The strong rainbow vertex-connection of graphs
一个顶点着色图$G$称为彩虹点连通图，如果$G$的每两个顶点之间有一条内部顶点具有不同颜色的路相连，这样的路称为彩虹路，连通图$G$的彩虹点连通数（记为$rvc(G)$）是使$G$彩虹点连通所需的最小颜色数.如果对于每对$u, v$不同的顶点，$G$包含彩虹$u-v$测地线，则$G$是强彩虹顶点连通的。使$G$的$k$ -点染色能产生强彩虹点连通图的最小数$k$称为$G$的强彩虹点连通数，记为$srvc(G)$ .观察到对于任何非平凡连通图$G$，都有$rvc(G)\leq srvc(G)$。本文对$n$阶连通图$G$，即$0\leq srvc(G)\leq n-2$，给出了$srvc(G)$的精确上、下界.图的顺序$n$，使$srvc(G)= 1, 2, n-2$的特点，分别。本文还证明了，对于每一对具有$a\geq 5$和$b\geq (7a-8)/5$的整数$a, b$，存在一个连通图$G$，使得$rvc(G)=a$和$srvc(G)=b$ .
2012-01-07 math.CO
Further results on the rainbow vertex-disconnection of graphs
设$G$是一个顶点着色的非平凡连通图.如果$G$的顶点集的子集$X$中的任意两个顶点具有不同的颜色，则称$X$为彩虹。图$G$称为\emph{rainbow vertex-disconnected}，如果对于$G$的任意两个顶点$x$和$y$，存在一个顶点子集$S$，使得当$x$和$y$不相邻时，$S$是彩虹图，且$x$和$y$属于$G-S$的不同分支;而当$x$和$y$相邻时，$S+x$或$S+y$为彩虹，$x$和$y$属于$(G-xy)-S$的不同组分。这样的顶点子集$S$被称为$G$的\emph{rainbow vertex-cut}。对于连通图$G$，$G$的\emph{rainbow vertex-disconnection number}，记为$rvd(G)$，是使$G$彩虹顶点不连通所需的最小颜色数。本文利用图的最小度和最大度给出了图的彩虹点不连通数的界。本文给出了图$G$的最大尺寸的一个严格的上界，其中$rvd(G)=k$为$k\geq\frac{n}{2}$。然后我们用彩虹点不连通数$n-1$刻画了$n$阶图，并得到了具有$rvd(G)=n-1$的图$G$的最大图长.此外，我们得到了一个尖锐的阈值函数的性质$rvd(G(n,p))=n$，并证明了几乎所有的图$G$有$rvd(G)=rvd(\overline{G})=n$。最后，我们得到了阶为$n\geq 24$的…
2020-06-14 math.CO
The vertex-rainbow index of a graph
$k$ -连通图$G$的彩虹指数$rx_k(G)$由Chartrand，Okamoto和Zhang在2010年引入。作为$k$ -彩虹指标的自然对应，本文引入了$k$ -顶点-彩虹指标$rvx_k(G)$的概念。对于图$G=(V,E)$和至少两个顶点的集合$S\subseteq V$，\emph{an $S$-Steiner tree}或\emph{a Steiner tree connecting $S$}（或简称\emph{an $S$-tree}）是$G$的这样的子图$T=(V',E')$，其是具有$S\subseteq V'$的树。对于$S\subseteq V(G)$和$|S|\geq 2$，如果$V(T)\setminus S$的顶点具有不同的颜色，则称$S$-Steiner树$T$为\emph{vertex-rainbow $S$-tree}.对于具有$2\leq k\leq n$的固定整数$k$，如果对于$V(G)$的每个$k$ -子集$S$存在顶点彩虹$S$ -树，则$G$的顶点着色$c$称为\emph{$k$-vertex-rainbow coloring}。在这种情况下，$G$称为\emph{vertex-rainbow $k$-tree-connected}。在$G$的$k$ -顶点-彩虹着色中需要的最小颜色数称为$G$的\emph{$k$-vertex-r…
2015-01-31 math.CO
Rainbow vertex-connection number of 2-connected graphs
连通图$G$的{ \em rainbow vertex-connection number}，$rvc(G)$，是对图的顶点进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条内部顶点具有不同颜色的路径连接。本文首先确定了$n\geq 3$阶圈$C_n$的彩虹点连通数，然后在此基础上证明了对任意2-连通图$G$，$rvc(G)\leq rvc(C_n)$，给出了彩虹点连通数的一个紧上界.因此，我们证明了，对于一个连通图$G$与块分解$B_1, B_2, ..., B_k$和$t$割点，$rvc(G)\leq rvc(B_1)+rvc(B_2)+ ... +rvc(B_k)+t$。
2011-10-26 math.CO
Rainbow induced subgraphs in proper vertex colorings
对于给定的图$H$，我们定义$ρ(H)$为图$G$的最小阶，使得$G$的每一个真点染色都包含一个与$H$同构的彩虹诱导子图.我们给出了$ρ(H)$的上界和下界，计算了某些类图的精确值，并考虑了一个有趣的组合问题与路径的$ρ(H)$的计算。本研究的动机是一些想法，在线图着色算法。
2011-05-18 math.CO
Some results on the rainbow vertex-disconnection colorings of graphs
本文研究图的彩虹顶点断开着色问题，证明了无 $K_4$ 子式图的彩虹顶点断开数不超过最大度，并证明该问题在二部图和分裂图上是 $NP$-完全的且难以近似。
2023-07-08 math.CO
Some Remarks on Rainbow Connectivity
一个边（顶点）着色图是彩虹连通的，如果在任意两个顶点之间有一条彩虹路，即一条路的所有边（内部顶点）都带有不同的颜色。图$G$的彩虹边（点）连通度是图$G$的彩虹边（点）着色所需的最小颜色数。在本文中，我们提出了一个非常简单的方法来研究彩虹连通图。利用这一思想，我们给出了几个已知结果的统一证明，以及一些新的结果。
2015-09-10 math.CO
Rainbow vertex pair-pancyclicity of strongly edge-colored graphs
本文研究了强边染色图的彩虹顶点对泛圈性，证明了阶数为$n$且最小度数$\delta \geq \frac{2n}{3}+1$的强边染色图必然具有该性质。
2023-05-05 math.CO
On the total Rainbow domination of digraphs
对于正整数$k$，有向图$D$上的$k$ -彩虹控制函数（$k$ RDF）是从顶点集$V(D)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的所有子集的集合的函数$f$，使得对于具有$f(v)=\emptyset$的任何顶点$v$，$\bigcup_{u\in N^-(v)}f(u)=\{1,2,\ldots,k\}$，其中$N^-(v)$是$v$的内邻居的集合。$k$ RDF $f$的权重定义为$\sum_{v\in V(D)}|f(v)|$。如果集合$\{v\in V(D):f(v)\ne\emptyset\}$诱导的$D$的子有向图没有孤立点，则称$D$上没有孤立点的$k$ RDF $f$为全$k$ -彩虹控制函数.全$k$ -彩虹控制数是全$k$ -彩虹控制函数在$D$上的最小权。本文建立了全$k$ -彩虹控制数的一些界，并给出了某些有向图的全$k$ -彩虹控制数.
2020-01-10 math.CO
The rainbow connection number of the power graph of a finite group
研究了有限群$G$的幂图$Γ_G$的彩虹连通数.当$G$有最大对合或幂零时，我们确定了$Γ_G$的彩虹连接数;当$G$没有最大对合时，我们证明了$Γ_G$的彩虹连接数至多为3.给出了某些非幂零群的幂图的彩虹连通数。
2015-07-31 math.CO
Kernels by rainbow paths in arc-colored tournaments
对于一个弧色有向图$D$，定义它的{ \em kernel by rainbow paths}为一个顶点集$S$，使得（i）$S$中没有两个顶点通过$D$中的彩虹路径相连，并且（ii）$S$外的每个顶点都可以通过$D$中的彩虹路径到达$S$。本文证明了用彩虹路判定弧色竞赛图是否有核是NP-完全的，其中{ \em竞赛图}是完全图的定向图.此外，我们证明了每个弧着色的$n$顶点竞赛图及其所有强连接的$k$顶点子竞赛图，$3\leq k\leq n$，着色至少$k-1$颜色有一个核的彩虹路径，所需的颜色的数量不能减少。
2018-03-11 math.CO
Total rainbow connection of digraphs
如果一条边有明显的颜色，那么它就是彩虹。对于连通图$G$，彩虹连接数（分别为$G$的强彩虹连接数）是对$G$的边缘着色所需的最小颜色数，使得$G$的任何两个顶点通过彩虹路径（分别为彩虹测地线）。这两个图参数是由Chartrand，Johns，McKeon和Zhang在2008年引入的。Krivelevich和Yuster将这个概念推广到顶点颜色设置。同样，刘，梅斯特和苏萨介绍了版本，其中涉及总着色。Dorbec，Schiermeyer，Sidorowicz和Spena将彩虹连接的概念扩展到有向图。本文研究了有向图的（强）全彩虹联络数。给出了图、竞赛图和仙人掌图的双定向的（强）全彩虹联系数。
2017-11-03 math.CO
Rainbow Graphs and Switching Classes
彩虹图是一个允许顶点着色的图，使得每个颜色在每个顶点的邻域中只出现一次。我们研究彩虹图的一些性质。特别地，我们证明了2n个顶点上的n-彩虹图的同构类与n个顶点上的图的切换类之间存在一个双射。
2012-10-09 math.CO
The complexity of determining the rainbow vertex-connection of graphs
Krivelevich和Yuster提出了一个顶点有色图，如果任意两个顶点之间有一条内部顶点颜色不同的路连通，则称该图为{ \it rainbow vertex-connected}.连通图$G$的{ \it rainbow vertex-connection}，记为$rvc(G)$，是为了使$G$ rainbow vertex-connected所需的最小颜色数。本文研究了图的点彩虹连通的计算复杂性，证明了计算$rvc(G)$是NP-困难的.此外，我们表明，它已经是NP完全决定是否$rvc(G)=2$。我们还证明了以下问题是NP完全的：给定一个顶点有色图$G$，检查给定的着色是否使$G$彩虹点连通。
2011-01-17 cs.DM math.CO
Rainbow Connection of Random Regular Graphs
一个边有色图$G$是彩虹边连通的，如果任意两个顶点通过一条路相连，且该路的边具有不同的颜色.连通图$G$的彩虹连接，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。本文研究了$n$阶随机$r$ -正则图$G=G(n,r)$的彩虹连通性，其中$r\ge 4$为常数.证明了当$n$趋于无穷大时，概率趋于1时，$G$的彩虹连接满足$rc(G)=O(\log n)$，这是直到一个隐藏常数的最佳可能.
2014-12-02 math.CO
The (strong) rainbow connection numbers of Cayley graphs of Abelian groups
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹路径。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是存在$G$的$i$边染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$。$G$的强彩虹联系数$src(G)$是存在$i$边染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路连接的最小整数$i$。$G$的着色，使得$G$的每两个不同顶点$u$和$v$通过长度为$d(u,v)$的彩虹路径连接。本文给出了阿贝尔群的（强）彩虹连通Cayley图的上界和下界.此外，我们确定了一些特殊情况下的（强）彩虹联系数。
2010-12-03 math.CO
Rainbow connection in $3$-connected graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。本文证明了$rc(G)\leq 3(n+1)/5$对所有$3$ -连通图都成立.
2010-10-29 math.CO
Large rainbow matchings in large graphs
边有色图的\textit{rainbow subgraph}是边具有不同颜色的子图.顶点$v$的\textit{color degree}是关联到$v$的边上的不同颜色的数目。证明了如果$n$足够大（即$n\geq 4.25k^2$），则每个最小色度至少为$k$的$n$ -顶点图$G$都包含一个大小至少为$k$的彩虹匹配.
2012-04-14 math.CO
On the threshold for rainbow connection number r in random graphs
我们称图G的边着色为彩虹着色，如果每对顶点都由彩虹路连接，即，没有两条边具有相同颜色的路径。图G的边的彩虹着色所需的最少颜色数称为图G的彩虹连通数rc（G）。研究了Erdens-Rényi随机图中具有rc（G）<= r性质的锐阈值，其中r是一个固定整数.已知当r=2时，随机图的彩虹连接数2和直径2基本上同时发生.当r >= 3时，我们推测情况并非如此，提出了另一种阈值，并证明了这是彩虹连接数r的阈值的一个上界。
2013-07-29 math.CO
Strong rainbow connection numbers of toroidal meshes
在2011年，Li等人\cite{LLL}得到了$r$维无向环面网格的强彩虹连接数的上界。本文改进了这一界。因此，我们对他们的问题给予否定的回答。
2017-03-01 math.CO
A solution to a conjecture on the rainbow connection number
对于图$rc(G)$，Chartrand等人在“G. Charand，G.L.约翰，K.A. Mckeon，P. Zhang，图中的彩虹连接，Mathematica Bohemica，133（1）（2008）85-98”。他们提出了如下猜想：对两个给定的正$a$和$b$，存在连通图$G$使得$rc(G)=a$和$src(G)=b$当且仅当$a=b\in\{1,2\}$或$ 3\leq a\leq b$“.在这篇短文中，我们将证明这个猜想是正确的。
2010-12-14 math.CO
Hardness result for the total rainbow $k$-connection of graphs
全着色图中的一条路称为\emph{total rainbow}，如果它的边和内部顶点具有不同的颜色.对于$\ell$连通图$G$和具有$1\leq k \leq\ell$的整数$k$，$G$的\emph{total rainbow $k$-connection number}，记作$trc_k(G)$，是在$G$的全着色中使$G$成为\emph{total rainbow $k$-connected}所用的最少颜色数，即$G$的任意两个顶点由$k$内部顶点不相交的全彩虹路连接.本文研究了图的全彩虹$k$ -联系数的计算复杂性。证明了判定是否为$trc_k(G)=3$是NP完全的。
2015-11-19 math.CO
On various (strong) rainbow connection numbers of graphs
如果所有边都有不同的颜色，则边着色路径为\emph{rainbow}。对于连通图$G$，\emph{rainbow connection number} $rc(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹路径连接。类似地，\emph{strong rainbow connection number} $src(G)$是$G$的边着色中的最小颜色数，使得任意两个顶点通过彩虹测地线连接（即，最短长度的路径）。图的连通性的这两个概念是由Chartrand等人引入的。2008年随后，引入了两个参数的顶点着色版本$rvc(G)$和$srvc(G)$，以及彩虹连接数的全着色版本$trc(G)$。本文引入了强全彩虹联系数$strc(G)$，它是强彩虹联系数的全染色形式.在我们的结果中，我们将确定一些特殊图的强全彩虹连通数。我们还将比较这六个参数，考虑它们之间的距离有多近和多远。特别地，我们将构造所有正整数对$a$和$b$，使得存在具有$trc(G)=a$和$strc(G)=b$的图$G$，并且对于函数$rvc$和$srvc$也是类似的。
2017-04-20 math.CO
Rainbow connection number and independence number of a graph
设$G$是边着色连通图.如果$G$的每条边都被不同的颜色着色，则该路径称为彩虹。如果$G$的每两个顶点之间存在彩虹路径，则称$G$是彩虹连通的。使$G$彩虹连接所需的最小颜色数称为$G$的彩虹连接数，用$rc(G)$表示。本文研究了图的彩虹连通数与图的独立数之间的关系。证明了如果$G$是连通图，则$rc(G)\leq 2α(G)-1$ .给出了两个例子$G$，表明上界$2α(G)-1$等于$G$的直径，因此是最好的可能，因为直径是$rc(G)$的下界。
2013-04-03 math.CO
The rainbow connection number of 2-connected graphs
图G的彩虹连通数是指图G的边着色中使每两个顶点之间有两次不含颜色的路的最少颜色数。改进Caro等人的结果，证明了任意n阶2-连通图的彩虹连通数至多是n/2的天花板.边界是最优的。
2011-10-26 math.CO
Rainbow connection number of dense graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。在本文中，我们表明，$rc(G)\leq 3$，如果$|E(G)|\geq {{n-2}\choose 2}+2$，和$rc(G)\leq 4$，如果$|E(G)|\geq {{n-3}\choose 2}+3$。这些界限很清晰。
2011-10-26 math.CO
Upper bounds for the rainbow connection numbers of line graphs
边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以着色相同，如果它的两条边都不着色相同，则称为彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果对于$G$的任意两个顶点，有一条彩虹路将它们连接起来.用$rc(G)$表示的$G$的彩虹连接数被定义为存在着色使得$G$是彩虹连接的颜色的最小数目。本文主要研究了含三角形的线图的彩虹连通数，得到了$rc(L(G))$的两个明显的上界，它们是由$G$的边不相交三角形的个数决定的，其中$L(G)$是$G$的线图.我们也给出了迭代线图的一些结果。
2010-01-02 math.CO
Optimal Colorings with Rainbow Paths
设$G$是色数为$k$的连通图.对于$G$的$k$ -着色$f$，完整的$f$ -彩虹路径是$G$中的$k$阶路径，其顶点都被$f$不同地着色.我们证明了$G$有一个$k$ -着色$f$使得$G$的每个顶点都位于一个完整的$f$ -彩虹路径上，这为Lin提出的一个问题提供了肯定的答案（Simple proofs of results on paths representing all colors in proper vertex-colorings，Graphs Combin. 23（2007）201-203）。进一步证明了如果$G$有一个长度为$k$的圈，那么$G$有一个$k$ -着色$f$使得对于$G$的每个顶点$u$，一些完全的$f$ -彩虹路径从$u$开始，这解决了Bessy和Bousquet提出的一个问题（Colorful paths for 3-chromatic graphs，arXiv 1503.00965v1）.最后，我们建立了（有向）全彩虹路的最优着色的存在性的一些结果。
2017-06-01 math.CO
Rainbow triangles in arc-colored tournaments
设$T_{n}$是序为$n$的弧色竞赛图。最大单色深度$Δ^{-mon}(T_{n})$（分别$T_{n}$的出度（outdegree）$Δ^{+mon}(T_{n})$是入弧的最大数量（分别为外弧）入射到$T_{n}$的顶点。$T_{n}$的不规则度$i(T_{n})$是$T_{n}$顶点的入度与出度之差的最大值。弧色有向图$D$的子图$H$称为彩虹图，如果$H$中的每对弧具有不同的颜色。本文证明了具有$Δ^{-mon}(T_n)\leqΔ^{+mon}(T_n)$的弧色竞赛图$T_{n}$中的每个顶点$v$至少包含在$\frac{δ(v)(n-δ(v)-i(T_n))}{2}-[Δ^{-mon}(T_{n})(n-1)+Δ^{+mon}(T_{n})d^+(v)]$彩虹三角形中，其中$δ(v)=\min\{d^+(v), d^-(v)\}$ .给出了$T_{n}$包含彩虹三角形和包含通过给定顶点的彩虹三角形的最大单色度条件。最后，我们提出了一些例子表明，我们的结果中的一些条件是最好的可能。关键词：弧色竞赛图，彩虹三角形，最大单色度，不规则性
2020-03-07 math.CO
On Rainbow Connection of Strongly Regular Graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是为了使$G$彩虹连接所需的最小颜色数。证明了如果$G$是一个强连通$r$ -正则图，且$r\geq 600$是一个强连通图，则$rc(G)\leq3$是一个强连通图.特别地，存在一个常数$c$，使得对任意连通强正则图$G$都有$rc(G)\leq c$.
2011-12-02 math.CO
Note on vertex disjoint rainbow triangles in edge-colored graphs
本文通过构造反例否定了关于边着色图中 proper $mK_3$ 存在条件的猜想，并给出一般图中顶点不交彩虹 $K_k$ 子图及完全图中 proper $mK_3$ 的存在性结果。
2024-02-28 math.CO
On Even Rainbow or Nontriangular Directed Cycles
设$G = (V, E)$是$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有明显颜色的边关联，则$G$允许一个彩虹三角形。对于固定的偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$，我们建立了一个相应的结果：如果每个顶点$v \in V$至少与$(n+5)/3$的不同色边相关联，其中$n \geq n_0(\ell)$足够大，则$G$允许偶彩虹$\ell$ -圈$C_{\ell}$ .当$\ell \not\equiv 0$（mod 3）时，此结果可能最佳。相应地，我们还证明了，对于一个固定的（偶数或奇数）整数$\ell \geq 4$，每一个大的$n$ -顶点定向图$\vec{G} = (V, \vec{E})$最小出度至少$(n+1)/3$允许一个（一致）有向$\ell$ -圈$\vec{C}_{\ell}$。我们的后一个结果与Kelly、Kühn和Osthus的一个结果有关，他们证明了具有大半度的定向图的类似陈述。我们的证明是基于稳定性方法。
2019-12-04 math.CO
Avoiding rainbow induced subgraphs in vertex-colorings
对于$k$顶点上的固定图$H$和至少$k$顶点上的图$G$，如果在$k$颜色的$G$的任意顶点着色中，存在一个同构于$H$的诱导子图，且该导出子图的顶点具有不同的颜色，则记为$G\rightarrow H$.换句话说，如果是$G\rightarrow H$，那么在具有$k$颜色的$G$的任何顶点着色中，$H$的完全多色诱导拷贝是不可避免的。在本文中，我们表明，除了一些值得注意的例外，任何图$H$上的$k$顶点和任何图$G$是不同构的$H$，$G\not\!\rightarrow H$。我们明确描述了所有例外情况。这决定了所有图的诱导顶点反Ramsey数，并表明在大多数情况下，完全多色的诱导子图是容易避免的。
2016-05-19 math.CO
The Rainbow Connection Number of The Commuting Graph of a Finite Nonabelian Group
本文研究有限非交换群交换图的彩虹连通数，给出其确定方法，并揭示该数与极大交换子群数或特殊对合数之间的关系。
2024-10-27 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type theorem for rainbow connection number of graphs
一个边有色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接. $G$的彩虹连接数，表示为$rc(G)$，是用于使$G$彩虹连接的最小颜色数。本文给出了彩虹联系数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。我们证明了如果$G$和$\bar{G}$都是连通的，那么$4\leq rc(G)+rc(\bar{G})\leq n+2$ .通过实例证明了该上界对所有$n\geq 4$都是尖锐的，下界对所有$n\geq 8$都是尖锐的.对于其余的小型$n=4,5,6,7,$，我们也给出了精确的界限。
2010-12-14 math.CO
Proper rainbow connection number of graphs
边着色图中的一条路称为\emph{rainbow path}，如果它的边接收成对不同的颜色。一个边着色图称为\emph{rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路相连.存在这样的边着色的最小$k$是$G.$的彩虹连接数$rc(G)$最近，Bau等人\cite{BJJKM2018}引入了这个概念，并附加了边着色必须适当的要求.一个正常边着色图称为\emph{properly rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路连接. $G$的\emph{proper rainbow connection number}，记为$prc(G)$，是使它正常彩虹连接所需的最少颜色数.本文首先证明了一个改进的上界$prc(G) \leq n$，它适用于每一个$n \geq 3.$阶连通图$G$。其次，我们证明了差$prc(G) - rc(G)$可以任意大。最后，我们给出了满足$prc(G) = χ'(G).$的图类的几个充分条件
2019-11-04 math.CO
Sharp upper bound for the rainbow connection numbers of 2-connected graphs
一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文对任意阶为$n$的2-连通图$G$，给出了$rc(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$的一个精确的上界，它改进了Caro等人的结果.
2011-05-26 math.CO
Rainbow triangles in edge-colored complete graphs
设$G$是一个具有边着色$c$的$n$阶图，$δ^c(G)$表示$G$的最小色度.如果$G$的子图$F$的任意两条边具有不同的颜色，则称之为彩虹图.关于边着色完全图中的彩虹三角形，现有的文献中已有很多结果。Fujita和Magnant证明了对一个阶为$n$的边着色完全图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$，则$G$的每个顶点都包含在一个彩虹三角形中.本文证明了如果$δ^c(G)\geq \frac{n+k}{2}$，则$G$的每个顶点至少包含在$k$彩虹三角形中，这可以看作是他们结果的推广. Li证明了对一个阶为$n$的边着色图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$，则$G$包含一个彩虹三角形.证明了如果$G$是完备的，且$δ^c(G)\geq \frac{n}{2}$，则$G$包含彩虹三角形且边界是尖锐的. Hu等人证明了对于$n\geq 20$阶边着色图$G$，如果$δ^c(G)\geq \frac{n+2}{2}$，则$G$包含两个顶点不相交的彩虹三角形.证明了若$G$是序$n\geq 8$和序$δ^c(G)\geq \frac{n+1}{2}$完备的，则$G$包含两个顶点不相交的彩虹三角形.此外，我们将Hu等人的结果从$n\geq 20$改进为$n\geq 7$，这是可能的最佳结果。
2020-12-03 math.CO
On Odd Rainbow Cycles in Edge-Colored Graphs
设$G = (V, E)$是一个$n$ -点边着色图. 2013年，H. Li证明了，如果每个顶点$v \in V$都至少与$(n+1)/2$有不同颜色的边相关联，则$G$允许彩虹三角形.我们证明，同样的假设，确保彩虹$\ell$周期$C_{\ell}$每当$n \ge 432 \ell$。这一结果对所有奇数$\ell \geq 3$都是尖锐的，并推广了作者早期的工作，当$\ell$是偶数时.
2021-02-23 math.CO
Changing and unchanging 2-rainbow independent domination
对于函数$f : V(G ) \rightarrow \{0, 1, 2\}$，我们用$V_i$表示$f$赋予值$i$的顶点集，即$V_i = \{ x \in V (G ) : f(x ) = i \}$。如果一个函数$f: V(G) \rightarrow \{0,1,2\}$满足$V_i$对于$i \in \{1,2\}$是独立的条件，并且对于每个顶点$u$，$f(u) = 0$对于每个$i \in \{1,2\}$都与至少一个顶点$v$相邻，对于每个顶点$v$，$f(v) = i$对于每个顶点$v$，则$f$被称为2-彩虹独立控制函数（2 RiDF）。2 RiDF $f$的权重$w(f)$是值$w(f) = |V_1|+|V_2|$。图$G$上的2 RiDF的最小权称为$G$的\emph{2-rainbow independent domination number}。如果图$G$的2-彩虹独立控制数在任意顶点的移除下保持不变，则称图$G$是2-彩虹独立控制稳定的。本文刻画了2-彩虹独立控制稳定树，研究了边去除对树的2-彩虹独立控制数的影响。
2018-09-29 math.CO
Algorithm on rainbow connection for maximal outerplanar graphs
本文在算法方面研究了极大外平面图的彩虹连通数。对于（MOP）$G$，给出了保证$rc(G) = diam(G).$的充分条件，并给出了给定直径的图$d$在线性时间内的彩虹染色. X.Deng等人的$\cite{XD}$利用极大扇形划分方法给出了一个计算MOPs彩虹连接数的多项式时间算法，但只得到了一个紧致的上界. J. Lauri $\cite{JL}$证明了，对于给定边染色的弦外平面图，在边染色下，判定其是否彩虹连通是NP-完全的，对于MOP也是NP-完全的.因此，我们构造了MOP $G,$的中心割脊，并利用它设计了一个在多项式时间内用最多$2rad(G)+2+c,0\leq c\leq rad(G)-2$颜色进行彩虹边着色的算法。
2016-05-06 math.CO
The hitting time of rainbow connection number two
在给定边着色的图$G$中，彩虹路径是所有边都具有不同颜色的路径。给$G$的边着色以使每对顶点至少由一条彩虹路径连接所需的最小颜色数称为图$G$的彩虹连接数$rc(G)$。对于任何图形$G$，$rc(G) \ge diam(G)$。我们将证明，对于Erdens-Rényi随机图$G(n,p)$接近直径2阈值，如果$diam(G)=2$，则$rc(G)=2$的概率很高。事实上，进一步加强这一结果，我们将表明，在随机图过程中，以高概率的首中时的直径2和彩虹连接数2一致。
2012-09-13 math.CO
Rainbow connection of bridgeless outerplanar graphs with small diameters
本文研究直径为2或3的无桥外平面图$G$的彩虹联系数$rc(G)$.证明了：若$G$有直径$2,$则$rc(G)=3$，对于$F_{n}$有$n\geq 7$或$C_5,$，否则$rc(G)=2;$若$G$有直径$3,$则$rc(G)\leq 4$且界是尖锐的.
2016-09-08 math.CO
On a question on graphs with rainbow connection number 2
对于连通图$G$，图$G$的\emph{rainbow connection number $rc(G)$}由Chartrand等人引入。彩虹连接的硬度和算法，J. Combin。Optim。21（2011），330- 347”，Chakraborty等人证明了对于直径为2的图$G$，要确定$rc(G)$是NP-完全的，他们在最后留下了4个开放问题，其中最后一个是下面的：假设我们给了一个图$G$，我们被告知，$rc(G)=2$ .我们能用$o(n)$颜色在多项式时间内给它涂上彩虹色吗？本文给出了一个更强的结果，证明了对任何具有$rc(G)=2$的图$G$，我们可以在多项式时间内用至多5种颜色对$G$进行彩虹着色.
2011-09-26 math.CO
Tight Nordhaus-Gaddum-type upper bound for total-rainbow connection number of graphs
一个图称为\emph{total-colored}，如果图的所有边和顶点都是着色的。一个全着色图称为\emph{total-rainbow connected}，如果图的任意两个顶点由一条路连接，该路的边和内部顶点具有不同的颜色。对于连通图$G$，$G$的\emph{total-rainbow connection number}，记为$trc(G)$，是使$G$全彩虹连通的$G$全着色所需的最小颜色数。本文首先刻画了具有大全彩虹连通数的图。在此基础上，得到了全彩虹联系数的Nordhaus-Gaddum型上界.证明了如果$G$和$\overline{G}$是$n$顶点上的连通补图，则$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n$当$n\geq 6$时，$trc(G)+trc(\overline{G})\leq 2n+1$当$n=5$时.给出的例子表明，上界是尖锐的$n\geq 5$。这完全解决了[Y]中的猜想。Ma，Total rainbow connection number and complementary graph，Results in Mathematics 70（1-2）（2016），173-182。
2017-03-30 math.CO
On the rainbow planar Turán number of paths
一个边有色图称为包含彩虹- $F$，如果它包含$F$作为子图，并且$F$的每条边都是不同的颜色。不含彩虹- $F$的$n$ -顶点适当边有色图的最大边问题，称为彩虹图兰问题，是由Keevash，Mubayi，Sudakov和Verstraëte提出的.我们研究这个问题的一个变化的额外限制，图是平面的，我们表示相应的极值数由$\ex_{\p}^*(n,F)$。特别地，我们确定$\ex_{\p}^*(n,P_5)$，其中$P_5$表示$5$ -顶点路径。
2023-01-25 math.CO
Rainbow connection in some digraphs
一个边着色图$G$是{ \it彩虹连通}，如果任意两个顶点由一条边具有不同颜色的路连接.这个概念由Chartrand等人在\cite{ch01}中引入，并由Dorbec等人在\cite{DI}中扩展到定向图。在本文中，我们提出了一些结果，关于这种扩展，主要是循环有向图的情况下。
2015-04-07 math.CO
Existences of rainbow matchings and rainbow matching covers
设$G$是边着色图。$G$中的彩虹子图是边具有不同颜色的子图。$G$的最小颜色度$δ^c(G)$是与$G$的顶点关联的边上的不同颜色的最小数目。我们发现，每一个边着色图$G$ $n\geq 7k/2+2$顶点$δ^c(G) \geq k$包含彩虹匹配的大小至少$k$，这改善了以前的结果$k \ge 10$。令$Δ_{\text{mon}}(G)$为与$G$的顶点关联的相同颜色的边的最大数目。我们还证明了如果$t \ge 11$和$Δ_{\text{mon}}(G) \le t$，那么$G$最多可以分解为$\lfloor tn/2 \rfloor $彩虹匹配.这个结果是尖锐的，并改进了LeSaulnier和West的结果。
2015-06-10 math.CO
Oriented diameter and rainbow connection number of a graph
无桥图$G$的定向直径是$\min\{diam(H)\ | H\ is\ an orientation\ of\ G\}$。边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹。$G$的彩虹联系数$rc(G)$是指$G$存在$k$ -边染色使得$G$的每两个不同的顶点通过彩虹路相连的最小整数$k$.本文利用$rad(G)$和$η(G)$得到了图的定向直径和彩虹联系数的上界.其中，$rad(G)$是$G$的半径，$η(G)$是使得$G$的每条边都包含在长度至多为$η(G)$的循环中的最小整数。我们还得到了（二部）图$G$的定向直径和彩虹连接数的常数界，它们是由$G$的最小度决定的.
2011-12-05 math.CO
Rainbow cycles vs. rainbow paths
边着色图$F$是{ \it rainbow}，如果$F$的每条边都有唯一的颜色.图$F$的{ \it彩虹图兰数} $\mathrm{ex}^*(n,F)$是在没有$F$的彩虹副本的正确边着色的$n$ -顶点图中的最大可能边数。彩虹图兰数的研究是由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte介绍的。Johnson和Rombach引入了以下彩虹版本的广义图兰问题：对于固定图$H$和$F$，令$\mathrm{ex}^*(n,H,F)$表示在没有彩虹副本$F$的$n$ -顶点正确边着色图中$H$的最大彩虹副本数。本文研究了$\mathrm{ex}^*(n,C_\ell,P_\ell)$的情形，给出了$\ell = 3,4,5$的一般上界和精确结果.在此过程中，我们建立了一个新的最佳上界$\mathrm{ex}^*(n,P_5)$。我们的主要动机来自于试图提高$\mathrm{ex}^*(n,P_\ell)$的界限，这一直是最近几个手稿的主题。
2020-08-31 math.CO
Further hardness results on the rainbow vertex-connection number of graphs
一个顶点有色图$G$是{ \it rainbow vertex-connected}，如果$G$中的任何一对顶点都由一条内部顶点具有不同颜色的路连接，这是Krivelevich和Yuster引入的.连通图$G$的{ \it彩虹顶点连接数}，记为$rvc(G)$，是为了使$G$彩虹顶点连通所需的最小颜色数。在以前的论文中，我们证明了它是NP-完全决定是否一个给定的图$G$有$rvc(G)=2$。本文证明了对任意整数$k\geq 2$，判定$rvc(G)\leq k$是否为NP-难问题.我们还表明，对于任何固定的整数$k\geq 2$，这个问题属于NP-类，所以它成为NP-完全。
2011-10-10 cs.CC math.CO
Asymptotic value of the minimal size of a graph with rainbow connection number 2
一个边（顶点）着色图$G$中的路径，其中相邻的边（顶点）可以有相同的颜色，如果路径的任何一对边（内部顶点）都没有相同的颜色，则称为彩虹路径。彩虹（顶点）连接数$rc(G)$ $G$的（$rvc(G)$）是存在$G$的$i$ -边（顶点）-染色使得$G$的每两个不同顶点通过彩虹路径连接的最小整数$\mathcal{G}_d(n)$。（$\mathcal{G'}_d(n)$）是具有彩虹（顶点）连接数$d$的阶$n$的所有图的集合，并定义了$e_d(n)=\min\{e(G)\,|\, G\in \mathcal{G}_d(n)\}$（$e_d'(n)=\min\{e(G)\,|\, G\in \mathcal{G'}_d(n)\}$），其中$e(G)$表示$G$中的边的数目。本文研究了$e_2(n)$的上界，得到了其精确渐近值.也就是说，$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{e_2(n)}{n\log_2 n}=1$。同时，我们得到了$d\geq 2$的$e'_d(n)=n-1$，等式成立当且仅当$G$是这样一个图，使得删除$G$的所有叶子导致一棵树的顺序$d$。
2011-05-22 math.CO
On Rainbow Connection Number and Connectivity
连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是给它的边着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条路径连接，在这条路径中没有两条边被着色相同。本文研究了彩虹连通数与顶点连通度和边连通度的关系。已经知道，对于具有最小度$δ$的连通图，彩虹连接数的上界为$3n/(δ+ 1) + 3$ [Alberran et al.，2010年]。这直接给出了彩虹连通数的$3n/(λ+ 1) + 3$和$3n/(κ+ 1) + 3$的上界，其中$λ$和$κ$分别表示图的边连通度和点连通度.我们表明，上述边界的边缘连接是紧的加法常数，并表明，在顶点连接的边界可以提高到$(2 + ε)n/κ+ 23/ ε^2$，任何$ε> 0$。我们猜想彩虹连接数是由$n/κ+ O(1)$定义的上界，并证明了对$κ= 2$也是如此.我们还表明，该猜想是真实的弦图和图的围长至少为7。
2011-05-28 math.CO
Rainbow connection numbers of complementary graphs
在边着色图中，如果没有两条边着色相同，则相邻边着色相同的路径是彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果有一条彩虹路连接任意两个顶点，并且$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文根据图$G$的补图$\bar{G}$的一些约束条件，给出了一种研究图$G$的彩虹连通数的新方法.首先证明了对于连通图$G$，如果$\bar{G}$不属于以下两种情况：$(i)$ ~ $diam(\bar{G})=2,3$，$(ii)~\bar{G}$恰好包含两个连通分支且其中一个连通分支是平凡的，则有$rc(G)\leq 4$，其中$diam(G)$是$G$的直径.给出的例子表明，这个界限是最好的可能。接下来，我们推导出对于连通图$G$，如果$\bar{G}$是无三角形的，则$rc(G)\leq 6$。
2010-12-23 math.CO
