Large matchings in bipartite graphs have a rainbow matching
令$g(n)$为使得二部图中的每个$n$匹配集合（每个的大小至少为$g(n)$）具有全彩虹匹配的最小数。Aharoni和Berger \cite{AhBer}证明了每个$n>1$的$g(n)=n+1$。这概括了Ryser，Brualdi和Stein的着名作品。最近，Aharoni，Charbit和Howard \cite{ACH}证明了$g(n)\le\lfloor\frac{7}{4}n\rfloor$。我们证明了$g(n)\le\lfloor\frac{5}{3} n\rfloor$ .
2013-10-21 math.CO
Long directed rainbow cycles and rainbow spanning trees
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的发现问题可以追溯到欧拉关于拉丁方中横截的工作，并从那时起得到了广泛的研究。本文研究了完全边着色图和有向图的彩虹子图的两个相关问题。在第一部分中，我们证明了每一个正常边着色的完全有向图都包含一个长度为$n-O(n^{4/5})$的有向彩虹圈。这是由哈恩的一个老问题激发的，改进了Gyarfas和Sarkozy的一个结果。在第二部分中，我们表明，任何树$T$上的$n$顶点与最大程度的$Δ_T\leq βn/\log n$有一个彩虹嵌入到一个适当的边缘着色$K_n$，只要每一种颜色出现在最多的$αn$时间和$α, β$是足够小的常数。
2017-11-10 math.CO
Rainbow number of matchings in regular bipartite graphs
给定一个图$G$和$G$的一个子图$H$，设$rb(G,H)$是使$G$的任意边染色都有彩虹子图$H$的最小数$r$。数$rb(G,H)$称为$H$相对于$G$的彩虹数。将$mK_2$表示为$m$和$B_{n,k}$的大小匹配，$k$ -正则二部图，具有二划分$(X,Y)$，使得$|X|=|Y|=n$和$k\leq n$。本文给出了$rb(B_{n,k},mK_2)$的上、下界，并证明了对于给定的$k$和$m$，如果$n$足够大，则$rb(B_{n,k},mK_2)$可以达到下界.我们还确定了路径和循环中匹配的彩虹数。
2007-11-19 math.CO
Spectral radius and rainbow Hamiltonicity in bipartite graphs
School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）
本文通过双移技术，研究了双图族中谱半径与彩虹哈密顿性之间的关系，给出了存在彩虹哈密顿路径和环的充分条件并刻画了极值图。
2026-03-04 math.CO
Directed graphs without rainbow stars
该研究针对经典Turán问题的彩虹版本，证明了任意有向星、任意颜色数下，保证存在有向星彩虹副本的各颜色最小边数的最优解。
2024-02-01 math.CO
Complete bipartite graphs without small rainbow stars
该研究先推导不含彩虹K_{1,3}的完全二部图K_{n,n}的结构定理，再据此算出三类二部Gallai-Ramsey数的精确值，其中H为环、路径与星的并集。
2023-12-14 math.CO
Note on the complexity of deciding the rainbow connectedness for bipartite graphs
边着色图中的路径称为彩虹路径，如果路径上没有两条边具有相同的颜色。一个边着色图是（强）彩虹连通的，如果每对顶点之间存在彩虹（测地线）路。$G$的（强）彩虹连接数，分别用（$scr(G)$）$rc(G)$表示，是为了使$G$（强）彩虹连接所需的最小颜色数。虽然对于一般图$G$，判定$rc(G)=2$是否是NP-完全的，但本文证明了当$G$是二部图时，判定问题变得容易.此外，已知判定一个给定的边着色图（具有无限数量的颜色）是否是彩虹连通的是NP-完全的。我们将证明，即使边着色图是二部图，它仍然是NP-完全的。我们还证明了一些关于彩虹连接的NP-困难问题确实是NP-完全的。
2011-09-27 cs.CC math.CO
Rainbow Saturation
我们引入了彩虹饱和度的概念和相应的彩虹饱和数。这是彩虹图兰数的饱和版本，其系统研究由Keevash，Mubayi，Sudakov和Verstraëte发起。我们给出的例子的图的彩虹饱和数是有界远离普通的饱和数。这包括$n\geq 4$的所有完全图$K_n$和几个二部图。值得注意的是，存在非二部图，这是这种情况，因为当涉及到彩虹极值数与传统极值数时，这不会发生。我们还表明，饱和数是线性的一大类图，提供了一个部分彩虹类似的一个著名的定理Kásonyi和Tuza。最后，我们提出了相关的开放性问题和建议。
2022-03-28 math.CO
On Even Rainbow or Nontriangular Directed Cycles
设$G = (V, E)$是$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有明显颜色的边关联，则$G$允许一个彩虹三角形。对于固定的偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$，我们建立了一个相应的结果：如果每个顶点$v \in V$至少与$(n+5)/3$的不同色边相关联，其中$n \geq n_0(\ell)$足够大，则$G$允许偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$ .当$\ell \not\equiv 0$（mod 3）时，此结果可能最佳。相应地，我们还证明了，对于一个固定的（偶数或奇数）整数$\ell \geq 4$，每一个大的$n$ -顶点定向图$\vec{G} = (V, \vec{E})$最小出度至少$(n+1)/3$允许一个（一致）有向$\ell$ -圈$\vec{C}_{\ell}$。我们的后一个结果与Kelly、Kühn和Osthus的一个结果有关，他们证明了具有大半度的定向图的类似陈述。我们的证明是基于稳定性方法。
2019-12-04 math.CO
Directed graphs without rainbow triangles
本文将 Mantel 定理的彩虹三角形问题推广到有向图，对任意颜色数确定了保证出现有向或传递彩虹三角形时每种颜色所需的最少边数，并进一步在有向图（oriented graphs）情形下解决了相应问题。
2023-08-05 math.CO
Signless Laplacian spectral conditions for rainbow matchings in a collection of bipartite graphs
School of Mathematics and Computer Science, Yan’an University（延安大学数学与计算机科学学院）
本文针对二分图集合，利用移位技巧，在无符号拉普拉斯谱半径满足特定条件时，证明其存在大小为k的彩虹匹配，给出了该类彩虹匹配的谱条件
2026-09-09 math.CO
Note on the Rainbow $k$-Connectivity of Regular Complete Bipartite Graphs
边着色图$G$中的一条路径，如果没有两条边着色相同，则称为彩虹路径，其中相邻边可以着色相同。对于$κ$ -连通图$G$和具有$1\leq k\leq κ$的整数$k$，定义$G$的彩虹$k$ -连通度$rc_k(G)$为存在$G$的$j$ -边染色使得$G$的任意两个不同顶点通过$k$内部不相交的彩虹路连接的最小整数$j$.用$K_{r,r}$表示$r$ -正则完全二部图. Chartrand等人在“G.沙特朗约翰，K.A. McKeon，P. Zhang，The rainbow connectivity of a graph，Networks 54（2009），75-81”留下了确定整数$g(k)$的未决问题，其中对于每个整数$r\geq g(k)$，$K_{r,r}$的彩虹$k$ -连通性是3。这个简短的说明是为了解决这个问题，通过证明$rc_k(K_{r,r})=3$对于每个整数$r\geq 2k\lceil\frac{k}{2}\rceil$，其中$k\geq 2$是一个正整数。
2010-04-14 cs.DM math.CO
Edge and spectral conditions for rainbow bipancyclicity in bipartite graph collections
School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学科学学院）
本文研究二部图集合的彩虹双泛圈性，给出边数与谱半径条件，证明满足对应条件的二部图集合（除例外情况）为彩虹双泛圈，还推广了相关文献的定理并刻画了非彩虹双泛圈的二部图集合。
2026-10-14 math.CO
Large rainbow matchings in general graphs
根据Drisko的一个定理，二部图中任何大小为$n$的$2n-1$匹配都有大小为$n$的部分彩虹匹配.受Barát，Gyárfás和Sárközy讨论的启发，我们猜想，如果$n$是奇数，那么在一般图中也是如此，如果$n$是偶数，那么$2n$匹配的大小$n$就足够了。我们证明了任何大小为$n$的$3n-2$匹配都有大小为$n$的部分彩虹匹配。
2018-07-07 math.CO
Uniqueness of the extreme cases in theorems of Drisko and Erdős-Ginzburg-Ziv
Drisko \cite{drisko}（本质上）证明了二部图中每一个尺寸为$n$的$2n-1$匹配族都具有尺寸为$n$的部分彩虹匹配.在\cite{bgs}中，这被推广如下：二部图中任何大小为$n$的$\lfloor \frac{k+2}{k+1} n \rfloor -(k+1)$匹配都有大小为$n-k$的彩虹匹配。我们将后一结果推广到基数不一定相等的匹配。解决了Drisko的一个猜想，我们刻画了二部图中不具有大小为$n$的彩虹匹配的大小为$n$的$2n-2$匹配族.结合Alon \cite{alon}的思想，我们重新证明了加性数论中著名的Erdens-Ginzburg-Ziv定理的一个极端情形的特征.
2015-11-18 math.CO
Bounding the k-rainbow total domination number
最近，$k$ -彩虹全控制的概念被引入到图$G$中，其动机是希望将计算广义棱柱$G \Box K_k$的全控制数的问题简化为$G$上的整数标号问题。在本文中，我们进一步证明了标记方法的有用性，根据全控制数，彩虹控制数和彩虹全控制数以及通常的控制数给出了彩虹全控制数的界限，其中后者给出了Goddard和Henning（2018）结果的推广。我们建立了彩虹支配和彩虹全支配的Vizing样结果。通过对彩虹全控制的一个Vizing猜想的陈述，对Vizing猜想在二部图的情形下提出了一个不同的观点.
2020-03-20 math.CO
Some results on the rainbow vertex-disconnection colorings of graphs
本文研究图的彩虹顶点断开着色问题，证明了无 $K_4$ 子式图的彩虹顶点断开数不超过最大度，并证明该问题在二部图和分裂图上是 $NP$-完全的且难以近似。
2023-07-08 math.CO
Cooperative conditions for the existence of rainbow matchings
设$k>1$和$\mathcal{F}$是二部图中的一类$2n+k-3$非空边集.如果$\mathcal{F}$的每个$k$成员的并集包含大小为$n$的匹配，则存在大小为$n$的$\mathcal{F}$彩虹匹配。用$2n+k-2$代替$2n+k-3$，这个结果对$k=1$也是成立的，并且可以用拓扑和一个相对简单的组合论证来证明（对所有$k$）。主要的努力是获得最后一个$1$，这使得结果尖锐。
2021-12-28 math.CO
Rainbow paths in directed graphs
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文证明任意群的不含单位元的子集存在大小为 |S|-o(|S|) 的可重排子集，通过建立 d-正则适当着色有向图含长度 d-o(d) 彩虹路径的渐近结果实现。
2026-09-21 math.CO
Non-uniform degrees and rainbow versions of the Caccetta-Häggkvist conjecture
针对Caccetta-Häggkvist猜想，提出基于所有出度的有向围长上界，进而提出彩虹环版本的猜想，并在边集规模为1-2及边集为三角形的情形下取得验证结果。
2022-10-07 math.CO
Badges and rainbow matchings
Drisko证明了二部图中大小为$n$的$2n-1$匹配有大小为$n$的彩虹匹配。对于一般的图，它被证明$2n$匹配满足此目的（和$2n-1$匹配满足时，$n$是偶数）。已知的图表显示的锐度，这一猜想$n$甚至被称为徽章。我们改进了以前最知名的绑定从$3n-2$到$3n-3$，使用一个新的证明线，涉及分析的徽章的外观。我们还证明了一个“合作”的推广：$t>0$和$n \geq 3$，任何$3n-4+t$集的边缘，工会的每一个$t$，其中包含一个匹配的大小$n$，有彩虹匹配的大小$n$。
2021-02-16 math.CO
Rainbow arborescence in random digraphs
我们考虑Erdens-Rényi随机有向图过程，这是一个随机过程，它从$n$顶点开始，没有边，并且在每一步添加一个新的有向边，从丢失的边集中均匀随机选择。令$\mathcal{D}(n,m)$是具有在该过程的$m$步骤之后获得的$m$边的图。$\mathcal{D}(n,m)$的每个边$e_i$（$i=1,2,\ldots, m$）独立地从给定的一组$n(1 + O( \log \log n / \log n)) = n (1+o(1))$颜色中随机均匀地选择一种颜色。当以下两个事件成立时，我们在时间$M$处过早地停止该过程：$\mathcal{D}(n,M)$最多有一个顶点具有0度内，并且至少引入了$n-1$不同的颜色（如果在所有边都存在的时候，引入的颜色仍然少于$n-1$，则为$M= n(n-1)$;然而，这几乎肯定不会渐近地发生）。本文讨论的问题是，$\mathcal{D}(n,M)$是否具有彩虹树形（即，在$n$顶点上的有向有根树，其中所有边都指向远离根的方向，并且所有边都是不同的颜色）。显然，这两个属性是必要的所需的树存在，我们表明，渐近几乎肯定，这个问题的答案是“是”。
2014-11-12 math.CO
Oriented diameter and rainbow connection number of a graph
无桥图$G$的定向直径是$\min\{diam(H)\ | H\ is\ an orientation\ of\ G\}$。边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是指$G$存在$k$ -边染色使得$G$的每两个不同的顶点通过彩虹路相连的最小整数$k$.本文利用$rad(G)$和$η(G)$得到了图的定向直径和彩虹联系数的上界.其中，$rad(G)$是$G$的半径，$η(G)$是使得$G$的每条边都包含在长度至多为$η(G)$的循环中的最小整数。我们还得到了（二部）图$G$的定向直径和彩虹连接数的常数界，它们是由$G$的最小度决定的.
2011-12-05 math.CO
Rainbow triangles and the Caccetta-Häggkvist conjecture
Caccetta和Häggkvist的一个著名猜想是，在$n$顶点且最小出度至少为$\frac{n}{r}$的有向图中，存在长度为$r$或更小的有向圈。我们考虑以下推广：在$n$顶点上无向图中，$n$不相交边集合的任何集合，每个边的大小至少为$\frac{n}{r}$，有一个长度为$r$或更小的彩虹圈.我们着重讨论了$r=3$的情形，并在比猜想中更强的条件下证明了彩虹三角形的存在性.对于任意固定的$k$和足够大的$n$，我们确定了一个$n$ -顶点边着色图的最大边数，其中所有的色类的大小最多为$k$，并且没有彩虹三角形.此外，我们还刻画了这个问题的极图。
2018-04-04 math.CO
Improved bounds for proper rainbow saturation
本文基于与经典saturation和semi-saturation数的联系，为一般团、圈和完全二部图的proper rainbow saturation数$\ ext{sat}^*(n,H)$提供了新的上下界。
2024-10-14 math.CO
Optimal Colorings with Rainbow Paths
设$G$是色数为$k$的连通图.对于$G$的$k$ -着色$f$，完整的$f$ -彩虹路径是$G$中的$k$阶路径，其顶点都被$f$不同地着色.我们证明了$G$有一个$k$ -着色$f$使得$G$的每个顶点都位于一个完整的$f$ -彩虹路径上，这为Lin提出的一个问题提供了肯定的答案（Simple proofs of results on paths representing all colors in proper vertex-colorings，Graphs Combin. 23（2007）201-203）。进一步证明了如果$G$有一个长度为$k$的圈，那么$G$有一个$k$ -着色$f$使得对于$G$的每个顶点$u$，一些完全的$f$ -彩虹路径从$u$开始，这解决了Bessy和Bousquet提出的一个问题（Colorful paths for 3-chromatic graphs，arXiv 1503.00965v1）.最后，我们建立了（有向）全彩虹路的最优着色的存在性的一些结果。
2017-06-01 math.CO
The 3-rainbow index of a graph
设$G$是一个边着色为$c: E(G)\rightarrow \{1,2,...,q\},$ $q \in \mathbb{N}$的非平凡连通图，其中相邻的边可以着色相同.如果$G$中的树$T$的两条边不接收相同的颜色，则该树$T$是$rainbow tree$。对于顶点子集$S\subseteq V(G)$，连接$G$中的$S$的树称为$S$ -树。在$G$的边着色中需要的颜色的最小数量，使得对于$V(G)$的每个$k$子集$S$存在彩虹$S$树，被称为$k$彩虹索引，由$rx_k(G)$表示。本文首先确定了3-彩虹指数等于2的图，分别为$m,$ $m-1$，$m-2$.我们还得到了正则完全二部图、多部图和轮图的$rx_3(G)$的精确值。最后，给出了2-连通图和2-边连通图的$rx_3(G)$的一个精确上界，并刻画了其$rx_3(G)$达到该上界的图.
2013-07-03 math.CO
An Extremal Problem on Rainbow Spanning Trees in Graphs
如果边有色图的每条边都具有不同的颜色，则它的生成树是彩虹图。本文考虑图$G$中彩虹生成树个数的最大化和最小化的自然极值问题。这样的问题显然需要对着色进行限制才有意义。对于边着色使用$n-1$颜色和没有彩虹周期，在文献中称为JL着色，原来是一个特别好的方式计数的彩虹生成树，我们完全解决了这个问题的JL着色完全图$K_n$和完全二部图$K_{n,m}$。在这两种情况下，我们发现严格的上限和下界，特别是$K_n$的下界，证明有一个意想不到的混乱和有趣的行为。我们进一步研究了这个问题的一般图的JL-着色，并证明了几个结果，包括表征图的JL-着色实现最低可能的彩虹生成树的数量。我们建立其他结果一般$n-1$着色，包括提供一个类似的基尔霍夫的矩阵树定理，产生一种方式计数彩虹生成树在一般的图形$G$。
2020-08-06 math.CO
A Bondy-type theorem for rainbow pancyclicity in graph systems
School of Mathematics and Statistics, Fuzhou University（福州大学数学与统计学院）
本文在聚合度条件下证明了图系统的Bondy型定理：若图系统含彩虹Hamilton圈且最小度之和达到阈值，则系统为彩虹泛圈，除非偶数情形下的平衡完全二部图例外。
2026-09-24 math.CO
Representation of large matchings in bipartite graphs
令$f(n)$为使得二部图中的每个$n$匹配集合（每个匹配的大小至少为$f(n)$）具有全彩虹匹配的最小数。推广Ryser、Brualdi和Stein的著名定理，Aharoni和Berger证明了每个$n>1$都有$f(n)=n+1$。Clemens和Eschller证明了$f(n) \le \frac{3}{2}n +o(n)$ .我们表明，$o(n)$项可以减少到一个常数，即$f(n) \le \lceil \frac{3}{2}n \rceil+1$。
2017-02-23 math.CO
An Anti-Ramsey Problem Concerning Complete Bipartite Graphs
考虑正整数的四元组$(a,b,m,n)$与$a\leq b$和$m\leq n$使得完全二部图$K_{m,n}$的任意正常边染色包含彩虹$K_{a,b}$子图.我们证明，任何这样的四元与$a\leq m$和$n>(a^2-a+1)(b-1)$满足这一性质。我们还证明了四重$(2,3,3,6)$满足这一性质。我们以一个猜想结束。
2015-06-25 math.CO
Note on rainbow connection number of dense graphs
一个边着色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。根据Caro等人的想法，本文还研究了稠密图的彩虹连通数。证明了对$k\geq 2$，若$G$是阶$n$的非完全图，且最小度为$δ(G)\geq \frac{n}{2}-1+log_{k}{n}$，或最小度和为$σ_{2}(G)\geq n-2+2log_{k}{n}$，则$rc(G)\leq k$ ;若$G$是阶$n$的图，且直径为2，且$δ(G)\geq 2(1+log_{\frac{k^{2}}{3k-2}}{k})log_{k}{n}$，则$rc(G)\leq k$ .我们还证明了，如果$G$是一个阶为$n$的非完全二部图，且同一顶点类中的任意两个顶点在另一顶点类中至少有$2log_{\frac{k^{2}}{3k-2}}{k}log_{k}{n}$公共邻居，则$rc(G)\leq k$ .
2011-10-05 math.CO
Decompositions into spanning rainbow structures
边着色图的一个子图称为彩虹，如果它的所有边都有不同的颜色。彩虹子图的研究可以追溯到200多年前欧拉关于拉丁方的工作，并一直是广泛研究的焦点。欧拉提出了一个问题，相当于找到正确的$n$ -边着色完全二部图$K_{n,n}$，可以分解成彩虹完美匹配。虽然有适当的边着色的$K_{n,n}$，甚至没有一个单一的彩虹完美匹配，本文的主题是表明，与一些非常弱的额外的限制，可以找到许多不相交的彩虹完美匹配。特别是，我们证明，如果一些分数的颜色类有最多$(1-o(1)) n$边缘，然后可以近分解的边缘$K_{n,n}$到边缘不相交完美的彩虹匹配。作为这一点的应用，我们建立了一个非常强的形式的猜想Akbari和Alipour和渐近证明了一个猜想Barat和Nagy。这两个图都涉及具有二次多色的$K_{n,n}$的边着色中的彩虹完美匹配。使用我们的技术，我们也证明了一些结果的近分解图成其他彩虹结构，如哈密顿圈和生成树。最值得注意的是，我们证明了任何适当着色的完全图都可以近似分解成生成彩虹树。这渐近地证明了Brualdi-Hollingsworth和Kaneko-Kano-Suzuki定理，它们预测在相同的假设下应该存在完美的分解。
2018-12-10 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
Rainbow matchings and partial transversals of Latin squares
本文考虑了边着色图，即两条边不能有一个端点，所以每一个颜色类都是一个匹配。如果匹配的边具有不同的颜色，则称为\it彩虹\rm。图的最小度记为$δ(G)$。我们证明了具有$|V(G)|\ge 4δ(G)-3$的适当边着色图$G$具有大小为$δ(G)$的彩虹匹配，这对Wang最近提出的一个问题给出了最好的估计.由于显然至少需要$2δ(G)$顶点来保证大小为$δ(G)$的彩虹匹配，我们研究当$|V(G)|\ge 2δ(G)$。我们证明了任何具有$|V(G)|\ge 2δ$的正确边着色图$G$都包含大小至少为$δ- 2δ(G)^{2/3}$的彩虹匹配。这个结果扩展了（具有较弱的误差项）众所周知的结果，即完全二分图$K_{n,n}$的因子分解具有大小为$n-o(n)$的彩虹匹配，或者等价地，每个拉丁方的顺序$n$具有大小为$n-o(n)$的部分横截（Ryser - Brualdi猜想的渐近版本）。在这个方向上，我们还表明，每一个拉丁方的顺序$n$有一个{ \em无圈部分断面}的大小为$n-o(n)$。
2012-08-28 math.CO
Universality for rainbow oriented cycles in perturbed digraphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究随机扰动有向图在均匀n边着色下，高概率同时包含所有长度和定向的彩虹有向圈，通过Montgomery分布吸收法证明。
2026-05-29 math.CO
Constrained Ramsey numbers for rainbow $P_5$
School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）；College of Science, Northwest A&F University（西北农林科技大学理学院）
本文研究彩虹 $P_5$ 的约束拉姆齐数猜想，针对多类色数至少为 3 的不连通图建立一般性结果，并给出二部图变体的若干结论。
2026-09-29 math.CO
A $\overrightarrow{P_{3}}$-decomposition of tournaments and bipartite digraphs
有向图$D$的$\overrightarrow{P_{3}}$ -分解是将$D$的弧划分为长度为$2$的有向路径。本文给出了允许$\overrightarrow{P_{3}}$ -分解的竞赛图和二部有向图的一个刻画。这解决了Diwan（$\overrightarrow{P_{3}}$ -分解的有向图，离散应用数学，http：//dx.doi.org/10.1016/j.dam.2016.01.039.）。
2016-11-10 math.CO
Short directed cycles in bipartite digraphs
Caccetta-Häggkvist猜想表明，对任意整数$k\ge 1$，若$G$是一个二部有向图，每个部分都有$n$顶点，且每个顶点的出度都大于$n/(k+1)$，则$G$有一个长度至多为$2k$的有向圈.如果这是真的，这是最好的可能，我们证明这对$k = 1,2,3,4,6$和所有$k\ge 224,539$。更一般地，我们猜想，对于每一个整数$k\ge 1$，以及每一对实数$α, β> 0$与$kα+β>1$，如果$G$是一个具有二分图$(A,B)$的二部有向图，其中$A$中的每个顶点的出度至少为$β|B|$，而$B$中的每个顶点的出度至少为$α|A|$，则$G$有一个长度至多为$2k$的有向圈。这意味着Caccetta-Häggkvist猜想（集合$β>0$和非常小），并再次是最好的可能无限多对$(α,β)$。我们证明了这一点$k = 1,2$，并证明了一个较弱的声明（即$α+β>2/(k+1)$足够）$k=3,4$。
2019-07-24 math.CO
Rainbow Matchings: existence and counting
边着色完全二部图K_{n,n}中的完美匹配M是彩虹图，如果M中没有一对边具有相同的颜色.我们得到的渐近计数结果的彩虹匹配的数量方面的最大数量的出现的颜色。我们还考虑两个自然模型的随机边着色K_{n,n}，并表明，如果颜色的数量至少是n，那么有很高的概率是随机匹配。这特别表明，几乎每一个n阶方阵，其中每一个条目出现最多n次有一个拉丁断面。
2011-04-14 cs.DM math.CO
On Aharoni's rainbow generalization of the Caccetta-Häggkvist conjecture
对于有向图$G$和$v \in V(G)$，令$δ^+(v)$为$G$中$v$的外邻居数。Caccetta-Häggkvist猜想指出，对于所有的$k \ge 1$，如果$G$是一个有向图，其$n = |V(G)|$使得$δ^+(v) \ge k$对于所有的$v \in V(G)$，则G包含一个长度至多为$\lceil n/k \rceil$的有向圈。在[2]中，Aharoni提出了一个关于这个猜想的推广，即一个在$n$顶点上的简单边着色图，其$n$色类的大小为$k$，其彩虹圈的长度至多为$\lceil n/k \rceil$ .在本文中，我们证明了这个猜想，如果每个颜色类的大小$Ω(k \log k)$。
2021-10-01 math.CO
On directed 2-factors in digraphs and 2-factors containing perfect matchings in bipartite graphs
本文给出了如下结果：若$D$是一个阶为$n$的有向图，且若对每两个不同的顶点$u$和$v$，有$d_{D}^{+}(u) + d_{D}^{-}(v) \ge n$且有$(u, v) \notin A(D)$，则$D$有一个有向$2$ -因子，其中恰好有长度至少为$3$的$k$有向圈，其中$n \ge 12k+3$ .这个结果等价于下面的结果：如果$G$是一个平衡的二部图，它的序为$2n$，有部集$X$和$Y$，并且如果$d_{G}(x)+d_{G}(y) \ge n + 2$对每两个顶点$x \in X$和$y \in Y$都有$xy \notin E(G)$，那么对每一个完美匹配的$M$，$G$有一个$2$ -因子，它的$k$圈的长度至少为$6$，包含$M$的每条边，其中$n \ge 12k+3$。这些结果分别是Woodall（1972）和Las Vergnas（1972）关于Hamilton圈的定理的推广。
2017-08-02 math.CO
Rainbow cycles through specified vertices
本文研究图的 $k$-rainbow 圈指数 $crx_k(G)$，证明了一般图的相关性质，对 $k=1,2$ 时满足 $crx_k(G)=e(G)$ 的图进行分类，并确定了轮图、完全图、完全二部图与多部图及离散立方体等特定图的该指数值。
2024-05-30 math.CO
Directed Hamilton cycles in digraphs and matching alternating Hamilton cycles in bipartite graphs
1972年，Woodall提出了有向图中有向Hamilton圈的Ore型条件：设$D$是有向图。如果对于每个顶点对$u$和$v$，其中没有从$u$到$v$的弧，我们有$d^+u)+d^-(v)\geq |D|$，则$D$有一个有向Hamilton圈。利用二部图与有向图之间的对应关系，上述结果等价于Las Vergnas的结果：设$G = (B,W)$是平衡二部图.如果对于任何$b \in B$和$w \in W$，其中$b$和$w$不相邻，我们有$d(w)+d(b) \geq |G|/2 + 1$，则$G$的每个完美匹配都包含在一个Hamilton圈中。两个结果的下界都很紧。在本文中，我们减少这两个界限$1$，并证明结论仍然成立，只有少数例外的情况下，可以清楚地描述。
2017-10-19 math.CO
A character approach to directed genus distribution of graphs: the bipartite single-black-vertex case
给定一个欧拉有向图，我们考虑它的面向面嵌入的亏格分布。我们证明了两类欧拉有向图的分布是对数凹的，从而对Bonnington，Conder，Morton和McKenna（2002）提出的一个问题给出了肯定的回答.我们的证明使用实根多项式和对称群$\mathbb{S}_n$的表示论。结果也被推广到$\mathbb{S}_n$中的恒等式的一些因式分解，这是一些家庭的单面星座的旋转系统。
2020-05-24 math.CO
Efficiently sampling the realizations of irregular, but linearly bounded bipartite and directed degree sequences
自1997年以来，人们一直致力于研究图度序列上的交换马尔可夫链。证明了正则单、正则有向、半正则有向和半正则二部度序列上的快速混合马氏链的几个结果。设$U$和$V$是不相交的有限集，$0 < c_1 \le c_2 < |U|$和$0 < d_1 \le d_2 < |V|$是整数.进一步，假设$U \cup V$上的二分度序列满足$c_1 \le d(v) \le c_2\ : \ \forall v\in V$和$d_1 \le d(u) \le d_2 \ : \ \forall u\in U$。最后假设$(c_2-c_1 -1)(d_2 -d_1 -1) < 1 + \max \{c_1(|V| -d_2), d_1(|V|- c_2) \}$。然后这个二分度序列上的交换马尔可夫链是快速混合的。该技术也适用于有向度序列，具有非常相似的参数值。这些结果是密切相关的Greenhill和Sfragara最近的结果关于快速混合MCMC过程的简单和有向度序列，其中的最大程度是$O(\sqrt{\# \mbox{ of edges}})$。结果在有向度序列上具有一定的可比性：虽然GS结果更好地适用于在某些无标度随机过程下开发的度序列，但我们的新结果更好地拟合在Erdens-Rényi模型下开发的度序列。例如，我们的结果覆盖了所有正则度序列，当平均度为$ > n/16.$时，GS模型不适用
2018-03-12 math.CO
The Rainbow Arborescence Problem on Cycles
本文证明了当图的无向图为环时，彩虹有根树猜想成立，即存在一个生成有根树包含每种颜色的一条弧。
2025-12-09 cs.DM math.CO
Counting Bipartite, k-Colored and Directed Acyclic Multi Graphs Through F-nomial coefficients
其中，F-多项式系数包括分别对有限集的子集和有限向量空间的子空间计数的公知的二项式系数或高斯系数。这里，考虑所谓的F-蛛网镶嵌序列N（a）。对于这样的特定序列，一个新的解释相对于克瓦希涅夫斯基一般组合解释的F-范数系数是unearhed。也就是说，对于镶嵌序列F = N（a）$，F-范数系数等于标号特殊二部多重图G（a，n，k）的个数。建立了k-着色a-多重图的个数与多重N（a）-范数系数之间的显式关系。本文还证明了所考虑的N（a）-有名无实系数的逆矩阵的第一行的无符号值等于n个结点的有向无圈a-重图的个数。
2009-01-11 math.CO
Asymptotic enumeration of constrained bipartite, directed and oriented graphs by degree sequence
UNSW Sydney（新南威尔士大学）；Yazd University（亚兹德大学）；Australian National University（澳大利亚国立大学）
本文研究了约束双图、有向图和定向图的渐近计数问题，提出了基于度序列的概率方法，并应用到随机矩阵的永久性计算及无向图定向的度数分析中。
2026-01-08 math.CO
Tournament completions of bipartite tournaments and their augmented directed cycles
本文研究二部竞赛图的竞赛图补全问题，刻画了存在恰好一个增广3-有向环且无增广4-有向环的补全的二部竞赛图族，作为定向补全问题的变体。
2024-05-28 math.CO
Rainbow Erdős-Sós Conjectures
本文提出在 n 维超立方体 Q_n 中，相对 rainbow 极值数 ex*(Q_n,T) 满足 Erdős-Sós 型猜想，并验证了某些无限族树 T 的情形。
2025-01-31 math.CO
Star-critical Gallai-Ramsey numbers of graphs
Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$是最小的整数$n$，使得每个$k$ -边着色的$K_{n}$对于某些$i\in [k]$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。我们找到最大的明星，可以从$K_n$，使基本的图形仍然被迫有彩虹$K_3$或单色$H_{i}$在彩色$i$的一些$i\in [k]$。因此，我们定义星临界Gallai-Ramsey数$gr_{k}^{*}(K_3: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$为最小整数$s$，使得对于某些$i\in [k]$，每个$k$ -边色$K_{n}-K_{1, n-1-s}$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。当$H=H_{1}=\cdots=H_{k}$时，我们简单地用$gr_{k}^{*}(K_{3}: H)$表示$gr_{k}^{*}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$。我们确定了完全图和一些小图的星临界Gallai-Ramsey数。此外，我们表明，$gr_{k}^{*}(K_3: H)$是指数的$k$，如果$H$不是二分的，线性的$k$，如果$H$是二分的，但不是一个明星和常数（不依赖于$k$），如果$H$是一个明星。
2021-03-02 math.CO
Rainbow Hamiltonicity in uniformly coloured perturbed digraphs
本文证明了在边均匀着色的随机扰动有向图中，当底图最小半度满足条件时，以高概率存在彩虹有向哈密顿圈，改进了此前无向图设置下的相关结论。
2024-03-27 math.CO
New Hardness Results in Rainbow Connectivity
边着色图中的一条路径被称为彩虹路径，如果路径上没有两条边具有相同的颜色。一个边着色图是（强）彩虹连通的，如果每对顶点之间存在一条（测地线）彩虹路。图$G$的（强）彩虹连通性，分别用（$src(G)$）$rc(G)$表示，是对图进行边着色所需的最小颜色数，使得图是（强）彩虹连通的。已知对于\emph{even} $k$判定图的彩虹连通度是否至多为$k$是NP-困难的.证明了对于所有的$k$，判定$rc(G) \leq k$是否为NP-难问题。本文证明了这一猜想。我们还证明了即使当$G$是一个二部图时，判定$src(G) \leq k$是否为二部图也是NP-困难的.
2011-04-11 cs.CC cs.DM math.CO
