Aharoni 对 Caccetta-Häggkvist 猜想的彩虹推广的进一步逼近
Further approximations for Aharoni's rainbow generalization of the Caccetta-Häggkvist conjecture
AI总结：
本文研究 Aharoni 对 Caccetta-Häggkvist 猜想的彩虹推广，将每个颜色类大小的下界从 Ω(k log k) 改进为 Ω(k)，证明此时仍存在长度至多 ⌈n/k⌉ 的彩虹环，并进一步讨论了颜色数量条件放宽后的情形。
摘要：
对于有向图 $G$ 和 $v \in V(G)$，令 $δ^+(v)$ 表示 $v$ 在 $G$ 中的出邻点个数。Caccetta-Häggkvist 猜想断言：对所有 $k \ge 1$，如果 $G$ 是一个具有 $n = |V(G)|$ 个顶点的有向图，使得对所有 $v \in V(G)$ 都有 $δ^+(v) \ge k$，那么 $G$ 包含一个长度至多为 $\lceil n/k \rceil$ 的有向环。Aharoni 提出了该猜想的一个推广：一个在 $n$ 个顶点上具有 $n$ 个颜色类、每个颜色类大小为 $k$ 的简单边着色图，含有一个长度至多为 $\lceil n/k \rceil$ 的彩虹环。我们与 Pelikánová 和 Pokorná 一起证明了：如果每个颜色类的大小为 $Ω(k\log k)$，则该猜想成立。在本文中，我们给出了当每个颜色类的大小为 $Ω(k)$ 时该猜想的一个证明，这改进了先前的结果，并且与 Aharoni 猜想仅相差一个常数因子。我们还考虑了当颜色数量的条件被放宽时会发生什么。
英文摘要：
For a digraph $G$ and $v \in V(G)$, let $δ^+(v)$ be the number of out-neighbors of $v$ in $G$. The Caccetta-Häggkvist conjecture states that for all $k \ge 1$, if $G$ is a digraph with $n = |V(G)|$ such that $δ^+(v) \ge k$ for all $v \in V(G)$, then $G$ contains a directed cycle of length at most $\lceil n/k \rceil$. Aharoni proposed a generalization of this conjecture, that a simple edge-colored graph on $n$ vertices with $n$ color classes, each of size $k$, has a rainbow cycle of length at most $\lceil n/k \rceil$. With Pelikánová and Pokorná, we showed that this conjecture is true if each color class has size $Ω(k\log k)$. In this paper, we present a proof of the conjecture if each color class has size $Ω(k)$, which improved the previous result and is only a constant factor away from Aharoni's conjecture. We also consider what happens when the condition on the number of colors is relaxed.
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