈密顿回路。
2026-02-09 math.CO
On Even Rainbow or Nontriangular Directed Cycles
设$G = (V, E)$是$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有明显颜色的边关联，则$G$允许一个彩虹三角形。对于固定的偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$，我们建立了一个相应的结果：如果每个顶点$v \in V$至少与$(n+5)/3$的不同色边相关联，其中$n \geq n_0(\ell)$足够大，则$G$允许偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$ .当$\ell \not\equiv 0$（mod 3）时，此结果可能最佳。相应地，我们还证明了，对于一个固定的（偶数或奇数）整数$\ell \geq 4$，每一个大的$n$ -顶点定向图$\vec{G} = (V, \vec{E})$最小出度至少$(n+1)/3$允许一个（一致）有向$\ell$ -圈$\vec{C}_{\ell}$。我们的后一个结果与Kelly、Kühn和Osthus的一个结果有关，他们证明了具有大半度的定向图的类似陈述。我们的证明是基于稳定性方法。
2019-12-04 math.CO
Rainbow perfect matchings and Hamilton cycles in the random geometric graph
给定一个在$n$顶点上的图和一个给边的颜色分配，彩虹汉密尔顿圈是一个长度为$n$的圈，它访问每个顶点一次，并且在边上有成对不同的颜色。类似地（对于偶数$n$），彩虹完美匹配是具有成对不同颜色的$n/2$独立边的集合。在这篇笔记中，我们证明，如果我们用足够多的颜色随机地给随机几何图的边着色，那么a.a.s.图包含彩虹完美匹配（彩虹哈密尔顿循环）当且仅当最小度至少为$1$（分别地，至少为$2$）。更准确地说，考虑对于任何固定的$d\ge2$，从单位$d$维立方体中独立且均匀地随机选择的$n$点（即顶点）。在这些$n$顶点上形成一个图序列，方法是在每个可能的顶点对之间逐个添加边。边以长度的递增顺序添加（对于任何固定的$1<p\le\infty$，相对于$\ell_p$范数测量）。每次添加新的边缘时，它接收从一组$\lceil Kn\rceil$颜色中随机且重复地均匀选择的随机颜色，其中$K=K(d)$是足够大的固定常数。那就尽快序列中最小度至少为$1$的第一个图必须包含彩虹完美匹配（对于偶数$n$），并且最小度至少为$2$的第一个图必须包含彩虹Hamilton圈。
2016-02-16 math.CO
Balanced Gray Codes for Permutations and Rainbow Cycles for Associahedra
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本研究解决了排列的平衡转置格雷码构造问题，并推广了彩虹环概念，为结合多面体和排列多面体提供了新的彩虹环构造，同时补充了偶数情况下的平衡格雷码。
2026-09-18 math.CO
Rainbow Matchings and Hamilton Cycles in Random Graphs
设$HP_{n,m,k}$是从所有$k$ -均匀的$k$ -部超图中均匀地画出的，其中每个部分的划分是$[n]$的不相交副本.我们让$HP^{(\k)}_{n,m,k}$是一个边缘着色版本，其中我们从$\k$颜色之一中随机为每个边缘着色。我们表明，如果$\k=n$和$m=Kn\log n$，其中$K$是足够大的，然后w. h. p.有彩虹色的完美匹配。也就是说，完美的匹配，其中每个边缘都有不同的颜色。我们还证明了，如果$n$是偶数，且$m=Kn\log n$中$K$足够大，则在$G^{(n)}_{n,m}$中存在彩虹色Hamilton圈.这里，$G^{(n)}_{n,m}$表示具有$n$颜色的$G_{n,m}$的随机边缘着色。当$n$是奇数时，我们的证明需要$m=\om(n\log n)$才有彩虹Hamilton圈。
2014-01-28 math.CO
On the proper rainbow saturation numbers of cliques, paths, and odd cycles
本文研究了图的正常彩虹饱和数，确定了路及 $K_4$ 的该数值，并对更大团、特定树和奇圈的情况给出了界。
2024-10-15 math.CO
A Rainbow Dirac's Theorem
Dirac的一个著名定理指出，任何一个在$n$顶点上且最小度至少为$n/2$的图都有一个Hamilton圈。这样的图称为狄拉克图。加强这一结果，我们证明了存在的彩虹Hamilton圈的$μn$有界染色的Dirac图充分小的$μ>0$。
2018-09-17 math.CO
On Rainbow Hamilton Cycles in Random Hypergraphs
设$H_{n,p,r}^{(k)}$表示一个随机着色的随机超图，它是在顶点集$[n]$上以概率$p$独立地取每个$k$元组，然后用集合$[r]$中的一种随机颜色独立地对它着色而构造的.设$H$是$n$阶的$k$ -一致超图.一个$\ell$-Hamilton圈是$H$的一个生成子超图$C$，它具有$n/(k-\ell)$边，并且使得对于某些顶点的循环序，$C$的每条边由$k$连续顶点组成，并且$C$中的每对相邻边精确地相交于$\ell$顶点.本文研究了$H_{n,p,r}^{(k)}$中彩虹$\ell$-Hamilton圈的存在性（即每条边接收不同的颜色）.我们主要关注当$r = n/(k-\ell)$。特别是，我们表明，对于所谓的紧汉密尔顿周期（$\ell=k-1$）$p = e^2/n$是一个彩虹紧汉密尔顿周期的存在$H_{n,p,n}^{(k)}$为每个$k\ge 4$的尖锐的阈值。
2018-06-11 math.CO
Rainbow sets in the intersection of two matroids
给定集合$F_1, \ldots ,F_n$，{ \em partial rainbow function}是集合$F_i$的部分选择函数。{ \em partial rainbow set}是partial rainbow函数的范围。Aharoni和Berger的\cite{AhBer}证明了如果$M$和$N$是在同一基集上的拟阵，并且$F_1, \ldots ,F_n$是属于$M \cap N$的大小为$n$的成对不相交集，则存在属于$M \cap N$的大小为$n-1$的彩虹集。根据Woolbright和Brower-de Vries-Wieringa的思想，证明了存在一个大小至少为$n-\sqrt{n}$的彩虹集.
2015-08-15 math.CO
Universality for rainbow oriented cycles in perturbed digraphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究随机扰动有向图在均匀n边着色下，高概率同时包含所有长度和定向的彩虹有向圈，通过Montgomery分布吸收法证明。
2026-05-29 math.CO
Dirac-type Problem of Rainbow matchings and Hamilton cycles in Random Graphs
本文研究随机图族中的彩虹 Hamilton 圈与完美匹配，证明在独立 $G(n,p)$ 样本中，各子图最小度超过 Dirac 阈值时以高概率保证相应彩虹结构存在。
2024-10-29 math.CO
Rainbow cycles through specified vertices
本文研究图的 $k$-rainbow 圈指数 $crx_k(G)$，证明了一般图的相关性质，对 $k=1,2$ 时满足 $crx_k(G)=e(G)$ 的图进行分类，并确定了轮图、完全图、完全二部图与多部图及离散立方体等特定图的该指数值。
2024-05-30 math.CO
Rainbow Pancyclicity in Graph Systems
令$G_1,...,G_n$是在相同顶点集上的图，其大小为$n$，每个图具有最小度$δ(G_i)\ge n/2$。Aharoni最近的一个猜想断言存在一个彩虹Hamilton圈，即边集为$\{e_1,...,e_n\}$的圈，使得对于$1\leq i \leq n$，$e_i\in E(G_i)$。这可以被看作是著名的狄拉克定理的彩虹版本。本文证明了这一猜想的渐近性，证明了对每个$\varepsilon>0$，都存在一个整数$N>0$，使得当$n>N$对任何图$G_1,...,G_n$在与$δ(G_i)\ge (\frac{1}{2}+\varepsilon)n$相同的顶点集上时，都存在一个彩虹Hamilton圈.我们的主要工具是吸收技术。此外，我们证明，与$δ(G_i)\geq \frac{n+1}{2}$为每个$i$，可以找到彩虹周期的长度$3,...,n-1$。
2021-02-20 math.CO
Rainbow Turán number of even cycles, repeated patterns and blow-ups of cycles
图$H$的彩虹Turán数$\mathrm{ex}^*(n,H)$是一个没有彩虹子图同构于$H$的正确边着色的$n$ -顶点图的最大可能边数。证明了对任意整数$k\geq 2$，$\mathrm{ex}^*(n,C_{2k})=O(n^{1+1/k})$ .这是紧的，并建立了Keevash，Mubayi，Sudakov和Verstraëte的猜想。我们用同样的方法证明了不同主题中的其他几个命题。首先，我们证明了存在一个常数$c$，使得任何具有多于$cn(\log n)^4$条边的适当边着色的$n$ -顶点图包含一个彩虹圈。已知存在具有$Ω(n\log n)$边且不含彩虹圈的适当边着色$n$ -顶点图.其次，我们证明了在$K_n$的任意一个具有$o(n^{\frac{r}{r-1}\cdot \frac{k-1}{k}})$颜色的真边着色中，存在$C_{2k}$的$r$颜色同构的两两顶点不相交的拷贝。这强有力地证明了Conlon和Tyomkyn的一个猜想，以及Xu，Zhang，Jing和Ge提出的一个强有力的猜想.此外，我们还回答了Jiang和Newman提出的一个问题，证明了存在一个常数$c=c(r)$，使得任何具有多于$cn^{2-1/r}(\log n)^{7/r}$边的$n$ -顶点图都包含一个偶圈的$r$ -爆破.最后，证明了$C_{2k}$的$r$ -爆破具有Turán数…
2021-04-12 math.CO
On sufficient conditions for rainbow cycles in edge-colored graphs
设$G$是边着色图.我们使用$e(G)$和$c(G)$分别表示$G$的边数和$E(G)$上出现的颜色数。对于顶点$v\in V(G)$，$v$的\emph{color neighborhood}被定义为分配给与$v$关联的边的颜色集合。$G$的一个子图是\emph{rainbow}，如果它的所有边都被赋予不同的颜色。著名的曼特尔定理指出，如果$e(G)\geq\lfloor\frac{n^2}{4}\rfloor+1$，则在$n$顶点上的图$G$包含三角形。Rademacher（1941）证明了在相同条件下$G$至少包含$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$三角形。Li，Ning，Xu and Zhang（2014）证明了Mantel定理的彩虹版本：边着色图$G$有彩虹三角形，如果$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2$。本文首先刻画了所有满足$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2-1$但不含彩虹三角形的图$G$。受Rademacher定理的启发，我们刻画了所有满足$e(G)+c(G)\geq n(n+1)/2$但只包含一个彩虹三角形的图$G$。进一步得到了彩虹短圈存在的色邻域条件的两个结果。我们的结果改进了Broersma、Li、Woeginger和Zhang（2005）提出的先前定理。此外，我们提供了一个充分条件的颜色邻域的顶点不相交的彩虹圈存在…
2019-03-18 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random regular graphs
边着色图的彩虹子图的所有边都是不同的颜色。一个随机d-正则图，d为偶数，且其边随机着色为n种颜色中的每一种颜色的d/2，当n趋于无穷大时，若d至少为8，则该图有一个概率趋于1的彩虹Hamilton圈.
2005-08-08 math.CO math.PR
Near rainbow Hamilton cycles in dense graphs
针对Andersen提出的正常边着色图中近彩虹哈密顿圈问题，本文证明了满足全局n/8有界且最小度≥(1/2+ε)n的一般图存在含n-o(n)种颜色的哈密顿圈，并指出常数1/8最优。
2024-11-27 math.CO
On Rainbow Cycles and Proper Edge Colorings of Generalized Polygons
一个单图$G$的边着色称为\textit{proper rainbow-cycle-forbidding}（PRCF），如果没有两个关联边接收相同的颜色，并且对于$G$中的任何一个圈，该圈中至少有两个边接收相同的颜色.如果图$G$允许PRCF边着色，则它被定义为\textit{PRCF-good}，否则它被认为是\textit{PRCF-bad}。在最近的工作中，Hoffman等人研究了PRCF边着色，并发现了许多围长小于或等于4的PRCF-坏图的例子。然后，他们问是否存在这样的图具有周长大于4。在我们的工作中，我们给出了一个简单的计数参数表明，霍夫曼-辛格尔顿图回答这个问题的情况下，围长5肯定的。然后，它表明，某些广义多边形，构造足够大的顺序，也是PRCF坏，从而证明存在的PRCF坏图的围长为6，8，12，和16。
2021-06-09 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random graphs
随机图理论中最著名的结果之一是确定了Erdos-Renyi随机图G_{n,p}的Hamilton性阈值约为p ~（log n + log log n）/ n。已经做了大量的研究，以扩展到越来越具有挑战性的随机结构。特别地，Frieze最近的一个结果通过将3-一致超图连接到边-有色图来确定随机3-一致超图中松弛Hamilton圈的渐近阈值。在这项工作中，我们考虑边-有色图设置，并证明了一个结果，它达到了最好的可能的一阶常数。具体地说，当G_{n,p}的边缘是随机着色从一组（1 + o（1））n颜色，p =（1 + o（1））（log n）/ n，我们表明，几乎总是可以找到一个汉密尔顿循环，它具有进一步的属性，所有的边缘是明显的颜色（彩虹）。
2010-12-31 math.CO
Rainbow Hamilton cycle in hypergraph system
本文提出了一个新的彩虹Hamilton框架，解决了Gupta，Hamann，Müyesser，Parczyk和Sgueglia在$k=3$时提出的问题，并对任何$k\geq3$得出了如下一般结论.一个$k$ -图系统$\textbf{H}=\{H_i\}_{i\in[n]}$是在同一个$n$ -顶点集$V$上的一族不一定不同的$k$ -图，而且，如果$E(H)\subseteq \bigcup_{i\in[n]}E(H_i)$和$i\in[n]$的$|E(H)\cap E(H_i)|\leq1$是$V$上的一个$k$ -图$H$是彩虹图.我们证明了给定$γ> 0$，充分大的$n$和一个$n$ -顶点$k$ -图系统$\textbf{H}=\{H_i\}_{i\in[n]}$，如果$δ_{k-2}(H_i)\geq(5/9+γ)\binom{n}{2}$对于$i\in[n]$，其中$k\geq3$，则存在彩虹紧Hamilton圈.这一结果在单图中蕴含了Lang和Sanhueza-Matamala [ $J. Lond. Math. Soc., 2022$ ]，Polcyn，Reiher，Rödl和Schülke [ $J. Combin. Theory \ Ser. B, 2021$ ]独立证明的结论.
2023-01-31 math.CO
Rainbow Hamiltonicity and the spectral radius
该研究探讨图族的彩虹哈密顿圈问题，证明边数超阈值的图族必存在彩虹哈密顿圈，提出边数达阈值时的刻画问题，给出谱半径充分条件并刻画对应极图。
2025-01-14 math.CO
Spectral radius and rainbow Hamiltonicity in bipartite graphs
School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）
本文通过双移技术，研究了双图族中谱半径与彩虹哈密顿性之间的关系，给出了存在彩虹哈密顿路径和环的充分条件并刻画了极值图。
2026-03-04 math.CO
Rainbow C_4's and Directed C_4's: the Bipartite Case Study
本文得到了定向二部图中存在长度为4的有向圈的一个新的充分条件。作为推论，H.李某被证实。作为应用，得到了二部边有色图中存在长度为4的彩虹圈的一个充分条件。
2013-07-28 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in randomly coloured randomly perturbed dense graphs
给定一个$n$ -顶点图$G$，对于某个固定的$d > 0$，其最小度至少为$d n$，则在$G$的超图上的分布$G \cup \mathbb{G}(n,p)$称为$G$的（随机）{ \sl扰动}.我们考虑边着色图的分布所产生的随机扰动$G \cup \mathbb{G}(n,p)$的每个边缘的颜色，独立和均匀地随机选择一组颜色的大小$r := r(n)$。我们证明了这样的边着色图分布a.a.s.当随机扰动的边密度满足$p := p(n) \geq C/n$时，对于某个固定的$C > 0$和$r = (1 + o(1))n$，都存在彩虹Hamilton圈。使用的颜色数量显然是渐近最佳可能的。特别是，这在这方面改进了Anavalet和Frieze（2019）的最新结果。作为中间结果，这可能是独立的利益，我们证明了随机边着色稀疏伪随机图a.a.s.一条几乎横跨彩虹的道路。
2020-04-18 math.CO
Rainbow eulerian multidigraphs and the product of cycles
一个具有$l$颜色的弧着色欧拉多重有向图是彩虹欧拉图，如果存在一个欧拉回路，其中$l$颜色序列重复。Figueroa-Centeno等人引入了有向图积：设$D$是一个有向图，$Γ$是一族有向图，使得对于每个$F\in Γ$都有$V(F)=V$。考虑任何函数$h:E(D)\longrightarrowΓ$。则积$D\otimes_{h} Γ$是顶点集为$V(D)\times V$和$((a,x),(b,y))\in E(D\otimes_{h}Γ)$的有向图当且仅当$ (a,b)\in E(D)$和$ (x,y)\in E(h (a,b))$。本文利用彩虹欧拉多重有向图和置换刻画了定向圈的$\otimes_h$ -积。我们研究了$\otimes_h$ -积在有向图中的单圈分支的性质。所得到的结果使我们能够得到由单圈分量并和不同的幻和所形成的图的边幻标号。
2014-03-29 math.CO
On Rainbow Cycles and Paths
在一个适当边着色的图中，一个子图使用每种颜色最多一次被称为彩虹。本文研究了完全图的真边染色中的彩虹圈和彩虹路，证明了在K_n的每一个真边染色中，在（3/4-o（1））n个顶点上存在彩虹路，改进了Gyarfas和Mhalla关于（2n+1）/3的最佳界.类似地，在K_n的正常边着色中的k-彩虹路径是不使用颜色超过k次的路径。证明了在K_n的每一个真边染色中，存在（1-2/（k+1）！）n个顶点。
2012-07-03 cs.DM math.CO
The 2-rainbow domination number of Cartesian product of cycles
本文研究了两个圈的笛卡尔积的2-彩虹控制数，给出了若干无穷族的精确值，并证明了所有其他情况的上界与下界。
2024-09-27 math.CO
The 3-rainbow index and connected dominating sets
边有色图中的树称为彩虹树，如果树的两条边不具有相同的颜色。$G$的边着色称为3-彩虹，如果对于$G$中的任意三个顶点，存在一个连接它们的彩虹树. $G$的3-彩虹指数$rx_3(G)$被定义为$G$的3-彩虹着色中所需的颜色的最小数量。这一概念由Chartrand等人提出，可以被看作是彩虹连接的一种概括。本文利用连通三向控制集和3-控制集研究了3-彩虹指标。我们证明了对于$n$上的每个连通图$G$，其最小度至少为$δ$（$3\leqδ\leq5$），$rx_{3}(G)\leq \frac{3n}{δ+1}+4$，并且其界紧到一个加法常数;而对于$n$上的每个连通图$G$，其最小度至少为$δ$（$δ\geq3$），我们得到$rx_{3}(G)\leq n\frac{ln(δ+1)}{δ+1}(1+o_δ(1))+5$ .此外，我们还对一些特殊的图类，包括阈值图、链图和区间图，得到了3-彩虹指数的一些紧上界。
2014-04-14 math.CO
A Conjecture on Rainbow Hamiltonian Cycle Decomposition
本文完全解决了Wu于1999年提出的关于完全图$K_{2n+1}$中子图边分布于不同哈密顿圈的彩虹哈密顿圈分解猜想，并指出其在线性荫度猜想和受限尺寸Ramsey数中的应用。
2024-03-26 math.CO
Rainbow cycles in triangle-free graphs
Arizona State University（亚利桑那州立大学）
研究边着色无三角形图中彩虹圈的存在性，通过改进色度最小度条件，证明当δ^c(G)≥(n+7)/5时存在长度为4的彩虹圈，并推广到任意4k长度。
2026-06-15 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random graphs and hypergraphs
设$H$是边着色超图。我们说$H$包含一个超图$S$的\emph{rainbow}副本，如果它包含一个$S$的同构副本，并且所有边都是不同的颜色。我们考虑以下设置。通过将$[n]$的每个$k$ -子集以概率$p$相加，并从$[c]$中均匀、独立地随机分配一种颜色，得到一个随机边着色的随机超图$H\sim \mathcal H_c^k(n,p)$.作为第一个结果，我们表明，一个典型的$H\sim \mathcal H^2_c(n,p)$（即，一个随机边着色图）包含一个彩虹Hamilton圈，如果$c=(1+o(1))n$和$p=\frac{\log n+\log\log n+ω(1)}{n}$。这是渐近最好的可能的两个参数，并改善了弗里兹和Loh的结果。其次，基于McDiarmid的一个巧妙的耦合思想，我们提供了一个通用的工具，用于解决与在随机图/超图中找到“漂亮的边着色”结构有关的问题。我们通过两个有趣的应用来说明这种说法的普遍性。在一个应用程序中，我们表明，一个典型的$H\sim \mathcal H^k_c(n,p)$包含一个超图$S$的彩虹副本，只要$c=(1+o(1))|E(S)|$和$p$是（乘法常数）的$S$的副本包含的属性的阈值函数。在第二个应用中，我们证明了一个典型的$G\sim \mathcal H_{c}^2(n,p)$包含$(1-o(1))np/2$边不相交的…
2015-06-09 math.CO
Rainbow independent sets on dense graph classes
给定图中的独立集族$\mathcal{I}$，彩虹独立集是独立集$I$，使得存在注入$ϕ\colon I\to \mathcal{I}$，其中对于每个$v\in I$，$v$包含在$ϕ(v)$中。Aharoni、Briggs、J. Kim和M.某些图类中的Kim [Rainbow]独立集。arXiv：1909.13143]针对各种图类$\mathcal{C}$确定$\mathcal{C}$是否满足以下性质：对于每个$n$，存在$N=N(\mathcal{C},n)$，使得$\mathcal{C}$中的图中的大小为$n$的$N$独立集的每个族包含大小为$n$的彩虹独立集。在本文中，我们增加了两个稠密的图类满足这一性质，即有界邻域多样性的图类和有界扩张类中的$r$ -权力的图类。
2021-04-09 math.CO
The Rainbow Saturation Number of Cycles
Tsinghua University（清华大学）；Beijing Jiaotong University（北京交通大学）
该研究聚焦图论中的环彩虹饱和数问题，确定了4阶环彩虹饱和数的精确值，给出5阶及更长环彩虹饱和数的上下界，并对自身为彩虹图的环彩虹饱和图建立了更优下界。
2026-09-29 math.CO
Rainbow independent sets in certain classes of graphs
对于给定的图类$\mathcal{C}$和给定的整数$m \leq n$，设$f_\mathcal{C}(n,m)$是使任何属于$\mathcal{C}$的图中的每个$k$独立的$n$ -集都有一个（可能是部分的）彩虹独立的$m$ -集的最小数$k$.受已知结果的有限性和实际值的$f_\mathcal{C}(n,m)$时，$\mathcal{C}$是线图的图类，我们研究这个功能的各种其他类。
2019-09-28 math.CO
Rainbow planar Tur{á}n numbers of cycles
本文研究平面图中圈的彩虹 Turán 数，确定了 $C_4$ 在特定顶点数下的精确值，并证明对所有 $k\ge 5$ 和 $n\ge 3$，$C_k$ 的彩虹平面 Turán 数均为 $3n-6$。
2025-11-06 math.CO
Rainbow cycles in flip graphs
三角剖分的翻转图具有凸$n$ -边形的所有三角剖分作为顶点，并且具有在恰好一条边不同的任何两个三角剖分之间的边。图中的$r$ -彩虹循环是三角剖分的每个内边恰好出现$r$次的循环。彩虹循环的概念以一种自然的方式延伸到其他翻转图。在本文中，我们研究了三种不同的翻转图上的$r$ -彩虹圈的存在性：前面提到的翻转图的三角形的凸$n$ -gon，翻转图的平面树上的任意一组$n$点，和翻转图的非交叉完美匹配的一组$n$点在凸位置。此外，我们考虑两个翻转图类的非几何对象：翻转图的排列$\{1,2,\dots,n\}$和翻转图的$k$元素子集的$\{1,2,\dots,n\}$。在这五种情况下，我们分别证明了不同$r$、$n$和~ $k$值时彩虹环的存在性和不存在性。
2018-02-15 cs.CG math.CO
The Rainbow Arborescence Problem on Cycles
本文证明了当图的无向图为环时，彩虹有根树猜想成立，即存在一个生成有根树包含每种颜色的一条弧。
2025-12-09 cs.DM math.CO
How many randomly colored edges make a randomly colored dense graph rainbow hamiltonian or rainbow connected?
本文研究了在任意随机边着色稠密图上添加随机边得到的随机边有色图。特别是，我们问有多少颜色和多少随机边缘需要，使所得的图包含一个固定数量的边缘不相交的彩虹汉密尔顿周期。我们还问，在结果图中，每对顶点都由彩虹路径连接。
2018-02-01 math.CO
Rainbow triangles and the Caccetta-Häggkvist conjecture
Caccetta和Häggkvist的一个著名猜想是，在$n$顶点且最小出度至少为$\frac{n}{r}$的有向图中，存在长度为$r$或更小的有向圈。我们考虑以下推广：在$n$顶点上无向图中，$n$不相交边集合的任何集合，每个边的大小至少为$\frac{n}{r}$，有一个长度为$r$或更小的彩虹圈.我们着重讨论了$r=3$的情形，并在比猜想中更强的条件下证明了彩虹三角形的存在性.对于任意固定的$k$和足够大的$n$，我们确定了一个$n$ -顶点边着色图的最大边数，其中所有的色类的大小最多为$k$，并且没有彩虹三角形.此外，我们还刻画了这个问题的极图。
2018-04-04 math.CO
Local Fan-type obstructions and Ore-type conditions for rainbow Hamiltonicity in graph systems
School of Mathematics and Statistics, Fuzhou University（福州大学数学与统计学院）
该研究针对图系统，提出局部Fan型与Ore型条件，证明满足对应条件可保证存在彩虹哈密顿圈，Fan型假设还可得到彩虹哈密顿路径和彩虹$(n-1)$-圈，对角系统下条件退化为经典条件。
2026-11-02 math.CO
Coloring the cube with rainbow cycles
对于每个偶数正整数$k\ge 4$，让$f(n,k)$表示对$n$维立方体$Q_n$的边着色所需的最小颜色数，使得$k$ -循环$C_k$的每个副本的边接收$k$不同的颜色. Faudree、Gyárfás、Lesniak和Schelp证明了$f(n,4)=n$对于$n=4$或$n>5$。我们考虑更大的$k$并证明如果$k \equiv 0$（mod 4），则存在仅取决于$k$的正常数$c_1, c_2$，使得$$c_1n^{k/4} < f(n,k) < c_2 n^{k/4}.$$我们的上界使用广义Sidon集的Bose和Chowla的旧构造。对于$k \equiv 2$（mod 4）来说，情况似乎更复杂。对于最小的情况k=6，我们表明，$$n \le f(n, 6) < n^{1+o(1)}.$$的上限是从Behrend的建设的一个子集的整数没有三项算术级数。
2012-12-07 math.CO
Rainbow spanning structures in strongly edge-colored graphs
Central China Normal University（华中师范大学）；Jianghan University（江汉大学）
本文研究了强边着色图中彩虹哈密尔顿回路的存在条件，证明了在足够大的n下，满足最小度数要求的图中必然存在彩虹哈密尔顿回路，并探讨了彩虹路径和完美匹配的最优条件。
2026-01-22 math.CO
Periods in missing lengths of rainbow cycles
边着色图中的一个圈称为彩虹圈，如果它的任何两条边都不具有相同的颜色。对于一个完全的、无限的、边着色的图$G$，定义$\mathfrak{S}(G)=\{n\ge 2\;|\;\text{no $ nPDMATHABMOGPDMATHABMP.则$\mathfrak{S}(G)$是关于操作$n\circ m = n+m-2$的幺半群，因此存在最小正整数$π(G)$，$\mathfrak{S}(G)$的周期，使得$\mathfrak{S}(G)$包含对于某个足够大的$N$的算术级数$\{N+kπ(G)\;|\;k\ge 0\}$。有了$n\in\mathfrak{S}(G)$，关于$π(G)$可以说些什么？Alexeev证明了当$n\ge 3$是奇数时，$π(G)=1$，并证明了$π(G)$总是划分$4$。我们证明阿列克谢夫猜想：让$p(n)=1$时$n$是奇数，$p(n)=2$时$n$是可分的四，和$p(n)=4$否则。如果是$2<n\in\mathfrak{S}(G)$，则$π(G)$是$p(n)$的除数。此外，$\mathfrak{S}(G)$包含某些$N=O(n^2)$的算术级数$\{N+kp(n)\;|\;k\ge 0\}$。关键观察结果为：如果为$2<n=2k\in\mathfrak{S}(G)$，则为$3n-8\in\mathfrak{S}(G)$。如果是$16\ne n…
2015-09-18 math.CO
Short rainbow cycles for families of small edge sets
本文扩展相关结果，证明小比例非星型颜色类即可保证图的对数级彩虹围长，还确定了彩虹围长从线性过渡到对数级的颜色类类型阈值比例。
2025-07-06 cs.DM math.CO
